北航2011《应用数理统计》试题
北航数理统计答案
北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。
三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。
x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。
x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。
（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。
为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
应用数理统计试题
应 用 数 理 统 计 复 习 题1. 设总体X ~ N(20,3)，有容量分别为10, 15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于 的概率._ _ _ _ 1解：设两样本均值分别为 X,Y ，则X Y 〜N(0,—) 22. 设总体X 具有分布律其中 (01)为未知参数，已知取得了样本值X 1 1,X 2 2,X 3 1，求的矩估计和最大似然估计.解：(1) 矩估计：EX22 2 (1 ) 3(1)2 23令EX X ，得 ?-.6(2) 最大似然估计：得? 5 63.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差2均未知，抽查 10件，测得重量为 X斤i 1,2, ,10。
算岀给定检验水平0.05 ，能否认为该厂产品的平均重量为斤?附：(9)=(10)= (9)= (10)=解：检验统计量为T =|将已知数据代入，得所以接受H 。
4.在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做 4次重复实验，完成下列方差分析表，在X - m 0 |s/、n 15.4 - 5.0t 二. __________ 10=2J3.6/ 9F O.95（2,9） 4.26 , F 7.5 4.26，认为因素A是显着的5.现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得x 0.125, y 45.7886丄拓0.3024, L xy25.5218，L yy2432.4566 .（1）建立y关于x的一元线性回归方程？?，?x ；（2）对回归系数1做显着性检验（0.05）.解：（1）? % 25.5218 84.3975l xx0.3024所以，? 35.2389 84.3975X（2）Q |yy ?|xy 2432.4566 84.3975 25.5218 278.4805拒绝原假设，故回归效果显着.（1）找岀对结果影响最大的因素；（2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好）（3）写出第4号实验的数据结构模型。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
专业学位研究生应用数理统计期末试题
专业学位研究⽣应⽤数理统计期末试题航天学院2019-2020学年第⼀学期专业学位研究⽣《应⽤数理统计》课程考试卷（A卷）考核形式：开卷部门：班级：姓名：说明：下列试题均可⽤SPSS软件计算，所有问题均要求提供纸质答案及电⼦答案。
最后⼀题要求提供数据⽂件.sav和输出⽂件.spv.⽤两种软件提供答案的试卷可适当加分。
2章参数估计⼀、随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）设测试数据分别服从正态分布，在下列两种情况下讨论两总体均值差的区间估计。
（1）两总体⽅差相等；（2）两总体⽅差不等。
3章假设检验⼆、为研究长跑运动对增强普通⾼校学⽣⼼脏功能的效果,对某⾼校15名男⽣进⾏测试,经过5个⽉的长跑训练后看其晨脉是否减少。
锻炼前后的晨脉数据如下表所⽰。
试问锻炼前后的晨脉在显著性⽔平0.05下有⽆显著性差别。
4章⽅差分析三、为了研究⽕箭燃料和推进器对⽕箭射程的影响，选⽤了4种不同燃料和3种不同推进器，将他们相互搭配并在每⼀种搭配下做了两次试验，得到⽕箭射程（海⾥）数据如下表。
在显著性⽔平0.05下，试分析燃料、推进器以及燃料和推进器这两种因素的交互作⽤对⽕箭射程的影响是否显著？6章回归分析四、国家需要⼤⼒发展国际旅游⾏业以增加国家的外汇收⼊，外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间构成什么样的统计关系呢？根据2004年的中国统计年鉴，得到1985—2002年间的统计数据如下表：（1）试根据上述数据建⽴外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间的回归模型，并进⾏回归分析，对2003年和2004年的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
（2）试查找2005-2016年间连续6年的国家的外汇收⼊与接待的旅游⼈数的相关统计数据，分析其是否符合（1）中的模型，如不符合，试建⽴新的回归模型。
（3）利⽤（2）中的回归模型对我国2017年（可验证）和2019年（预测）的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。
《应用数理统计》习题解答
2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（~(,0)11nUξθ∏6.7.所以不唯一。
应用数理统计复习题
一、 填空：1、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.01.03.02.05101，则E （2-3ξ）=（ 1.4 ）2、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101，则η=2+ξ的分布列是（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25.013.02.005.037.095321） 3、已知A ，B 是样本空间Ω中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则A+B={ 2,3,4,5,6,7,8 }4、由事件A 与B 同时发生构成的事件，称为事件A 与B 的积事件，记为（ AB ）5、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.05.015.01.005.091.74.532，则方差D ξ=（ 3.8454 ）6、由事件A 与B 至少发生一个构成的事件，称为事件A 与B 的和事件，记为（ A+B ）7、在数理统计中，把（ 考察对象）的全体称为总体，而把（ 构成总体的每个成员 ）称为个体。
8、已知甲、乙射手的命中率分别为0.77与0.84，它们各自独立地向同一目标射击一次，则目标被击中的概率是（ 0.9632 ）9、对于任意事件A ，有P （A ）+P （A ）=（ 1 ）10、已知随机变量ξ有分布列⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3.01.04.02.03014，则P{-3<ξ≤3}=( 0.8 )11、两点分布b(1,p)的数学期望是（ p ）方差是（ pq ）12、一口袋内有11个黑球、7个白球，不放回地从中任抽2次，每次取出1球。
记事件A=“第一次取出黑球”，B=“第二次取出黑球”，则P （A B）=（ 10/17 ）13、分布函数的基本性质中：F （-∞）=（ 0 ）；F （+∞）=（ 1 ）14、已知A ，B 是样本空间Ω中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则A-B={ 8 }15、假设独立随机变量ξ与η的方差D ξ与D η都存在，则有D （ξ+η）=（D ξ+D η）16、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101，则η=ξ2+3的分布列是（ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25.013.057.005.0521243）17、假设R.V.ξ存在方差D ξ，则对于任意常数k,c,有D （k ξ+c ）=( k 2D ξ )18、把一枚不对称的硬币投掷一次，若出现正面，则再掷一次；…。
北航2011《应用数理统计》试题
北航2011《应用数理统计》考试题及参考解答一、填空题（每小题3分，共9分）1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 二、单项选择题（每小题3分，共9分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北航2011《应用数理统计》考试题及参考解答
一、填空题（每小题3分，共9分）
1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则22
110
22
11152()
X X U X X ++=++ 服从的分布是_______ .
解：(10,5)F ．
2，ˆn θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n n
n n E θθθ→∞
→∞
==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2
χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 二、单项选择题（每小题3分，共9分）
1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .
（A ）
1~(0,1)3X N -； （B ）1
~(0,1)1X N -； （C ）
1
~(0,1)9X N -； （D
~(0,1)N ． 2，若总体2
(,)X N μσ ，其中2
σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的
置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；
（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
三、（本题10分）设总体2
1(,)X N μσ 、2
2(,)Y N μσ ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2
X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明
12)(2)X Y t n n +- ，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y N n n σσμμ--+
，
(0,1)X Y U N =
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ-- ，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ-- ．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσ
σ
--=
+
+- ．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12(2)X Y t n n =
+- ．
四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1
, 0,21
(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪
⎪⎪⎩
其他，其中参数01)θθ<<（
未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证
明2
4X 不是
2θ的无偏估计量．
解：（1）
10
1()(,)22(1)42
x x E X xf x dx dx dx θθθ
θθθ+∞-∞
==+=+-⎰
⎰
⎰，
令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22
X θ
=-． （2）
22221114
1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n
θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，
因为()00D X θ≥>，，所以2
2
(4)E X θ>．故2
4X 不是2
θ的无偏估计量．
五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
,0;(,)0,x f x θ
θθ≤≤⎧=⎨⎩
其他,
似然函数为
1
,0,1,2,,,()0,
n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩ 其它
显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥ ，所以{}12ˆmax ,,,n
X X X θ= 是θ的极大似然估计．
六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．
证明：X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．
容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦
．
另一方面
1(1)1
Var()Var()()
p p X X n n nI p -=
==
， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．。