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正弦全余弦练习题

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正弦与余弦定理练习题及答案

正弦与余弦定理练习题及答案

- -正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，那么b 等于( )A.6B.2 C.3D ．2 62．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，那么b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，那么角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，那么sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假设A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，那么c ＝( )A ．1 B.12C ．2D.146．在△ABC 中，假设cos A cos B ＝ba，那么△ABC 是( )--A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，那么△ABC的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.假设c＝2，b ＝6，B＝120°，那么a等于( )A.6B．2C.3D. 29．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设a＝1，c＝3，C＝π3，那么A＝________.10．在△ABC中，a＝433，b＝4，A＝30°，那么sin B＝________.11．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，那么a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2b cos C，那么△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，那么a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.- -14．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，那么b ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，那么c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，那么∠A 等于()A ．60° B．45°C．120° D．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，那么∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3- -5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，那么a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，那么AB→·AC →的值为() A ．2 B ．－2C ．4 D ．－47．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，那么a 为()A.3B ．23C.3或23D ．28．△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________．9．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假设a ＝4，b ＝5，S ＝53，那么边c 的值为________．10．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，那么b ＝________.12．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，那么角C ＝________.13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，那么b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6.2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，那么b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，那么角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理asin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，那么sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假设A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，那么c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，假设cos A cos B ＝ba，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，那么△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，那么a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，那么C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设a ＝1，c ＝3，C ＝π3，那么A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，那么sin B ＝________.解析：由正弦定理得asin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，那么a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，那么△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，- -所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，那么b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得- -cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°. 又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理- -1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，那么c 等于() A. 3B. 2C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，那么∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，那么∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B.显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，那么a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对- -解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c . 6．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，那么AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12， ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 7．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，那么a 为() A. 3B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.8．△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案： 39．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假设a ＝4，b ＝5，S ＝53，那么边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°. ∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，--∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，那么b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14， ∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)11．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，那么b ＝________. 解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 312．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，那么角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.- -∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 14．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A， 得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.。

高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料

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高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。

正余弦定理练习题（含答案）

正余弦定理练习题（含答案）

A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。

正弦定理余弦定理练习题及答案

正弦定理余弦定理练习题及答案

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共20题，题分合计100分)已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为 1.A.-B.C.-D.λλ则满足此==中，在△ABCa,b,°=45A,2.条件的三角形的个数是D.无数个A.0B. 1 C.2，则三角形为a cos Bb在△ABC中，cos A=3. D.C.锐角三角形等边三角形等腰三角形. A.直角三角形 B22，则最大角为x2x+1(＞1)x已知三角形的三边长分别为+1,+xx和-14.° C.60 D.75°120B A.150° .°在△ABC中，=1，5.，=2．+（（·）+）则=5+2边等于||A.5-2.B．C.D.，b°BABC在△中，已知=30,=50=150c,6.那么这个三角形是等腰三角形或直角等边三角形 B. 直角三角形 C.D. 等腰三角形A.三角形2222C+c，则此三角形为sin B=2bc cos B cos C在△ABC中，若b sin7.等腰直角三角形 C.D.等边三角形A. 直角三角形B.等腰三角形正弦定理适应的范围是8. D.任意△钝角△ A.Rt△B.锐角△ C.==45°，则c°a已知△ABC中，=10,B=60,C9.B. 10 A.10+ C. ）-1（．（+1 ）D.10A sin＜a＜b，则此三角形有ABC在△中，b10.无解 C. 两解 D.不确定.A.一解B5和3，它们夹角的余弦是方程5x-7x-6=0的根，则三角形的另一11.边2三角形的两边分别为长为C.16D.4 A.52B. 2222ABC=b等于+c中，a+bc，则A在△12.° C.120 D.3045 A.60°B.°在△ABC中，，则△ABC是13. D.任意三角形.直角三角形 C.钝角三角形B A.锐角三角形ABC=45,=30，aABC在△中，=2A°C°，则△的面积等于S14.ABC△．A.B.2 +1C.(D.+1)CA sin Ba已知三角形ABC的三边、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、、C，则sin15.等于2222B C.1+cos B B.1-cos B A.cosD.1+sin B是在△ABC中，sin A＞sin BA＞B的16.既不充分也不必要不充分条件 C.D.充要条件 A.充分不必要条件 B.必要条件=在△ABC中，b Cos Aa cos B，则三角形为17.等边三角形等腰三角形 D. A.直角三角形 B. 锐角三角形 C.222ABC为△ABC中，sin A=sin B+sin，则△C18.等腰三角形D. 等边三角形C. 等腰直角三角形B. 直角三角形A.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为19.,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.为k则,中，ABC在△20.为△(R B.R C.4D.R A.2R)ABC外接圆半径)分共18题，题分合计75二、填空题(. ，则此三角形的最小边长为b=45°，AABC在△中，=60C°，=2 1.. = 中，ABC在△2.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶3.∶2，则△ABC的最小角的度数为.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= . 4.△ABC中，，则三角形为 5._________.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________. 6.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.7.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则8.B= .已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.9.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .10.222222，则△ABC为b+c 中，若在△ABCab＞a+c，则△ABC为；若；若=11.222222222，则△ABC为a ＜+b.cbba＜+c且＜a+且c在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.12.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，13.. A=则°BC,B==3,=30，在△ABC中，14.. A=.= °，B=45°，则a= ,b Aa在△ABC中，+b=12,=6015..的范围为2,3,若x为三边组成一个锐角三角形，则x16.. cb在△ABC中，化简cos C+cos B= 17.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.18.)244分共三、解答题(24题，题分合计.B 和b、a°，求=30C°，=45A，=10c中，ABC 已知在△1.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三2.角形的最大内角.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，3.解此三角形.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求4.AB的长..，求此三角形三边之比B=2C+A，C=2A最小，且C最大，A中，ABC在△5.ABCRABC的为△中，.证明：在△（其中6.外接圆的半径）在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、7.c的值.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角8.形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.9.根据所给条件，判断△ABC 的形状10.Bcos b=A cos a）1（．(2)2－3x－2=0的一个根，求△是方程2xABC周长的最小值.，而ABC△中，a+b=10cos C11.、、、、C的对边，设a+c=2b,A是分，ABC在△中abc别角BA－12..的值B sin求,=C．已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C13..c和，、=2中，在△ABCca试求=2,B=3,tan A tan14..及此三角形的面积b已知S=10,一个角为60°，这个角的15.ABC△∶.2，求三角形内切圆的半径5两边之比为.的形状ABC，试判断△中，ABC已知△16.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC17.的各边长.求值：18.ABC，解此三角形.的面积已知△19.在△ABC中，20.=2,c=ba=,、、，求+1ABCS及.△．22+2=0是关于）xx已知（a的二次方+bc21.程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.2222.的形状ABC，判断△)B+A)sin(b-a)=(B-A sin(）b+a中，（ABC在△22.在△ABC中，a＞23.、b以及此，试求a=6A，且有,bC=tan·tan B.三角形的面积、、、、cba所对的边分别为CBA的三内角ABC是整数，钝角△k已知：24.1）若方程组有实数解，求k的值.（（k值，若且有关系式）中的）对于（21、、.的度数CBA 试求,．正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)A A CB 5CD A D B B B C C C B C C A C A20.7817910：116121813141915.123416.二、填空题(共18题，合计75分)2（-1） 21. 45 ° 8 等腰三角形5.4.3.钝角三角形：6.a=b sin A或b＜a60°或120°无10.8.7.9钝角三角形直角三角形锐角三角形11.等120 角三腰形°或14.13.12.2 15. 36-12．x＜＜16.、、 2 a3417.18.)题，合计24(三、解答题共244分=a1.°B=105=b°∠C=1202.°=15B°或∠=75B∠3.b=+1，∠C=60°，∠B=75°或－=15°，∠C1b=，∠=120B° AB的长为4.4∶5∶6此三角形三边之比为：5.a=6,b=5,c=47.θS最大时，当=,8.OACB四边形+2最大值为9.ABC 1）△是等腰三角形或直角三角形（10为等边三角形）△ABC（2 ABC周长的最小值为△BCBc=1=90=120°=60,°；°，=2,=30°；13.212121．. 14.15.等边三角形16.17.18. A=60°，B=45°，C=75°，S=20.△°(2)60 没有实数根(1) 21.等腰三角形或直角三角形22.23.（1）k=1，2，324.（2）C=45°,B=15°。

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C.D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1B.C ．2D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos Acos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面3积为( )A.B.C.或D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝2，B ＝120°，则a 等于( )6 A.B ．2C.D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则433sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 14．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .3C 2C 214A216．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为315，求边b 的长．3余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 66D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.C.D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为AB → AC→ ，则·的值为( )3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4D ．－47．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A.B ．2C.或2D ．233338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．310．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2413．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝03的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；5(2)求sin(2A －)的值．π4正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin B sin A 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin Bsin A 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角32B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，a sin A b sin B b sin Aa 22∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，2则c ＝( )A ．1B.C ．2D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin Bc sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin A sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，ABsin C ACsin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等26于( )A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则3π3A ＝________.解析：由正弦定理得：＝，a sin A csin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A bsin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin Aa 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin Ab sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°12×12×sin60°×c ＝18，123∴c ＝6.答案：12　614．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin3C 2C214B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sinB sinC ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A bsin B csin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin Bsin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π6＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin Ab sin Bc sin Ca ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2516．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B 15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为2.15余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3 D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc2c 22c 6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的AB → AC → 3AB → AC→ 值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC→ ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC→127．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：39．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，3则边c 的值为________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cosB ∶cosC ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2312．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角a 2＋b 2－c 24C ＝________.解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22abab2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )3＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1014．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，ABsin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝. 所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.35π4π4π4210。

(完整版)正弦定理和余弦定理练习题

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【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。

正弦定理余弦定理超经典练习题精编版

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正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1. 已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么 cosC 的值为B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. 已知三角形的三边长分别为 X 2+X +1,X 2-1和2X +1（X > 1），则最大角为8.正弦定理适应的范围是边长为12.在^ ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ,则 A 等于A.- 4B. 4C.-3D. 32.在^ ABC 中,入，A=45。

，则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在^ ABC 中, bcosA=acosB ，则三角形为A.直角三角形A.150B.120C.60D.755.在^ ABC 中，屈=1， 及?=2，（卫5+BC ）•（屈 +BC ）=5+2工j 则边等于A.站B.5-2-56.在^ ABC 中，已知B=30 ° ,b=50j5,c=150，那么这个三角形是 A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在^ ABC 中，若 b 2si n 2C+c 2si n 2B=2bccosBcosC ，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形A.Rt △B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60 °A.10+方B.10 （方-1）,C=45则c=C.D.10"^10.在^ ABC 中，bsinA < av b , 则此三角形有 A. —解 B. 两解 C.无解 D.不确定11.三角形的两边分别为 5和3,它们夹角的余弦是方程5X 2-7X -6=0的根，则三角形的另A.52C.16D.4 A.60 B.45 C.120D.30C. D.等于必要条件19. △ ABC 中,A=60 ° ,b=1,这个三角形的面积为 ,则^ ABC 外接圆的直径为13.在^ ABC 中,a = 4^-l,b = — ,c = =2 4，则^ ABC 是A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形14.在^ ABC 中, a=2，A=30° ,C=45° ，则△ ABC 的面积S A ABC 等于15.已知三角形ABC 的三边D. 2 希 +1）b 、c 成等比数列，c "+1它们的对角分别是A 、B 、C ,贝U sinAsinCA.cos 2Bc , 2c B.1-cosC.1+COS 2B 2D.1+sin16.在^ ABC 中, sinA > sinB 是 A > B 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不17.在^ ABC 中, bCosA=acosB ，则三角形为A.直角三角形C.等腰三角形 18. △ ABC 中，Sin 2A=sin 2B+sin 2C ,则^ ABC 为B.锐角三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形A.讪B.26^32®c. 丁D. 220.在^ ABC 中,sin?l 3 iiC ，则 k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2 （R 为^ ABC 外接圆半径）二、填空题1.在^ ABC 中, A=60 ° , C=45°, b=2，则此三角形的最小边长为2.在^ ABC 中, abc co^A oosB oosC, /+护+七2 a b c '3.在^ ABC 中,a : b : c=（历 +1）:扁 :2,则^ ABC 的最小角的度数为4.在^ ABC 中，已知sinA : sinB ： sinC=6 : 5 : 4,贝U secA=tan -45. △ ABC 中，tan5 血 5,则三角形为6.在^ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA >sinB ,则△ ABC 是7.在^ ABC 中，若此三角形有一解，则a 、b 、A 满足的条件为8.已知在△ ABC 中，a=10,b=5 店,A=45 ° ,则 B= 9.已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121 ° 14’，此三角形 10.在^ ABC 中,a=1,b=1,C=120 °贝^ c=11.在^ ABC 中，若 a 2> b 2+c 2，则△ ABC 为；若 a 2=b 2+c 2，则△ ABC 为 a 2v b 2+c 且 b 2v a 2+c 2且c 2va 2+b 2，则△ ABC 为.17. 在^ ABC 中，化简 bcosC+ccosB=18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为三、解答题1.已知在△ ABC 中，c=10, A=45°, C=30°,求 a 、b 和 B.A=45 ° , a=2, c=扁’，解此三角形.BC=a , DC=2a ,四个角 A 、B 、C 、D 度数的比为 3 : 7 : 4 : 10,求AB 的长.5.在^ ABC 中，A 最大，C 最小，且 A=2C , A+C=2B ，求此三角形三边之比.旦亠二丄W6.证明：在^ ABC 中，命曲心5 anC .（其中R 为^ ABC 的外接圆的半径）7. 在^ ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边a 、b 、c 为三个连续整数，求 c 的值. 8. 如下图所示，半圆 O 的直径MN=2 , OA=2, B 为半圆上任意一点， 以AB 为一边作正三角 形ABC ，问B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？最大面积是多少?9.在^ ABC 中，若 si nA : si nB : sinC=m : n : I ，且 a+b+c=S ,求 a.12.在^ ABC 中, sinA=2cosBsi nC ，则三角形为13.在^ ABC 中, BC=3 , AB=2，且 5 5 , A=14.在^ ABC 中,B=/j,C=3,B=30°,则A=15.在^ ABC 中, a+b=12,A=60°, B=45 ，则a=,b=16.若2,3,x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为2.已知△ ABC 的三边长 a=3, b=4, c=，求三角形的最大内角3.已知在△ ABC 中，/4.在四边形ABCD 中,10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1)acosA=bcosB (2) ooeA cosT? oosC11.△ ABC中，a+b=10 ,而cosC是方程2x2—3x—2=0的一个根，求△ ABC周长的最小值.12.在^ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A —C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b=j5,A=30° ,求B、C 和c.14.在^ ABC中，c=^2 , tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知& ABC=1^^，一个角为60 °,这个角的两边之比为5 : 2，求三角形内切圆的半径16.已知△ ABC中, a + b-f，试判断^ ABC的形状.17.已知△ ABC的面积为1, tanB= 2 ，求△ ABC 的各边长.18.求值:川20。

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦与余弦定理练习题及答案

精心整理国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. B.C.D．22A3)A．4A5( ) A6A78．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )A.B．2C.D.二、填空题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________. 10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.14．已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.15．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．塔A18＝，sin B19．为锐角，角A、B、C所对应的边分别为c，且cos2A，求a，b，c的值．2021sin C，求角231．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝，那么AC等于()A．6B．2C．3D．42．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于()A.B.C.D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B的值为()A.B.C.或D.或5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于()6() A789AD10115，则边c12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 13．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．20ABC123B 为(45b＝，则c解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.6．在△ABC中，若＝，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A. B.C.或D.或解析：选D.＝，求出sin C＝，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝AB·AC sin A可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()A. B．2C. D.解析：选D.由正弦定理得＝，∴sin C＝.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，9A ＝101112即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bc sin A，∴×12×sin60°×c＝18，∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝＝＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴＝＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析：依题意，sin C＝，S△ABC＝ab sin C＝4，1617．A的方角是65°18B sin C ＝由sin B sin C＝cos2，得sin B sin C＝[1－cos(B＋C)]，即2sin B sin C＝1－cos(B＋C)，即2sin B sin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，A＝π－(B＋C)＝.由正弦定理＝＝，得b＝c＝a＝2×＝2.故A＝，B＝，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，∴cos B＝＝.又cos2A＝1－2sin2A＝，∴sin A＝，cos A＝，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝.20A. B.C. D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°＝2，∴c＝.3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°解析：选D.cos∠A＝＝＝－，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B的值为()A. B.C.或D.或解析：选D.由(a2＋c2－b2)tan B＝ac，联想到余弦定理，代入得cos B＝＝·＝·.() () 8．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为()A. B．2C.或2 D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即3＝a2＋9－3a，∴a2－3a＋6＝0，解得a＝或2.9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.在△ABD中，AD＝＝＝.答案：10．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．解：∵sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶(＋1)∶，∴a∶b∶c＝(－1)∶(＋1)∶.设a＝(－1)k，b＝(＋1)k，c＝k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cos C＝＝－，S＝5，则边．＝＝，∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×(－)＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.解析：ab sin C＝S＝＝·＝ab cos C，∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则?2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.答案：172A＋B)＝1819(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得AB＝BC＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝，于是sin A＝＝.从而sin2A＝2sin A cos A＝，精心整理cos2A＝cos2A－sin2A＝.所以sin(2A－)＝sin2A cos－cos2A sin＝.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝＝.又根据余弦定理，得cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.精心整理。

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正弦和余弦练习题
1.下列有关正弦定理的叙述正确的有( )
①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形
中，各边与它所对角的正弦的比值是一定值；④在△ABC中，sinA：simB:=a:b:c
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2．△ABC中，a、b、c、分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C=3π，求sinB的值。

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若（a²+c²-b²）tanB=3ac，则B的
值为（ ）。
A．6π B.3π C. 6π或65π D. 3π或32π。
4. 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=80°，a²=b(b+c),求角
c的度数。

5.不解三角形，判断下列三角形解的个数。
（1）a=5,b=4,A=120°; (2)a=7,b=14,A=150°；（3）a=9,b=10,A=60°; (4)c=50,b=72,C=135°

6.在△ABC中，已知a=26，b=6+23,c=43,求角A，B，C。
7. 在△ABC中，c=22，a＞b，C=4π，且有tanA.tanB=6,试求a,b及此时三角形的面积。
8. 在△ABC中，若b²sin²C+c²sin²B=2bccosB·cosC,试判断三角形的形状。
9. 在△ABC中，（a+b+c）(a+b-c)=3ab,2cosAsinB=sinC,试判断△ABC的形状。
10. .在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明：222-cba=CBAsin)sin(.
11.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB-bcosA=53c.
(1)求tanAcotB的值；
（2）求tan(A-B)的最大值。

12. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，c=3b.求：
（1）ca的值；
（2）cotB+cotC的值。

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