2018届闵行区高三二模数学考试(含解答)
2018届闵行区高三二模数学考试(含解答)
上海市闵行区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A. 43B. 53C. 23D. 23-15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a <16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18. 已知函数()3sin cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =，3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，13sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若2b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.上海市闵行区区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【解析】2a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=5. 直线l 的参数方程为112x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n n S +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[][]155nn n n na n n n ⋅=-=-，22n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n nn -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x =- 的距离，为0.4二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.43 B. 53C. 23D. 23- 【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅，选C15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若30S >，则20180a >B. 若30S <，则20180a <C. 若21a a >，则20192018a a >D. 若2111a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.【解析】（1）121233V =⨯⨯= （2）5524cos 5255θ+-==⋅⋅，所成角为4arccos 518. 已知函数()3sin cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =，3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，13sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若2b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:2l x b =，233PF b =，1533PF b =，12||5||PF PF =实用标准文档 （2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3）设:(2)l y k x b =-，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:6l y =，得(36,6)M k -， 代入直线l ，6(362)k k b =--，∴3336b k k =--≥，33k =-，56πα=21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T（2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a ==（3）略。
2019高三闵行高三二模数学
闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必先将自己的姓名、学校、考生号填写清楚，粘贴考生本人条形码． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}1,2A =， {}1,3B =，则U A B =I ð ． 2．抛物线22y x =的准线方程为 ．3．已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f-= ．4．已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为12-， n S 表示{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．5．若关于,x y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为 ．6．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，其面积)(31222b c a S -+=，则tan B =______________．7．若2(2n x 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 为 ． 8．设不等式组6020360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域为Ω，若指数函数xy a =的图像与Ω有公共点，则a 的取值范围是 ． 9．若函数()2sin cos f x x x x ωωω=的图像关于直线3x π=对称，则正数ω的最小值为 ．10．在正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为 ．11．若函数()2()4292918x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 ．（用列举法表示）12．如图，A 是22:9O x y +=e 上的任意一点，B C 、是O e 直径的两个端点，点D 在直径BC 上，3BD DC =u u u r u u u r，点P 在线段AC 上，若1+2AP PB PD λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur ，则点P 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知l 、m 、n 是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） (A) 若l m ⊥，l n ⊥，则n m // (B ) 若m ⇐α，n ⇐β，//αβ，则n m // (C) 若m ⇐α，n ⇐α，m n A =I ，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ (D) 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ14．过点()1,0与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有 （ ） (A) 1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条15．十七世纪，法国数学家费马提出猜想：“当整数2>n 时，关于z y x ,,的方程n n n z y x =+没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是 （ ） ①对任意正整数n ，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+都没有正整数解； ②当整数2>n 时，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解； ③当正整数2n ≤时，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解； ④若关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解，则正整数2n ≤.(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④ 16．如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y x =±等分成八个区域(不含边界)．已知数列{}n a ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，对任意的正整数n ，均有()12=-n n n a S a .当0n a >时，点()1,n n n P a a + （ ）(A)只能在区域② (B)只能在区域②或④ (C) 在区域①②③④均会出现(D) 当n 为奇数时，点n P 在区域②或④，当n 为偶数时，点n P 在区域①或③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编x号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成的角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知复数z满足z =2z 的虚部为2． （1）求复数z ；（2）设复数22z z z z -、、在复平面上对应的点分别为A B C 、、，求：()OA OB OC +⋅u u u r u u u r u u u r的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入．据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元．现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名[]()*45,60x x ∈∈N 且，调整后研发人员的年人均投入增加%2x ，技术人员的年人均投入调整为3)50xma -（万元． （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数．（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．ABPD20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．把半椭圆()22122:10x y x a bΓ+=≥与圆弧()()2222:10x y a x Γ-+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中()1,0F 为1Γ的右焦点．如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知1223B FB π∠=，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P Q 、两点（P 在x 轴的上方．．）． （1）求半椭圆1Γ和圆弧2Γ的方程；（2）当点P Q 、分别在第一、第三象限时，求1A PQ △的周长C 的取值范围； （3）若射线FP 绕点F 顺时针．．．旋转2π交“曲圆”于点R ，请用θ表示P R 、两点的坐标，并求FPR △的面积的最小值．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足： n *∈N ，11,n n n n n n a b c b c a ++=-=-，1n n n c a b +=-，记{}max ,,n n n n d a b c = ({}max ,,n n n a b c 表示3个实数,,n n n a b c 中的最大数)．（1）若1118,4,2a b c ===，求数列{}n d 的前n 项和n S ；（2）若1111,1,,a b c x =-== 当x ∈R 时，求满足条件23d d =的x 的取值范围； （3）证明：对于任意正整数111,,a b c ，必存在正整数k ，使得1k k a a +=，11,k k k k b b c c ++==．xyOA 1FA 2B 1B 2。
2018年上海市闵行区高考数学二模试卷
2018年上海市闵行区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 双曲线x 2a −y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________【答案】2【考点】双曲线的离心率 【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得渐近线方程，结合题意可得3a =32，解可得a 的值． 【解答】 根据题意，双曲线x 2a−y 29=1的焦点在x 轴上，其渐近线方程y ＝±3a x ，若双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，即y ＝±32x 则有3a =32，则a ＝2；2. 若二元一次方程组的增广矩阵是(12c 134c 2)，其解为{x =10y =0 ，则c 1+c 2=________【答案】 40【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组 【解析】由题意{c 1=10+2×0=10c 2=3×10+4×0=30 ，由此能求出c 1+c 2的值． 【解答】∵ 二元一次方程组的增广矩阵是(12c 134c 2)，其解为{x =10y =0 ，∴ {c 1=10+2×0=10c 2=3×10+4×0=30，∴ c 1+c 2=10+30=40．3. 设m ∈R ，若复数z =(1+mi)(1+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则m =________ 【答案】 −1【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求解即可得答案． 【解答】∵ 复数z =(1+mi)(1+i)=1−m +(1+m)i 在复平面内对应的点位于实轴上， ∴ 1+m =0，即m =−1．4. 定义在R 上的函数f(x)=2x −1的反函数为y =f −1(x)，则f −1(3)=________ 【答案】 2【考点】 反函数 【解析】求出函数的解析式，代值计算即可． 【解答】∵ f(x)=2x −1，∴ y =f −1(x)=log 2(x +1)， ∴ f −1(3)=2．5. 直线l 的参数方程为{x =1+ty =−1+2t （t 为参数），则l 的一个法向量为________【答案】 (2, −1) 【考点】直线的参数方程 【解析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得直线l 的方向向量，进而由方向向量的定义分析可得答案． 【解答】根据题意，直线l 的参数方程为{x =1+ty =−1+2t ，则直线的普通方程2x −y −3=0， 其一个方向向量为(1, 2)， 则其一个法向量为(2, −1)；6. 已知数列{a n }，其通项公式为a n =3n +1，n ∈N ∗，{a n }的前n 项和为S n ，则limn→∞S nn∗a n=________【答案】 12【考点】数列的求和 数列的极限 【解析】由等差数列的求和公式和极限的运算性质，计算可得所求值． 【解答】数列{a n }，其通项公式为a n =3n +1，n ∈N ∗， {a n }的前n 项和为S n ， 可得S n =12n(4+3n +1)=3n 2+5n2，则limn→∞S nn∗a n=limn→∞3n 2+5n2n(3n+1)=lim n→∞3+5n 6+2n=3+06+0=12，7. 已知向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=1，|b →|=2，若(a →+2b →)⊥(xa →−b →)，则实数x 的值为________ 【答案】 3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意，由数量积的计算公式可得a →⋅b →的值，又由向量垂直与向量数量积的关系可得(a →+2b →)⋅(xa →−b →)=xa →2+a →⋅b →+2xa →⋅b →−2b →2=x +(2x −1)−8=0，解可得x的值，即可得答案． 【解答】根据题意，向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=1，|b →|=2，则a →⋅b →=1×2×12=1，若(a →+2b →)⊥(xa →−b →)，则(a →+2b →)⋅(xa →−b →)=xa →2−a →⋅b →+2xa →⋅b →−2b →2=x +(2x −1)−8=0， 解可得x =3；8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为________ 【答案】 16π【考点】球的体积和表面积 【解析】先求出球的半径，然后利用球的半径、球心到平面α的距离，平面α截球所得圆面的半径三者满足勾股定理可计算出截面圆的半径，从而求出截面圆的面积． 【解答】设球的半径为R ，球心到平面α的距离为d ，平面α截球所得圆面的半径为r ，则d =3， 由于球的表面积为100π，即4πR 2=100π，则R =5， 由勾股定理可得r =2−d 2=√52−32=4，因此，平面α截球所得圆面的面积为πr 2=π×42=16π，9. 若平面区域的点(x, y)满足不等式|x|k+|y|4≤1(k >0)，且z =x +y 的最小值为−5，则常数k =________ 【答案】 5【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，转化求解k即可．【解答】平面区域的点(x, y)满足不等式|x|k +|y|4≤1(k>0)，可行域如图：可知图象|x|k +|y|4=1(k>0)，经过点(−5, 0)，目标函数取得最小值，∴k=510. 若函数f(x)=log a(x2−ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________【答案】(0, 1)∪[2, +∞)【考点】对数函数的图象与性质【解析】当0<a<1时，没有最小值，当a>1时，即x2−ax+1≤0有解，△=a2−4≥0，解得a≥2，由此能求出a的取值范围．【解答】函数f(x)=log a(x2−ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值，当0<a<1时，没有最小值，当a>1时，即x2−ax+1≤0有解，∴△=a2−4≥0，解得a≥2，综上，a的取值范围是(0, 1)∪[2, +∞)．11. 设x1，x2，x3，x4∈{−1, 0, 2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对(x1, x2, x3, x4)的组数为________【答案】45【考点】分类加法计数原理【解析】根据分类计数原理可得．【解答】①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2，0+0+0+2=2，有4种，1+0+1+0=2，有6种，故有10组；②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3，0+1+1+1=3，有4种，0+1+2+0=3，有C41C31=12种，故有16组；③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4，1+1+1+1=4，有1种，0+1+1+2=4，有C41C31=12种，0+0+2+2=4，有12C41C31=6种，故有19组；综上，共45组，12. 设n∈N∗，a n为(x+4)n−(x+1)n的展开式的各项系数之和，c=34t−2，t∈R，b n=[a15]+[2a252]+...+[na n5n]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(n−t)2+(b n+c)2的最小值为________ 【答案】425【考点】二项式定理的应用【解析】令x=1可得，a n=5n−2n，[na n5n ]=[n−n∗2n5nbrack=n−1，b n=n2−n2，则(n−t)2+(b n+c)2的几何意义为点(n, n2−n2)(n∈N∗)到点(t, 2−34t)的距离，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．【解答】令x=1可得，a n=5n−2n，[na n5n ]=[n−n∗2n5nbrack=n−1，b n=[a15]+[2a252]+...+[na n5n]=1+2+...+(n−1)=n2−n2，则(n−t)2+(b n+c)2的几何意义为点(n, n2−n2)(n∈N∗)到点(t, 2−34t)的距离的平方，最小值即(2, 1)到y=2−34x的距离d的平方，∵d=√32+42=0.4，∴(n−t)2+(b n+c)2的最小值为425．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）“xy=0”是“x=0且y=0”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由xy=0得x=0或y=0，即当x=0，y≠0时，也成立，但x=0且y=0不成立，若x=0且y=0，则xy=0成立，即“xy=0”是“x=0且y=0”成立的必要不充分条件，如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O−xyz的三条坐标轴上，OC→=(0, 0, 2)，平面ABC的法向量为n→=(2, 1, 2)，设二面角C−AB−O的大小为θ，则cosθ=()A.43B.√53C.23D.−23【答案】 C【考点】二面角的平面角及求法 【解析】 利用cosθ=OC →∗n→|OC →|∗|n →|直接求解．【解答】∵ 点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O −xyz 的三条坐标轴上， OC →=(0, 0, 2)，平面ABC 的法向量为n →=(2, 1, 2)， 二面角C −AB −O 的大小为θ， ∴ cosθ=OC →∗n→|OC →|∗|n →|=42×3=23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断一定正确的是（ ） A.若S 3>0，则a 2018>0 B.若S 3<0，则a 2018<0C.若a 2>a 1，则2019>a 2018D.若1a 2>1a 1，则a 2019<a 2018【答案】 D【考点】等比数列的前n 项和 【解析】A ．反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，即可判断出正误；B ．反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，即可判断出正误；C ．反例同B 反例； 进而判断出D 的正误． 【解答】A ．反例，a 1=1，a 2=−2，a 3=4，则a 2008<0；B ．反例，a 1=−4，a 2=2，a 3=−1，则a 2008>0；C ．反例同B 反例，a 2019<0<a 2018；给出下列三个命题：命题1：存在奇函数f(x)(x ∈D 1)和偶函数g(x)(x ∈D 2)，使得函数f(x)g(x)(x ∈D 1∩D 2)）是偶函数；命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D ，使得f(x)、g(x)在D 上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；命题3：存在函数f(x)、g(x)（定义域均为D），使得f(x)、g(x)在x=x0(x o∈D)处均取到最大值，但f(x)g(x)在x=x0处取到最小值；那么真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意，举例说明命题是否正确即可．【解答】对于命题1，当f(x)=g(x)=0，x∈R时；满足f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)是偶函数；对于命题2，当f(x)=g(x)=x，x∈(−∞, 0)时，满足f(x)、g(x)在D上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；对于命题3：当f(x)=g(x)=−x2，x∈R时，f(x)、g(x)在x=0处均取到最大值，但f(x)g(x)在x=0处取到最小值；综上，命题1，2，3均为真命题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．（1）求三棱锥E−DFC的体积；（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小．【答案】∵在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．∴点E到平面DFC的距离d=AD=2S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，∴三棱锥E−DFC的体积V=13×S△DFC×d=13×1×2=23．取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），∵A1G=√A1B12+B1G2=√4+1=√5，A1E=A1G=√5，EG=√BE2+BG2=√1+1=√2，∴cos∠EA1G=A1E2+A1G2−EG22×A1E×A1G =2×5×5=45，∴∠EA1G=arccos45，∴异面直线A1E与D1F所成角为arccos45．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）点E到平面DFC的距离d=AD=S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，由此能求出三棱锥E−DFC的体积．（2）取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，从而∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1E与D1F所成角．【解答】∵在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点．∴点E到平面DFC的距离d=AD=2S△DFC=12×FC×DC=12×1×2=1，∴三棱锥E−DFC的体积V=13×S△DFC×d=13×1×2=23．取BB1的中点G，连结A1G，EG，则A1G // D1F，∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角（或所成角的补角），∵A1G=√A1B12+B1G2=√4+1=√5，A1E=A1G=√5，EG=√BE2+BG2=√1+1=√2，∴cos∠EA1G=A1E2+A1G2−EG22×A1E×A1G =2×√5×√5=45，∴∠EA1G=arccos45，∴异面直线A1E与D1F所成角为arccos45．已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx．（1）当f(−π3)=0，且|ω|<1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=√3，b+c=3，当ω=2，f(A)=1时，求bc的值．【答案】函数f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)．∵f(−π3)=0，即−πω3+π6=kπ，k∈Z且|ω|<1，∴ω=12．由ω=2，f(A)=1，即2sin(2A+π6)=1∵0<A<π∴A=π3由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc即bc=(b+c)2−bc−a2解得：bc=2．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）利用辅助角公式化简，f(−π3)=0，且|ω|<1，即可求解ω的值；（2）由a=√3，b+c=3，当ω=2，f(A)=1时，利用余弦定理即可求解bc的值．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)．∵f(−π3)=0，即−πω3+π6=kπ，k∈Z且|ω|<1，∴ω=12．由ω=2，f(A)=1，即2sin(2A+π6)=1∵0<A<π∴A=π3由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc即bc=(b+c)2−bc−a2解得：bc=2．某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t(t∈N∗)天的关系满足：f(t)={10t,1≤t ≤10−10t +200,10<t ≤20 ，g(t)=−t 2+20t(1≤t ≤20)，产品A 每件的销售利润为ℎ(t)={40;1≤t ≤1520;15<t ≤20 （单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A 的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？ 【答案】F(t)={40(−t 2+30t),1≤t ≤1040(−t 2+10t +200),10<t ≤1520(−t 2+10t +200),15<t ≤20．令F(t)≥5000，①当1≤t ≤10时，40(−t 2+30t)≥5000，解得5≤t ≤25， ∴ 5≤t ≤10．②当10<t ≤15时，40(−t 2+10t +200)≥5000，解得−5≤t ≤15， ∴ 10<t ≤15．③当15<t ≤20时，20(−t 2+10t +200)≥5000，方程无解． 综上，5≤t ≤15．∴ 产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）根据利润公式和产品销量得出F(t)的解析式； （2）分情况解不等式得出t 的范围． 【解答】F(t)={40(−t 2+30t),1≤t ≤1040(−t 2+10t +200),10<t ≤1520(−t 2+10t +200),15<t ≤20．令F(t)≥5000，①当1≤t ≤10时，40(−t 2+30t)≥5000，解得5≤t ≤25， ∴ 5≤t ≤10．②当10<t ≤15时，40(−t 2+10t +200)≥5000，解得−5≤t ≤15， ∴ 10<t ≤15．③当15<t ≤20时，20(−t 2+10t +200)≥5000，方程无解． 综上，5≤t ≤15．∴ 产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点，过F 2的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，sin∠BF 1O =√33． （1）若直线l 垂直于x 轴，求|PF 1||PF 2|的值；（2）若b =√2，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得F 1、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α． 【答案】∵ sin∠BF 1O =√33，∴ ba =√33，∴ c =√a 2−b 2=√2b ，∴ 直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b +y 2b =1，解得y P =√33b ，∴ |PF 2|=√33b ，∴ |PF 1|=√4c 2+(√33b)2=5√33b ，∴ |PF 1||PF 2|=5．b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)， 设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m2−2)，nm−2×12=−1，解得m =−25，n =−165，即E(−25, −165)． 代入椭圆方程：425×6+16225×2≠1，因此点E 不在椭圆上．设l:y =k(x −√2b)，(k <0) 代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0， ∴ x 1+x 2=6√2k 2b 1+3k 2， ∵ 直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →， ∴ 点M 是线段PQ 的中点．∴ x M =3√2k 2b 1+3k 2，y M =k(3√2k 2b1+3k2−√2b)=√6，解得：b =−√3(1+3k 2)k，∴ x M =−3√6k ，可得M(−3√6k,√6)， ∴ b =−√3(1+3k 2)k=−√3k−3√3k ≥6，当且仅当k =−√33时，b 取得最小值6．直线l 的倾斜角α满足：tanα=−√33，α=5π6．【考点】 椭圆的定义【解析】（1）由sin∠BF 1O =√33，可得b a =√33，c =√a 2−b 2=√2b ，可得直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b 2+y 2b 2=1，解得y P ，可得|PF 2|，|PF 1|．即可得出|PF 1||PF 2|．（2）b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)，设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m 2−2)，n m−2×12=−1，解出代入椭圆方程验证即可得出结论．（3）设l:y =k(x −√2b)，(k <0)．代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0，根据直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，可得点M 是线段PQ 的中点．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：b =−√3(1+3k 2)k，即可得出．【解答】∵ sin∠BF 1O =√33，∴ b a =√33，∴ c =√a 2−b 2=√2b ，∴ 直线l 的方程为：x =√2b ．把x =√2b 代入椭圆方程可得：2b 23b2+y 2b 2=1，解得y P =√33b ，∴ |PF 2|=√33b ，∴ |PF 1|=(√33=5√33b ，∴ |PF 1||PF 2|=5．b =√2时，椭圆的标准方程为：x 26+y 22=1．c =2．F 2(2, 0)，直线l 的方程为：y =12(x −2)， 设点关于l 对称点E(m, n)，则n2=12(2+m2−2)，n m−2×12=−1，解得m =−25，n =−165，即E(−25, −165)． 代入椭圆方程：425×6+16225×2≠1，因此点E 不在椭圆上． 设l:y =k(x −√2b)，(k <0) 代入椭圆的方程可得：x 23b 2+k 2(x−√2b)2b 2=1，化为：(1+3k 2)x 2−6√2k 2bx +6k 2b 2−3b 2=0，∴ x 1+x 2=6√2k 2b1+3k2，∵ 直线l 1:y =√6上总存在点M 满足OP →+OQ →=2OM →，∴ 点M 是线段PQ 的中点．∴ x M =3√2k 2b 1+3k2，y M =k(3√2k 2b1+3k2−√2b)=√6，解得：b =−√3(1+3k 2)k，∴ x M =−3√6k ，可得M(−3√6k,√6)， ∴ b =−√3(1+3k 2)k=−√3k−3√3k ≥6，当且仅当k =−√33时，b 取得最小值6．直线l 的倾斜角α满足：tanα=−√33，α=5π6．无穷数列{a n }(n ∈N ∗)，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，a n+1，a n+2，…a n+t 中至少有一个等于a n ，则称数列{a n } 具有性质T ，集合P ={p|p =a n , n ∈N ∗}．（1）若a n =(−1)n ，n ∈N ∗，判断数列{a n } 是否具有性质T ；（2）数列{a n } 具有性质T ，且a 11，a 4=3，a 8=2，P ={1, 2, 3}，求a 20的值；（3）数列{a n } 具有性质T ，对于P 中的任意元素p i ，a i k 为第k 个满足a i k =p i 的项，记b k =i k+1−i k (k ∈N ∗)，证明：“数列{b k }具有性质T ”的充要条件为“数列{a n } 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”． 【答案】∵ a n =(−1)n ，∴ {a n }是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列， 故t =2，{a n }是周期为2的周期数列，对任意的正整数n ，有a n+2=a n ，满足性质T 的条件， 故数列{a n } 具有性质T ；由a 1=1，a 4=3，a 8=2，P ={1, 2, 3}，可知t =3，考虑a 8后面连续三项a 9，a 10，a 11，若a 11≠2，由a 8=2及T 性质知，a 9，a 10中必有一个数为2，于是，a 8，a 9，a 10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为i(i =1或3)，考虑a 1，a 2，…，a 7中，最后一个等于i 的项，则该项的后三项均不等于i ，故不满足性质T 中的条件，矛盾，于是a 11=2． 同理可得：a 14=a 17=a 20=2；证明：充分性、由数列{a n } 是周期为t 的周期数列，每个周期均包含P 中t 个不同元素， 对于P 中的任意元素p i ，a i k 为第k 个满足a i k =p i 的项，故由周期性得：i k+1=i k +t ， 于是，b k =i k+1−i k =t ，数列{b k }为常数列，显然满足性质T ．必要性、取足够大的N ，使a 1，a 2，a 3，…，a N 包含P 中t 个所有互不相等的元素，考虑a N 后的连续t 项a N+1，a N+2，…，a N+t ，对于P 中任意元素p i ，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t 中的某一个，否则考虑a 1，a 2，…，a N 中最后一个等于p i 的项，该项不满足性质T 中的条件，矛盾． 由p i 的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t 这t 个元素恰好等于P 中t 个互不相同的元素， 再由数列{a n } 性质T 中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…于是对于P 中的任意元素p i ，存在N′，有b k =i k+1−i k =t(n ≥N′)，即数列{b N′+k }为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列，故数列{a n}是“周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．【考点】数列的应用【解析】（1）由数列通项公式可得{a n}是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，对任意的正整数n，有a n+2=a n，满足性质T的条件，故数列{a n}具有性质T；（2）由题意可知t=3，考虑a8后面连续三项a9，a10，a11，由反证法说明a11= 2．同理可得：a14=a17=a20=2；（3）充分性、由数列{a n}是周期为t的周期数列，每个周期均包含P中t个不同元素，对于P中的任意元素p i，a ik 为第k个满足a ik=p i的项，由周期性得i k+1=i k+t，可得b k=i k+1−i k=t，则数列{b k}为常数列，满足性质T．必要性、取足够大的N，使a1，a2，a3，…，a N包含P中t个所有互不相等的元素，考虑a N后的连续t项a N+1，a N+2，…，a N+t，对于P中任意元素p i，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t中的某一个，否则考虑a1，a2，…，a N中最后一个等于p i的项，该项不满足性质T中的条件，矛盾．由p i的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t这t个元素恰好等于P中t个互不相同的元素，再由数列{a n}性质T中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…，于是对于P中的任意元素p i，存在N′，有b k=i k+1−i k=t(n≥N′)，即数列{b N′+k}为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列．【解答】∵a n=(−1)n，∴{a n}是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故t=2，{a n}是周期为2的周期数列，对任意的正整数n，有a n+2=a n，满足性质T的条件，故数列{a n}具有性质T；由a1=1，a4=3，a8=2，P={1, 2, 3}，可知t=3，考虑a8后面连续三项a9，a10，a11，若a11≠2，由a8=2及T性质知，a9，a10中必有一个数为2，于是，a8，a9，a10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为i(i=1或3)，考虑a1，a2，…，a7中，最后一个等于i的项，则该项的后三项均不等于i，故不满足性质T中的条件，矛盾，于是a11=2．同理可得：a14=a17=a20=2；证明：充分性、由数列{a n}是周期为t的周期数列，每个周期均包含P中t个不同元素，对于P中的任意元素p i，a ik 为第k个满足a ik=p i的项，故由周期性得：i k+1=i k+t，于是，b k=i k+1−i k=t，数列{b k}为常数列，显然满足性质T．必要性、取足够大的N，使a1，a2，a3，…，a N包含P中t个所有互不相等的元素，考虑a N后的连续t项a N+1，a N+2，…，a N+t，对于P中任意元素p i，必等于a N+1，a N+2，…，a N+t中的某一个，否则考虑a1，a2，…，a N中最后一个等于p i的项，该项不满足性质T中的条件，矛盾．由p i的任意性知，a N+1，a N+2，…，a N+t这t个元素恰好等于P中t个互不相同的元素，再由数列{a n}性质T中的条件得，a N+t+1=a N+1，a N+t+2=a N+2，…于是对于P中的任意元素p i，存在N′，有b k=i k+1−i k=t(n≥N′)，即数列{b N′+k}为常数列，而数列{b k}满足性质T，故{b k}为常数列，从而{a n}是周期数列，故数列{a n}是“周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”．。
2018届闵行区高三二模数学考试(含解答)
市闵行区2018届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12题,1・6每题4分，7・12每题5分，共54分）2 21.双曲线二一二=1（6/>0）的渐近线方程为3x±2y = 0,则。
= ______________9（\ ? c\fr = 1（）2•若二元一次方程组的增广矩阵是1，其解为「二，则q+q=3.设meR,若复数z = （l +〃4）（1 +。
在复平而对应的点位于实轴上，则〃?=4.定义在R上的函数/（幻=2'-1的反函数为y = /7（x）,则尸⑶=5.直线/的参数方程为《一.八（/为参数），则/的一个法向量为y = -\ + 2tC6.已知数列｛〃〃｝,其通项公式为q=3〃 + 1, 〃£“，｛/｝的前〃项和为S”，则lim—」一二J—〃. a7.已知向量a、/；的夹角为60。
，1/7 1=2,若（〃 + 2/；），（刈一/；）,则实数x的值为8.若球的表面积为100%，平而。
与球心的距离为3,则平而。
截球所得的圆面面积为一9.若平而区域的点（.y）满足不等式巴+ 1］（1 （攵>0）,且z = x+y的最小值为一5, k 4则常数％=10.若函数/（x） = logaCT—ax + l）（4>0且aH1）没有最小值，则。
的取值围是11.设为/2，0xw｛T，°，2｝，那么满足29% 1 + 1勺1 + 1勺+ MK4的所有有序数对（% ,七，刍，A4）的组数为312.设〃wN ,。
“为（x + 4）〃—（x + l）〃的展开式的各项系数之和，c =」/ —2, feR, 4（bl表示不超过实数X的最大整数），则（〃一尸+（2+。
尸=1凯争H…的最小值为二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. “冷，=0” 是“x = 0且)，=0” 成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D,既非充分也非必要条件14.如图，点A、B、。
闵行区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
闵行区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 若函数则函数的零点个数为（ ）21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩1()2y f x x =+A ．1B ．2C ．3D ．42． 执行下面的程序框图，若输入，则输出的结果为（）2016x =-A ．2015B ．2016C ．2116D ．20483． 已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣24． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5． 已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a 6． 设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i7． 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 已知集合，，则（ ）2{430}A x x x =++≥{21}xB x =<A B =I A ．B ．C ．D ．[3,1]--(,3][1,0)-∞--U (,3)(1,0]-∞--U (,0)-∞10．设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（）A ．5B ．C ．D ．11．若直线：圆：交于两点，则弦长L 047)1()12(=--+++m y m x m C 25)2()1(22=-+-y x B A ,的最小值为（ ）||AB A ． B ．C ．D ．585452512．在函数y=中，若f （x ）=1，则x 的值是（）A ．1B ．1或C ．±1D ．二、填空题13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两()2,0,{,0x x x f x x lnx x a+≤=->个零点，则正实数的值为______．a 14．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．15．函数（）满足且在上的导数满足，则不等式)(x f R x ∈2)1(=f )(x f R )('x f 03)('>-x f 的解集为.1log 3)(log 33-<x x f 【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.16．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．17．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ． 18．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t ﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=（1+）a n ，求证：当n ≥2，n ∈N 时 f （）+f （）+L+f （）＜n •（）（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．20．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.{x ＝cos t y ＝1＋sin t)3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．（1）求S n 的最小值及相应n 的值；（2）求T n ．23．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.（1）求证：平面；⊥1AD D B A 11（2）求证：；11AD E B ⊥（3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.E CD P 1AA //DP AE B 124．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．闵行区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】D 【解析】考点：函数的零点．【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几0)(=x f 个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图],[b a 0)()(<b f a f 象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.2． 【答案】D 【解析】试题分析：由于，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到，从而可得，由于20160-<2x =1y =，则进行循环，最终可得输出结果为．120151>2y y =2048考点：程序框图．3． 【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆心C 1和圆心C 2，设直线l 方程为y=kx+b ，由对称性可得k 和b 的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y=kx+b ，∴•k=﹣1且=k •+b ，解得k=1，b=2，故直线方程为x ﹣y=﹣2，故选：D ．4． 【答案】B 【解析】试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“ 真”不能得“为假”，而“为p p q ∨p ⌝p q ∨p ⌝p ⌝假”时为真，必有“ 真”，故选B. p p q ∨考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.5． 【答案】A【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a ＜c ＜1，b=20.5＞1，∴b ＞c ＞a ，故选：A ． 6． 【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 7． 【答案】A【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，可得，，则•==16﹣18=﹣2；故选A ．【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题 8． 【答案】B【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C 63=20种，其中恰有两个球同色C 31C 41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B ．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题． 9． 【答案】B【解析】，，(,3][1,)A =-∞--+∞U (,0)B =-∞∴．(,3][1,0)A B =-∞--I U 10．【答案】C【解析】解：∵双曲线焦点在y 轴上，故两条渐近线为 y=±x ，又已知渐近线为，∴ =，b=2a ，故双曲线离心率e====，故选C ．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键． 11．【答案】B 【解析】试题分析：直线，直线过定点，解得定点，当点:L ()()0472=-++-+y x y x m ⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ()1,3（3,1）是弦中点时，此时弦长最小，圆心与定点的距离，弦长AB ()()5123122=-+-=d ,故选B.545252=-=AB 考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.222d R l -=1111]12．【答案】C【解析】解：∵函数y=中，f （x ）=1，∴当x ≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；当﹣1＜x ＜2时，x 2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；当x ≥2时，2x=1，解得x=（舍）．综上得x=±1故选：C ． 二、填空题13．【答案】e【解析】考查函数，其余条件均不变，则：()()20{x x x f x ax lnx+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，即有有且只有一个实根。
上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模)数学---精校解析Word版
闵行区、松江区2017-2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 双曲线的渐近线方程为，则_____________．【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．考点：双曲线的渐近线．2. 若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为则______.【答案】【解析】由题意可知，二元一次方程组的解为：，即：，据此可得：.3. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则______．【答案】【解析】，复数在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，，解得：.4. 定义在上的函数的反函数为，则________.【答案】【解析】求解指数方程：可得：，由反函数的定义与性质可得.5. 直线的参数方程为（为参数），则的一个法向量为__________.【答案】不唯一【解析】消去参数可得直线的普通方程为：，整理为一般式即：，则直线的法向量可以是(不唯一，与之平行即可).6. 已知数列，其通项公式为，，的前项和为，则_________.【答案】【解析】由数列的通项公式可得数列为等差数列，且，则其前n项和，故，则.7. 已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.8. 若球的表面积为，平面与球心的距离为，则平面截球所得的圆面面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为，则，解得：，设截面圆的半径为，则,则平面截球所得的圆面面积.9. 若平面区域的点满足不等式，且的最小值为，则常数_______. 【答案】【解析】绘制不等式表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，即：.若约束条件中含参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值10. 若函数没有最小值，则的取值范围是____________.【答案】【解析】分类讨论：当时，，函数没有最小值，当时，应满足有解，故，综上可得，的取值范围是.11. 设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12. 设，为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数的最大整数.则的最小值为___________. 【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
2019年闵行区高三二模数学答案
闵行区2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．{}2； 2．12x =-； 3．4； 4．23； 5．3； 6．43； 7．5；8．(]1,2；9．14； 10．255； 11．{}2,1,1,2--；12．()2214x y -+=. 二. 选择题 13．C ； 14．D ； 15．D ； 16．B ． 三. 解答题17．[解] （1）因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥BC ，又因为BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面PCD ，所以CPB ∠是直线PB 与平面PCD 所成的角， ………………3分 在Rt PCB △中，BC 2= ,PC 5=⇒2525tan arctan 55CPB CPB ∠=⇒∠= 所以直线PB 与平面PCD 所成的角的大小25arctan 5. ………………7分 （2）四棱锥P-ABCD 的侧面积=2S 2S 2125225PCD PCB S CD PD BC PC +=⋅+⋅=⨯+⋅=+△△侧.所以四棱锥P-ABCD 的侧面积为225+. ……………………14分18．[解] （1）设(,)z x yi x y =+∈R ，则22222x y xy ⎧+=⎨=⎩………………4分 11x y x y ⇒====-或.所以1z i =+或1z i =-- ………………………6分（2）当1z i =+时，22z i =，21z z i -=-， ……………………8分 所以()()()1,10,21,1A B C -、、 ……………………10分所以()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=- ………………12分 当1z i =--时，22z i =，213z z i -=--， 所以()()()1,10,21,3A B C ----、、.所以()()()1,11,3132OA OB OC +⋅=-⋅--=-=- ……………14分19．[解] （1）解：100)(12%)100mx x m -+=（, ……………4分 解得50=x所以调整后的技术人员的人数为50． ……………………6分（2）因为[]*45,60,x x ∈∈N ，由3)50x ma m -≥（恒成立得235a ≥……8分 因为3()(100)(12%)50xx m a x m x ⋅-≤-+恒成立 …………………10分所以[]*1001,45,60,25x a x x x ≤++∈∈N 恒成立 因为10015,25x x++≥当50x =等号成立所以5≤a ． ……………………………………12分所以存在实数23,55a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足条件． ……………………………………14分20．[解] (1) 解：（1）易得2,1a c ==，1Γ：()221043x y x +=≥，……2分2Γ：()()22140x y x -+=<. …………………4分（2）由题意可知0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时1AQF △为腰长为2的等腰三角形，14sin 2AQ θ=，故1A PQ △的周长11C QA QF PF A P =+++22sin2a a a θ=++.…8分()64sin 6,82θ=+∈所以周长C 的取值范围为()6,8. ……………10分 （3）不妨设1||r FP =，2||r FR = 由题意知11(1cos ,sin )P r r θθ+,221cos ,sin 22R r r ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()221sin ,cos R r r θθ+- ………………………12分（其中132cos r θ=+，232sin r θ=+ ，以下步骤未求出12r r 、也给2分）①当203θπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，将P 的坐标代入13422=+y x 得： 22113(1cos )4(sin )120r r θθ++-=，整理得2211(4cos )6cos 90r r θθ-+-=，解得132cos r θ=+或13cos 2r θ=-（舍去），从而可得2332sin 2cos 2r πθθ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. ()12113319222cos 2sin 2sin cos 2sin cos 4FPR S r r θθθθθθ==⋅⋅=⋅+++++△令sin cos 2sin 4t πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则2947FPR S t t =++△当2=t 即⎥⎦⎤⎝⎛∈=ππθ32,04时，()min 9942FPR S =+△. ……………14分xyOA 1 FA 2B 1B 2 QP②当23θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，121133392222sin 2sin 394222FPRS r r θθ==⋅⋅=>>++++△综上可得:PFR △的面积的最小值为2499+. …………………16分21．[解] （1）（1）可求2222,6,4a b c ===；3332,2,4a b c ===；2,2,0(4)n n n a b c n ===≥；所以1238,6,4,2(4)n d d d d n ====≥； …………………2分所以29,(4)212,(5)n n n n s n n ⎧-+≤=⎨+≥⎩． …………………………4分（2）2221,1,2a xb xc =-=+=21,12,111,1x x d x x x +≥⎧⎪⇒=-<<⎨⎪-+≤-⎩…………………………6分33312,12,11a xb xc x x =+-=--=--+⇒31,0132,31131,103x x x d x x x x x ⎧+≤≤≤-⎪=-<<-<<⎨⎪--≤≤≥⎩或或或.………8分所以满足条件23d d =的x 的取值范围为{}1,1-.10分 （通过函数222()1,()1,()2a x xb x xc x =-=+=的图像（要画出），找出3()d x 的表达式，最后得出正确结论，给6分） 解法2：2221,1,2a xb xc =-=+=如果220a b ⋅≠，则23d d >， …………………………6分 所以23d d =时，220a b ⋅= …………………………8分 所以1x =-或1x =所以满足条件23d d =的x 的取值范围为{}1,1-. ……………10分（3）证明：（I ）先证明“若(),,2k k k a b c k ≥中至少有一个为0，则另两个数相等” 不妨设0k a =，假设k k b c ≠，因为0k a =，所以11k k b c --=，c 2(x )=2a 2(x )=|x -1|b 2(x )=|x +1|b 2(x )=|x +1|a 2(x )=|x -1|-3-2-132O1xy所以1111k k k k k k b c a b a c ----=-=-=与k k b c ≠矛盾，所以k k b c =……12分 所以有1110,k k k k k k a a b c b c +++=====.所以此时必存在正整数k ，使得111,,k k k k k k a a b b c c +++=== ………14分(II)再证明：“若(),,2k k k a b c k ≥ 都不为0，则：1k k d d +<” 不妨设k k a d =，则{}1max ,,k k k k k k a b c b c a +=-<<11,k k k k k k k k b a c a c b a a ++=-<=-<，所以{}1111max ,,k k k k k k d a b c a d ++++=<=…………………16分所以此时k d 一定严格递减下去，直至存在正整数m ，使得1m m d d +=，此时,,m m m a b c 中有一个为0，由（I ）可知此时命题也成立. 所以对于任意正整数111,,,a b c 必存在正整数k ，使得：111,,k k k k k k a a b b c c +++===． ………………… 18分 证法2：因为1111111k k k k k k k k k k c a b c b c a a b c +------=-=---≤-=()2k ≥ ① 当且仅当()()11110k k k k c b c a ------≤等号成立，11111k k k k k k k k a b c a c a b a +----=-=---≤()2k ≥ ②当且仅当()()11110k k k k a c a b ------≤等号成立，11111k k k k k k k k b a c b c b a b +----=-=---≤()2k ≥ ③当且仅当()()11110k k k k b c b a ------≤等号成立，所以1k k d d +≤()2k ≥. ……………………12分 （I ）若三个数111,,k k k a b c ---至少有两个相等,不妨设11,k k a b --= 则11110,k k k k k k k c a b c a c b ----==-=-= 所以必存在正整数k ，使得10,k k k c a b +=-=11k k k k k k k k a b c a c b a b ++=-=-===.………14分(II) 若三个数111,,k k k a b c ---()2k ≥互不相等,则1,k k d d -<……………16分所以此时k d 一定严格递减下去，直至存在正整数m ，使得1m m d d +=，此时111,,m m m a b c ---中有两个相等，由（I ）可知此时命题也成立． 所以对于任意正整数111,,,a b c必存在正整数k ，使得：111,,k k k k k k a a b b c c +++===．……………………18分。
2018年上海市闵行区中考数学二模试卷及答案(解析版)
2018年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）22．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=．8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．9．（4分）方程=1的根是．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=（用、的式子表示）．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣1）2018﹣2cos45°+8．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使=S△ABC，求点M的坐标．得2S△ABM22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC 的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．2018年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）2【分析】根据单项式的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，故选：C．2．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选：A．4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD 是菱形，故本选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形，故本选项错误；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=5．【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．【解答】解：原式=1+4=5，故答案为：58．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．【分析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a ﹣b）．【解答】解：4a2﹣3=．故答案为：．9．（4分）方程=1的根是1．【分析】本题思路是两边平方后去根号，解方程．【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m．【分析】由根的情况，由根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为y=﹣x+5．【分析】根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出k，根据“截距为5”计算求出b值，即可得解．【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案是：y=﹣x+5．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为8．【分析】首先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是=0.7，又∵第五组的频率是0.10，∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为：8．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=﹣（用、的式子表示）．【分析】根据=+，只要求出、即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴==，==，∵AE=2DE，∴=，∵=+．∴=﹣，故答案为﹣．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．【分析】根据“亚旋转函数”的定义解答．【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b 相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．故答案是：y=x2+3x﹣．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为cotα（或）．（用锐角α的三角比表示）【分析】根据三角函数解答即可．【解答】解：如图所示：∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=（或），故答案为：（或），17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为17.3米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】根据题意需求AB长．由已知易知AB=BM，解直角三角形MNB求出BM 即AB，再求速度，与限制速度比较得结论．注意单位．【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3．∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=12﹣12．【分析】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，根据矩形的性质可得出BF=5，结合cos∠ABC=，可得出CF的长度，进而可得出AD的长度，在Rt △BAD中利用勾股定理可求出BD的长度，由折叠的性质可得出BP=BA=12，再由PD=BD﹣BP即可求出PD的长度．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：+（﹣1）2018﹣2cos45°+8．【分析】直接利用二次根式的性质和分数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=﹣1+1﹣2×+2=﹣+2=2．20．（10分）解方程组：【分析】先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0或x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0，x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）原方程组可化为，………………………………（2分）解得原方程组的解为，…………………………………（5分）∴原方程组的解是为，……………………………………（6分）21．（10分）已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使=S△ABC，求点M的坐标．得2S△ABM【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点坐标，根据勾股定理，可得A的长，根据锐角三角函数，可得AC，根据相似三角形的判定与性质，可得DC，AD，根据点的坐标，可得答案．（2）根据面积的和差，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，解得x=2，∴点A坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B坐标是（0，4）．∴AB===2．∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，∴AC=AB=．如图1，过C点作CD⊥x轴于点D，∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，∵∴∠ABO=∠CAD，，∴△OAB∽△DAC．∴===，∵OB=4，OA=2，∴AD=2，CD=1，∴点C坐标是（4，1）．=AB•AC=×2×=5．（2）S△ABC=S△ABC，∵2S△ABM∴S=．△ABM∵M（1，m），∴点M在直线x=1上；令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；如图2，分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，∴AF+BG=OA=2；=S△BME+S△AME=ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）∴S△ABM=ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m﹣2=，m=，∴M（1，）．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【分析】根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．【解答】解：设自行车的平均速度是x千米/时．根据题意，列方程得﹣=，解得：x1=15，x2=﹣30．经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC 的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．【分析】（1）根据两角对应相等可得：△ABF∽△CBD，列比例式得：，则BF•BC=AB•BD．（2）先根据三角形全等证明：AF=FG，再根据两组对边分别平行证明：四边形ADGF是平行四边形，所以四边形ADGF是菱形．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）∴．………………………………………………………（1分）∴BF•BC=AB•BD．………………………………………………（1分）（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分）又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于a、c的方程组，解得a、c的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）首先求得A点的坐标，即可证得OA=OC=3．得出∠CAO=∠OCA，然后根据勾股定理求得AD、DC、AC，进一步证得△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，解直角三角形得出tan∠OCB==，tan∠DAC==，即可证得∠DAC=∠OCB，进而求得∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，由已知得出QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得出x﹣2+2y=0，然后与抛物线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标D（﹣1，4）；（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA，在Rt△BOC中，tan∠OCB==，∵AC==3，DC==，AD==2，∴AC2+DC2=20=AD2；∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC===，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得：x﹣2+2y=0，由，解得，．∴点Q的坐标是（，），（，）．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【分析】（1）先利用勾股定理AB=10，进而EH=x，EH=x，FH=x，利用勾股定理建立函数关系式；（2）先判断出∠CAE=∠EBP=∠ABC，进而得出△BEH≌△BEG，即可求出BE，即可得出结论；（3）分两种情况，讨论进行判断即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°∴AB=10，如图1，过E作EH⊥AB于H，在Rt△ABC中，sinB=，cosB=在Rt△BEH中，BE=BF=x，∴EH=x，BH=x，∴FH=x，在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（x）2+（x）2=x2，∴y=x（0＜x＜8）（2）如图2，取的中点P，联结BP交ED于点G∵=2，P是的中点，EP=EF=PD．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵EP=EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG．∴EH=EG=GD=x．在Rt△CEA中，∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==∴BE=8﹣=∴ED=2EG=x=，（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△CBD中，∵BC=8．∴CD=BC•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE．∴=，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形，②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90°．∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD=90°．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．即：四边形ABDC不可能是直角梯形。
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市闵行区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面对应的点位于实轴上，则m =4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=5. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k =10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值围是11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A. 43B. C. 23 D. 23-15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a <16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.市闵行区区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题1. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【解析】2a =2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=5. 直线l 的参数方程为112x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n nS +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k = 【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值围是【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t bc -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[][]155n n n n na n n n ⋅=-=-，22n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何意义为点2(,)2n n n -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x =-的距离，为0.4二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A.43B. 3C. 23D. 23-【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅，选C15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若2111a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x（2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.【解析】（1）121233V =⨯⨯= （2）4cos5θ==，所成角为4arccos 518. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=， ()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω= （2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:l x =，2PF =，1PF =，12||5||PF PF = （2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3）设:()l y k x =-，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:l y =，得(M -， 代入直线l()k =--，∴6b =≥，k =56πα=21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T（2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a ==（3）略。