相似三角形预备定理证明学习资料
相似三角形预备定理
相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC △ADE∽△ABC
A
A
E A D
D B
E C
B D
C E
B C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线） 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A
E A
E
D
F D
F B C
B
C
13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ） A1对 B2对 C3对 D4对
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。
D E
l1 l2
上 上 下 下
F
l3
下 下 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 右 右
. . . .
已知：如图，l DE 2, EF 4. 1//l 2 //l 3，AB 3, 求：BC.
A D
解： Ql1//l 2 //l 3 \ AB DE BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 2 即 BC 4 \ BC 6
△ ABC∽ △DEF
对应角相等 比相等 相似三角形的——————— , 各对应边—。 =k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
AB BC AC 相似比: DE EF DF
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
相似三角形(预备定理)
例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。
3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)
∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？
相似三角形的预备定理的证明
相似三角形的预备定理的证明
设有两个三角形ABC和DEF，已知∠ABC=∠DEF，并且
AB/DE=AC/DF=BC/EF。
我们需要证明三角形ABC和DEF是相似的。
首先，我们来证明AB/DE=BC/EF。
由已知条件可得
AB/DE=AC/(DE+EF)=AC/DF。
再由已知条件中的两对边成比例可得
AC/DF=BC/EF。
所以，AB/DE=BC/EF。
接下来，我们来证明∠ACB=∠DFE。
由已知条件可知∠ABC=∠DEF。
再加上我们已经得到的AB/DE=BC/EF，由三角形的角对应边成比例可知
∠ACB=∠DFE。
最后，我们需要证明∠CAB=∠EDF。
首先，根据克莱姆法则可得
AB/DE=AC/DF，进一步化简得AB/AC=DE/DF。
由三角形的角对应边成比例可知∠CAB=∠EDF。
综上所述，我们证明了∠ABC=∠DEF，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和DEF是相似的。
根据相似三角形的定义，我们得到了相似三角形的预备定理。
初中数学相似三角形定理知识点总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。
相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的`预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
最新--数学课件相似三角形的预备定理 精品
1.相似.因为对应角相等,对应边成比例.
A
D
２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？
两个等腰直角三角形呢？
B CE
F
２.两个直角三角形不一定相似.因为对
(1)
应角不一定相等,对应边也不一定成比
例;两个等腰直角三角形相似.因为对应 300
450
３角相.两等个,对等应腰边三成比角例形. 一定相似吗？为什么？两个等(2边) 三角D形呢？
（2）由相似三角形对应边成比例。得
A
D
C B
小结 拓展
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角 形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
３.两个等腰三角形不
A
一定相似;
两个等边三角形相似.
B CE
F
（3）
随堂练习
1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n
的值.
B
x 20 33
D
A 22 C
3a
30 (1)
E
48
A
45°
你准备如何去做?
C
n° 10
F 2a 50°y
85°B
45°
m° E
(2) D
F
△ ABC与△ DEF相似，就记作： △ ABC∽ △DEF
注意：要把表示对应角顶点的
字母写在对应的位置上！
基本性质：相似三角形的各对应角 相等，各对应边对应成比例.
《相似三角形的判定预备定理 》
18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。
能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。
拓展： 思考： 若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。
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课题：相似三角形的判定（预备定理）
教学目标：1．掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似；
2．在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法；
3．通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。
教学重点：预备定理的证明与应用。
教学难点：预备定理的证明。
教学方法：启发+探究+讲授
教学手段：常规教学用具，计算机及课件
组织学生思考：
（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？
（2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？
由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？（4）根据以前的推论，如何把DE移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB）
教师板演证明过程
由此得到预备定理：
定理平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。
2：过E作EF//AB
找关键字词，记忆定
理
层层递进，
突破难点，
提高学生的
分析推理思
维能力。
通过分析定
理，促进理
解。
定理应用与巩固例题选讲：
例如图，D为△ABC的A B边上的一点，过
点D作DE//AC，交BC于E，已知BE：EC=2：
1，AC=6CM，求DE的长以及
DA
BD
的值。
E
B C
A
D
在学生思考后，得出：
（1）平行线既可得相似三角形，又可得线段
成比例；
（2）这种判断两三角形相似的方法比起定义
方便多了，但是局限性很大：
我们能否将这个问题转化为预备定理图形加
以说明呢？
练习：
1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有
的相似三角形，并说明理由。
口述思路：根据平行
线得相似三角形，进
而根据相似比求DE；
根据平行线得线段成
比例求
DA
BD
在教师启发下进行解
题反思
通过对例题
的分析，设
置与平行线
有关的截三
角形两边成
比例定理以
及预备定
理，注意所
得的比的差
别，落实好
重点。
I
H
G
A
B C
D
E
F
2、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而
且落在离网5m的位置上，其他条件如图，求
球拍击球的高度（假设网球的运行路线是直
线）.
思考解答
小
结
升
华
问题引领，有效小结：
1、你学到了什么定理？内容、图形、作用风
别是什么？
2、回想一下证明预备定理时，我们是如何分
析添加辅助线的？
3、你还有哪些收获？你满意吗?
畅所欲言，谈其所获。
议论小结，
理清脉络，
巩固学习效
果。
养成学
习--总结--
再学习的良
好学习习
惯。
布
置
作
业
基础题：
1、课本：P41 A组1题、3题
2、已知：在△ABC中，EF//AB，DF//BC，求证：△ADF∽△EFC。
B
E
A C
D
F
提高题：
如图，在△ABC中，DE//BC，并交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？
分层作业，
有利于面向
全体，提供
各自适应的
发展空间。
本节课的主要内容是相似三角形判定的预备定理。
由于学生的逻辑推理能力已有所提高，具备了一定的能力。
因此，需要通过理论上的证明得到判断定理。
而，定理证明之前还没有判定两三角形相似的定理。
只能引导学生考虑用定义来证明。
即证明三个角对应相等，三条边对应成比例。
不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下基础。
后继学习相似三角形的判定定理，转化为预备定理可以很大程度上简化证明。
为了解决好定理证明，首先通过情境复习了相似三角形的定义，通过矩形草坪与网格三角形问题，辅助计算深层次回忆定义。
并且，定理的发现，采用了从特殊到一般的方法，让学生在证明定理之前，对定理已产生了一定的认可度，也好能深层思考定理证明。
而在定理分析中，辅助几何画板追踪技术，给学生非常直观的将形内线段推倒三角形一边上视觉刺激，通过闪烁突出平行线分三角形两边成比例图形，突破定理证明难关，给学生学习应用本定理证明的思维方法留下深刻的印象。