9.2 直线、平面平行的判定与性质(文科)

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拓 展 练 习 已 知 直 线 m、 n， 平 面 α 、 β ， 以 下 推 理中正确的是 A. 若 m ⊥ n , 且 n ⊥ α ， 则 m / / α B. 若 m / / β ， 且 α ⊥ β , 则 m / / α C. 若 m / / β , 且 α ⊥ β , 则 m ⊥ α D. 若 α / / β ， 且 m ⊥ β , 则 m ⊥ α (D)
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(1) 如图，过 P作直线 EF， 使 EF / / B1C1且 分别交 A1 B1、
C1 D1于点 E、 F .连接 BE、 CF .
F E
则EF、BE、CF为所求 .
( 2) 平行关系 .
因为BC / /平面AC1，平面BCC1B1 I 平面A1B1C1D1 = B1C1， 1 所以 BC / / B1C1 . 又EF / / B1C1， 所以EF / / BC.
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题型1. 线线、线面、 题型 线线、线面、面面位置关系的综合问题
例1 已知m、n是两条不同直线，α、β、γ 是三个不同 平面下列命题中正确的是 . A. 若α ⊥ γ , β ⊥ γ , 则α / / β C. 若m / /α , n / /α , 则m / / n (B) B. 若m ⊥ α , n ⊥ α，则m / / n D. 若m / /α , m / / β , 则α / / β
又因为④ _____________ ，所以b // α . b ⊄ α, c ⊂ α
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2.面面平行的判定和性质定理 面面平行的判定和性质定理
判断下列命题的正误：
(1)已 知 平 面 α 、 β 和 直 线 m、 n.若 m ⊂ α ,
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4.在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1中， E 是 DD1的中点，
平行关系 则 BD1与过 A、 C、 E的平面的关系是 _________ .
如图，连接BD交AC于F, 连接EF. 则在 ∆ BDD1中, EF / / BD1 .
A错，因为α、β 还可以相交；
B对，因为垂直于同一平面的两直线平行；
C错，因为m、n还可以相交或异面； D错，因为α、β 还可以相交.
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本题主要考查线线、面面的平行问题.高考几乎年年都 单独考查学生对线面平行的判定定理和性质定理的准确、 深刻的理解，考查学生对符号语言、图形语言、文字语言 熟练转换的能力.以选择题、填空题居多，既可能就平行或 垂直单独进行考查，又可能在平行中渗透垂直，垂直中兼 顾平行，既考查空间想象能力，又考查逻辑推理能力.
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( 2 )由 (1) 知，两平行平面AB1 E1和平面BEC1间的距离
可转化为点A到平面BEC1之间的距离，设为h.
1 VC1 —ABE = VA—C1BE，即 1 S S ∆C1BE ⋅ h. ∆ ABE ⋅ CC1 = 3 3
题型2. 线线、 题型 线线、线面平行的性质和判定
例 2 在 如 图 所 示 的 一 块 木 块 中 ， 棱 BC // 平 面 A1C1 .
(1) 要 经 过 面 A1C1内 一 点 P 和 棱 BC 将 木 料 锯 开 ， 应
怎样画线？请在图中画出来；
( 2 ) 所 画 的 线 与 平 面 AC 是 什 么 关 系 ， 并 说 明 理 由.
A)
C. 3 D. 4
①错，因为过b的任何平面包括同时过a的平面；
②错，因为a / /α时，a与α内的直线可能异面； ③错 ， a和 b平行、相交、异面 都可以； ④正确，因为a / /α，在α内必能找到一条直线，使得a / /l.又a / /b, l 故b // l.而b ⊄ α , l ⊂ α，所以b // α . 4/39
又因为正三棱柱的各棱长都为a，E是AC的中点，
所以BE ⊥平面AC1， 所以BE ⊥ EC1. 3 5 1 3 5 15 2 而BE = a, C1E = a， S∆C1BE = × a × a = 所以 a. 2 2 2 2 2 8 1 3 2 1 15 2 5 3 2 a ·h，得h = a. 又S∆ABE = a ， 所以 · a ·a = · 3 8 3 8 5 8 5 即两个平行平面间的距离是 a. 5 18/39
平行于同一直线的两个平面还可以相交， 故A错.
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2.不 重合 的 平 面 α 与 平面 β 平行 的 条 件 可以 是 ( D ) A. α内 有无 数 条 直 线都 与 β 平 行 B. 直 线 a ⊂ α ， 直线 b ⊂ β ， 且 a / / β , b / /α C. 直 线 a / /α , a / / β ， 且 直 线 a不 在 α内 ， 也 不 在 β 内 D. α内任 何 直 线 都与 β 平行
A 错 ， 因 为 若 m ⊥ n， 且 n ⊥ α ， 则 m / /α 或 m ⊂ α ；
B、C错，因为若m / / β，且α ⊥ β，则m / /α 或m ⊂ α 或m与α 相交；
D 对 ， 故 选 D.
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同理 ，过直线 a作平面 γ ′， 使得 γ ′ I β = n.又 a / / β , 所以 a // n . 由 公理 4得， n / / m. 因为 n ⊂ β , m ⊄ β , 所 以 m / / β . 又因为 m ⊂ α , α I β = l， 所以 m / / l , 从而 a / / l .
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证明两个平面平行，目前的课本只有一个判定定理， 即：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 则这两个平面平行. 过去教材中的推论“如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”新 教材已不再使用，证明中不要乱用，应体现“两条相交直线 都平行于另一个平面”，这三个条件缺一不可.证明中要注 意作好如下关系的转化：线线平行线面平行面面平行， 由低级到高级，即“判定”，由高级到低级，即“性质”. 本题还考查对距离和体积的转化问题，即将平行平面间的距 离转化为点面间的距离，将不易求解的体积问题转化为易求 的体积问题，这是立体几何中常用的思想方法.
n ⊂ α , m // β , n // β , 则 α // β ; (× ) (√ ) (√ ) (√ )
( 2 ) 若 α // β , a ⊥ α ， 则 a ⊥ β ; ( 3 ) 若 α // β , a ⊂ α ， 则 a // β ; ( 4 ) 若 α // β , α I γ = a , β I γ = b , 则 a // b
因此 ，由 EF / / BC， EF ⊄ 平面 AC， BC ⊂ 平 面 AC， 得 EF / / 平面 AC .
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直线、 直线、平面平行的判定与性质
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本应用题的实质是经过直线BC和BC外一点P作截面，关键 是找出截面与各面的交线. 本题主要考查公理2、公理4以及直线和平面平行的判定定 理和性质定理.若证明直线和平面平行，应紧扣定理，“平 面外、平面内、两直线平行”三条件缺一不可.若已知直线 和平面平行，肯定要用性质定理. 因此，首先要分析该直线是否在某个平面内，这个平面与 原平面的交线是什么，直接得到线线平行.若该直线不在某 个平面内，肯定要过该直线作一个辅助面与原平面相交.
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直线、 直线、平面平行的判定与性质
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拓展练习 如图，已知直线a和平面α、β， 满足a / /α , a / / β ,α I β = l.求证：a / /l.
如 图 ，过直线 a作平面 γ ， 使得 α I γ = m.又 a / /α , 所以a // m .
直线与平面
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1. 下 列 命 题 中 ， 错 误 的 是 A. 平 行 于 同 一 直 线 的 两 个 平 面 平 行 B. 平 行 于 同 一 平 面 的 两 个 平 面 平 行
( A)
C. 一 个 平 面 与 两 个 平 行 平 面 相 交 ， 交 线 平 行 D. 一 条 直 线 与 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 相 交 ， 则必与另一个相交
由 线 面平行的判定定理知, BD1 / / 平 面 ACE .
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5.已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题： ①m / /n, m ⊥ α ⇒ n ⊥ α； ②α / / β , m ⊂ α, n ⊂ β ⇒ m / / n； ③m / /n, m / /α ⇒ n / /α； ④α / / β , m / /n, m ⊥ α ⇒ n ⊥ β. 其中正确命题的序号是①④ _____.
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