高中数学第1章算法初步1.2流程图名师导航学案苏教版必修3

1.2 流程图名师导航三点剖析一、流程图1．流程图流程图是由一些图框和带箭头的流线组成的能准确、直观地表示算法的图形.其中图框表示各种操作类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.2．框图的名称与功能（1）起止框起止框表示算法的开始和结束，通过用圆角矩形表示，它一般出现在一个流程的开头或结尾，在画流程图有时可以省略.（2）输入、输出框输入、输出框表示一个算法的输入和输出的操作，一般画成平行四边形（3）处理框处理框通常表示对输入或输出的信息进行处理，一般是“赋值”“计算”.其形状通常为矩形.（4）判断框判断框的功能是根据条件决定执行两条路线中的某一条，它有两条输出路线.如果判断某条件成立，则在出口处标明“是”或“Y”，若不成立时则标明“否”或“N”.例如:如图51所示，下面是求满足条件1+2+3+…+n>2 004的n的最小值的一个算法的流程图.图5-1在上述流程图中，框图①为起止框，它处于流程图的开始或结束处，其中虚框表示在开始或结束处它可有可无.框图②表示输入、输出框，在一个流程图中输入、输出框可能存在也可能不存在，如果存在的话，个数可以是一个也可以是多个.在本流程图中，第一个为输入框，它表示输入n的值；第二个为输出框，它表示输出n的值.框图③为处理框，左边的处理框表示计算2)1(+nn的值，而右边的处理框则表示将n的值再加上1.框图④表示判断框，在本流程图的判断框中表示对2)1(+nn的值是否大于2 004进行判断，如果2)1(+nn的值大于2 004,则执行标有“Y”的路径，否则执行标有“N”的路径.线条⑤则是流程线，它表示算法执行的步骤或者说流程进行的方向.图5-2如图5-2是一个流程图，它表示算法执行完“计算2)1(+nn”这一步后再执行判断2)1(+nn的值是否大于2004这一步.3．流程的组成由以上可知流程图是由程序框图和流程线按一定的次序组成的.流程线是方向箭头，它按照算法的进行顺序将程序框图连接起来，使流程图能表示一个完整的算法或一个算法的一部分.如上面图5-1和图5-2中的流程图都表示一个完整的算法，而图53中的流程图则表示一个算法的一部分.图5-34．用流程图表示算法的优点用流程图表示算法可以使算法的基本逻辑结构变得清晰、直观，可将依次设计好的算法清晰直观地表示出来，且使算法变得容易阅读、理解和修改，为将算法语言转化为计算机语言提供了一定的依据.二、算法的结构构成由求满足条件1+2+3+…+n>2 004的n的最小值的一个算法的流程图可以看出，在该算法的执行过程中有些步骤上按先后顺序执行的，有些则需要在进行选择之后再执行，而另外一些需要循环执行，因此不难看出一个算法中有以下几种逻辑结构，即顺序结构、选择结构和循环结构.虽然不同的算法千差万别，但事实上，所有算法都可以由这三种基本逻辑结构构成.1．顺序结构顺序结构指的是依次进行多个处理的结构，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，是任何一个算法都离不开的最基本、最简单的基本结构.例如，图53中虚框内就是一个顺序结构，三个框图自上而下依次执行：先将1的值赋给变量x，再将x＋1的值赋给变量x，最后输出变量x的值.这里“←”是赋值符号，它表示把符号右边的数值或代数式的值赋给左边的变量.顺序结构是一种最简单、最基本的结构，其特点是各部分按照出现的先后顺序执行.它由A和B两个语句块组成，且仅有一个入口和一个出口.最简单的情况是每一语句块中只含有一条不产生控制转移的执行语句.每个语句块本身也可以是一个顺序结构，因此一个顺序结构可以由许多顺序执行的语句组成.2．选择结构在一个算法中经常会遇到一些条件的判断，因此在算法的流程图中根据条件是否成立，有着不同的流向.像这种根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构（分支结构）.一个选择结构都包含一个判断框，当条件成立时执行标有“Y”或“是”的分支，当条件不成立时则执行标有“N”或“否”的分支.对于选择结构要注意以下几点：（1）在选择结构中不论条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不能既执行A框又执行B框；（2）A框或B框中可以有一个是空的，即可以不执行任何操作；（3）无论走哪条路径，执行完A或B之后，都经过点b，然后脱离本选择结构.（4）选择结构是可以镶嵌的，即在选择结构中还可以出现选择结构.这种结构主要出现在有多个条件判断的算法中.如图5-4所示，虚框内就是两个比较常见的选择结构，在（1）中当条件“n>3”成立时则执行A，否则执行B；在（2）中当条件“n>3”成立时执行框A，当条件“n>3”不成立时，直接脱离选择结构.图5-4图5-53．循环结构在某一算法中也经常会出现从某处开始，按照一定条件反复执行某一处理步骤的情况.在算法中像这样重复执行同一操作的结构称为循环结构.反复执行的处理步骤称为循环体，在循环体中一定有一个选择结构.此外，循环结构中通常都有一个起到循环计数的变量，这个变量一般都含在执行或终止循环体的条件中，如图55所示，虚框中的流程就是一种常见的循环结构.其功能是：先执行框A，然后判断给定的条件P是否成立，若给定的条件P不成立，再执行框A，执行完框A后，再判断条件P是否成立，如果不成立，再执行框A……如此反复执行框A，直到某一次条件P成立为止，此时不再执行框A，而从b点脱离循环结构.为了进一步熟悉循环结构，我们看一个具体的实例：求1×2×3×4×5的值的算法的一个流程图.如图5-6：图5-6在此流程图中，虚框内的部分就是一种循环结构，在这一部分，当算法依次执行完①和②两个框图后，开始执行③进行条件的判断，判断条件“I>5”是否成立，若不成立则再依次执行①和②两个框图，直到条件“I>5”成立，则退出循环执行下一步.在这个流程图中，①和②两部分构成了一个循环体；框图③是一个条件结构，它用于是否继续执行循环体，称为循环的终止条件；变量I是一个循环变量，它控制着循环的开始和结束，框图④就是赋予循环变量初始值，预示着循环的开始.循环结构可以根据指定的条件，来表示含有循环过程的算法.有了循环结构使得具有循环过程的算法过程变得形式简练，且具有了通用性和灵活性.常见的循环结构有两种，上面介绍的是直到型循环，另一种是当型循环，其框图如图5-7.图5-7 图5-8其功能是：当给定的条件P成立时，执行框A，执行完框A后，再判断条件P是否成立，如果成立，再执行框A，如此反复执行框A，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行框A，而从b点脱离循环结构.当型循环和直到型循环是可以相互转化的.例如：求1×2×3×4×5的值的算法的流程图也可以用当型循环表示如图5-8.4．三种基本结构的共同点由上面内容可知，三种基本结构有以下几个共同点：图5-9（1）只有一个入口；（2）只有一个出口.请注意，一个菱形判断框有两个出口，而一个选择结构只有一个出口,不要将菱形框的出口和选择结构的出口混淆.（3）结构内的每一部分都有机会被执行到.对每一个框来说，都应有一条从入口到出口的路径通过它.而对于图5-9来说：没有一条从入口到出口的路径通过A框.（4）结构内不存在“死循环”(无终止的循环).由以上三种基本结构（顺序、选择和循环结构）按照一定次序组成的算法，可以解决任何复杂的问题，这些也被称为“结构化”的算法.问题探究问题:有三个硬币A、B、C，其中一个是伪造的，另两个是真的，伪造的与真的质量不一样，现在提供天平一座，那么如何找出伪造的硬币呢？探究：要确定A、B、C中哪一个硬币是伪造的，只要比较它们的质量就可以了.比较A 与B的质量，若A＝B，则C是伪造的；否则，再比较A与C的质量，若A＝C，则B是伪造的，若A≠C，则C是伪造的.故可得该算法的流程图如下（图5-10）:图5-10精题精讲例1．给出求满足1×3×5×7×…×__________＞10 000最小正整数的一种算法，并画出流程图.思路解析在解题的时候经常会遇到需要重复处理一类相同的事或类似的操作，当用算法解决此类问题时，一般用循环结构.如此题就需要重复地做加法运算.如果用逐一相加算法，步骤太多，采用循环结构可以很好地解决此类问题.常见的循环结构有两种：直到型循环和当型循环，当型循环和直到型循环是可以相互转化的.直到型循环的功能是：先执行框A，然后判断给定的条件P是否成立，若给定的条件P不成立，再执行框A，执行完框A后，再判断条件P 是否成立，如果不成立，再执行框A……如此反复执行框A，直到某一次条件P成立为止，此时不再执行框A，脱离循环结构.当型循环的功能是：当给定的条件P成立时，执行框A，执行完框A后，再判断条件P是否成立，如果成立，再执行框A……如此反复执行框A，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行框A，脱离循环结构.此题可用直到型循环解决.答案：其算法如下：S1 n←1；S2 T←1；S3 T←T×n；S4 如果T＞10 000，输出n，结束.否则使n的值增加2重新执行S3、S4.流程图如下（图5-11）：图5-11例2．若有A、B、C三个互不相等的数字，你能设计一个算法找出其中的最大值吗？试给出解决问题的一种算法，并画出流程图.思路解析应先将三数两两比较，进行判断，先比较A与B的大小，若A大于B，则比较A与C的大小，否则比较B与C的大小，最后哪个数在则输出哪个数.由于在算法的过程中用到条件的判断，则在设计算法时应用选择结构.答案：算法和流程图如下（图5-12）：S1输入A、B、C；S2 如果A＞B，那么转S3，否则转S4；S3如果A＞C，那么输出A，转S5，否则输出C，转S5；S4如果B＞C，那么输出B，否则输出C；S5结束.图5-12例3．求1×2×3×4×5×6×7的值，试设计不同结构的算法并画出流程图.思路解析由于在算法执行的过程中不断地进行乘法运算，则可利用顺序结构或循环结构来处理此题.答案：如图5-13所示.算法1 算法2图5-13绿色通道对顺序结构和循环结构要正确理解，要学会推理分析.算法都可以由顺序结构、选择结构和循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套来完成.例4．有一光滑斜面与水平桌面成α角，设有一质点在t=0时，从此斜面的顶点A 处开始由静止状态自由释放，如图514所示.如果忽略摩擦力，斜面的长度s ＝300cm ，α＝65°.求t ＝0.1，0.2，0.3，…，1.0s 时质点的速度.试画出流程图.思路解析从物理学知识知道：质点在斜面上运动时，它的加速度a ＝gsin α.当在水平面上运动时，速度为常数，且保持它在B 点时的速度.图5-14从A 点到B 点间的速度v ，可由公式v ＝at ＝g （sin α）t,求出到B 点时的速度.si 222na sg as as a at v B •====解题的过程是这样考虑的：按公式v＝at＝g（sinα）t，求t＝0.1，0.2，0.3……时的速度v，每求出对应于一个t的v值后，即将v与v B相比较，如果v＜v B，表示质点还未到达B点，使t再增加0.1s，再求下一个t时的v值，直到v≥v B时，此时表示已越过B点，此后的速度始终等于v B的值.答案：流程图如下（图5-15）：图5-15绿色通道一般情况下，三种基本结构（顺序、选择和循环结构）按照一定次序组成的算法，可以解决常见的复杂问题.例5．设y为年份，按照历法的规定，如果y为闰年，那么或者y能被4整除不能被100整除，或者y能被400整除.对于给定的年份y，要确定它是否为闰年，如何设计算法?请画出流程图.思路解析在设计算法时应首先输入年份，接着需要判断它是否能被4整除，若不能被4整除则为平年，否则判断它是否能被100整除，若不能被100整除，则输出闰年;否则判断它是否能被400整除，若能则输出闰年，否则输出平年.答案：如图5-16所示.图5-16绿色通道选择结构是可以镶嵌的，即在选择结构中还可以出现选择结构.这种结构主要出现在有多个条件判断的算法中.。