人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 培优综合专练D1

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第17章勾股定理培优综合专练
1．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？
2．（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；②所作正方形的面积为8个平方单位
（2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹）
3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．琪琪同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：．
（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
4．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
5．中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
6．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
7．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC．
8．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m 2 3 3 4 …
n 1 1 2 3 …
a 22+1232+12 32+2242+32…
b 4 6 12 24 …
c 22﹣1232﹣1232﹣22 42﹣32…
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
9．如图，琪琪的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天琪琪从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问琪琪在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
10．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处．升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
答案
1．解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：
OB＝＝6m，
根据题意，得：OB′＝6+2＝8m．
又∵梯子的长度不变，
∴在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′＝＝6（m）．
则AA′＝8﹣6＝2（m）．
答：梯顶离路灯2米．
2．解：（1）如图，四边形ABCD即为所求的正方形；
（2）以A为圆心、AB为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．
3．解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3，
＝9﹣1﹣1.5﹣3，
＝9﹣5.5，
＝3.5，
故答案为3.5；
（2）△DEF如图2所示；
面积＝2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4，
＝8﹣1﹣2﹣2，
＝8﹣5，
＝3．
4．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
5．解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）连接BC，
由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．
由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．
∵OA⊥OB，
∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，
即：122+（36﹣BC）2＝BC2，
解得BC＝20．
答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
6．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．
设AC为x，则OC＝9﹣x，
由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，
又∵OA＝9，OB＝3，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝5．
∴机器人行走的路程BC是5cm．
7．证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
8．解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，
∵32+42＝52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，
∴a2＝b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
9．解：∵AB＝60，BC＝80，AC＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴琪琪在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
10．解：由题意可得：DC＝＝＝12（m），
则CH＝DC+DH＝12+2.2＝14.2（m），
答：发生火灾的窗口距地面有14.2米．。