图形的相似知识点总复习有解析

图形的相似知识点总复习有解析

一、选择题

1．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）

A ．1.

B ．2

C ．2

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【详解】

∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，

∴∠CDB=∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，

∴∠ACD=∠B ，

∴△ACD ∽△CBD ，

∴=AD CD CD BD

， ∵CD=2，BD=1， ∴

2=21AD ， ∴AD=4.

故选D.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD ∽△CBD.

2．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）

A．2

3

5

B．

2

3

3

C．

3

3

4

D．

4

3

5

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．

【详解】

如图，

在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，

∴3

连接DE，

∵∠BDC=90°，点D是BC中点，

∴DE=BE=CE=1

2

BC=2，

∵∠DCB=30°，

∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴DF DE BF AB

＝，

在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，

∴

2

3 DF

BF

＝，

∴

2

5 DF

BD

＝，

∴DF=2243

3

55

BD=⨯=

故选D．

【点睛】

此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定

义，判断出DE ∥是解本题的关键．

3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5

CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

【答案】D

【解析】

【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．

【详解】

解：连接BD ，如图，

AB Q 为直径，

90ADB ACB ∴∠=∠=︒，

AD CD =Q ，

DAC DCA ∴∠=∠，

而DCA ABD ∠=∠，

DAC ABD ∴∠=∠，

DE AB ∵⊥，

90ABD BDE ∴∠+∠=︒，

而90ADE BDE ∠+∠=︒，

ABD ADE ∴∠=∠，

ADE DAC ∴∠=∠，

5FD FA ∴==，

在Rt AEF ∆中，3sin 5

EF CAB AF ∠=

=Q ， 3EF ∴=，

22534AE ∴=-=，538DE =+=，

ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，

ADE DBE ∴∆∆∽，

::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，

16BE ∴=，

41620AB ∴=+=．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）

A ．3：4

B ．9：16

C ．9：1

D ．3：1

【答案】B

【解析】

【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．

【详解】

∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴DC ∥AB ，

∴△DFE ∽△BFA ，

∵DE ：EC=3：1，

∴DE ：DC=3：4，

∴DE ：AB=3：4，

∴S △DFE ：S △BFA =9：16．

故选B ．

5．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）