第四章数系的扩充与复数的引入同步练习题(文科(周末)(学生版)

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(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(4)

一、选择题1．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（） A ．3- B ．3C ．13-D ．13 4．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（） A ．32B ．32i C ．32- D ．32i -5．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数（2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．46．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p8．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-9．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（） A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆11．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则yx的范围为（） A ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞12．已知i 是虚数单位，且13zi i =+，下列命题错误的是（）A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为3z i =+ D ．22z z =二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．15．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.16．若121aii i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 17．复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝__. 18．已知复数2,i m i αβ=-=-，其中i 是虚数单位，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值.19．已知复数z 和满足，且，则复数______．20．复数1323ii=+__________．三、解答题21．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位. （1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.22．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈. （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.23．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 24．已知z C ∈，0Imz >，且2||()i 52i z z z ++⋅=+．（1）求z ；（2）若,i m z m ω∈=⋅+R ，求证：1ω≥．25．已知关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x . （1）若1||5x =，求p 的值；（2）若12||2x x ，求p 的值.26．已知()1243i z i +=+，求复数z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.2．D解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.3．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+，反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ．【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．6．C解析：C 【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负. 【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C 【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.7．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．8．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．9．D解析：D 【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限，选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 10．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=， 2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．11．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】∵1zi =+，∴z i ==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要解析：[0,7)【分析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围. 【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部，数形结合可得07z <. 故答案为：[0,7) 【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值. 【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3. 【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.16．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】由121aii i +=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解. 【详解】因为121aii i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=-所以 3a =- 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.17．5【分析】首先根据复数的运算法则得到之后利用复数模的公式求得结果【详解】因为所以所以故答案是：5【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模属于简单题目解析：5 【分析】首先根据复数的运算法则，得到4334iz i i+==-，之后利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为43zi i =+，所以4334iz i i+==-，所以5z =，故答案是：5. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.18．(1)；(2)或【分析】(1)先写出的表示然后将模长关系表示为对应的不等式即可求解出的取值范围；(2)根据是关于的方程的一个根先求出方程的根根据复数相等的原则即可求解出实数与的值【详解】(1)因为所解析：(1) ()6,2-；(2) 36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩. 【分析】(1)先写出αβ+的表示，然后将模长关系2αβα+<表示为对应的不等式，即可求解出m 的取值范围； (2)根据β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，先求出方程的根，根据复数相等的原则即可求解出实数m 与n 的值.【详解】(1)因为()22m i αβ+=+-，2αβα+<，所以()22124221m ++<+，所以24820m m ++<，所以()()620m m +-<，所以()6,2m ∈-；(2)因为β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，所以方程有两个虚根，所以2402n n i x ±-=，因为m i β=-是方程的一个根，所以22401n m n ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪，所以63n m =⎧⎨=⎩或63n m =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查复数模长的计算以及有关复数方程的解的问题，难度一般.(1)已知z a bi =+，则22z a b =+；(2)若两个复数相等，则复数的实部和实部相等，虚部和虚部相等. 19．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】【分析】本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。

深圳富源文武学校选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)

一、选择题1．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-2．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 3．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（） A ．3-B ．3C ．13-D ．134．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 6．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 7．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（）A ．2B ．1C ．0或1D ．-1 8．设(2)34,i z i +=+ 则z =（）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 9．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（）A ．1BC ．2D ．310．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 11．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 二、填空题13．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.14．若复数i 2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 15．设复数z 1=1，z 2=23i 34i --∣∣，z=z 1+z 2，则z 在复平面内对应的点位于第__________ 象限． 16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．20．复数i 1iz =+，则z =______. 三、解答题21．已知复数z 满足|z |=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.24．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.25．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数. （1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .26．已知复数21(56)z m m m i =++++（1）当实数m 为何值时，z 为实数；（2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.5．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+，所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B. 点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.8．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i i z i z i i ++===+∴=-+ 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B. 点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3.【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.14．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能解析：12【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2a i i +-，又已知复数 2a i i +-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+，又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．15．一【解析】由题意所以则则在复平面内对应的点为位于第一象限解析：一【解析】由题意，223232334555i i z i i --===--，所以127255z z z i =+=-，则7255z i =+，则z 在复平面内对应的点为72(,)55位于第一象限． 16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=，所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =，故3z =，故答案为3.20．【解析】试题分析：考点：解析：2【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点：三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【分析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围.【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴=== 其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.23．-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i.∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.24．（1）8=3a -；（2）8|233a a ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭。

上海华东政法大学附属中学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>2．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（）．A ．110B ．1110 C ．2110D ．2110-3．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）． A ．220y xy x +-= B ．220y xy x -+= C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=5．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ．42i -+ 6．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 7．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．抛物线 9．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==；②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >. 其中真命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．310．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i - C ．3 D ．3i 11．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-12．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；15．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．16．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________． 17．复数212iz i-=+的虚部为__________． 18．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.20．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________．三、解答题21．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0．（1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值． 22．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bzi z+=--，求实数a ，b 的值. 23．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z. (2)求|z-4|的取值范围.24．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.25．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 26．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010=-=．故选：A ．【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．3．C解析：C 【分析】化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++= 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒- 22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+，所以1255a b i=i -+，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．8．A解析：A 【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确. 只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误. 综上,真命题有1个. 故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.10．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.11．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.12．B解析：B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1 【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④ 【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.15．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b =-⎧⎨+=⎩实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<.【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.16．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.20．【解析】分析：由题意首先求得复数z 然后求解其模即可详解：由复数的运算法则有：则故答案为点睛：本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力【解析】分析：由题意首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：121iz i i i-+==--，则13z i =--，z ==．点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i （2）m ＝0，或m ＝8 【分析】（1）根据求根公式可求得结果；（2）根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，根据韦达定理以及|x 1﹣x 2|＝2，可解得结果. 【详解】（1）当m ＝2时，x 2﹣mx +（2m +1）＝x 2﹣2x +5＝0，∴x =∴x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ． ∴方程E 在复数范围内的解为x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ；（2）方程E 有两个虚数根x 1，x 2，根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，∴x 1+x 2＝2a ＝m ，221221x x a b m =+=+，∴221214b m m =-++ ∵|x 1﹣x 2|＝|2bi |＝2，∴b 2＝1，∴212114m m -++=， ∴m ＝0，或m ＝8．【点睛】本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题.22．（1；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bzi z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果.详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-.∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b iii⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-. ∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩，∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分23．（1）z=2+3i 或z=2-3i ；（2）(1,5). 【解析】试题分析：（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，根据2z -为纯虚数求得x 的值，再由92z z +-为实数求出y 的值，即可得到复数z ；（2）由92z z +-为实数且0y ≠可得22(2)9x y -+=，由此求得x 的范围，根据复数的，从而求得范围. 试题(1)设z=x+yi(x,y ∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+9z 2-=2+yi+9yi =2+9y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭i ∈R,得y-9y =0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i. (2)因为z+9z 2-=x+yi+9x yi 2+-=x+()229x 2(x 2)y --++229y y (x 2)y ⎡⎤-⎢⎥-+⎣⎦i ∈R, 所以y-229y(x 2)y -+=0, 因为y≠0,所以(x-2)2+y 2=9, 由(x-2)2<9,得x ∈(-1,5),所以==(1,5).点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.24．（I ；（Ⅱ）133a -<<.【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解13z i =-．（1）求得15122z i =--，再根据复数的模的计算公式，即可求解1z ；（2）由（1）可求得2(3)(31)10a a iz ++-=，根据复数2z 对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数a 的取值范围．详解：∵z=1+mi ，∴．∴*(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=++- 又∵为纯虚数， ∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i ．（Ⅰ），∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i ， ∴．又∵复数z 2所对应的点在第1象限， ∴，．30310a a +>⎧⎨->⎩∴．13a >点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -． 25．（1）0a >；（2）1z i =-+ 【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ．试题解析;（I ）=，由题意得解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z iz i z z i i i--+---====--+-+++1.z i =-+26．（1）32a =-；3b =-；（2）34m << 【分析】（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-；（2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果. 【详解】（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数，所以32a =-．（2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目.。

练案[31理][30文] 第四章第五讲数系的扩充与复数的引入

[练案31理][练案30文]第五讲数系的扩充与复数的引入A组基础巩固一、选择题1．(2021·全国乙，5分)设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝(C)A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i[解析]设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，代入2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，得4a＋6b i＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.2．(2020·课标Ⅲ，2，5分)复数11－3i的虚部是(D)A．－310B．－110C．110D．3 10[解析]利用复数除法法则得11－3i＝1＋3i(1－3i)(1＋3i)＝1＋3i10，所以虚部为310，选D.3．(2022·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为(D) A．1B．22C．3D．5[解析]依题意，|z|＝12＋22＝5，故选D.4．(2021·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为(B)A．(3，2)B．(2，3)C．(－2，3)D．(2，－3)[解析]i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.5．(2020·课标Ⅲ，2，5分)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i[解析] ∵z － (1＋i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2 ＝－i ，∴z ＝i ，故选D .6．(2021·贵州37校联考)复数z ＝1＋i 1－i的共轭复数是( D ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．－i[解析] 因为z ＝1＋i 1－i＝i ，故z 的共轭复数z －＝－i ，故选D . 7．如果复数z ＝2－1＋i，则下面正确的是( D ) A ．z 的共轭复数为－1－iB ．z 的虚部为1C ．|z |＝2D ．z 的实部为－1[解析] 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i)(－1＋i)(－1－i)＝－2－2i 2 ＝－1－i ，所以z 的实部为－1，共轭复数为－1＋i ，故选D .8．(2021·五省优创名校联考)若复数z 1，z 2满足z 1＝12－i －12＋i，z 1(z 2－2)＝1，则|z 2|＝( A )A ．52B ．3C ．72D ．4 [解析] 因为z 1＝12－i －12＋i＝2i 3 ，z 2＝1z 1 ＋2＝4－3i 2 ，所以|z 2|＝52 . 9．已知复数z 满足i 2k ＋1·z ＝2＋i(k ∈Z )，则复数z 在复平面内对应的点可能位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或三象限D ．第二或四象限 [解析] ∵i 2k ＋1·z ＝2＋i ，∴z ＝2＋i i 2k ＋1 ，当k 为奇数时，i 2k ＋1＝－i ，∴z ＝－1＋2i ，位于第二象限；当k 为偶数时，i 2k ＋1＝i ，∴z ＝1－2i ，位于第四象限，故选D .10．(2022·咸阳模拟)设复数z 满足|z －1＋i |＝1，z 在复平面内对应的点为P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为( D )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －1＋i |＝1得|(x －1)＋(y ＋1)i |＝1，即(x －1)2＋(y ＋1)2 ＝1，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.二、填空题11．(2021·上海，1，4分)已知z 1＝1＋i ，z 2＝2＋3i ，则z 1＋z 2＝__3＋4i __．[解析] z 1＋z 2＝(1＋2)＋(1＋3)i ＝3＋4i .12．(2020·天津和平区线上检测)设复数z 满足(1＋i)z ＝3－i ，则|z |[解析] 由题意得，z ＝3－i 1＋i＝(3－i)(1－i)2 ＝2－4i 2 ＝1－2i ，所以|z |＝12＋(－2)2 ＝5 .13．(2021·江苏南京十三中调研)已知复数z ＝2＋i 1－i，则复数z 的虚部为__32 __． [解析] 由题意得，复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝12 ＋32 i ，所以复数z 的虚部为32 .14．(2021·浙江温州联考)已知复数z ＝1＋a i i(a ∈R )的实部为3 ，则a |z |＝__2__．[解析] ∵z ＝1＋a i i ＝(1＋a i)(－i)－i 2＝a －i 的实部为3 ，∴a ＝3 ，则|z |＝(3)2＋(－1)2 ＝2.B 组能力提升1．(2021·河北张家口期末)已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－2i)z ＝3－4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( C )A ．第二象限B ．第三象限C ．直线2x －11y ＝0上D ．直线2x ＋11y ＝0上[解析] 本题考查复数代数形式的四则运算及复数的几何意义．由(1－2i)z ＝3－4i ，得z ＝3－4i 1－2i ＝(3－4i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝115 ＋25 i . 故复数z 在复平面内对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫115，25 ，位于直线2x －11y ＝0上，故选C .2．(2021·河南商丘九校联考)若复数z ＝1＋i a －i(a ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数，则|z |的值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．2[解析] 由题意可设z ＝1＋i a －i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则b ＋ab i ＝1＋i ，解得b ＝1，即z ＝i ，则|z |＝1，故选A .3．(2022·西藏拉萨十校联考)已知复数z 满足：|z |＝|3－2z |，且z 的实部为2，则|z －1|＝( B )A ．3B ．2C ．32D ．23[解析] 设z ＝2＋b i(b ∈R )，根据题意得到4＋b 2＝1＋4b 2⇒b ＝±1，∴z ＝2±i .则|z －1|＝2 ，故选B .4．(2021·福建福州五校联考)若复数1－b i 2＋i(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则b 的值为( B )A ．－6B ．－3C ．3D ．6[解析] 解法一：由题意可设1－b i 2＋i ＝a ＋a i(a ∈R )，即1－b i ＝(2＋i)(a ＋a i)，得⎩⎨⎧1＝a ，－b ＝3a∴b ＝－3.解法二：1－b i 2＋i ＝(1－b i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－b )－(1＋2b )i 5 ，∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.5．(2022·山西大同模拟)若复数z满足|z－3－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为(C)A．1B．2C．3D．3＋1[解析]本题考查复数的四则运算及复数的模．设z＝x＋y i(x，y∈R)，由|z－3－i|＝1可得复数(x－3)2＋(y－1)2＝1，即复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(3，1)为圆心，以1为半径的圆，则|z|的最大值为12＋(3)2＋1＝3，故选C.。

高二数学第四章数系的扩充与复数的引入练习题(北师大版附答案)【推荐下载】

A．ai(a∈R)是纯虚数
B．2＋3i的虚部是3i
C．i2＋i的实部是－1
D．若a，b∈R，且a＜b，则a＋i＜b＋i
【解析】当a＝0时，ai是实数，2＋3i的虚部是3，由
i2＋i＝－1＋i得i2＋i的实部是－1；a＋i与b＋i是虚数，不能比较大
小，故选C.
【答案】C
3．若(t2－t)＋(t2－3t＋2)i是纯虚数，则实数t的值为()
∴－2<;m<;5.
∴当实数m在(－2,5)内取值时，z的对应点在第四象限.
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7．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则
x＝________，y＝________.
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书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
【解析】设y＝bi(b∈Z，且b≠0)，则2x－1＋2i＝bi，
∴2x－1＝0，b＝2，
解得x＝12，b＝2.
∴y＝2i.
【答案】122i
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值为
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高二数学第四章数系的扩充与复数的引入练习题（北
师大版附答案）
一、选择题
1．设全集U＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，则下面结论正确的是
()
A．A∪B＝UB．UA＝B
C．A∩UB＝A D．UB＝A
【解析】由AUB，得A∩UB＝A.
【答案】C
2．下列说法正确的是()
C．－2或5 D．－2
【解析】∵M∩N≠，
∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，
∴m2＋5m＋6＝0，m2－2m－5＝3.

2019版文数人教版a版练习：第四章第三节数系的扩充与复数的引入含解析

课时规范练A组基础对点练1．复数2＋i1－2i＝( )A．i B．－i C．2(2＋i) D．1＋i解析：复数2＋i1－2i＝(1－2i)i1－2i＝i，故选A.答案：A2．已知复数z＝2i1＋i，则z的共轭复数是( )A．1－i B．1＋i C．i D．－i解析：因为z＝2i1＋i＝1＋i，从而z的共轭复数为1－i.答案：A3．若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，则乘积ab的值是( )A．－15 B．3 C．－3 D．5解析：(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.答案：C4．若z＝4＋3i，则z|z|＝( )A．1 B．－1C.45＋35i D.45－35i解析：z|z|＝4－3i42＋32＝45－35i，故选D.答案：D5．(2018·沈阳质量监测)已知i 为虚数单位，则复数21－i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：21－i＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A. 答案：A6．若a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由于(2＋ai)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎨⎧ 4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B7．已知i 是虚数单位，复数z 满足11＋i －11－i ＝1＋z 1－z ，则|z|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：因为1－i －(1＋i )(1＋i )(1－i )＝1＋z 1－z ，即－2i (1＋i )(1－i )＝1＋z 1－z ，也即1＋z 1－z＝－i ，故(1－i)z ＝－1－i ，所以z ＝－(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，则|z|＝1，应选A. 答案：A8.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数z 1－2i对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由图可得z ＝－2＋i ，所以z 1－2i ＝－2＋i 1－2i ＝(－2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－4－3i5，则对应的点在第三象限，故选C.答案：C9．若z＝1＋2i，则4iz z－1＝( )A．1 B．－1 C．i D．－i解析：4iz z－1＝4i(1＋2i)(1－2i)－1＝i.答案：C10．(2018·唐山统考)已知复数z满足z(1－3i)＝4(i为虚数单位)，则z ＝( )A．1＋3i B．－2－23iC．－1－3i D．1－3i解析：由题意，得z＝41－3i＝4(1＋3i)(1－3i)(1＋3i)＝1＋3i，故选A.答案：A11．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( )A．3＋4i B．5＋4iC．3－4i D．5－4i解析：由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1，故(a＋bi)2＝(2＋i) 2＝3＋4i.答案：A12．已知i是虚数单位，复数z＝1a－i(a∈R)在复平面内对应的点位于直线y＝2x上，则a＝( )A．2 B.1 2C．－2 D．－1 2。

青岛青岛超银中学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(答案解析)

一、选择题1．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D．||z =2．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（） A ．3- B ．3C ．13-D ．133．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（） A ．5B ．3C ．-5D ．-34．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --5．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（）． A ．1BC ．2D．9．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（） A ．1BCD10．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（）A ．2-B ．1-C ．2D ．111．复数z 11ii-=+，则|z |=( ) A ．1B ．2C ．2D ．2212．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．复数212iz i-=+的虚部为__________． 17．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 18．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.20．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．三、解答题21．已知复数13z i =+，2132z i =-+. （1）求1z 及2z 并比较大小；（2）设z C ∈，满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形？ 22．试问取何值时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？ 23．已知复数1()2iaz a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.24．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）. （1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.25．已知复数()()2256215z m m m m i =+-+--，（i 为虚数单位，m R ∈）（1）若复数z 在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M 的值；（2）当实数1m =-时，求1zi+的值. 26．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）．（1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；（2）求复数5z z+的模．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确. 【详解】解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-，其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误；42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i ii z i i i-+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C. 【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．4．B解析：B 【分析】化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．A解析：A 【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==．故选B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i -=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】复数z 满足方程||2z i +=，设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2. 【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④ 【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3 【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝，解得3m =- ．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】解析：【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+ ∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =. 【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题. 20．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p 的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二解析：【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -== ，得p =当240p =-＜，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，得p =综上所述，p =或p =．故答案为点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．三、解答题21．(1) 1z =2, 2z =1, 12z z > (2) 以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）（1）利用复数的模的计算公式求出1z 、2z 即可解答. （2）根据z 的几何意义及（1）中所求的模1z 、2z 可知z 的轨迹. 【详解】解：（1）()2213312z i =+=+=， 22213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12z z >.（2）由21z z z ≤≤及（1）知12z ≤≤.因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以1z ≥表示1z =所表示的圆外部所有点组成的集合，2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.22．（1）或（2）且（3）【解析】分析：⑴由定义可知当时即可 ⑵由虚数定义可知时满足题意 ⑶满足条件，详解：（1）由条件，解得或（2）由条件，解得且（3）由条件，解得点睛：本题考查了在复数域内实数、虚数、纯虚数的概念来求值，只要掌握概念即可得到满足题意得算式，求出结果．23．（1）2z =；（2）()0,5.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->，解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.24．（I ）262；（Ⅱ）133a -<<. 【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解13z i =-．（1）求得15122z i =--，再根据复数的模的计算公式，即可求解1z ；（2）由（1）可求得2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数2z 对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数a 的取值范围．详解：∵z=1+mi ，∴． ∴*(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=++-又∵为纯虚数， ∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i ．（Ⅰ）， ∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i ，∴．又∵复数z 2所对应的点在第1象限， ∴，．30310a a +>⎧⎨->⎩∴．13a > 点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．25．(1) 3m =-【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数,m 的方程，解方程可得3m =- ；(2)首先求得复数z 的值为212z i =- ，然后利用复数模的运算法则可得1z i+. 试题（1）因为复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以2256215m m m m ++=--，解得3m =-.（2）当实数1m =-时，()()156+1215212z i i =-++-=-.212212111i z i i i i --====+++所以1z i+26．（1）2z i =+，实部为2，虚部为1；（2）．【解析】试题分析：由复数的运算法则知512i z i=+，再由除法法则可得结论；（2）可先计算出542z i z+=-，然后由模的定义得结论．试题（1）55(12)(12)212(12)(12)i i i z i i i i i i -===-=+++-，实部为2，虚部为1；（2）552422z i i z i +=-+=-+，∴5||z z+==．考点：复数的运算，复数的概念．。

北师大版高中数学选修1-2同步练习第四章数系的扩充与复数的引入学业质量标准检测

第四章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数1＋2i2－i ＝( A )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i[解析]1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i. 2．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．3．已知i 为虚数单位，则i1＋3i ＝( B )A ．34－14iB ．34＋14iC ．32＋12i D ．32－12i [解析]i 1＋3i ＝i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝i ＋34＝34＋14i.4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限． 5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2等于( C )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i[解析] 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.6．(2019·山师大附中高二期末测试)设复数z 满足(1＋i)z ＝i 2019，则复数z 的虚部为( B )A ．－12B ．12C ．12iD ．－12i[解析] ∵z 4＝1，∴i 2019＝(i 4)504·i 3＝－i ， ∴z ＝－i 1＋i＝－i (1－i )2＝－12－12i ，∴z ＝－12＋12i ，∴z 的虚部为12，故选B ．7．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( A ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x ＋1≠0⇔x ＝1，故选A ．8．已知a ∈R ，复数z ＝(a －i )(1＋i )i ，若z ＝z ，则a ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 复数z ＝(a －i )(1＋i )i ＝(a －1)－(a ＋1)i ，由z ＝z ，可知a ＋1＝0，即a ＝－1.9．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( B ) A ．0 B ．π2C ．πD ．2π[解析] z 2＝cos 2θ－2isin θcos θ－sin 2θ＝cos2θ－i sin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1－sin2θ＝0，∴θ＝π2.10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．11．若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i(sin B －cos A )对应的点位于复平面内的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵A 、B 为锐角三角形的内角， ∴π2<A ＋B <π， ∴A >π2－B ，B >π2－A ，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，sin B >sin(π2－A )＝cos A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos B －sin A <0sin B －cos A >0， ∴对应点在第二象限，故选B ．12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ∵ω1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确． ②左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确． ④左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确，选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2018·江苏，2)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为__2__. [解析] 由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.14．(2019·宁夏罗平中学高二月考)若复数z ＝(3＋4i)(1－i)(i 为虚数单位)，则|z |＝[解析] 解法一：z ＝(3＋4i)(1－i)＝3－3i ＋4i ＋4＝7＋i ，∴|z |＝49＋1＝5 2. 解法二：∵z ＝(3＋4i)(1－i)，∴|z |＝|(3＋4i)(1－i)|＝|3＋4i|·|1－i|＝5 2.15．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝__76－4i .[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76b ＝－4.∴z ＝76－4i.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第__四__象限．[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2，即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，a 、b ∈R .若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a 、b 的值．[解析] ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，所以 z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2. 19．(本题满分12分)(2019·山东昌乐一中高二月考)已知z 1＝m 2＋1m ＋1i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m ∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数．(1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．[解析] (1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1＋12)i ，∵z 1＋z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0，解得m ＝1. (2)由(1)知z 1＝1＋12i ，z 2＝－1＋12i ，∴z 2＝－1－12i ，∴z 1z 2＝(1＋12i)·(－1－12i)＝－1－12i －12i ＋14＝－34－i. 20．(本题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)、B (0,2)、C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.21．(本题满分12分)已知复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ＋i.求： (1)z 1＋z 2；(2)|z 1＋z 2|的最大值．[解析] (1)z 1＋z 2＝(cos θ＋i)＋(sin θ＋i)＝sin θ＋cos θ＋2i ＝2sin(θ＋π4)＋2i.(2)|z 1＋z 2|2＝22＋[2sin(θ＋π4)]2＝4＋2sin 2(θ＋π4)，∵sin 2(θ＋π4)的最大值为1，∴|z 1＋z 2|2有最大值6.故θ＝π4＋k π，k ∈Z 时，|z 1＋z 2|max ＝ 6.22．(本题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3， (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值． [分析] (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合． [解析] (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2 ＝9＋42sin (θ－π4).当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值22＋1.解法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)． ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z －z 1|max ＝22＋1.。

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1
第四章数系的扩充与复数的引入(周末)练习题（文科）
一、填空题
1．设C={复数}，R＝{实数}，M={纯虚数}，全集I＝C，则下列结论中
正确的是（）
A、R∪M=C B、R∩M=φ C、C∩R=M D、CRM
2. i是虚数单位，若集合S=1,0,1，则（）
(A).iS (B).2iS (C). 3iS (D).2Si
3．在复平面上复数i,1,4+2i所对应的点分别是A、B、C,则平面四边
形ABCD的对角线BD的长为 ( )
(A)5 (B)13 (C)15 (D) 17
4.若Cz且|22|,1|22|iziz则的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对应点Z1对应的向量为（）
A.- 3-4i B.4+3i C.-4-3i D.-3+4i
6.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的
中点,则点C对应的复数是 ( )
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
7．下列命题正确的是( )

A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
2

D．两个虚数不能比较大小
8．设22(253)(22)ztttti，tR，则下列命题中正确的是（）
A．z的对应点Z在第一象限 B．z的对应点Z在第四象限
C．z不是纯虚数 D．z是虚数
9．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )

A.12 B．2 C．0 D．1

10.设a2,13,则复数321aai的对应点位于复平面的（）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 已知集合M=｛1,immmm)65()13(22｝，N＝｛1，3｝，M∩N＝
｛1,3｝，则实数m的值为（）
A. 4 B.－1 C.4或－1 D.1或6
12.221(1)(4),.zmmmmimR232.zi则1m是12zz的
（）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分又不必要
二、填空题
13.化简4i8= 2i5= i101= .
14．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，

则实数x的取值范围是___ _____．
15.已知01410)57()1(2imimi，则实数m__ ____.
3

16．在复平面内，若复数z满足|1|||zzi，则z所对应的点的集合构成
的图形是 .
17.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个
数是___ ___.
三、解答题

18．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)
实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

19．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复
平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．
4

20．已知复数z=1＋i，如果221zazbzz=1－i,求实数a,b的值．
21.（1）设(,),zxyixyR且满足1,z求复数z在复平面内对应的点
的轨迹；
（2）已知复平面内的点集131,,DzzizC试求z的最小值
和最大值.

22．已知复数z满足2||z，2z的虚部为 2 ，
（I）求z（II）设z，2z，2zz在复平面对应的点分别为A，B，C，
求ABC的面积.