《一元二次方程》课件4
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5.4 二次函数与一元二次方程(课件)九年级数学下册(苏科版)
01
问题引入
(2)利用判别式法检验(1)中结论是否正确。
【分析】
对于x2+x-2=0，∆=9>0，方程有两个不同的实数根；
对于x2-6x+9=0，∆=0，方程有两个相同的实数根；
对于x2-x+1=0，∆=-3<0，方程没有实数根。
02
图像法确定一元二次方程的根的情况
知识精讲
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
且对称轴为x=3，
∴另一个交点为(5，0)，
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标
=ax2+bx+c=0(a≠0)的解，
∴x²-6x+n=0的另一个解x2=5。
03
典例精析
例3、(1)求抛物线y=kx2+(2k+1)x+2的图像与x轴的两个交点；
(2)若(1)中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该
（2）方程ax²+bx+c-3=0的两根分别为__________________;
（3）方程ax²+bx+c=2的根的情况是__________________;
（4）方程ax²+bx+c=4的根的情况是__________________。
可以看作：抛物线y=ax²+bx+c与直线y=3联立所得，
（2）方程ax²+bx+c-3=0的两根分别为__________________;
有两个不同的实数根
（3）方程ax²+bx+c=2的根的情况是__________________;
（4）方程ax²+bx+c=4的根的情况是__________________。
人教版九年级数学上册一元二次方程《用适当的方法解一元二次方程》示范公开课教学课件
(2)一般情况下,选择因式分解法或者公式法解此类方程,当用因式分解法时,要
注意验证分解结果的正确性;(3)要有检验的意识,判断所求得解是否正确.
典例分析
【例2】用适当的方法解下列方程
(1)4 x 4 x 1 0
2
( 3)( 2 x 3) x 9
2
2
(2)( x 1)( x 2) 1
(4)因式分解法适用于化成一般式后左边能因式分解
的方程;
谢
谢
观
赏
(1)(x＋1)2－4=0;
(4)y2－2y=5;
(2)x2＋3x=0;
(5)x2－2 x－3=0;
(3)x2－3x－4=0;
(6)x(2x－5) =2(2x－5).
(1)有公因式时,可用因式分解法；
(2)方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可用直接开平方法;
(3)二次项系数为1,可用配方法解较快;
2
43 x
2
6x
用适当的方法解方程:
2x
36 0；
4 x 9 0.
32 x
55 x( x 3) ( x 2)( x 3)
4 2x 2 0
2
2
( 3k 1) x 2k 2k 0
2
2
5x
知识归纳
1.一元二次方程
8. 换元法
解方程:(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
a.整体换元
已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0,则x－y的值是(
b.降次换元
4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
解方程:6x
A.－2或3
B.2或－3
C.－1或6
注意验证分解结果的正确性;(3)要有检验的意识,判断所求得解是否正确.
典例分析
【例2】用适当的方法解下列方程
(1)4 x 4 x 1 0
2
( 3)( 2 x 3) x 9
2
2
(2)( x 1)( x 2) 1
(4)因式分解法适用于化成一般式后左边能因式分解
的方程;
谢
谢
观
赏
(1)(x＋1)2－4=0;
(4)y2－2y=5;
(2)x2＋3x=0;
(5)x2－2 x－3=0;
(3)x2－3x－4=0;
(6)x(2x－5) =2(2x－5).
(1)有公因式时,可用因式分解法；
(2)方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可用直接开平方法;
(3)二次项系数为1,可用配方法解较快;
2
43 x
2
6x
用适当的方法解方程:
2x
36 0；
4 x 9 0.
32 x
55 x( x 3) ( x 2)( x 3)
4 2x 2 0
2
2
( 3k 1) x 2k 2k 0
2
2
5x
知识归纳
1.一元二次方程
8. 换元法
解方程:(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
a.整体换元
已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0,则x－y的值是(
b.降次换元
4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
解方程:6x
A.－2或3
B.2或－3
C.－1或6
一元二次方程的概念-PPT课件
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
实际问题与一元二次方程(四)图形面积问题(课件)数学九年级上册(人教版)
A.(80+x)(50#43;2x)(50+x)=5400
C.(80+x)(50+2x)=5400
D.(80+2x)(50+2x)=5400
3.一个直角三角形的斜边长为 20，一直角边长是另一直角边长的2倍，则
这个直角三角的面积是( B )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
1.矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为_a_b__m2，周长为_2_(_a_+_b_)_m. 2.梯形的上、下底分别为acm和bcm，高为hcm，则其面积为__12_(_a_+_b_)_h__cm2. 3.圆的半径为rcm，则其面积为π___r_2 cm2，周长为__2_π_r___cm.
备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成
如图所示，所用的篱笆长为36米．
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于 墙的一边的长为多少米？
20米
解：由题意可列方程：
x(36-2x)=144 整理得，x2-18x+72=0 解得x1=6，x2=12 当x=6时，36-2x=24(米)＞20米，不符合题意舍去； 当x=12时，36-2x=12(米)
解得：x1=1，x2=13．
∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1．
答：AE的长为1m．
几何图形与一元二次方程问题
课本封面问题 常见类型 彩条/小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
列方程依据 常见几何图形面积是等量关系.
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
当k
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
初中数学《一元二次方程》教育教学课件
方程解法 之 基本方法 • 开平方法
【之一 开平方法】
（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二 次方程 。
（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=± p 。 （3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=± p ，进而得出方程的根。
（x-2)(x+2)=0
即 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2，x2= 2
方程解法 之 基本方法 • 因式分解法
十字相乘法
十字相乘法是因式分解法解 一元二次方程中一个重要的部分。 一元二次方程左边为二次三项式， 形如x²+(p+q)x+pq=0，可化为 (x+p)(x+q)=0，从而得出：
x1=-p;x2=-q。
方程解法 之 基本方法 • 配方法
配方法的口诀
二次系数化为一， 分开常数未知数； 一次系数一半方， 两边加上最相当。
【例题】
1、解方程 x²+2x－3=0 解：把常数项移项得：x²+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：
x²+2x+1=4 配方得：（x+1)²=4 ∴ x1=-3 , x2=1
根据题意，得 [100(1+x)-50](1+ x)=63. 整理，得 50x2+125x-13=0. 解得x1=0.1 ，x2=-2.6 . ∵x2=-2.6 不合题意， ∴x= 10%. 答:第一次存款时的年利率为10%。
解应用题 之 精选例题
概念解析 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
《公式法》一元二次方程PPT课件 (共8张PPT)
= -q+(
)2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2
练习:用公式法解方程 1、 x2 x -1= 0
2、 2x2 - 2 x+1= 0
用公式法解一元二次方程的
小结
由配方法解一般的一元
一般步骤： 1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。