相似三角形的预备定理
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相似三角形(预备定理)
例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。
3.4.1相似三角形的判定定理3
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ ABC 中，
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
3.4.1相似三角形的判定1(预备定理)
∴AE=CE
B
又DE=FE,∠AED=∠CEF
△ADE≌△CFE
E F
C
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∴△CFE∽△ABC
练习1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形 EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上. 已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
A
解：由题可知：△AED∽△ABC
“A”型 A
“X”型
D
E
D
E
O
B
C
（图1）
几何语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
B
（图2）
C
几何语言： ∵DE∥BC
∴△DOE∽△COE
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过 点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F， 使DE=EF.
A
求证：△CEF∽△ABC
思路
∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD ED AC BC
7.5 x x 7.5 5
解得 x=3
E
D
B
C
F
∴正方形的边长为3
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
上的点，且
AM 1 BM 3
，作AG∥MN.
求 CN 的值.
BN
∵AG∥MN
A M
O
∴△BMN∽△BAG
B
∴△CON∽△CAG
C
N
G
如图所示，在△ABC中，点O是AC的中点，点M是AB
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD，
∴∠EOF=∠BCD,
∴∠EAD=∠BAC,
课堂小结：本节课你学到了什么？
九年级数学相似三角形性质
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形（ ）。 A.4个
C D
B. 5个 C. 6个
D. 7个
B A F
E
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。 B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1. D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ）D C
A.没有实数根 B.有两个相等 实根 C.有两个不等 实根 D.以上都不对
A B
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ） D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。 5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
23.2相似三角形的判定(直角三角形)
图3-22
直角相似三角形判定方法 小结
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个直角三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个直角三角形
相似。 3、（判定定理2）两角对应相等的两个直角三角形 相似。 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个直角三角形相似 5、（特殊）任意两边对应成比例两个直角三角形相似
判断题
1. 两条直角边对应成比例的两直角三 角形相似。 （ ） 2. 有一锐角相等的两直角三角形相 似。 （ ） 3.
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）Байду номын сангаас
基础练习：
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°，要使 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，应加什么条件？
55° （1）∠A=35° ，∠B′=________。 12 （2）AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 （3）AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。 4 （4）AB=10，BC=6， A′B′=5，A′C′=______. 3a （5）AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
E F A D B
小结
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角 形相似的方法对直角三角形同样适用。 3.让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法。 4.关于探索性题目的处理。
例1， 已知：∠ABC=∠CDB=90°， AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
初二数学相似三角形性质[人教版]
![初二数学相似三角形性质[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/c1bec88bfab069dc51220144.png)
5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。
2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（ ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
1080
∵∠ABC=∠DBC ∠BDC=∠BCA
1080
31
0
310
∴△ABC∽△CBD
1.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 △ABC相似的三角形（ ）C。
A.4个
C
B 7个E
A
F
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形相似。
2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（ ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
1080
∵∠ABC=∠DBC ∠BDC=∠BCA
1080
31
0
310
∴△ABC∽△CBD
1.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形 相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们 的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线 分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 △ABC相似的三角形（ ）C。
A.4个
C
B 7个E
A
F
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比，对应 中线的比，对应角平分线的比， 周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似 比的平方.
相似三角形
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
相似三角形的预备定理
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则 AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF.
D
E
AE DE AD AE DE
AC BC
AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
B
FC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构
1.（2010 ·滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为
.
1.已知EF∥BC,求证: BD DC EG GF
A
E
F
G
F
GE
.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
相似三角形的判定
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
D
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
相似三角形判定-预备定理
创设情景 明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1， ＝ ＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两 个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜 想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测 反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， 全比上） AB AC BC AD AE DE
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课题
相似三角形的判定之预备定理
课时
本学期第课时
日期
本单元第课时
课型
新授
主备人
复备人
感
知
目
标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学
习
目
标
1、理解和掌握平行线分线段成比例定理级推论；
2、理解和掌握相似三角形判定的预备定理，并会用它解题；
3、在学习过程中注重学生数学思想方法的理解和应用。
重点
难点
重点：理解和掌握平行线分线段成比例定理级推论；
任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？
总结：平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
符号语言：∵l3∥l4∥l5 ,
练习：
如图，l3∥l4∥l5 ,请指出成比例的线段.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
提出问题：
3、如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4、如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
应用知识解决问题，采用学生独立练习，并讨论
小结
提升
推荐
作业
教学
后记
∴△ABC∽△A´B´C´
△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为
知识回顾
探
求
新
知
探究：
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5.分别度量l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度. 相等吗？
符号语言：DE//BC
△ADE∽△ABC
教师提出问题
动手操作
总结归纳
引导学生
学生练习
总结归纳
思考
讨论
讲解
例
题
分
析
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。
2、如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
如图，在∆ABC中，点D是边AB上的一点，DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么关系？
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想∆ADE与∆ABC是否相似?说明理由，若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
理解和掌握相似三角形判定的预备定理，并会用它解题；
教学过程
教师活动
学生活动
复备标注
时间分配
启
动
课
堂
预习
复习
反馈
1、相似多边形的性质：
2、相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.
3、相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.在△ABC和△A´B´C´中，
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1、理解和掌握平行线分线段成比例定理级推论；
2、理解和掌握相似三角形判定的预备定理，并会用它解题；
3、在学习过程中注重学生数学思想方法的理解和应用。
重点
难点
重点：理解和掌握平行线分线段成比例定理级推论；
任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？
总结：平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
符号语言：∵l3∥l4∥l5 ,
练习：
如图，l3∥l4∥l5 ,请指出成比例的线段.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
提出问题：
3、如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4、如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
应用知识解决问题，采用学生独立练习，并讨论
小结
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后记
∴△ABC∽△A´B´C´
△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为
知识回顾
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求
新
知
探究：
如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5.分别度量l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度. 相等吗？
符号语言：DE//BC
△ADE∽△ABC
教师提出问题
动手操作
总结归纳
引导学生
学生练习
总结归纳
思考
讨论
讲解
例
题
分
析
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。
2、如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
如图，在∆ABC中，点D是边AB上的一点，DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么关系？
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想∆ADE与∆ABC是否相似?说明理由，若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
理解和掌握相似三角形判定的预备定理，并会用它解题；
教学过程
教师活动
学生活动
复备标注
时间分配
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课
堂
预习
复习
反馈
1、相似多边形的性质：
2、相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.
3、相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.在△ABC和△A´B´C´中，