(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件课件
合集下载
高中数学人教课标版选修2-1《空间向量的数量积运算》课件
．零向量与任何向量数量积为0．特别地， ．空间向量的数量积满足的运算律有：
①数乘结合律： ③分配率：
，②交换律：
，
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（3）空间向量的数量积的性质有：
①若 为单位向量，则 ②若 ， 为非零向量，则 ； ；
③
；
；
④若 ， 为非零向量，则 ⑤
（当且仅当 ， 共线时等号成立）．
数量积的定义知，②正确； ， 不一定共线，向量不一定相等，所
以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动③ 巩固基础、检查反馈 例2 已知空间四边形OABC中，OB=OC，且 的值为（ A ） A． B． C． D． ，则
【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【解题过程】设 由已知得 ， ， ，且 ， ．
（inner product），记作
特别地，
．零向量与任何向量数量积为0．
．
●活动③ 深入探究，发现规律 和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？
①数乘结合律：
②交换律： ③分配率： ，
，
．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：探究空间向量数量积的性质★▲
●活动① 类比探究，研究性质
和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？
∵
∵ 又∵
，∴
且
．
，∴ ，∴ ， ．
∴
．
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点O，作 则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ．如果
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.3空间向量的数量积运算 (共99张PPT)
世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 没有热忱，世间便无进步。 只有不想做的，没有做不到的。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 最好的投资就是投资自己，因为这是你唯一能确定只赚不赔的投资。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 一个今天胜过两个明天。 你既认准这条路，又何必在意要走多久。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越 来越多，人生也就越来越好！ 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。 用最少的浪费面对现在。
以解决自己的问题为目标，这是一个实实在在的道理，正视自己的问题，设法解决它，这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个 小漏洞、小障碍上，谁就先迈出了一大步。 那些尝试去做某事却失败的的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.
2018年优课系列高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(14张)
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴ ( a) b (a b)
这些运算律 成立 , 说明数量积 ⑵ a b b a (交换律) 不仅有用 , 而且运 ⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方 便
数量积不满足结合律即 （ 注意： a b) c a (b c)
(OA OB) OC 0 BA OC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线， OA是PA 在内的射影，a , 且a OA 求证： a PA
P
证明：在a上取非零向量a 而PO , PO a PO a 0 又OA a, OA a 0 又PO, OA相交，得PO, OA不平行，由共面向量 定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使 PA x PO yOA PA a PO a OA a 0 a PA, 即a PA.
O
A
a
例4
已知在平行六面体 ABCD ABC D中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D' C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA )2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA ) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
另外 a b a c ¿ b c 及ab 0¿ a 0或b 0
2019年高中人教A版数学选修2-1课件 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)
a 对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
人教版3空间向量的数量积运算-高中数学选修2-1() (共13张PPT)教育课件
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆 运
不
怯
作
这
，
耐
烦
像
男
个
如
果
， 东 下
我
实
像
西
(
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
女
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高中数学空间向量的数量积运算优质课件(选修2-1)
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a· b＝b· c＝c· a＝0. 1 → → (1)BC· ED1＝b· [2(c－a)＋b]
＝|b |2＝42＝16.
1 → → (2)BF· AB1＝c－a＋ b · (a＋c) 2 ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 1 1 → → 1 b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2
a· b 性质 ③若 θ 为 a， b 的夹角，则 cos θ＝ ________ |a||b|
④ |a· b|≤ |a |· |b |
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 定？
答案 → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． 规定：0≤〈a，b〉≤π. → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA＝
问题 2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？
π 答案 要证明两个非零向量垂直，即〈a，b〉＝2，只 需证明 a· b＝0 即可．
例2
证明：(三垂线定理 )在平面内的一条直
线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直． 已知：如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线， AO 是 PA 在平面 α 内的射影， l⊂ α， 且 l⊥ OA，求证：l⊥PA.
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1 ×cos 60° ＋12－2×1×1(3)|OA＋OB＋OC|＝
→ → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋ 2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
探究点二 利用数量积求夹角 问题 1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？
(3)数量积的性质
a· b＝0 ①若 a， b 是非零向量，则 a⊥ b⇔ ___________
＝|b |2＝42＝16.
1 → → (2)BF· AB1＝c－a＋ b · (a＋c) 2 ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 1 1 → → 1 b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2
a· b 性质 ③若 θ 为 a， b 的夹角，则 cos θ＝ ________ |a||b|
④ |a· b|≤ |a |· |b |
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 定？
答案 → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． 规定：0≤〈a，b〉≤π. → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA＝
问题 2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？
π 答案 要证明两个非零向量垂直，即〈a，b〉＝2，只 需证明 a· b＝0 即可．
例2
证明：(三垂线定理 )在平面内的一条直
线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直． 已知：如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线， AO 是 PA 在平面 α 内的射影， l⊂ α， 且 l⊥ OA，求证：l⊥PA.
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1 ×cos 60° ＋12－2×1×1(3)|OA＋OB＋OC|＝
→ → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋ 2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
探究点二 利用数量积求夹角 问题 1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？
(3)数量积的性质
a· b＝0 ①若 a， b 是非零向量，则 a⊥ b⇔ ___________
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
|2-
4b
2 中,
D)
(B)②③ (C)③④ (D)②④
巩固练习：
2.已知向量 则
a, b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
2 2 2 2
1 a b _____.
a b a b 2( a b ) 代入求得.
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①( a · b ) c ( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a b | ③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a 真命题是( (A)①②
a
A
a
O
b
b
B
2. 两个向量的数量积：
定义：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
定义：已知两个向量 a ,b ，则把 | a | | b | cos a ，b 叫做向量 a 、b 的数量积，记作a b , 即 : a b | a || b | cos a ，b .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
的投影 b cos a , b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
b 的数量积 a b : 与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、
a b a b cos a , b
也有下列三个重要性质：
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
2
2
③ cos a , b
ab ab
(求角度).
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
(2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC
另：对空间中任意一点O, 有 OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
讲授新课
1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a, b , 作OA a, OB b, 则
AOB 叫做 a 与b 向量的夹角.记作: a , b a , b b , a A
| CD | (CA AB BD )
2 2 2 2 2
巩固练习：
C c A a b B D
| CA | | AB | | BD | a b c
2 2 2
CD a b c
2 2
2
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理： 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对x, y 使 p xa yb 4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对( x, y), 使得AP xAB yAC
思考： (1)对于三个均不为0 的数a，b，c，若 ab ac，则 b c . 对于向量a ， b， c， 由 a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例 .
(2)对于三个均不为 0 的数a ，b ，c ，若 c c ab c ，则 a ( 或b ). 对于向量 a ， b ， b a k k 若a b k ， 能不能写成 a ，或 ( b )? b a 也就是说，向量有除法吗？
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
|2-
4b
2 中,
D)
(B)②③ (C)③④ (D)②④
巩固练习：
2.已知向量 则
a, b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
2 2 2 2
1 a b _____.
a b a b 2( a b ) 代入求得.
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①( a · b ) c ( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a b | ③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a 真命题是( (A)①②
a
A
a
O
b
b
B
2. 两个向量的数量积：
定义：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
定义：已知两个向量 a ,b ，则把 | a | | b | cos a ，b 叫做向量 a 、b 的数量积，记作a b , 即 : a b | a || b | cos a ，b .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
的投影 b cos a , b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
b 的数量积 a b : 与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、
a b a b cos a , b
也有下列三个重要性质：
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
2
2
③ cos a , b
ab ab
(求角度).
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
(2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC
另：对空间中任意一点O, 有 OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
讲授新课
1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a, b , 作OA a, OB b, 则
AOB 叫做 a 与b 向量的夹角.记作: a , b a , b b , a A
| CD | (CA AB BD )
2 2 2 2 2
巩固练习：
C c A a b B D
| CA | | AB | | BD | a b c
2 2 2
CD a b c
2 2
2
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理： 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对x, y 使 p xa yb 4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对( x, y), 使得AP xAB yAC
思考： (1)对于三个均不为0 的数a，b，c，若 ab ac，则 b c . 对于向量a ， b， c， 由 a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例 .
(2)对于三个均不为 0 的数a ，b ，c ，若 c c ab c ，则 a ( 或b ). 对于向量 a ， b ， b a k k 若a b k ， 能不能写成 a ，或 ( b )? b a 也就是说，向量有除法吗？