初中数学北师大版八年级上册存在既不是整数,也不是分数的数
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.1 认识无理数(第2课时) 课件
2.1 认识无理数/
基础巩固题
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
B
π
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有 理数的正方形有___3__个，边长是无理数的正方形有___6__个．
北师大版 数学 八年级 上册
1.1 探索勾股定理/
2.1 认识无理数(第2课时)
导入新知
2.1 认识无理数/
思考导入
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数 有理数
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，
也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
素养目标
2.1 认识无理数/
1. 下列各数中，属于无理数的是（ C ）
A．
B．1.414 C．
D．
B
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
1. 判断题 (1)有限小数是有理数; （ √ ）
(2)无限小数都是无理数; （ × ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ × ）
课堂检测
课堂检测
1 认识无理数
2.1 认识无理数/
能力提升题
如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中 的四条线段中长度为有理数的线段是 CD,EF. 解析:设小正方形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
八年级数学上册 2.1.2 认识无理数教案 (新版)北师大版
2.1.2认识无理数1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力.3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神.教学重点与难点：重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用.课前准备:多媒体课件、计算器.教学过程：一、创设情境，导入新课教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”.二、合作探究，发现新知探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a．（课件展示）教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.（学生小组合作，探索交流）教师：谁能说一下小组探索的结果？学生：a=1.4142．教师：恰好是1.4142吗？学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.教师：还有几位小数？学生：无数位.它是一个无限小数.教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？学生：这个数是无限小数而且不循环.教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格.教师：谁能说一下你能得到什么结论？学生：b=2.23606…，它也是一个无限不循环小数.教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算限逼近的数学思想.实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础.议一议（课件展示）：把下列有理数表示成小数，你发现了什么？3，，，，．学生1：3=3.0， =0.8， =，，．学生2：我发现3，是有限小数，是无限循环小数．教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.你能给这类数取个名字吗？生：无理数.教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？学生：无理数就是无限不循环小数.但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a2=2，b2=5中的a，b是无限不循环小数都是无理数．教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？学生：一是无限小数；二是不循环小数．教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？教师：无理数多不多？学生：多．教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范，应用概念（课件展示）例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来.跟踪练习：1．填空:有理数有：；无理数有：．2．判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数；（）(2)无限小数都是无理数；（）(3)无理数都是无限小数；（）(4)有理数是有限小数. （）教师强调:1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．例2（1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由．(2)估计x的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计．（3）如果结果精确到百分位呢？解：(1)由题意得x2=10，因为32=9，42=16，而 32 <x2<42．故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．(2) 估计x≈3.2．(3) x≈3.16．设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.四、课堂总结，盘点收获教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师：还有要补充的吗？学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
新北师大版八年级数学上册《二章 实数 1 认识无理数 存在既不是整数,也不是分数的数》公开课课件_7
4.在数轴上表示 .
0
1.在 2 ， 3 2 , 0 , 9 , 2 , 3.1415,
0.010010001……， 5 ， 2.010101…(相邻两个1
之间有1个0)中，其中无理数有______个.
2. 下图是有16个边长为1的小正方形拼成的， 任意连接这些小正方形的若干个顶点，请画出一 个面积为13的正方形.
重识无理数
万物皆“数” 宇宙间的一切现象 都能归结为整数或 整数之比
活动一：摸球游戏造小数 袋中有10个标注有0至9的乒乓球，它们 大小形状完全一样. 要求：
① 摸出一个球，把标注数字记录在0.3后面 ② 放回小球，摇匀，再次摸出，继续记录
思考： 当游戏结束时，得到的这个数是什么数？ 如果游戏永不停止，得到的这个数是什么数？
正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任 意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三 角形，小华在下边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按 照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角 三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
活动二： 你能将一张边长为2的正方形卡片， 折成面积为2的正方形吗？
步骤： 1.卡片对折2次，找到中心； 2.四个角向中心对折的一个数？
x
1.1
1.2
1.3
1.4 2 1.5
x2
1.21 1.44 1.69 1.96 2 2.25
2
活动四：
1.在数轴上表示 2 . 2.在数轴上表示 5 . 3.在数轴上表示 3 .
北师大版初中数学八年级上册知识点汇总
北师大版初中数学八年级上册知识点汇总北师大版初中数学八年级上册共涵盖了如下的数学知识点：整数的加减乘除，整数的大小比较，绝对值，乘方，开方，小数的四则运算，小数与整数的混合运算，数轴的概念与应用，比例与比例尺，百分数的表示与应用，利率的计算，带分数的运算，平方根的计算，平均数的概念与计算，平移和旋转的概念与性质，圆的面积与周长，直接比例与反比例，二次根式的概念与应用，代数式的计算，图形的相似性，分式的概念与运算，代数方程与方程式的解，解一元一次方程，倍数与公倍数，最小公倍数与最大公约数，比例的性质与平行线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，寻找等角三角形的方法，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的问题，领会正弦定理以及余弦定理的思想，解不等式，使用状图，解平行线的问题，统计学习方法，数据的整理与描述，数据的收集与整理，柱状图的制作与解读等。
下面我将对以上每个知识点逐一进行展开介绍。
1. 整数的加减乘除：学生需要掌握整数的基本运算规则，包括整数间的加减法和乘除法，并能运用所学知识解决简单的实际问题。
2. 整数的大小比较：学生需要学会对整数进行大小比较，并能够比较小数与整数的大小。
3. 绝对值：学生需要掌握绝对值的概念和计算方法，并能运用绝对值解决实际问题。
4. 乘方：学生需要学会使用乘方符号表示乘方运算，并能进行相应的计算。
5. 开方：学生需要学会开方运算的基本概念和计算方法。
6. 小数的四则运算：学生需要掌握小数间的加减乘除运算规则，能够进行小数的计算。
7. 小数与整数的混合运算：学生需要学会对小数和整数进行混合运算，并能灵活运用所学知识解决问题。
8. 数轴的概念与应用：学生需要了解数轴的概念，并能灵活运用数轴解决实际问题。
9. 比例与比例尺：学生需要学会比例与比例尺的概念，并能应用比例解决实际问题。
10. 百分数的表示与应用：学生需要学会百分数的表示方法，并能运用百分数解决实际问题。
北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》教学设计1
北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》教学设计1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》这一节，主要介绍实数的概念。
实数包括整数和分数，而存在既不是整数也不是分数的数，就是无理数。
本节内容是学生对实数知识的进一步拓展，对于学生来说，理解无理数的概念，并能够运用无理数解决实际问题，是本节内容的教学目标。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了整数和分数的知识，对于实数的概念有一定的了解。
但是，无理数作为一个新的概念，对学生来说还是相对陌生的。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解无理数的概念，并能够接受无理数的存在。
三. 教学目标1.让学生理解无理数的概念，知道无理数既不是整数也不是分数。
2.培养学生运用无理数解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。
四. 教学重难点1.教学重点：无理数的概念及其应用。
2.教学难点：无理数与整数、分数的区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生理解无理数的概念；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生思考和分析。
2.准备多媒体教学设备，用于展示案例和讲解。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“你们知道既不是整数也不是分数的数吗？”引导学生思考，激发学生的求知欲。
2.呈现（10分钟）展示案例，介绍无理数的概念。
通过案例分析，让学生理解无理数既不是整数也不是分数。
3.操练（10分钟）让学生通过计算，找出一些无理数。
例如，计算√2、√3等。
4.巩固（10分钟）讲解无理数与整数、分数的区别。
通过对比分析，让学生加深对无理数概念的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用无理数解决实际问题。
例如，计算圆的周长和面积等。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调无理数的概念及其应用。
八年级数学上册《存在既不是整数也不是分数的数》优秀教学案例
1.培养学生对数学知识的热爱和好奇心，使他们积极主动地参与数学学习。
2.培养学生面对困难时的勇气和毅力，让他们在探索无理数的过程中，体验克服困难、解决问题的成就感。
3.培养学生的合作意识，使他们学会在团队中发挥自己的作用，共同解决问题。
4.通过学习无理数，使学生认识到数学知识的发展性和无限性，激发他们对数学美的追求。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从以下几个方面展开：
1.无理数的定义：通过对比整数、分数，让学生理解无理数的概念，并掌握无理数的表示方法（如π、√2等）。
2.无理数的性质：引导学生探讨无理数与整数、分数的性质差异，如无理数的无限不循环性、不可比性等。
3.无理数的应用：通过实例讲解无理数在实际问题中的应用，如几何图形的面积、周长计算等。
1.真实情境的创设，激发学生兴趣；
2.问题导向，培养学生的探究能力；
3.小组合作，提高学生的团队协作能力；
4.注重反思与评价，提高学生的自我认知；
5.联系实际，培养学以致用的能力。
这些亮点有助于提高课堂教学效果，培养学生的数学素养和综合素质，体现了本案例的独特价值。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解无理数的概念，掌握无理数与整数、分数的区别和联系，能够识别常见的无理数，如π、√2等。
2.学会使用数轴表示无理数，并在数轴上比较无理数的大小。
3.掌握无理数的近似计算方法，能够运用计算器或其他工具进行无理数的近似计算。
4.能够运用无理数的性质解决实际问题，如计算图形的面积、周长等。
4.注重反思与评价，提高学生的自我认知
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，帮助他们总结学习收获，发现并改正错误。这种教学策略有助于提高学生的自我认知，培养他们的批判性思维和自主学习能力。
北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》教案1
北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》教案1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《存在既不是整数也不是分数的数》这一节，主要介绍了无理数的概念。
通过前面的学习，学生已经掌握了有理数的概念，本节内容旨在让学生了解并掌握无理数的概念，能识别一些常见的无理数，并理解无理数在实际生活中的应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数有了一定的理解。
但是，对于无理数这一概念，可能会感到比较抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而理解无理数的概念。
三. 教学目标1.让学生了解无理数的概念，能识别一些常见的无理数。
2.让学生理解无理数在实际生活中的应用。
3.培养学生的观察能力、思考能力和探究能力。
四. 教学重难点1.无理数的概念。
2.识别常见无理数。
3.理解无理数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，让学生感受无理数的存在。
2.探究教学法：引导学生通过观察、思考、探究，理解无理数的概念。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件：展示无理数的定义、性质和生活中的应用。
2.教学素材：一些具体的无理数例子，如π、√2等。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用PPT展示生活中的无理数实例，如圆的周长、音乐节奏等，让学生感受无理数的存在。
–提问：这些无理数是什么？它们有什么特点？2.呈现（10分钟）–讲解无理数的定义：无限不循环小数。
–展示一些具体的无理数例子，如π、√2等。
–分析无理数的性质。
3.操练（10分钟）–让学生自主探究，识别一些常见的无理数。
–学生上台展示自己的成果，教师点评并指导。
4.巩固（10分钟）–让学生完成一些有关无理数的练习题。
–教师讲解答案，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）–讲解无理数在实际生活中的应用，如建筑设计、音乐制作等。
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松潘县中学校 王丽
讲教法 论学法
1、什么叫有理数？
2、除了有理数外还有没有其 拼图活动：
有两个边长为1的小正方形,剪一 剪,拼一拼,设法得到一个大的正 方形，你会吗？
1 1
1 1
讲教法
a
论学法
设正方形的边长为a,a满足什么条件？
讲教法
论学法
a
a2 2
探究（3）：a可能是以3为分母的分数吗?
, , ...... , ,
a2 2
a不可能是以3为分母的分数。
讲教法 论学法
思考：a可能是分数吗?试分析原因。
两个相同的最简分数的乘积仍然是分
数，所以a不可能是分数。
a2 2
如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数。
a 可能是整数吗？ a 可能是分数吗？
讲教法 论学法
探究（1）：a可能是整数吗?
12 1,
a2 2
22 4,
32 9，
a不可能是整数
讲教法 论学法
探究（2）： a可能是以2为分母的分数吗?
,
a2 2
33 9 × = ..... .
2 2 4, a不可能是以2为分母的分数。
讲教法 论学法
h不是整数，也不是分数
例3.在方格纸中按要求设计直角三角形 ①三边长都是有理数
②三边长中有一边长不是有理数 ③三边长中有两边长不是有理数
例4：如图OA = AB =1，
（1）说出数轴上点P表示的数x满足的条件? (2)思考如何在数轴上表示满足x2 = 5(x > 0) 的x?
x2 = 2
1.在生活中确实存在既不是整数也不是分数 的数，即不是有理数的数。
存在既不是整数也不是分数的数
例1.
①如图，以直角三角形 的斜边为边的正方形的
面积是多少？ S = 5
②设该正方形的边长为b，
b满足什么样条件？b2 = 5
③b是有理数吗？
解：∵三角形ABC是正三角形，且 AD┴BC
∴BD = CD = 1 AB = 1 2
由勾股定理得：h2 = 22 — 12 = 3
谢 谢 欣 赏 ！ 2.你能列举几个非有理数的数吗?
3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你
还能找到其他的吗？
1.认识无理数2.12预习 2.课时作业2.11
谢谢欣赏！