高三数学单元测试单元一集合与常用逻辑用语

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(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含答案解析)

一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R4．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 5．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}6．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④8．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（）A ．ABC ==B ．AB C = C ．ABC D ．B CA12．在下列三个结论中，正确的有（） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③二、填空题13．给出下列三种说法：①命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(q ⌝)”是假命题．②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3. ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中所有正确说法的序号为________________．14．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．15．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.16．已知集合{}{}10|133xA aB x =-=，，，＜＜，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______.17．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组.18．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 19．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求AB ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 22．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 23．知2:8150p x x -+≤，(): q xx a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 25．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 26．已知集合121284x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；（2）若{}61D x x m =>+，且()AB D =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．C解析：C 【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题. 当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x-≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立，所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞，（C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.7．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．B解析：B 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >，则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B. 【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤，由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4，故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．C【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++，设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =；若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解，由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件．故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】分别将集合中的元素表示为61,6m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，31|,6t x x t Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭和31|,6p x x p Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭即可得结果. 【详解】 ∵161|,,66m A x x m m Z x x m Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 13231|,|,|,2366n n t B x x n Z x x n Z x x t Z -+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，131|,|,266p p C x x p Z x x p Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭显然A B C =，故选：B.本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.12．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．①③【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R 使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈Rx2-x+1＞0则命题p 且¬q 为假命题此结论正确对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题故可得p 且¬q 为假命题②已知解析：①③ 【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R ，使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2-x+1＞0，则命题“p 且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p 且¬q”为假命题.②已知直线l 1：ax+3y-1=0，l 2：x+by+1=0.则l 1⊥l 2的充要条件为ab ＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为a b ＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足a b＝−3，故本命题不对.③命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x 2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；考点：复合命题的真假；四种命题14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<，所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1，集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩，解得：10a -<≤ ；当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查解析：1a <-或 10a -<<或1a ≥ 【解析】【分析】由指数不等式的解法得{}|01B x x =<<，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数a 的取值范围是1a <-或10a -<<或1a ≥. 【详解】解:解不等式133x <<可得01x <<,即{}|01B x x =<<, 又{}1,0,A a =-,且A B φ⋂=,则1a <-或10a -<<或1a ≥, 故答案为:1a <-或 10a -<<或1a ≥. 【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.17．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可. 【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 19．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3.【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ；（2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算. 【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ，得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤，又{3B x x =≤或}6x ≥，所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤，又{3B x x =≤或}6x ≥，要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥，综合可得a 的取值范围为(]0,3.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．22．（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】（1）解分式不等式411x >+可得集合A ；（2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++，所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆.综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 23．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【分析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤，实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+， p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集.1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 26．（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)1,+∞ 【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ；（1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】 {}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭ {}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （1）[]2,5A B =-当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m 综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）[]3,7A B =-()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥∴实数m 的取值范围为[)1,+∞【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.。

人教A版(2019)高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题

人教A版（2019）高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0∈N B．0∈Z C．32∈Q D．π∈Q2．（5分）设集合A={x|5<x<16}，B={3,4,6,7,9,12,13,16}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知集合A={0,2},B={a,0,3}，且A∪B有16个子集，则实数a可以是（）A．-1B．0C．2D．34．（5分）已知全集U=R，集合A={y|y=x2+2}，集合B={x|9−x2>0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[−3， 2]B．(−3， 2)C．(−3， 2]D．[−3， 2)5．（5分）已知集合A，B满足A∪B={x|1<x≤3}，A∩B={x|a≤x≤a+1}，则实数a的取值范围为（）A．[1,2]B．(1,2)C．(1,2]D．∅6．（5分）已知集合M={0，1，2}，N={x∈Z|0<x<4}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{0，2}C．{1，2}D．{1}7．（5分）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}8．（5分）记不等式x2+x−2>0､x2−ax+1≤0(a>0)解集分别为A、B，A∩B中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（）A．(103，174)B．[103，174)C．(52，174)D．[52，174)二、多选题(共4题；共20分)9．（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩(B∪C)B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C)D．(A∩B)∪(A∩C)10．（5分）已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥611．（5分）已知非空集合A、B满足：全集U=A∪B=(−1,5]，A∩(∁U B)=[4,5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B=∅B．A∩B≠∅C．B=(−1,4)D．B∩(∁U A)=(−1,4)12．（5分）设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2三、填空题(共4题；共20分)13．（5分）已知集合A={x∈Z∣32−x∈Z}，用列举法表示集合A，则A=.14．（5分）已知集合A={−1,2m−1}，B={m2}，若B⊆A，则实数m=．15．（5分）已知1∈{−x,x2}，则实数x的值是.16．（5分）已知集合A={4,2a+1,a}，B={a−3,4−a,3}且A∩B={3}，则a的取值为.四、解答题(共6题；共70分)17．（10分）已知集合A={x|a−3≤x≤2a+1},B={x|−5≤x≤3}，全集U=R.（1）（4分）当a=1时，求(∁U A)∩B；（2）（6分）若A⊆B，求实数a的取值范围.18．（12分）已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|m<x<1−m}．（1）（6分）当m=−1时，求A∪B；（2）（6分）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12分）A={x|−3≤x<6},B={x|a−7<x≤2a}（1）（6分）A∪B=B，求a的取值范围；（2）（6分）(∁U A)∩B=∅，求a的取值范围．20．（12分）已知集合A={x||x+2|≥5},B={x|x2−6x+5<0}，求：（1）（6分）集合A,B；（2）（6分）A∪B.21．（12分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x∈A．（1）（4分）若2∈A，则A中至少还有几个元素？（2）（4分）集合A是否为双元素集合？请说明理由．（3）（4分）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．22．（12分）设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x−3)≥0},B={x|2x−4≥x−2}（1）（4分）求A∩B,A∪B；（2）（4分）若集合C={x|2x+a≥0}，且B⊆C，求实数a的取值范围；（3）（4分）若集合D={x|a<x<a+5}，且A∪D=R，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【知识点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】根据元素与集合的关系可得0∈N，0∈Z，32∈Q，π∉Q，D不正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可。

最新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．若a 、b 是两个单位向量，其夹角是θ，则“32ππθ<<”是“1a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a < 0或a ≥3B ．a ≤0或a ≥3C ．a < 0或a >3D ．0<a <35．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥6．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C ．21a -<<D ．2a <-或1a >7．“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞9．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知ξ服从正态分布()21,N σ，a ∈R ，则“P （ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x +的展开式的常数项为3”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件12．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}二、填空题13．已知条件:21p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.14．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RA B =__________．15．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；16．已知集合{}2,M y y x x R ==∈,221,4y N y x x R ⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则M N =__________.17．设集合{1,2,3,4}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，使得A 中最大的数不大于B 中最小的数，则可组成不同的子集对(,)A B __________个． 18．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0，则p ⌝为__________．19．某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．参考答案20．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.若各数互不相等的正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是4，则()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是______.三、解答题21．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.22．设命题0:p x R ∃∈，2020x -=；命题:q 函数22sin y x =在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先增后减．（1）判断p ，q 的真假，并说明理由；（2）判断p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝的真假．23．已知命题p ：实数x 满足()225400x ax a a -+<>；命题q ：实数x 满足2560x x -+<.（1）当1a =时，若P 和q 都为真，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．若集合A={x|x 2+5x ﹣6=0}，B={x|x 2+2（m+1）x+m 2﹣3=0}．（1）若m=0，写出A ∪B 的子集；（2）若A∩B=B ，求实数m 的取值范围．25．已知命题p ：2320x x -+≤，命题q ：()222100x x m m -+-≤>（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若4m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围. 26．已知非空集合(){}2230A x x a a x a =-++<，集合211xB xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:p x A ∈．命题:q x B ∈．（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求出1a b ->时θ的范围，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】由题意222()222cos a b a b a a b b -=-=-⋅+=-1>，则1cos 2θ<，∴,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，因此32ππθ<<时，满足,3πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，但,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时不一定满足32ππθ<<．应为充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，实际上可以根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2．B解析：B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立；判断必要性时，写出原命题：3x y +≠时，则1x ≠或2y ≠，由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若1x =且2y =，则有3x y +=，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件，故选:B 【点睛】关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．3．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或，因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.4．A解析：A 【分析】根据题意得出命题“x R ∃∈，2230ax ax -+≤”是真命题，然后对a 分情况讨论，根据题意得出关于a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，即命题“x R ∃∈，2230ax ax -+≤”是真命题. 当0a =时，2230ax ax -+≤不成立；当0a <时，合乎题意；当0a >时，则24120a a ∆=-≥，解得3a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是0a <或3a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查由全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x <->或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.6．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.7．B解析：B【详解】试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.8．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.9．B解析：B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．10．B解析：B 【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】//a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.11．A解析：A 【解析】试题分析：由，知1a =．因为二项式321()ax x +展开式的通项公式为31321()()r r rr T C ax x-+=＝3333r r r a C x --，令330r -=，得1r =，所以其常数项为212333a C a ==，解得1a =±，所以“”是“关于x 的二项式321()ax x +的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．12．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.二、填空题13．【分析】根据得出由是的充分不必要条件得出根据包含关系得出的范围【详解】由题设得或设或由得设因为是的充分不必要条件所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围属于中档题解析：(],2-∞-【分析】根据p ⌝，q ⌝得出,p q ，由q 是p 的充分不必要条件，得出Q P ，根据包含关系得出a 的范围. 【详解】由题设:21p x ⌝-<<，得:1p x ≥或2x -≤，设{|1P x x =≥或}2x ≤- 由:q x a ⌝>，得:q xa ，设{}|Q x x a =≤因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此2a ≤-. 故答案为：(],2-∞- 【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<，所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.15．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440axx a 方程恒有两个解，且1210x x a=-<，两根一正一负，满足条件当0a <时，2210,4401axx a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a+=->，两根均为正数，满足条件综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.16．【分析】根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合再根据集合的运算即可求解【详解】由题意集合所以【点睛】本题主要考查了集合的运算其中解答中根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合是解答的关键着重考查了推理与运解析：[]0,2【分析】根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N ，再根据集合的运算，即可求解．【详解】由题意，集合{}2,{|0}M y y x x R y y ==∈=≥，221,{|22}4y N y x x R y y ⎧⎫⎪⎪=+=∈=-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，所以{|02}[0,2]M N y y =≤≤=．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．49【解析】分析：根据题意进行列举即可得出结果详解：①若则可以表示为共种若则可以表示为共种若则可以表示为共种若则可以表示为共种计种②若则可以表示为共种若则可以表示为共种则可以表示为共种则有种则有种则解析：49 【解析】分析：根据题意进行列举，即可得出结果详解：①若{}1A =，则B 可以表示为{}1，{}12，，{}13，，{}14，，{}123，，，{}124，，，{}134，，，{}1234，，，，{}2，{}23，，{}24，，{}234，，， {}3，{}34，，{}4，共15种若{}2A =，则B 可以表示为{}2，{}23，，{}24，，{}234，，，{}3，{}34，，{}4，共7种若{}3A =，则B 可以表示为{}3，{}34，，{}4，共3种若{}4A =，则B 可以表示为{}4，共1种计1573126+++=种②若{}12A =，，则B 可以表示为{}2，{}23，，{}24，，{}234，，，{}3，{}34，，{}4，共7种若{}13A =，，则B 可以表示为{}3，{}34，，{}4，共3种 {}14A =，，则B 可以表示为{}4，共1种{}23A =，，则B 有3种 {}24A =，，则B 有1种{}34A =，，则B 有1种计73131116+++++=种③{}123A =，，，则B 有3种 {}124A =，，，则B 有1种 {}134A =，，，则B 有1种 {}234A =，，，则B 有1种计31116+++=种④若{}1234A =，，，，则B 有1种综上所述，共有26166149+++=种故答案为49种点睛：本题主要考查的知识点是排列组合的实际应用，本题解题的关键是理解题意，能够看懂A 中最大的数不大于B 中最小的数的意义，本题是一个难题也是一个易错题，需要认真解答18．【详解】根据全称命题的否定的概念可知p 为解析：00R,20xx ∃∈≤【详解】根据全称命题的否定的概念，可知⌝p 为00R,20x x ∃∈≤.19．5【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛有8人参加田径比赛同时参加游泳和田径的有3人同时参加游泳和球类比赛的有3人可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数【详解解析：5 【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．故答案为5．【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题．20．17【分析】用减去4即得【详解】由题意知正数数组的逆序数与的逆序数和为所以的逆序数为故答案为：17【点睛】本题考查新定义问题考查排列组合的应用解题关键是理解认识到数组与中逆序数的和为解析：17【分析】用27C 减去4即得．【详解】由题意知正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”与()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”和为27C ，所以()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”为27417C -=．故答案为：17.【点睛】本题考查新定义问题，考查排列组合的应用．解题关键是理解认识到数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅与()11,,,n n i i i -⋅⋅⋅中逆序数的和为2n C ．三、解答题21．答案见解析.【分析】二次项含参，先对a 分0,0,0a a a =><三类讨论，当0a =时，直接代入化简得到解集；当0a >时，不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，其对方程两个根为2,2a，需比较两根大小，再分01a <<，1a =，1a >三类求出解集；当0a <时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，直接判断两根大小，得到解集，最后综合，求得答案.【详解】解：(1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为2{|x x a >或2}x <； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}； ③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为2{|x x a<或2}x >. (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a <2，所以原不等式的解集为2{|2}x x a<<.综上，a <0时，原不等式的解集为2{|2}x x a <<； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为2{|x x a >或2}x <；当a >1时，原不等式的解集为2{|x x a<或2}x >. 【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法，对二次项系数分类讨论，在需要时对两根大小分类讨论，属于中档题.22．（1）p 为真，q 为假，理由见解析；（2）p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【分析】（1）由22x =有解知命题p 为真命题，22sin 1cos 2y x x ==-，在(,)62ππ-上先减后增．即命题q 为假命题；（2）由p 为真q 为假，结合复合命题的真假可得.【详解】（1）易知0x R ∃=，故p 为真．∵22sin 1cos2y x x ==-，且23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,， ∴1cos2y x =-在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先减后增，故q 为假．（2）∵p 真q 假，∴p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【点睛】本题考查了三角函数的单调性及复合命题的真假，属中档题．23．（1）()2,3：（2）324a ≤≤. 【分析】（1）先化简命题,p q ，再求集合的交集得解；（2）先求出p ⌝和q ⌝，再解不等式组243a a ≤⎧⎨≥⎩，即得解. 【详解】（1）命题p ：实数x 满足()225400x ax a a -+<>，所以4a x a <<，设{}4A x a x a =<<，命题q ：实数x 满足2560x x -+<，解得23x <<，设{}23B x x =<<，1a =时，若p q ∧为真，则{}23A B x x ⋂=<<. 故x 的取值范围为()2,3；（2）(][):,4,p a a ⌝-∞⋃+∞，(][):,23,q ⌝-∞⋃+∞，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得243a a ≤⎧⎨≥⎩，解得324a ≤≤，故实数a 的取值范围为324a ≤≤. 【点睛】方法点睛：利用集合法分析判断充分必要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p q 、和集合A B 、的对应关系.:{|()p A x p x =成立}，:{|()q B x q x =成立}；最后利用下面的结论判断：（1）若A B ⊆,则p 是q 的充分条件，若A B ⊂，则p 是q 的充分非必要条件；（2）若B A ⊆,则p 是q 的必要条件，若B A ⊂，则p 是q 的必要非充分条件；（3）若A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，则p 是q 的充要条件.24．（1）A ∪B 的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}（2）m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【分析】（1）由x 2+5x ﹣6=0得6,1x x =-=或,所以{1-6}A =，，当0m =时，化简{}1,3B =-,求出A ∪B {}6,3,1=--，写出子集即可（2）由A B B ⋂=知B A ⊆,对判别式进行分类讨论即可.【详解】（1）根据题意，m=0时，B={1，﹣3}，A ∪B={﹣6，﹣3，1}；∴A ∪B 的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}，（2）由已知B ⊆A ， •①m ＜﹣2时，B=Φ，成立‚②m=﹣2时，B={1}⊆A ，成立ƒ③m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B={﹣6，1}；∴⇒m 无解，综上所述：m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，子集的概念，分类讨论的思想，属于中档题. 25．（1）1m ≥；（2）[)(]3,12,5-⋃.【分析】（1）先解不等式，再根据充分条件得集合之间包含关系，最后解不等式得结果；（2）根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，得,p q 一真一假，再分别求对应x 的取值范围.【详解】（1）p ：232012x x x -+≤∴≤≤，q ：()22210011x x m m m x m -+-≤>∴-≤≤+因为p 是q 的充分条件，所以11112m p q m m -≤⎧⊆∴∴≥⎨+≥⎩；（2）4m =时，q ：35x -≤≤因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假，1253x x x ≤≤⎧∴⎨><-⎩或或3521x x x -≤≤⎧⎨><⎩或 x ∴∈∅或31x -≤<或25x <≤实数x 的取值范围为[)(]3,12,5-⋃【点睛】本题考查根据充分条件求参数、根据复合命题真假求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.26．（1）1001-⋃（，）（，）；（2）1a =-. 【分析】（1）解出集合B ，由题意得出A B ，可得出关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围；（2）由题意可知A B =，进而可得出1-和1是方程()2230x a a x a -++=的两根，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】（1）解不等式211x x <-，即101x x +<-，解得11x -<<，则{}11B x x =-<<. 由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，()(){}20A x x a x a=--<， ①当2a a =时，即当0a =或1a =时，A =∅，不合题意；②当2a a <时，即当0a <或1a >时，{}2A x a x a =<<， A B ，则211a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得10a -≤<，又当1a =-，{}11A x x B =-<<=，不合乎题意.所以10a -<<；③当2a a <时，即当01a <<时，A B ，则211a a ⎧≥-⎨≤⎩，此时01a <<.综上所述，实数a 的取值范围是1001-⋃（，）（，）；（2）由于p 是q 的充要条件，则()1,1A B ==-，所以，1-和1是方程()2230x a a x a -++=的两根，由韦达定理得2301a a a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a =-. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语单元复习测试

19．设：实数满足，其中；：实数满足，且是的必要不充分条件，求的取值范围．
20．已知， .
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．设全集U=R,集合
【详解】
由题得集合A中的无理数元素有，所以集合A中不含无理数的子集共有个.
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
【解析】
因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ ”的否定是“ ”，故选C.
3．D
【解析】
【分析】
利用等式与不等式的性质,利用充分条件与必要条件的定义进行判断.
5．C
【解析】
【分析】
考查“ 是纯虚数”与“ ”能否互相推出
【详解】
解：时，是纯虚数，
即是纯虚数
是纯虚数时，，不一定有，
故选：C
【点睛】
考查成分条件必要条件的判断，基础题.
6．A
【解析】
【分析】
利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．
【详解】
解：，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：，故正确，错误；，故错误；，故错误；
14．①②⑤
【解析】
【分析】
对①②③⑤分析集合与集合,元素与集合之间的关系.④根据集合中元素的无序性判断.
【详解】
对①,空集是任何非空集合的真子集,故①正确；
对②,元素0属于集合 ,故②正确；
对③,元素属于集合 ,表达为 ,故③错误；

第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷(Word版含答案)

《第一章集合与常用逻辑用语》单元测试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4},B={1,3,5},则(∁U A)∪B=()A.{5}B.{1,3}C.{1,2,3,5,6}D.⌀2.命题“∀x∈Q,3x2+2x+1∈Q”的否定为()A.∀x∉Q,3x2+2x+1∉QB.∀x∈Q,3x2+2x+1∉QC.∃x∉Q,3x2+2x+1∉QD.∃x∈Q,3x2+2x+1∉Q3.已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若B⊆A,则m=()A.0B.0或1C.0或2D.1或24.设全集U=R,M={x|x<-3或x>3},N={x|2≤x≤4},如图,阴影部分所表示的集合为()A.{x|-3≤x<2}B.{x|-3≤x≤4}C.{x|x≤2或x>3}D.{x|-3≤x≤3}5. “|x|≠|y|”是“x≠y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设集合A={x|2a<x<a+2},B={x|x<-3或x>5},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为()A.{a|a≥-32} B.{a|a>-32}C.{a|a≤-32} D.{a|a<-32}7.若p:x2+x-6=0是q:ax-1=0(a≠0)的必要不充分条件,则实数a的值为()A.-12B.-12或13C.-13D.12或-138.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U有18个元素,A∩B≠⌀.设集合(∁U A)∩(∁U B)中有x个元素,则x的取值范围是()A.{x|3≤x≤8,且x∈N}B.{x|2≤x≤8,且x∈N}C.{x|8≤x≤12,且x∈N}D.{x|10≤x≤15,且x∈N}二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则实数a的值可以是()A.1B.0C.3D.-310.图中阴影部分表示的集合是()A.N∩(∁U M)B.M∩(∁U N)C.[∁U(M∩N)]∩ND.(∁U M)∩(∁U N)11.设全集为U,下列选项中,是“B⊆A”的充要条件的是()A.A∪B=AB.A∩B=AC.(∁U A)⊆(∁U B)D.A∪(∁U B)=U12.整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},其中k∈{0,1,2,3,4}.以下判断正确的是()A.2 022∈[2]B.-2∈[2]C.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.若a-b∈[0],则整数a,b属于同一“类”三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设集合M={2,3,a2+1},N={a2+a,a+2,-1},且M∩N={2},则实数a的值为.14.写出一个使得命题“∀x∈R,ax2-2x+3>0恒成立”是假命题的实数a的值:.15.若p:m-1≤x≤2m+1,q:2≤x≤3,q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是.16.已知有限集合A={a1,a2,a3,…,a n},定义集合B={a i+a j|1≤i<j≤n,i,j∈N*}中的元素的个数为集合A的“容量”,记为L(A).若集合A={x∈N*|1≤x≤3},则L(A)=;若集合A={x∈N*|1≤x≤n},且L(A)=4 041,则正整数n的值是.(本题第一空2分,第二空3分.)四、解答题:本题共2小题,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.≤x≤2}.17.(10分)已知集合A={x|2-b≤ax≤2b-2}(a>0),B={x|-12(1)当a=1,b=3时,求A∪B和∁R B.(2)是否存在实数a,b,使得A=B?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.18.(10分)在①A∪B=B,②“x∈A”是“x∈B”的充分条件,③“x∈∁R A”是“x∈∁R B”的必要条件这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并求解下列问题.问题:已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|-1<x<3}.(1)当a=2时,求A∩B;(2)若,求实数a的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.A6.A7.D8.A二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ACD 12.ACD三、填空题13.-2或014.-1(答案不唯一)15.{m|1≤m≤3}16.3 2 022四、解答题17. 解：(1)当a =1,b =3时,A ={x |-1≤x ≤4}.又B ={x |-12≤x ≤2},所以 A ∪B ={x |-1≤x ≤4},(2分) ∁R B ={x |x <-12或x >2}.(4分)(2)假设存在实数a ,b 满足条件.因为a >0,所以由2-b ≤ax ≤2b -2,得2−b a ≤x ≤2b−2a .(6分) 由A =B ,得{2−b a =−12,2b−2a =2, 解得{a =2,b =3.(9分) 故存在a =2,b =3,使得A =B.(10分)18. 解：(1)当a =2时,A ={x |2≤x ≤4}, 所以A ∩B ={x |2≤x <3}.(4分)(2)方案一选条件①.因为A ∪B =B ,所以A ⊆B ,(7分)所以{a >−1,a +2<3,解得-1<a <1.(10分) 方案二选条件②.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, 所以A ⊆B ,(7分)所以{a >−1,a +2<3,解得-1<a <1.(10分) 方案三选条件③.因为“x ∈∁R A ”是“x ∈∁R B ”的必要条件,所以A ⊆B ,(7分)所以{a >−1,a +2<3,解得-1<a <1.(10分)。

第一章：集合与常用逻辑用语单元测试

第一章：集合与常用逻辑用语小结与测试一、单选题(共40分)1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，记集合Q A B =⋂，则（） A ．4Q ∉B ．1Q ∈C ．5Q ∈D ．3Q ∉2．已知全集{}0,1,2,3U =，集合{}{}0,1,3,0,2,3A B ==，则()UA B =（）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,33．已知集合{}13A x x =∈-<<N ，2,1,0,1,2U ，则U A（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}2,1--4．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（） A ．A B C ⋂⋂ B ．()U A B C C ．()U A B C ⋂⋂D ．()UA BC5．已知集合{1,0,1,2}A =-，{}*2N 90B x x =∈-≥，则A B ⋃=（）A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1,2,3}- 6．“1m ≥-”是“2m ≥-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是（） A ．x ∀∈R ，210x - B ．x ∃∈R ，210x - C ．x ∃∈R ，210x -D ．x ∀∈R ，210x -<8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今"青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要二、多选题(共20分)9．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}S =，则U S 的子集为（） A ．{5}B ．{1,2,5}C ．{2,3,4}D ．∅10．(多选)已知集合{}21,3,A m =，{}1,B m =．若A B A ⋃=，则实数m 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．311．下列四个命题中，是真命题的有（） A ．没有一个无理数不是实数 B ．空集是任何一个集合的真子集C ．112+≤D ．至少存在一个正数x ，使得21x x -+是正数12．下列命题中，真命题是（）A ．若,R x y ∈且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1B ．2R,2x x x ∀∈<C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．命题“21,1x x ∀<<”的否定形式是“2001,1x x ∃<≥” 三、填空题(共20分)13．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 _________ .14．已知集合[)3,6A =-，(),B a =-∞，若A B =∅是假命题，则实数a 的取值范围是______．15．若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．16．有下列各组对象：（1）某校的年轻教师；（2）被5除余数是2的所有整数；（3）著名数学家；（4）直线l 上的所有点；（5）大于1且小于2的所有有理数．其中能构成集合的对象有_________（填写序号）四、解答题(共70分)(10分)17．已知集合{}42A x x =-<<，{5B x x =<-或}1x >．求A B ，()RA B ；(12分)18．设A ＝{x |x 是小于11的正整数}，{}1,2,3,4B =，{}3,4,5,6,7C =．求A C ，A B ，()AB C ，()AB C ．(12分)19．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)R x ∀∈，2460x x -+>； (3)N x ∃∈，2x x ≤；(4)N x *∃∈，使x 为29的约数； (5)N x ∀∈，20x >．(12分)20．已知集合{}|310A x x =≤<，集合{}|(2)(4)0B x x x =--<， (1)求A B ； (2)求()A B R ∩．(12分)21．已知集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |a +2≤x ≤3a }．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．(12分)22．已知集合{}121A x a x a =-≤≤+，集合{}2310B x x x =-<.(1)若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若A B A =，求实数a 的取值范围.第一章：集合与常用逻辑用语小结与测试参考答案：1．A 【分析】根据集合的交集运算求出Q ，再由元素与集合的关系求解. 【详解】由{2,3}Q A B ==知，4Q ∉正确，1Q ∈，5Q ∈，3Q ∉均是错误的，故选：A2．B 【分析】先求出A B ，再求其补集【详解】因为{}0,3A B ⋂=，又全集{}0,1,2,3U =，所以(){}1,2UA B ⋂=.故选：B3．D 【分析】先求出集合A ，再由补集的定义即可得出答案. 【详解】因为{}N 13A x x =∈-<< {}0,1,2=，所以UA ={}2,1--.故选：D.4．D 【分析】根据阴影部分在集合AB 的公共部分，且不在集合C 中可得答案. 【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB 的公共部分，且不在集合C 中，故图中的阴影部分表示的集合为()UA B C .故选：D.5．D 【分析】先确定集合B ，再根据集合并集的定义计算．【详解】{1,0,1,2}A =-，{N*|33}{1,2,3}B x x =∈-≤≤=，A B ⋃={1,0,1,2,3}-．故选：D ．6．A 【分析】根据“1m ≥-”和“2m ≥-”的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】由1m ≥-可以推出2m ≥-，但反之不成立，故“1m ≥-”是“2m ≥-”的充分不必要条件，故选:A7．B 【分析】全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是“x ∃∈R ，210x -”.故选：B.8．A 【分析】先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立，故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件. 故选：A.9．AD 【分析】根据补集和子集的定义即可求出答案. 【详解】因为{}5U C S =，集合{}5的子集有：∅，{5}. 故选：AD.10．AD 【分析】依题意可得B A ⊆，即可得到2m m =或3m =，即可求出m ，再代入检验即可；【详解】解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．因为{}21,3,A m =，{}1,B m =，所以2m m =或3m =，解得0m =或1m =或3m =.当0m =时，{}1,3,0A =，{}1,0B =，符合题意；当1m =时，集合A 不满足集合元素的互异性，不符合题意；当3m =时，{}1,3,9A =，{}1,3B =，符合题意．综上，0m =或3；故选：AD11．ACD 【分析】根据命题的等价性可判断A ；由真子集的概念可判断B ；由“或”命题真假判断方法可判断C ；由特称命题的真假判断方法可判断D. 【详解】A,该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； B,该命题为假命题，空集是任何非空集合的真子集； C,该命题显然成立，为真命题；D,取1x =，能使21x x -+是正数，为真命题. 故选：ACD12．AD 【分析】根据不等式的性质，以及实数的运算性质，以及含有一个量词的否定的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若实数,x y 都小于等于1，那么可以推出2x y +≤，所以A 正确；对于B 中，当2x =时，22x x =，所以B 错误；对于C 中，当0a b 时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，所以C 错误；对于D 中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“21,1x x ∀<<”的否定形式是“2001,1x x ∃<≥”，所以D 是正确的. 故选：AD.13．04a ≤≤【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围. 【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题，即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题，当0a =时，10≥，不等式显然成立，当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤. 故答案为：04a ≤≤.14．()3,-+∞【分析】考虑A B =∅是真命题，列不等式求实数a 的取值范围，取其在R 中的补集可得实数a 的取值范围.【详解】若A B =∅是真命题，则3a ≤-， ∴当A B =∅是假命题时，3a >-．故答案为：()3,-+∞.15．0【分析】根据充要条件的定义即可求解. 【详解】1111x m m x m -<-<⇒-<<+，则{x |11x -<<}＝{x |11m x m -<<+}，即11011m m m -=-⎧⇒=⎨+=⎩. 故答案为：0.16．（2）（4）（5）．【分析】可看出（1）所说的“某校”和（3）所说的“著名”都不能确定，从而都不能构成集合的对象．而（2）（4）（5）所说的对象是可确定的，能构成集合的对象．【详解】（1）“某校”不确定，不能构成集合的对象；（2）”被5除余数是2的所有整数”是确定的，可以构成集合的对象；（3）“著名”是不确定的，不能构成集合的对象；（4）“直线l 上的所有点”是确定的，能构成集合的对象；（5）“大于1且小于2的所有有理数”是确定的，能构成集合的对象．故答案为：（2）（4）（5）．【点睛】本题考查元素是否可以构成集合的判断，注意确定性的应用，属简单题.17．{5A B x x ⋃=<-或}4x >-；(){}41A B x x ⋂=-<≤R 【分析】由并集、补集和交集定义直接求解即可.【详解】由并集定义知：{5A B x x ⋃=<-或}4x >-； {}51B x x =-≤≤R ，(){}41A B x x ∴⋂=-<≤R .18．{}3,4,5,6,7A C ⋂=，{}5,6,7,8,9,10A B =，(){}8,9,10AB C ⋃=，(){}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A B C ⋃⋂=【分析】先得出{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，再利用集合的交集，并集，和补集的运算公式进行求解.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则{}3,4,5,6,7A C ⋂=；{}5,6,7,8,9,10AB =；{}1,2,3,4,5,6,7B C ⋃=，故(){}8,9,10AB C ⋃=；{}3,4B C=⋂，所以(){}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A B C ⋃⋂=19．(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)全称量词命题，假命题【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. （1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题．（2）命题中含有全称量词“∀”，故是全称量词命题，因为()2246222x x x -+=-+≥，所以2460x x -+>恒成立，故该命题为真命题．（3）命题中含有存在量词“∃”，故是存在量词命题，当0x =或1x =时，2x x =，故该命题为真命题．（4）命题中含有存在量词“∃”，故是存在量词命题，当1x =时，x 为29的约数，所以该命题为真命题．（5）命题中含有全称量词“∀”，故是全称量词命题，当0x =时，20x =，所以该命题为假命题． 20．(1){}0|21x x << (2){}|23x x <<【分析】（1）由一元二次不等式的解法可求得集合B ，再由集合的并集定义，计算即可；（2）先根据全集R 和集合A 求出集合A 的补集，然后再求出集合A 的补集与B 的交集. (1)由题意得，{}|24B x x =<<，{}|210A B x x ∴=<<．(2){}310A x x =<≥R或，∴(){}|23A B x x =<<R ． 21．(1)A ∩B ＝∅(2)（﹣∞，43）【分析】（1）利用交集及其运算求解即可．（2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可．（1）当a ＝2时，B ＝{x |a +2≤x ≤3a }＝{x |4≤x ≤6}， ∵A ＝{x |2≤x ＜4}，∴A ∩B ＝∅．（2）若B ⊆A ，①当B ＝∅时，则a +2＞3a ，∴a ＜1， ②当B ≠∅时，则232234a aa a +≤⎧⎪+≥⎨⎪<⎩，∴1≤a 43＜，综上，实数a 的取值范围为（﹣∞，43）．22．(1)3a ≥； (2)2a <.【分析】（1）解一元二次不等式求集合B ，由题设有B A ⊆可得12{215a a -≤-+≥求范围即可. （2）由题设有A B ⊆，讨论A =∅、A ≠∅求a 的取值范围. (1)由2310x x -<，有2310(5)(2)0x x x x --=-+<，解得25x -<<， ∴{|25}B x x =-<<，又{}121A x a x a =-≤≤+，由题设，易知B A ⊆，则12{215a a -≤-+≥，解得3a ≥.(2)由题设，A B ⊆，当A =∅时，121a a ->+，可得0a <；当A ≠∅时，12112215a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，可得02a ≤<；综上，2a <.。

高三总复习集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语1.集合与元素(1)概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2）集合中元素的特征：1确定性：作为一个集合，必须是确定的2互异性：集合中的元素必须是互异的3无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3）元素与集合的两种关系：（属于）（不属于）（4）集合的分类：有限集，无限集，空集（5）常用的数集及其表示符号名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号N N+N＊Z Q R （6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示图示子集集合 A 中的任意一个元素都在集（或A）A BB BA 合B 中（即 x A，则 x B）真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B A BBA 中至少有一个元素不在集合 A 中等集集合 A ，B 中的元素完全相同或集A=BA（B）合 A，B 互为子集交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 A ∩B={x ｜x∈A B元素组成的集合A，且 x ∈B}并集由所有属于集合 A 或属于集合 B A ∪B={x ｜x∈A B的元素组成的集合A，或 x∈B}补集由全集 U 中不属于集合 A 的所有U A={x ｜x∈U，UA且 x≠A} ．元素组成的集合3.集合间基本关系的几个结论（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集（2）任何一个集合都是它本身的子集， A A。

空集只有一个子集，即它本身。

（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若A B，B C，则A C（4）含有 n 个元素的集合有2n个子集，有2n -1 真子集，有2n -1 非空子集，有2n-2个非空真子集。

4.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

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单元能力检测(一)[考查范围：第一单元集合与常用逻辑用语]时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0＜x ＜5，x ∈R }，则( )A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件2．集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．33．下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 24．下列判断错误的是( )A ．a ，b ，m 为实数，则“am 2<bm 2”是“a <b ”的充分不必要条件B ．已知命题p ：|x －4|>6，则綈p ：|x －4|≤6C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题5．“a ≠b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＞ab ”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且log x y ∈N *}，则C 中元素个数是( )A ．9B ．8C ．3D ．47．如图D1－1所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ， y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，(x ＞0)}，则A *B 为( )图D1－1A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x >1}，B ＝{y |y ＝2x，x ≤0}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．∅B ．{x |x >2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |1<x ≤2}9．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设集合A ＝{4,5,6,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卡相应位置)11．设P 、Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝________.12．“－2≤a ≤2”是“一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根”的________．13．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为________．14．命题p ：关于x 的不等式ax 2＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝log (2a ＋1)x 是增函数，若p 或q 为假，则实数a 的取值范围为________．15．命题p ：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1满足，对∀x ∈R f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，命题q ：函数g (x )＝sin(2x＋φ)＋1可能为奇函数(φ为常数)，则复合命题①“p或q”，②“p且q”，③“非p”中，真命题的序号是________．16．有下列命题：①“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共是：________.17．设命题p：2x2－3x＋1≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(14分)写出下列命题的否定和否命题：(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(3)平行于同一条直线的两条直线平行．19．(14分)设函数f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－1－1的定义域为集合B.求：(1)集合A，B；(2)A∩B，A∪(∁R B)．20．(14分)p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增；q：关于x的不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．21.(15分)已知a＞1，命题p：a(x－2)＋1＞0，命题q：(x－1)2＞a(x－2)＋1＞0.若命题p、q同时成立，求x的取值范围．22．(15分)已知集合A＝{x|x＝m＋n2，m，n∈Z}．(1)设x1＝13－42，x2＝9－42，x3＝(1－32)2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；(2)任取x1，x2∈A，试判断x1＋x2，x1·x2与A之间的关系．单元能力检测(一)参考答案1．A [解析] ∵P Q ，∴x ∈P 能推出x ∈Q ，而x ∈Q 推不出x ∈P .∴“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，故选A.2．D [解析] 由题可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，检验符合题意．3．A [解析] 由1x ＝1y得x ＝y ，而由x 2＝1得x ＝±1，由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，x <y 得不到x 2<y 2，故选A.4．C [解析] p ∧q 为假命题，只能说p 、q 至少一个为假．5．C [解析] 不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＞ab 等价于a 2＋b 2＋2ab ＞4ab ，即(a －b )2＞0.只要a ≠b 就成立，所以选C.6．D [解析] ∵log x y ∈N *，∴x ＝2时，y ＝2或4或8；x ＝4时，y ＝4.∴共有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)四个点．即C 中元素个数是4.7．D [解析] A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．8．B [解析] 由题知，集合A ＝{x |x >2}，B ＝{y |0<y ≤1}，所以∁U B ＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(2，＋∞)．9．A [解析] a ＝b 时，圆心到直线距离d ＝|a －b ＋2|2＝2，所以相切，若直线与圆相切时，有d ＝|a －b ＋2|2＝2，所以a ＝b 或a ＝－4＋b . 10．B [解析] A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}．∴∁U (A ∩B )＝{3,5,6,8}，故选B.11．{x |0<x <1} [解析] 由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，由集合P －Q的定义，可知答案为{x |0<x <1}．12．必要不充分条件 [解析] Δ＝a 2－4＜0时，－2＜a ＜2，“－2≤a ≤2”是“－2<a <2” 的必要不充分条件．13．2 [解析] 在同一坐标系下画出集合A 、B 中方程表示的图象即可知为2.14．a <0 [解析] 设g (x )＝ax 2＋4，由不等于ax 2＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则a ≥0.又∵函数f (x )＝log (2a ＋1)x 是增函数，∴2a ＋1>1，∴a >0.由p 或q 为假，则p 、q 均为假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a ≤0，∴a <0.15．① [解析] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋2x －π6＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋1＝cos2x ＋1＝2cos 2x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x －π6＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＋1＝cos2x ＋1＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，即命题p 为真命题．又命题q 为假命题．∴“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， “非p ”为假命题．16．①② [解析] ①是真命题，②是真命题，③是假命题．17.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [解析] 解不等式2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0的解为a ≤x ≤a ＋1.綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于q 是p 的必要不充分条件，等价于p 是q 的充分不必要条件，等价于⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1是[a ，a ＋1]的真子集，故a ≤12且a ＋1≥1，且两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12. 18．[解答] (1)命题的否定：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零；否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为零；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为零．(3)命题的否定：平行于同一条直线的两条直线不平行；否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．19．[解答] (1)由函数f (x )＝lg(2x －3)有意义，得：2x －3>0，即x >32，所以A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32，由函数g (x )＝2x －1－1有意义，得：2x －1－1≥0，即3－x x －1≥0⇔x －3x －1≤0⇔1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．(2)由(1)得，∁R B ＝{x |x ≤1或x >3}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32∩{x |1<x ≤3}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x ≤3， A ∪(∁R B )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤1或x >32. 20．[解答] 函数f (x )＝x 2－2mx ＋4图象的对称轴为x ＝m ，故p 为真命题⇔m ≤2，q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇔1<m <3，∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则m ≤1，若p 假q 真，则2<m <3，综上所述，m 的取值范围为{m |m ≤1或2<m <3}．21．[解答] 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a x －2＋1>0，x －12>a x －2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2－1a ，x －a x －2>0.①若1＜a ＜2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >2－1a ，x >2或x <a ，而a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ＝a ＋1a －2＞0，即a ＞2－1a， ∴x ＞2或2－1a＜x ＜a . 故此时x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ，a ∪(2，＋∞)． ②若a ＝2，则x ＞32且x ≠2，此时x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)． ③若a ＞2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >2－1a ，x >a 或x <2⇒x ＞a 或2－1a ＜x ＜2. 此时x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ，2∪(a ，＋∞)．综上，当1<a <2时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ，a ∪(2，＋∞)；当a ＝2时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)；当a >2时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ，2∪(a ，＋∞)． 22．[解答] (1)x 1＝13－42＝－323－4232∉A ，x 2＝9－42＝22－1∈A ，x3＝(1－32)2＝19－62∈A.(2)设x1＝m＋n2，x2＝s＋t2，m，n，s，t∈Z，则x1＋x2＝(m＋s)＋(n＋t)2，∵m，n，s，t∈Z，∴m＋s，n＋t∈Z，∴x1＋x2∈A，又x1·x2＝(ms＋2nt)＋(mt＋ns)2，∵m，n，s，t∈Z，∴ms＋2nt，mt＋ns∈Z，∴x1·x2∈A.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。