专题立方和差公式和差的立方公式必讲张俊
立方和差公式
立方和差公式立方和差公式是数学中一个重要的公式，用于求解两个立方根的和或差。
它在代数和数学分析中的应用广泛，被广泛应用于代数方程的求解、几何问题的研究和计算机图像处理等领域。
本文将介绍立方和差公式的推导过程、应用场景以及在数学中的重要性。
一、立方和差公式的推导过程立方和差公式的推导可以通过代数的运算规律来实现。
首先，我们先从一个立方根的平方入手，假设有两个数a和b，那么它们的立方根的平方可以表示为：(a^(1/3))^2 = a^(2/3)，(b^(1/3))^2 = b^(2/3)。
接下来，我们可以利用平方差公式来计算这两个平方的差：(a^(1/3))^2 - (b^(1/3))^2 = a^(2/3) - b^(2/3)。
然后，我们可以继续简化这个等式。
根据平方差公式，我们可以将其转化为一个乘积形式：(a^(1/3) - b^(1/3))(a^(1/3) + b^(1/3)) = a^(2/3) -b^(2/3)。
接下来，我们可以将这两个立方根平方和差的公式再进行进一步的推广。
我们分别将a^(1/3)和b^(1/3)乘以它们的平方形式得：a^(1/3) * (a^(1/3))^2 = a^(1/3) * a^(2/3) = a^(1) = a，b^(1/3) * (b^(1/3))^2 = b^(1/3) * b^(2/3) = b^(1) = b。
然后，将其带入之前的等式：(a^(1/3) - b^(1/3))(a^(1/3) + b^(1/3)) = a^(2/3) - b^(2/3)，得到(a - b)(a^(1/3) + b^(1/3)) = a^(2/3) -b^(2/3)。
至此，我们就得到了立方和差的公式：a^(2/3) - b^(2/3) = (a - b)(a^(1/3) + b^(1/3))。
二、立方和差公式的应用场景立方和差公式在代数方程的求解中有着重要的应用。
当我们遇到一个立方方程时，可以将其转化为一个二次方程来求解，这样可以简化计算的复杂度。
立方差与立方和公式
立方差与立方和公式摘要：一、立方差公式1.定义与概念2.立方差公式推导3.立方差公式应用二、立方和公式1.定义与概念2.立方和公式推导3.立方和公式应用三、立方差与立方和公式关系1.立方差公式与立方和公式联系2.立方差与立方和公式在实际问题中的应用正文：立方差与立方和公式是数学中立方函数的重要公式，它们在解决实际问题中具有重要作用。
一、立方差公式1.定义与概念立方差公式是描述两个立方数之差的公式，假设x 和y 是实数，那么x 的立方与y 的立方的差可以表示为：x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)。
2.立方差公式推导立方差公式的推导可以通过差平方公式和立方和公式来进行。
首先，我们可以将x^3 - y^3 表示为(x - y)(x^2 + xy + y^2)，然后我们证明了x^2 + xy + y^2 是一个二次方程的完全平方，即(x + y/2)^2 + 3y^2/4。
3.立方差公式应用立方差公式在解决实际问题中有很多应用，比如在物理学中，它可以用来描述物体在弹性碰撞中的速度变化；在计算机图形学中，它可以用来计算三维空间中的物体旋转等。
二、立方和公式1.定义与概念立方和公式是描述多个立方数之和的公式，假设x1、x2、...、xn 是实数，那么它们的和可以表示为：x1^3 + x2^3 + ...+ xn^3 = (x1 + x2 + ...+ xn)(x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2 - (x1x2 + x1x3 + ...+ xn-1xn))。
2.立方和公式推导立方和公式的推导可以通过代数方法来进行。
首先，我们将x1^3 +x2^3 + ...+ xn^3 表示为(x1 + x2 + ...+ xn)(x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2 - (x1x2 + x1x3 + ...+ xn-1xn))，然后我们证明了x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2 - (x1x2 + x1x3 + ...+ xn-1xn) 是一个二次方程的完全平方，即(x1 + x2 + ...+ xn/2)^2 - (x1x2 + x1x3 + ...+ xn-1xn)/4。
专题立方和差公式和差的立方公式
专题立方和差公式和差的立方公式WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1 计算：（1）2(32)(964)y y y +-+；（2）22151(5)(25)224x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。
分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；（2）原式=333311(5)()12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。
说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+⋅+⋅+=+++。
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式
公式如下：
1、立方和公式为a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
2、立方差公式为a³-b³=(a-b)(a2+ab+b2)。
一、关于立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式，其文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。
立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。
二、关于立方差公式
立方差公式的文字表达为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。
立方差公式是数学中常用公式之一，在高中数学且在数学研究中该式都占有很重要的地位，甚至在高等数学、微积分中也经常用到。
换算关系：
1、立方分米：1立方分米=0.001立方米。
2、立方厘米：1立方厘米=0.000 001立方米。
3、方，公方：1方（公方）=1立方米。
4、立方市丈：1立方市丈=1 307.8立方米。
5、立方市尺：1立方市尺=0.037 0立方米。
6、立方码：1立方码=0.764 6立方米。
7、立方英尺：1立方英尺=0.028 317立方米。
立方和差公式和完全立方公式
立方和差公式和完全立方公式一、立方和、差公式1.立方和公式：立方和公式是指两个数的立方和的因式分解公式。
设a和b是实数，那么立方和公式可以表达为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这个公式可以通过展开（a+b）^3来进行推导。
首先将(a+b)^3展开，得到：(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)通过分配律进行展开，可以得到：(a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)= a^2(a + b) + 2ab(a + b) + b^2(a + b)= a^3 + ab^2 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3从上式可以看出，两个数的立方和可以通过将每个数的立方项相加，并将每个数的平方项乘2后相加，并将每个数相乘得到新的立方和公式。
2.立方差公式：立方差公式是指两个数的立方差的因式分解公式。
设a和b是实数，那么立方差公式可以表达为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方差公式的推导与立方和公式的推导类似，通过展开(a-b)^3来进行推导，得到：(a-b)^3=(a-b)(a-b)(a-b)= (a^2 - 2ab + b^2)(a - b)= a^2(a - b) - 2ab(a - b) + b^2(a - b)= a^3 - ab^2 - a^2b + 2a^2b - 2ab^2 + b^3= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3从上式可以看出，两个数的立方差可以通过将每个数的立方项相减，并将每个数的平方项乘2后相减，并将每个数相乘得到新的立方差公式。
例如，在代数运算中，如果需要计算(a+b)^3的值，可以直接使用立方和公式进行展开，然后计算得出结果。
而如果需要计算(a-b)^3的值，也可以通过立方差公式进行简化计算。
立方差公式和立方和公式
立方差公式和立方和公式
立方差是指一组数据的每个数值与平均值之差的立方的平均值。
立方
和是指一组数据的每个数值的立方的总和。
设一组数据为x1, x2, x3,..., xn，平均值为x̄，则立方差公式可
表示为：
方差 = [(x1 - x̄)^3 + (x2 - x̄)^3 + (x3 - x̄)^3 + ... + (xn - x̄)^3] / n
立方和公式：
立方和公式可以用于计算一组数据的立方和。
它是通过计算每个数据
值的立方并将其求和得到的。
设一组数据为x1, x2, x3,..., xn
立方和 = x1^3 + x2^3 + x3^3 + ... + xn^3
两者之间的关系：
立方差和立方和公式的应用：
立方差和立方和公式在统计学中有广泛的应用。
例如，在概率分布中，可以使用立方差公式来计算数据的方差，帮助分析数据的分布情况。
在回
归分析中，可以使用立方和公式来计算数据的立方和，从而得到回归方程
的系数。
此外，在工程和自然科学领域，立方差和立方和公式也经常被用于分
析数据的变化趋势和总体变化程度。
例如，在工程项目中，可以使用立方
差公式来计算测量误差的方差，从而评估测量结果的可靠性。
在物理实验
中，可以使用立方和公式来计算各种物理量的立方和，从而获得实验结果的总体变化程度。
总之，立方差公式和立方和公式是数学中常用的计算公式，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和变化程度。
通过应用这些公式，我们可以在统计学、工程学和自然科学等领域中进行更深入的数据分析和实验研究。
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式设a和b为任意两个数，则它们的立方和公式为：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，这是一个关于a和b的立方和的展开式。
这个公式可以通过展开(a+b)³来证明。
我们可以用分配律展开(a+b)(a+b)(a+b)：(a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a²+2ab+b²)= a(a²+2ab+b²) + b(a²+2ab+b²)= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³可以看出，立方和公式中，一项是a³，一个是b³，还有三个相似的项3a²b, 3ab², 3a²b，它们分别是三个相似项3a²b, 3ab²的和，这样的和出现了三次。
这样，我们就得到了立方和公式。
设a和b为任意两个数，则它们的立方差公式为：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³，这是一个关于a和b的立方差的展开式。
同样地，我们可以通过展开(a-b)³来证明这个公式。
我们也可以用分配律展开(a-b)(a-b)(a-b)：(a - b)(a - b)(a - b) = (a - b)(a² - 2ab + b²)= a(a² - 2ab + b²) - b(a² - 2ab + b²)= a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³= a³ - 3a²b + 3ab² - b³这两个公式是关于立方和立方差的重要公式，在数学中经常被使用。
立方与立方差公式
立方与立方差公式
（最新版）
目录
1.立方和公式
2.立方差公式
3.立方和与立方差公式的应用
正文
立方和公式和立方差公式是数学中非常基础且重要的公式之一。
立方和公式指的是将一个数立方后与另一个数立方后相加的结果，可以表示为：
(a+b)=a+b+3ab+3ab。
而立方差公式则指的是将一个数立方后与另一个数立方后相减的结果，可以表示为：(a-b)=a-b-3ab+3ab。
立方和公式在许多数学问题中都有广泛的应用，例如在求解一些复杂的体积和表面积问题时，就可以通过立方和公式来简化计算过程。
而立方差公式则常常被用于解决一些涉及到数列求和、概率论等问题。
举个例子，如果我们需要求解一个长方体的体积，我们可以通过立方和公式来计算。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么长方体的体积 V 就可以表示为：V=a+b+c。
通过这个公式，我们就可以快速地计算出长方体的体积。
同样，立方差公式也有着广泛的应用。
例如，在求解一些涉及到数列求和的问题时，我们就可以利用立方差公式来简化计算过程。
假设有一个等差数列，其首项为 a，公差为 b，项数为 n，那么该等差数列的和 S 就可以表示为：
S=n/2*(2a+(n-1)b)，通过这个公式，我们就可以快速地求解出等差数列的和。
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专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；
（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；
（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；
（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；
（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1 计算：
（1）2(32)(964)y y y +-+；
（2）22151(5)(25)224
x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。
分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；
（2）原式=333311(5)(
)12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。
说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算
23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+⋅+⋅+=+++。
例2 计算：
（1）3639
(1)(1)(1)x x x x -+++；
（2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+；
（3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；
分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键. 解：（1）原式9918
(1)(1)1x x x =-+=-；
（2）解法一：原式22336[(1)(1)][(1)(1)](1)(1)1x x x x x x x x x =+-+-++=+-=-；
解法二：原式22(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x =+-+++-
2222(1)[(1)]x x x =-+- 242(1)(1)x x x =-++
61x =-；
（3）原式222
[(2)(24)]x y x xy y =+-+ 332(8)x y =+
63361664x x y y =++。
说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.
例3因式分解：
（1）33125x y +；
（2）4
27a a -；
（3）66x y -。
分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的,a b 是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。
解：（1）原式3322()5(5)(525)xy xy x y xy =+=+-+；
（2）原式3332(127)[1(3)](13)(139)a a a a a a a a =-=-=-++
（3）原式 323233332222()()()()()()()()x y x y x y x y x xy y x y x xy y =-=+-=+-+-++。
说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。
例４设5,1x y xy +==-,试求33
x y +的值。
分析：对于立方和公式3322
()()a b a b a ab b +=+-+，我们不难把它变成： 332()[()3]a b a b a b ab +=++-，即333()3()a b a b ab a b +=+-+，再应用两数和、两数积解题较为方便。
解：3333
()3()53(1)5140x y x y xy x y +=+-+=-⨯-⨯=。
说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。
例5 如果ABC ∆的三边,,a b c 满足3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，试判断ABC ∆的 形状。
分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。
解：因为322223
0a a b ab ac bc b -+-+-=，
所以332222()()0a b a b ab ac bc -+-++-+=，
即222()()()()0a b a ab b ab a b c a b -++----=， 222()(c )0a b a b -+-=，
所以a b =或222
a b c +=， 因此ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.
说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.
练习
1.计算：
（1）2(4)(164)a a a +-+；
（2）22121(2)(4)339a b a ab b -+
+； （3）2(1)(1)x x x ---+；
（4）22
(2)(24)(2)x x x x x ---++。
2.计算：
（1）222(2)(2)(24)(24)x x x x x x +--+++；
（2）3(23)x y +；
（3）31(5)3b -；
（4）323(1)(1)m m m -++。
3．分解因式：
（1）33(21)x x ++；
（2）33278x y -；
（3）33124x y -
； （4）664m -。
4．化简：。
5．若0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=。
6．（1）已知2m n +=-，求33
6m n mn +-的值；
（2）已知：1x y -=，求333x y xy --的值. 7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm ，体积之和为28cm 3
，求两个正方体的棱长. 8. 已知1a b +=，求333a ab b ++的值。
9. 已知2,48a b ab -==，求44a b +的值。
10.已知实数,,a b c 满足0abc ≠，2223331,2,a b c a b c a b c ++=++=++，求abc 的值。
答案：
1．（1）364a + ；（2）331827
a b -；（3）31x --；（4）2448x x -+-。
2．（1）664x -； （2）32238365427x x y xy y +++；
（3）235112525327b b b -+
-；（4）963331m m m -+-。
3、（1）2(31)(331)x x x +++； （2）22(32)(964)x y x xy y -++；
（3）221(2)(42)4
x y x xy y -++；（4）22(2)(2)(24)(24)m m m m m m +--+++。
4．2b
5．提示： 322322
()()0a a c b c abc b a b c a ab b ++-+=++-+=。
6．（1）-8（2）1
7．两个正方体的棱长分别为1cm 和3cm.
8.1
9.5392 10.1
6
（兴化市第一中学 张俊）。