北师大版八年级数学因式分解
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版八年级数学下册_因式分解：分组分解法
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、已经学过那些分解因式的方法？
提公因式法；
公式法——平方差公式，完全平方公式。
(a+b)(m+n)
整 am+an+bm+bn 因
=a(m+n)+b(m+n) 式 =a(m+n)+b(m+n) 式
(6) x2-x2y+xy2-x+y-y2
解： = (x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) = (x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y) = (x-y)(x+y-xy-1) = (x-y)[(x-xy)+(y-1)] = (x-y)[x(1-y)-(1-y)] = (x-y)(1-y)(x-1)
=am+an+bm+bn
乘 法
=(a+b)(m+n)
分 解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法
叫分组分解法。
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式 后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项 式就可以用分组分解法来分解因式。
例１ 把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项 分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因 式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx =(2ax-10ay)+(5by-bx) =(2ax-10ay)+(-bx +5by） =2a(x-5y)-b(x- 5y) =(x-5y)(2a-b)
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解 小结与复习
四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_平__方__和__
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的_乘__积___
考点三 利用提公因式法求值
例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
练一练
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值.
2
2
解：1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3＝ 1 ab(a2＋2ab＋b2)
北师大版八年级数学下册课件：因式分解
993－99
＝99×992－99×1
993－99还能被
＝99(992－1)
哪些正整数整除？
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势吗？
与同伴交流.
解： a3-a =a·a2-a·1
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，
另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 因式分解
整式乘法
因式分解 和差化积
x2-1 整式乘法 积化和差
整式乘积． (x+1)(x-1)
例题讲授
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
3.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是( C )A.6x-
2x2
B.2x2+6x
C.2x2-6x
D.-2x2-6x
3. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_(_a_－__2_)_2__ ．
4. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)， 则a= -2 ，b=_-3__
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
分解因式的要求： 1.分解的结果最后是积的情势； 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次 数都必须低于多项式的次数； 3.必须分解到每个因式不能再分解为止
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)， 求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
北师大八年级数学下册因式分解
初中数学试卷金戈铁骑整理制作因式分解一、基本概念：1、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
如：（1）()322232291263342x y x y xy xy x x y +-+-＝（2）))((22b a b a b a -+=-； 2、分解因式的基本要求：（1）最终结果要以乘积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，并且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数； （3）必须分解到每个因式不能再分解为止。
如：分解因式44x y -二、分解因式的基本方法： 1、提公因式法：问题1、将下列各式分解因式：（1）32642x x x -+ （2）222axy ax y axz --+（3）()()2362a b a a b --- （4）()()24312x x ---（5）222a ab ac bc -+- （6）()()22122nn x x +-+- （n 是正整数）练习：把下列各式分解因式：（1）33)(6)(3x y y y x x ---； （2）23)(6)(4a b b b a a ---；（3）)2()2()2(x c x b x a -+-+-； （4）)()(22m n xy n m y x ---．（5）)1)(32()23()1(52a a a a --+--； （6）))((3))((2y x z x y z y x y x ---+-++；（7）222)()()(b a ac a b a b a ab ---+--；（9）421212288+++++-m m m m y x yx；（8）3222)2(12)2(24)2(18x y x x y xy y x x -----）；（10）)(2)1(311n n n x x x x-+-++．2、公式法：逆用乘法公式：()()22a b a b a b -=-+()2222a ab b a b ++=+ ()2222a ab b a b -+=- ()()3322a b a b a ab b +=+-+ ()()3322a b a b a a b b-=-++ 问题2、把下列各式分解因式： （1）221164a b -（2）2925x -+（3）()()2223362a b a b +-- （4）4348x -（5）22m n m n -++ （6）229644a ab b ++（7）225101x x -+- （8）222212123m n m n m -+（9）()()22221a b a b -+-+ （10）()222x y x xy y -+-+问题3、把下列各式分解因式：（1）421681x x -+ （2）()22222x y xy x y +--（3）2222a b c bc --+ （4）()()221a b b a b +-+（5）()()221816m n m n --+- （6）2221x xy y -+-（7）3233x x x +-- （8）()()2222249x x xx ---++练习：1、把下列各式分解因式： （1）424y a - （2）224925y x -（3）448116n m -（4）22)3()32(4b a b a --+2、把下列各式分解因式：（1）mn n m 32922-+ （2）42222c abc b a -+-（3）16)4(8)4(222+-+-x x x x （4）2294942y x xy --（5）22222)(624b a b a +-（6）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++---（7）a a -5（8）242455m b m a -问题4、已知4316x mx nx ++-有因式()()12x x --和，求,m n 的值。
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。
因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。
但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。
通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。
5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
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（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示； （3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数； （4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
•多项式的分解因式与整式乘法是方
向相反的恒等式.
分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.
做一做
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= __3_x_2-_3x
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
=2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展.
• 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作业：
1. 书94页3,4,5 2. 数学练习册
探究 993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
能力提升 拓展应用
１当 a 3.14,b 2.386,c 1.386时， 求ab ac的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
(3) y2-6y+9=__(_y_-_3_)2 (4)ma+mb+mc
= m(互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式积的形式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
第四章 因式分解
•1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5 • 解 ：736×95+736×5=736×（95+5） • =736×100=73600 • （2）-2.67× 132+25×-22..6677+×7×1322.6+725×2.67+7×2.67= • 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 • =2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267