【数学】黑龙江省大庆铁人中学2016届高三上学期期中考试(理)

大庆铁人中学2016届高三上学期期中数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{}01832<--=x x x A ，Z 为整数集，则集合Z A ⋂中所有元素的和为（ ） A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是 ( )A ．y=sin xB ．y=cos xC ．y=ln xD ． 3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=（ ） A ． B ．C ．－12D ．124．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为 ( )A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 5．已知△ABC 和点M 满足MB →＋MC →＝－MA →，若存在实数m 使得mAB →＋mAC →＝AM →成立，则m 等于( )A ．12B ．2C ．13D ．36．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．4 B ．8 C ．9 D ．18 7．将函数()cos2f x x =的图象向左平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x ( ) A ．一个对称中心是(－π3，0) B ．一条对称轴方程为x ＝3πC ．在区间[－π3，0]上单调递减D ．在区间[0，π3]上单调递增8．函数的图象大致为( ) 21y x =+32-32()2sin 1xf x x =+9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若5041008S S ＝110，则10082016SS = ( ) A ．126B ．182 C ． 25 D ．1072910．设α、β都是锐角，且cos α＝13，sin(α＋β)＝45，则cos β等于( )A ．82315-B ．82315+C ．82315-或82315+ D ．以上都不对 11．已知向量a ，b 满足|a |=2|b |≠0，且关于x 的函数f(x)=2x 3－3| a |x 2+6 a •b x +5在实数集R 上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是（ ） A ．(π3，π)B ．(π3，π]C ．[π3，π]D ．(0， π3)12．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题为 ( )A ．①③B ．②③C ．①②④D ．①③④第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________。

14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积为____。

15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝6，S 7＝35，则数列12n n a a +禳镲睚镲铪的前100项和为________。

16． 若函数b x a ax x x f +-+-=)2(31)(23，有6个不同的单调区间，则a 的取值范围是 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知a R ∈，命题:p “[0,2],240xxx a ∀∈-+≤均成立”，命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”，(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围。

18（本小题满分12分）已知向量m ＝(sin ωx ＋3cos ωx ，1)，n ＝(2cos ωx ，－3)(ω>0)，函数f (x )＝m ·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2，(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[－π4，π4] 时，求f (x )的值域。

19（本小题满分12分）在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点，(1)求证：平面PDC ⊥平面P AD ；(2)求二面角E -AC -D 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值。

20（本小题满分12分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2n 对n ∈N *成立， (1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n 。

21（本小题满分12分）如图所示，曲线C 由部分椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1所在椭圆的离心率为22， (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (P ，Q ，A ，B 中任意两点均不重合)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程。

22（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中,a b R ∈，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点．()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

参考答案1-12ABDCCD CABABD13.(－4，－8) 14.332 15.505116.(1，2)17.解：⑴设 ，则有， 故当命题p 为真命题时，，⑵命题q 为真命题时，，解得因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，， 当命题p 为假，命题q 为真时，，综上：18. 解:(1)f (x )＝m ·n ＝2sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π3)．因为T ＝2π2ω＝π，ω＝1.所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．解得函数f (x )的单调递增区间是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．(2)由(1)可知，f (x )在[－π4，π12]上单调递增，在[π12，π4]上单调递减，(3)且一条对称轴方程为x ＝π12，f (x )最大值为f (π12)=2，最小值为f (－π4)=－1,所以f (x )∈[－2,2]，即f (x )的值域是[－1,2]19．解：以为A 原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，D (0，4，0)，E (0，2，1)，P (0，0，2)， (1)证明：∵CD AD ＝0，∴CD ⊥AD ，∵CD AP ⋅＝0，∴CD ⊥AP .又∵AP ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD .(2)设平面AEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，则y ＝－12，x ＝1，2,[1,4]xt t =∈2max ,0y t t a y a =-+=≤0a ≤240a ∆=-<22a -<<""p q ∨""p q ∧0222a a a a ≤⎧⇒≤-⎨≤-≥⎩或00222a a a >⎧⇒<<⎨-<<⎩(,2](0,2)a ∈-∞-∴平面AEC 的一个法向量为n ＝(1，－12，1),又平面ACD 的法向量为＝(0，0，2)，∴cos 〈n ，〉＝＝232×2＝23，∴锐二面角EACD 的余弦值是23.(4)设直线CD 与平面AEC 所成的角为θ，平面AEC 的一个法向量为n ＝(1，－12，1)且＝(－2，0，0)，∴sin θ＝＝232×2＝23，即直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值为23.20．解：(1)证明：由题，当n ＝1时，a 1＝S 1，故a 1＝2，当n ≥2时，由,a n ＝S n －S n-1，化简得a n ＝2a n-1＋2,即a n ＋2＝2（a n-1＋2），且a 1＋2＝4 故数列{a n ＋2}是等比数列，公比为2，首项为4，∴a n ＝2n+1－2. (2)由(1)知∴T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝（n －1）2n ＋2＋421．解：(1)在C 2的方程中令y ＝0可得b ＝1，由c a ＝及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝，∴a ＝,b ＝1. (2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 2＋2x 2＝2(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直， 设其方程为x=my+1 (m ≠0)，并将其代入C 1的方程，整理得(2m 2＋1)x 2＋4my ＝0，故可解得点P 的坐标为，显然，m <0 同理，将x=my+1 (m ≠0)代入C 2的方程,整理得m 2y 2＋y +2my ＝0，得点Q 的坐标为 ∵AP ⊥AQ ，∴AP AQ ⋅＝=0， 即8m 2 +2m ＝0，解得m ＝－，符合m <0，故直线l 的方程为4x+y －4＝0． 22.．解： (1) ，由，所以. (2) 由(1)得，， . (1)n n -+2222222124,2121m m m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22221,m m m m m ⎛⎫---- ⎪⎝⎭22222212214112121m m m m mm m m m ⎛⎫⎛⎫------+++⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭141()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+(0)0f '=101b b -=⇒=()(1)ln(1)f x ax x x =-+-01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；③当时，令，当时，，于是于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有； 综上，符合题意的. (3) 对要证明的不等式等价变形如下：所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形对于相当于（2）中，情形，有在上单调递12a ≤-01x ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≥=()f x [0,1]()(0)0f x f ≥=(0)0f =0a ≥01x ≤≤221()0(1)ax a f x x ++''=-<+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≤=()f x [0,1]()(0)0f x f ≤=(0)0f =102a -<<21min{1,}a m a+=-0x m ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+()f x '()f x '[0,]m ()(0)0f x f ''≤=()f x [0,]m ()(0)0f x f ≤=(0)0f =1(,]2a ∈-∞-2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+n 215211(1)(1)n n e n n+++<<+2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n+++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n n q n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩()p 21(,0)52a =-∈-12m =()f x 1[0,]2减，即而且仅有.取，当时，成立；当时，.从而对于任意正整数都有成立.对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.因此对于任意正整数，不等式恒成立. 这样依据不等式 ，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. ()(0)0f x f ≤=(0)0f =1x n=2n ≥211(1)ln(1)05n n n ++-<1n =277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<n 211(1)ln(1)05n n n ++-<()q 12a =-x ∈[0,1]()0f x ≥(0)0f =1x n=n 111(1)ln(1)02n n n ++->n 215211(1)(1)n n e n n+++<<+215211(1)(1)n n e n n+++<<+10000n =1000n =10000.41000.5100011001()()100001000e <<。