27.2.1 相似三角形的判定(预备定理)
相似三角形的判定的预备定理
27．2．1相似三角形的判定（第一课时）学案学习目标：1理解相似三角形的概念，表示方法及性质，2 掌握平行线分线段成比例定理及推论和相似三角形判定定理的“预备定理”3 会用行线分线段成比例定理及推论和相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算学习重点：会用行线分线段成比例定理及推论和相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算学习难点：相似三角形的判定定理的“预备定理”推导过程学习过程：活动一，自学相似三角形的概念和性质1仔细研读数学书29页第一段回答下列问题（见学案）⑴相似三角形的概念：⑵相似三角形的性质：3．如图在△ABC 与△DEF 中，①∵ ∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠ =∠∴△ABC～△②∵△ABC～△DEF∴∠ =∠ , ∠ =∠ , ∠ =∠③若△ABC～△DEF ，若A=30°∠B=30°则∠F= °④若△ABC～△DEF ，相似比为1：2，则△DEF 和△ABC 的相似比为 。
若BC=2，则EF= ⑤若△ABC～△DEF ，相似比等于1，则△ABC △DEF活动二探究平行线分线段成比例定理及推论①如图，任意画两条直线l 1、l 2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在l1上截得的两条线段AB,BC 和在l2上截得的两条线段DE,EF 的长度， 计算②任意平移l5，再度量AB,BC ，DE,EF 的长度. 再计算③归纳：④平行线分线段成比例定理推论两个基本图形EF DE BC AB 与,DF DE AC AB 与,DF EF AC BC 与活动三探究三角形相似的预备定理思考：如图,在△ABC 中,DE//BC,DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?预备定理：基本图形活动四：应用基础练习1下列各图都满足DE∥BC，是否都有△ADE∽△ABC？2、如图，在△ABC中，DE∥BC且AD=3.DB=2请找出图中所有的相似三角形。
相似三角形预备定理
D
E
2
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
∴BBCF
DF AC
∴
3 3
2
6 AC
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
拓展提高：
D
A E
B 2份 M 3份 C
5份
2.如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
若 BD AB
=
2 5
，
求
EC AC
的值。
练习：
2、 如图：在△ABC中，点M是BC上
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F GE A
B
DC
B
D
C
练习：
1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度
吗？ 解：∵DE∥BC,DF∥AC
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 ∵DF∥AC
A
A
D
E
D
E
F
G
B
F
CB
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
初中数学 教案：27.2.1 相似三角形的判定 省赛一等奖
相似三角形的判定（2）教材分析本节课是人教版九年级下第27章《相似形》第二节《相似三角形的判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．我们也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，本节课是非常重要的．教学目标:知识与技能目标：（1）理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．（2）掌握相似三角形判定定理．过程与方法目标：（1）通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．情感与态度目标：（1）通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲．（2）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．[教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索[教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明[教学方法]探究合作法[教学媒体]直尺、三角板、多媒体[教学过程]一、复习导入1．什么是相似图形？2．什么叫做相似三角形？如图1，△ABC 与△A ’B ’C ’相似.图1记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗?二、探索交流（一）在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB ∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE与△ABC 相似吗？（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ．∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ．（2）“边”要证明对应边的比相等，有哪些方法？图2Ⅰ.直接运用三角形中位线定理及其逆定理∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点，∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线．（三角形中位线定理的逆定理）∴DE ＝21BC ．（三角形中位线定理） ∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． ∴△ADE ∽△ABC ．Ⅱ.利用全等三角形和平行四边形知识过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，如图3．则△ADE ≌△ABC ,（ASA ）且四边形DFCE 为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE ＝BF ＝FC. ∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． 图3 ∴△ADE ∽△ABC ．2．当D 1、D 2为AB 的三等分点，如图4．过点D 1、D 2分别作 BC 的平行线，交AC 于点E 1、E 2，那么△AD 1E 1、△AD 2E 2与△ABC 相似吗？由（1）知△AD 1E 1∽△AD 2E 2，下面只要证明△AD 1E 1与△ABC 相似，关键是证对应边的比相等．过点D 1、D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 1、F 2，设D 1F 1与D 2F 2相交于G 点．则△AD 1E 1≌△D 1D 2G ≌D 2BF 2,（ASA ） 图4且四边形D 1F 1CE 1、D 2F 2CE 2、D 1GE 2E 1、D 2F 2F 1G 为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴D 1E 1＝BF 2＝F 2F 1＝F 1C ， ∴AE 1＝E 1E 2＝E 2C ，∴ AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝31． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ． 图5[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？过点D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 2，如图5．则四边形D 2F 2CE 2为平行四边形，且△AD 1E 1≌D 2BF 2,（ASA ） ∴D 2E 2＝F 2C ，D 1E 1＝BF 2．由（1）知，D 1E 1＝21D 2E 2，AE 1＝21AE 2， ∴D 1E 1＝31BC ，AE 1＝31AC ．∴AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝31．∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．（二）［猜想］3．通过上面两个特例，可以猜测：当D 为AB 上任一点时，如图6，过D 点作DE ∥BC 交AC 于点E ，都有△ADE 与△ABC ．（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．这个定理可以证明，这里从略．四、应用迁移练习 1.如图7，点D 在△ABC 的边AB 上，DB ∥BC 交AC 于点E ． 图7写出所有可能成立的比例式．练习2、在第1题中，如果DB AD ＝23，AC ＝8cm ．求AE 长． 五、布置作业（1）课本（2）思考题： 如图8、过△ABC 的边AB 上任意一点D ，作DE ∥BC 交AC 于点E ， 那么 DB AD ＝ECAE ． 板书设计教学反思 相似三角形记号 读法注意24．2 相似三角形的判定 探究1、在△ABC 中，D 为AB 的中点 课本第53～54页 练习1 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．探究2、当D 1、D 2为AB 的三等分点 猜想 练习3 小结 作业 图8。
27.2.1相似三角形判定定理2.
方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法3： 三边对应成比例两三角形相
似.
类似于判定三角形全等的方法， 我们能通过两边和夹角来判断两个 三角形相似呢？
如果两个三角形的两组对应边 的比相等,并且相应的夹角相等,那 么这两个三角形相似.
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法3： 三边对应成比例的,两三角形
相似.
方法4 :两边对应成比例且夹角相等,
两三角形相似.
如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P, 求证:PA ▪ PB = PC▪PD
A
D ▪P O
类似于证明通过三边判定三角形相似 的方法,请你自己证明这个结论.
探究2
边S 角A 边S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
你能证明吗？
知识要点
边S 角A
√ 判定三角形相似的定理之二 边 S
如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并两且边相对应应的成夹比角例相，等且，夹那角么相这等两，个三 角形相似。 两三角形相似。
B C
变式１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还Biblioteka 立吗？ABOD
P
C
变式２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什 么结论？
A
相似三角形的判定(预备定理)
相似三角形的判定(预备定理)在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 探索新知．1 问题：如果△ABC ∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？2 、思考如图27.2-3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E 。
问题：（1） △ADE 与△ABC 满足“对应角相等” 吗？为什么？（2） △ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3） 根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线EF ∥AB ） 你能证明AE:AC=DE:BC 吗？写出△ABC ∽△ADE 的证明过程。
（4） 、归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有ACAE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD的长，再根据ABAD BC DE 求出DE 的长． 解：当堂检测1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．。
三角形相似判定预备定理
三角形相似判定预备定理一、定理内容平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
二、证明方法（一）利用平行线分线段成比例定理证明（以平行于三角形一边的直线和其他两边相交为例）1. 已知条件- 设 ABC，DE∥ BC，D在AB上，E在AC上。
2. 证明思路- 因为DE∥ BC，根据平行线分线段成比例定理，可得(AD)/(DB)=(AE)/(EC)。
- 过点D作DF∥ AC交BC于F，则四边形DFCE是平行四边形，所以DF = EC。
- 在 ADE和 ABC中，∠ A=∠ A（公共角），(AD)/(AB)=(AE)/(AC)（由(AD)/(DB)=(AE)/(EC)推导得出）。
- 根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得 ADEsim ABC。
（二）利用角的关系证明（以平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交为例）1. 已知条件- 设 ABC，DE∥ BC，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上。
2. 证明思路- 因为DE∥ BC，所以∠ D=∠ B，∠ E=∠ C（两直线平行，同位角相等）。
- 在 ADE和 ABC中，∠ A=∠ A（公共角），∠ D=∠ B，∠ E=∠ C。
- 根据三角形相似的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可得ADEsim ABC。
三、定理的应用（一）直接应用判定相似1. 例题- 在 ABC中，DE∥ BC，D在AB上，E在AC上，AD = 3，DB = 2，AC=10，求AE的长。
2. 解题步骤- 所以(AE)/(AC)=(AD)/(AB)，又AB = AD+DB=3 + 2=5。
- 设AE=x，则(x)/(10)=(3)/(5)，解得x = 6。
（二）与其他相似判定定理结合应用1. 例题- 如图，在 ABC中，AD是角平分线，EF∥ AD，EF与AB交于E，与CA的延长线交于F，求证： AEFsim ACB。
27.2.1相似三角形的判定课件
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
探究3
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
你能证明吗？
知识要点
三角形相似判定定理之二
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
且
ABBC ACK AB BC AC
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
如
何
符号：∽ 读作：相似于 证
相似比
明
A
A1
两 个
三
B
C B1
角
C1
形
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为 相似 则△ A1B1C1与△ AB的 C 相似比 k1 为呢
C
F l5
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
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9 ． 如 图 △ ABC ∽ △ DCA ， AD ∥ BC ， ∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若 AB=10,BC=12,CA=6．求 AD、DC 的长．
10．如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点，连结 AE 交 CD 于 F，则图中共有相似三角形（ ） A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 11．如图，在□ABCD 中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求 CD．
教师批注 栏
AB BC DE ( , AB ( DF ) ; ) AC
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边延长线） ， 所得的_______________. 4 .如图 27.2-3，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E。 (1).△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？
12.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm， AE=4cm， BC=5cm，求 DE 的长．
题组三、随堂检测：
13．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1. 求 AD 和 BD.
14．如图，AB∥EF∥CD，图中共有 说明理由；
对相似三角形，写出来并
(2).△ADE 与△ABC 满足对应边的比相等成吗？ 怎样证明？（作辅助线 EF∥AB）
归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 平行于三角形一边的 直线和其它两边相交，所构成的_____________ ．几何语言：如图 ∵DE∥BC ∴____________∽__________ 5．在上题两个图中, 其中 DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比 例式．
15．如图，DE∥BC， （1）如果 AD=2，DB=3，求 DE:BC 的值； （2）如果 AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求 AE 和 BC 的长．
16．如图，△A BC 中， EF∥BC，FD∥AB，AE＝18 ，BE＝12， CD＝14，求线段 EF 的长．
A E F
B
D
C
学生探究栏
AD DB AE EC
B.
AB DB
AC EC
C.
AD AB
AE AC
D.
AD DB
AC BC
8、如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ AD BC BC DF A． DF ＝CE B． CE ＝AD CD BC CD AD C． EF ＝ BE D． EF ＝ AF
）
知识点 2：判定三角形相似的（预备）定理
AB A B BC B C CA C A k
．
我们就说△ABC 与△A′B′C′________，记作___________，k 就是它们的______．当 k=1，这两个三角形的关系是________. 3．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，____________________________。 几何语言：∵AB∥BE∥CF ∴
课题：27.2.1 相似三角形的判定（预备定理）
编拟教师 学生探时间 教师批注 栏
题组一、课前预习： 1．相似多边形的主要性质是__________________________. 2．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,且
题组二、 知识点 1：平行线分线段成比例定理
6.已知，如图，AD∥BE∥CF 则下列结论不正确的是（ A. C.
AB BC DE BC DE EF AB EF
）
B. D.
AB AC AC BC
DE DF DF EF
7.在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 DE∥BC 则下列结论不正确的是( ) A.