圆锥曲线章节测试卷
圆锥曲线与方程测试题及参考答案
高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= ( C )A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
圆锥曲线单元试卷及答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
C
C
D
B
D
B
B
D
二、填空题
11. 712. 13. 14. 15.216.
三、解答题
17. 18.
19. 或
20.解（1）∵ ∴a = 2b，
∵原点到直线AB： 的距离 .∴b = 2，
∴故所求椭圆方程为 .
（2）把 中消去y，整理得
.可知
设 的中点是 ，则
∴ 即 .பைடு நூலகம்
又k0，∴ = .故所求k=±
17.求中心在原点，对称轴为坐标轴且过两点 ，（5，0）的椭圆的标准方程;
18.求离心率为2，实轴长为4的双曲线的标准方程及相应的渐近线方程.
19.求过点P（1，－2）的抛物线标准方程及相应的准线方程
20.已知椭圆 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 .
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线 交椭圆于不同的两点 且 都在以 为圆心的圆上,求 的值.
A. B. C. D.
10.若抛物线 的焦点与椭圆 的上焦点重合，则m的值为（）
A．-8 B．8 C． D．
二、填空题：
11.已知椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为3，则点 到另一个焦点的距离为.
12.直线 被椭圆 所截得弦的中点坐标是.
13.双曲线 的离心率为2,则双曲线的虚轴长为.
14.以椭圆 的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为.
15.抛物线 的弦 垂直于 轴，若 的长为4 ，则焦点到 的距离为.
16.动点 在曲线 上移动，则点 和定点 连线的中点的轨迹方程是.
高中数学选修《圆锥曲线图》单元测试题
《圆锥曲线》单元测试一、选择题:每小题8分，共40分1.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ,若曲线上存在点P 满足1122||:||:||4:3:2PF F F PF =,则曲线C 的离心率等于 A.1322或B.23或2 C.12或2 D.3223或2.已知两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线22221x y ab-=的离心率为A.53 B.4C.5453.已知椭圆22:12xC y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段A F 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =B.2 D.34.下列命题中假命题是A. B. 双曲线2228x y -=的虚轴长是 C.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1 D.2222135x y +=的两条准线之间的距离为2545.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =6.已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若||2||FA FB =,则k = A.322 B.32 C.32D. 317.已知双曲线2221(0)2xy b b-=>的左、右焦点分别是12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在双曲线上.则12PF PF ⋅=A.4B.0C.2-D.12-8.已知双曲线22122xy-=的准线过椭圆22214xy b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11[,]22k ∈-B.11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞C.[22k ∈-D.(,])22k ∈-∞-⋃+∞ 二、填空题：每小题5分，共30分9.曲线C 是平面内与两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF D 的面积不大于22a;其中,所有正确结论的序号是 .10.若双曲线22221(,)x y a b R a b+-=∈的离心率2]e ∈，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围_ _．11.已知双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点构成一个内角为60 的菱形，那么双曲线C 的离心率为 .12.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163xy-=的右焦点重合，则p 的值为 ．13.若椭圆22221x y ab+=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 .三、解答题：须写出演算过程、文字说明等，满分48分15.（10分）求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点()0，2的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率．16.（12分）在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上，M 点满足//,M B O A M A ABM B BA ?，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）若00(,)P x y 为C 上一动点，l 为过P 点的直线且斜率为02x ，求O 点到l 距离的最小值．17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221xy ab+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程.18.（14分）如下图，椭圆的中心为原点O ，离心率2e =，一条准线的方程为x =．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中,M N 是椭圆上的点，直线O M 与O N 的斜率之积为12-,问:是否存在两个定点12,F F ，使得12||||PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由．班级姓名座号得分圆锥曲线单元测试答题卡9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题：满分48分15.（10分）16.（12分）17.（12分）18.（14分）圆锥曲线单元测试参考答案1-8:ADAD BABA 9.②③10. [π4,π3].2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤11.212.6 13.22154xy+=14.)1,1-因为在12P F F ∆中，由正弦定理得1211a c P F P F =，知12c P F P F a=由椭圆的定义知 212222222c aPF PF a PF PF a PF ac a+=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->11(0,1)e e e <<∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈-15.解：椭圆221114169xy +=的焦点是(0,5),(0,5)-,焦点在y 轴上， 设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b ab-=>>又因为双曲线过点(0,2)，把这个点代入方程可得224,21a b == 所以双曲线的方程为221421yx-=，双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率为2.5.16. 解: (Ⅰ)设(,)M x y 由已知得(,3),(0,1)B x A --.所以 (,1),(0,3),(,2)M A x y M B y AB x =---=--=-再由题意可知()0M A M B AB +?即(,42)(,2)0x y x ---?=,故曲线C 的方程式为224xy =-.(Ⅱ)因为00(,)P x y ，l 的斜率为02x 因此直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，即2000220x x y y x -+-=．则O 点到l的距离2d =.又20024x y =-，所以2014122x d +==，当200x =时取等号，故O 点到l 距离的最小值为2.17. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-=，因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。
人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程单元测试卷(含解析)
第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．18．(12分)已知点P到F1(0，3)，F2(0，－3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝825，求k.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝14原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当MA→·MB→取得最大值时，求△MAB的面积．22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是()2．若椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)和双曲线x2a－y2b＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.12(m－a)C．m2－a2 D.m－a3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l 与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3.13．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 3.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14 D.14答案C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝1答案C解析因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或0答案C解析由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．5答案B解析由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ca＝ 5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()答案B解析方程ax 2－by 2＝ab 变形为x 2b －y 2a＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a ＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3 D.2答案B解析如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)答案D解析如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)12＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ答案AD解析对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θF (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案ABD 解析若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案CD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取PF 1→·PF 2→2－142，－－142，－＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案ABD解析设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝yx ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以y x ＋1·y x －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m ＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案38解析由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案2255解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案0或2或4解析设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .＝b a x ，－3y ＋m ＝0，得＝－b a x ，－3y ＋m ＝0，得－am a ＋3b ，所以AB 的中点C设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)，即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)．2＋y 24＝1，＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)＝x ＋m ，2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，＝（2m －8）2－4m 2>0，1＋x 2＝8－2m ，1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，＝k （x －t ），＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，＝－x 02t ＋1，－y 0＝0，0＝2t 1＋t 2，0＝2t 21＋t 2.因此，点B(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA →·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析(1)由已知a ＝2，c a ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA →·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．ty ＋1，＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2t t 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA →·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA →·MB →的最大值为152.1，＋y 22＝1，＝1，＝6＝1，＝－62，不妨令|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析(1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，kx ＋m ，y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk 1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→·BA 2→＝0.又AA 2→＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝综上，直线l1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是()答案C解析由题意知k ＝b 2a c ＋a＝a －ca ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是()A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a 答案A解析不妨取P 1|＋|PF 2|＝2m ，1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．2答案A解析利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.1＋r 2＝2a 1，1－r 2＝2a 2，1＝a 1＋a 2，2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r 2＝41－r 2r 14＋34，当r 2r 1＝12时，m max＝163，∴max＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1答案AB解析因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab ＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2＝3＝2，＝1＝1，＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案BD 解析∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则c k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a －c ＝b －a，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案2＋1思路分析根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴b ，又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，2＝pa ，2＝2解得ba ＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案x 2＋32y 2＝1思路分析根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B －51－b 23，－将B －51－b 23，－x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)2＝4x ，＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即1＋2k 2，又|FQ |＝2，F (1，0)，1＋2k2－＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M ，23b 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析(1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，＝k （x －1），2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝＝－2k k 2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组k （x ＋1），＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)椭圆x225＋y29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C的方程为y2＝16x.(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，2＝16x，＝k（x－a）⇒k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，则x1＋x2＝2（ak2＋8）k2，x1x2＝a2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由∠POQ＝π2，得x1x2＋y1y2＝0.从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0⇒a2－16a＝0⇒a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4a，当∠POQ＝π2时，a＝4a，即a＝16，所以存在满足条件的点M(16，0)．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解析(1)设M(x M，y M)，∵F1(－c，0)，∴x M＝－c，y M＝b2a，∴k OM＝－b2ac.由题意知k AB＝－ba，∵OM→与AB→是共线向量，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，∴a＝2c，∴e＝22(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，得cosθ＝r12＋r22－4c22r1r2＝（r1＋r2）2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1a2－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cosθ≥0，∴θ，π2..。
第八章(圆锥曲线)过关测试
2 x ，那么
y2 1 1 上一点，焦点 F (2,0) ,点 A(3,2) ，使 | PA | | PF | 有最小值 3 2
x2 y2 2 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,当 F1 PF2 m n 3
时, F1 PF2 的面积最大, 则有 m , n 11. 设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y ＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 OA AF ＝－4，
19．(16 分)已知椭圆的焦点为 F1（－1，0） 、F2（1，0） ，直线 x=4 是它的一条准线. （1）求椭圆的方程； （2）设 A1、A2 分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|PA1|－|PA2|=2 的一点， 求 tan∠A1PA2 的值； （3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2 为焦点的抛物线相交于点 M、N，求 MN 中点 Q 的轨迹方程.
16． (14 分)已知椭圆
x2 y 2 1的左焦点为 F， O 为坐标原点， 设过点 F 的直线交椭圆于 A、 2
B 两点，并且线段 AB 的中点在直线 x y 0 上，求直线 AB 的方程.
y
B N F A O x
l
17．(14 分)椭圆
x2 y 2 1(a, b 0) 的两个焦点 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1⊥PF2,,| a 2 b2
2
则点 A 的坐标是 12.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 13．设 P 是双曲线
x2 y2 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2 y 0 ,F1、F2 分 9 a2
圆锥曲线章节测试卷
《圆锥曲线》章节测试题一、选择题：(10*4分=40分)1、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）A ．10B ．5C ．2.5D ．202．中心在原点，焦点在坐标轴上，且2a =13，212c =的椭圆方程是（ ）A ．2211312x y +=B ．2211325x y +=或2212513x y += C ．22113x y += D ．22113x y +=或22113y x += 3.已知椭圆方程22194x y +=，下列结论正确的是（ ）A ．长轴长是3，一个焦点为( BC 4D ．对称轴是坐标轴，一个顶点为（2，0）4．中心在原点，焦点在x 轴且焦距为6，离心率35e =的椭圆方程是（ ） A ．22110036x y += B ．22136100x y += C ．2212516x y += D ．2211625x y += 5．与1(5,0)F -、2(5,0)F 的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程是（ ）A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．22196x y -= 6．椭圆9x 2+ y 2=9的长轴的端点坐标是( )A 、(-1,0)､(1,0)B 、(-9,0)､(9,0)C 、(-3,0)､(3,0)D 、(0,-3)､(0,3)7．抛物线24x y =-的准线方程是（ ）A ．y=1B ．y=2C ．2x =D ．1x =8、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 9、曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ） （A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的双曲线（C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的椭圆10、过抛物线y 2=8x 的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|=（ ）A.8B.4 C .16 D.2二、填空题：(5*4分=20分)11、 准线方程是x=5的抛物线标准方程为12、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±y=0，两顶点的距离为4，则该双曲线的标准方程为 。
《圆锥曲线》单元测试题(有答案)
《圆锥曲线》单元测试题 答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给出的四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案的代号填入下表内。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11、22186x y +=或223412525y x +=. 12、1±=k 或25±=k . 13、、14三、解答题：本大题共6小题，共80分，写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15. 也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).16、解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2,从而. 所以求双曲线方程为:221412y x -= 17、解:由于x y 22=,而==其中x 0≥(1)a ≤1时,当且仅当x=0时, )(a f =|PA|min =|a|.(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(a f =|PA|min .所以)(a f =||,11a a a ≤⎧⎪>18.解：抛物线y a x 12=的焦点为)41,0(a F ，准线方程为ay 41-= 设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为akx y 41+=，代入2y ax =，并化简，得0412=--akx ax设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则1x 2x =241a -，从而2222222121161)41(aa a ax ax y y =-== ∴2212121)41()(41)41)(41(||||ay y a y y a y a y QN PM pq +++=++== =pq)(41)]41()41[(41)41()(41)41(212212q p a a y a y a a y y a a +=+++=+++ ∴a pq q p =+ 即 a qp 411=+ 19、解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ ∴===解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -= 20.解：（1）联立方程223x -y =11y ax ⎧⎨=+⎩，消去y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.设A(11,x y ),B(22,x y ),那么：122122222323(2)8(3)0a x x a x x a a a ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨-⎪∆=+->⎪⎪⎩。
(完整版)职高《圆锥曲线》章节测试卷
5
2
y
16
B•准线方程是
6，离心率e
1
36100
a,b,c三者的关系是
2 2 2
c aC.
a2
2
x
25
)
2
c
2
x
D.
16
2
y
25
0)
b2
F2（5,0），与它们的距离的差的绝对值是
2 2
L工1
916
2 2
L冬1
169
以上都不对
6的点的轨迹方程是（
2 2
x-乂1
96
2
以椭圆—
25
()
y2
20
A.
2.
A.
c.
《圆锥曲线》章节测试卷
、选择题：（12*2分=24分）
在椭圆标准方程中a,b,c三者的关系是
2,2 2 2 2
a b cB.b c
中心在原点，焦点在坐标轴上，
2
x
13
2
x
13
2
y
12
3.已知椭圆方程
A.
长轴长是3,
个焦点为（
C.
焦距是、、5，短轴长是4
中心在原点，焦点在
A.
A.
6.
A.
12
2
y_
9
1的焦点为焦点，离心率椭圆
2的双曲线的标准方程
2
x_
6
8.在直角坐标平面内，到定点（
A.
9.
A.
A.
直线B
抛物线x2
1
x-
8
.抛物线C
4y的准线方程是
1
C
2
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圆锥曲线章节测试卷一、选择题1．双曲线()2210x y a a-=>a 的值是A.12B. 2C.D.2．若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为A.(2 B.[22 C.(,2(2)-∞++∞UD.(22+3．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）A.1151622=+y x B. 1242522=+y x C. 11522=-y x D. 122=-y x 4．抛物线y =-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A.34 B.57 C.58 D.35．点M 到（3，0）的距离比它到直线ⅹ+4=0的距离小1，则点M 的轨迹方程为（ ） （A ）y2=12ⅹ （B ）y2=12ⅹ（ⅹ?0） (C) y2=6ⅹ (D) y2=6ⅹ（ⅹ?0）6的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为ο60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ． (]2,1B ．()2,1C ．[)+∞,2D ．()+∞,27．椭圆131222=+y x 的焦点1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴 上，那么||:||21PF PF 的值为（ ）A ．7 ：1B ．5 ：1C ．9 ：2D ．8 ：38．已知直线)3(-=x k y 与双曲线12722=-y m x ，有如下信息：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=127)3(22y m x x k y 消去y 后得到方程02=++C Bx Ax ，分类讨论：（1）当0=A 时，该方程恒有一解；（2）当0≠A 时，042≥-=∆AC B 恒成立。
在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[9,)+∞B ．(1,9]C ．(1,2]D ．[2,)+∞9．若点 到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ） A ．?? B ． C ． ??????? D ．10．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．2 11．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则 双曲线方程为( )A ．1312522=-y xB ．1351222=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 12． 已知二面角的平面角为为垂足,PA =5,PB=4,点A 、B 到棱l 的距离分别为x,y 当θ变化时,点(x,y)的轨迹是下列图形中的二、填空题13．已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线230x my ++=相交于A ，B 两点，以抛物线C 的焦点F 为圆心、FO 为半径（O 为坐标原点）作⊙F ，⊙F 分别与线段AF ，BF 相交于D ，E 两点，则||||AD BE ⋅的值是14．椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.15．直线y=x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 。
16．如图2，函数,0,()1log (),09c ax b x f x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩≤的图象是一条连续不断的曲线，则a b c ++= ．17．．如下图，过抛物线y2=4x 焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=+-y x 于A ，B ，C ，D ，则AB ·CD ＝ . 三、解答题 18．（本小题满分14分）抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线22136x y -=的右焦点重合，过点(2,0)P 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点 （1）求抛物线C 的方程（2）求弦AB 中点到抛物线准线的距离参考答案1．A 2．D 3．D【解析】在椭圆2211615x y +=中，12(1,0),(1,0)F F -。
因为点P 到焦点的最小距离为3，则到另外一个焦点的距离为6，从而有12||||98PF PF +=>，所以不存在点P 满足“倍分曲线”条件，A 不符合。
在椭圆2212524x y +=中，12(1,0),(1,0)F F -。
因为点P 到焦点的最小距离为4，则到另外一个焦点的距离为8，从而有12||||1210PF PF +=>，所以不存在点P 满足“倍分曲线”条件，B 不符合。
在椭圆22115y x -=中，12(4,0),(4,0)F F -。
因为点P 到焦点的最小距离为3，则到另外一个焦点的距离为6，从而有12||||||32PF PF -=>，所以不存在点P 满足“倍分曲线”条件，C 不符合。
在双曲线221x y -=中，12(F F 。
不妨设点P 在右支上，则有12||||2PF PF -=。
若12||2||PF PF =，则可得12||4,||21PF PF ==，所以存在点P 满足“倍分曲线”条件，D 符合，故选D 4．A 【解析】通过直线4x +3y -8=0平移与抛物线y =-x 2相切,设切线为4x +3y +b =0,与y =-x 2联立消去y 得3x 2-4x -b =0,Δ=16+12b =0. 求得34-=b ,所以切线方程为4x +3y 34-=0.故切点到直线4x +3y -8=0的距离最小值即为两直线间距离,即345348=+-=d . 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．C 13．49 14．4a 或2(a －c)或2(a+c)15【解析】联立224412x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得25430x x --=。
设直线与椭圆的交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则121243,55x x x x +==-，所以直线被椭圆截得的弦长即两个交点的距12||x x -==16．13317．118．解：(1)设双曲线22136x y -=的焦距为2c ，则2369c =+= ∴3c = …2分 ∴双曲线22136x y -=的右焦点坐标为(3,0) …3分 ∴抛物线C 的焦点F 的坐标为(3,0) …4分 又抛物线C 的顶点在原点设抛物线C 的方程为：22y px = ，则32p= …6分 ∴抛物线C 的方程为：212y x = …7分 (2) 直线l 的方程为：2y x =- …8分由2212y x y x=-⎧⎨=⎩ 得21640x x -+= …9分 设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 中点为00(,)D x y 则0121()2x x x =+ …11分 又1216x x +=，∴ 08x = …12分 ∴弦AB 中点到抛物线准线的距离083112pd x =+=+= …14分19．（1）1（2）是定值【解析】（I ）由条件得抛物线方程为24x y =……3分∴把点A 代入24x y =， 得1=∴t ……6分（II ）设直线AP 的斜率为k ，AQ 的斜率为k -，则直线AP 的方程为)12()2(1--=-=-k kx ：y ，x k y 即 联立方程：()⎩⎨⎧=--=y x k kx y 4122消去y ，得：0)12(442=-+-k kx x ……9分24)12(2)12(4-=-=∴-=⋅k k x k x x p p A Θ144)12(2+-=--=k k k kx y p p同理，得144,242++=--=k k y k x Q q ……12分188-=-=--=kkx x y y k pQ P q PQ 是一个与k 无关的定值。
……14分20．解：⑴ 2m =，椭圆方程为2214x y +=，c ==∴ 左、右焦点坐标为(。
⑵ 3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则 222222891||(2)(2)1()(33)9942x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤∴ 94x =时min ||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。
⑶ 设动点(,)P x y ，则222222222222124||(2)(2)1()5()11x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤-- ∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且2210m m ->，∴ 2221m m m ≥-且1m >解得11m <≤ 21．（I ）设()00(,),,p x y M x y ，0000233322y y y y DM DP x x x x===⇒⇒==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩u u u u ru u ur 由于 ……………………………3分 代入22004x y +=得22149x y += …………………………………………5分 （II ）①当直线AB 的斜率不存在时，显然224F A F B =-u u u u r u u u u rg ； ……………………6分②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y kx =+2222(94)160149y kx k x x y ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩由不妨设11122()()A x y B x y ，，，， 则：12212294 1694x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2211221122(,(,(,(,F A F B x y x y x kx x kx ==++u u u u r u u u u rg g g212121212(((1)()20x x kx kx k x x x x =+++=++++g …8分222222216(1)8096162002020494949494k k k k k k k-+---++=+=-+++++ ……10分 22220020009940949k k k ∴+∴<+Q ≤≤≤2216449F A F B -<u u u u r u u u u r g ≤ ……………………………………………………11分综上所述22F A F B u u u u r u u u u r g 的范围是1644,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………………………12分 22．由正弦定理，可得,2sin sin sin R CcB b A a === 所以.2sin ,2sin ,2sin Ra A R c C Rb B ===a.21c -b ,22122,sin 21sin sin ==-∴=-即为R a R c R b A C B Θ12.B C 6AB -AC c,AB b,AC 12,a B C ======，且即所以点A 的轨迹是以B,C 为焦点的双曲线的左支，且不含双曲线与x 轴的交点，所求双曲线方程为).3(,127922-<=-x y x （注：x<0且x ≠-3也可） 23．解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则||5)PQ x ==≤≤，当3x =时，min (,)||d P l PQ ==⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成12:1(||1),:1(||1)l y x l y x =≤=-≤，222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥其面积为4S π=+。