线性代数 1[1].4-1.6练习

1.4在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为对换；一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性；三阶行列式写出列下标的全排列的逆序数，确定每个排列是奇排列还是偶排列：观察顺序可先按轮换写出：123；231；312；再利用对换写出：132；213；321：四阶行列式写出列下标的全排列的逆序数，确定每个排列是奇排列还是偶排列：观察顺序可先按轮换先写出：1234；2341；3412；4123；思考：写出五阶行列式的奇、偶排列列下标的的全排列数为120，其中奇、偶排列各60项观察顺序可先轮换，先写出：：12345；23451；34512；45123；51234，以上5个排列且因相邻两项都是1个数字对换四次，故都为偶排列再将1在首位的扩展为24项；对2，3，4，5作全排列；再将2在首位的扩展为24项；对1，3，4，5作全排列；再将3在首位的扩展为24项；对1，2，4，5作全排列；再将4在首位的扩展为24项；对1，2，3，5作全排列；再将5在首位的扩展为24项；对1，2，3，4作全排列；证明上三角行列式的值时，从nn a 开始。

上、下三角行列式的值都为主对角线元素的乘积。

补充：求倒（或次）上、下三角行列式的值11121121222,12,12(1)212,11,211,11,21,211200000000(1)00000n n n n nn n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -----⋅---==-⋅行列式的行初等变换包括：对调变换、倍乘变换、倍加变换， 其中对调两行、某行倍乘改变行列式的值， 倍加变换行列式的值不变。

求行和相等、列和相等的行列式的值：对行和相等的行列式，把其它各列先加到第一列，再化为上三角行列式； 对列和相等的行列式，把其它各行先加到第一行，再化为上三角行列式。

补充练习1）：求1110110110110111的值 方法一：按行和相等计算11103110110131011011301101113111=1110111011010011331011010111110001-=⨯=⨯- 111001013300110001-=-⨯=--方法二：按列和相等计算11103333110111011011101101110111=1111111111010010331011010001110111-=⨯=⨯- 11111111010001003330010001001110001--=-⨯=-⨯=--- 补充练习2）：设123,,x x x 是 30x b x q ++= 的三个根，求123312231x x x D x x x x x x =的值解：因为123,,x x x 是 30x b x q ++= 的三个根，根据因式定理，3123()()()x bx q x x x x x x ++=--- ，把右端展开后，得到2x 的系数为123x x x ++ ，比较方程两端2x 的系数，得1230x x x ++= ，而123312231x x x D x x x x x x =是列和相等的行列式， 把第2行、第3行加到第1行，并提出123x x x ++1230x x x ++=，0D ∴=补充练习3）：计算 1111111111111111x x x x ---+---+--解：是行和相等的行列式，行和为x ， 把第2、3、4列加到第1列，并提出x ，11111111111111111111111111111111x x x x x x x x -----+--+-=⋅----+---- 41111111100000000000000x x x x xxx x x x x x x x x------=⋅=-⋅=----4）计算范德蒙行列式123422221234333312341111a a a a D a a a a a a a a =的值，下标均为列标；解：先将第4列变出3个0，从最后一行开始进行变换：443342241,,r a r r a r r a r ---1424342221412423433232321412423*********a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=------，按第4列展开142434114224334222114224334(1)()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=-⋅------142434123222123111(1)()()()a a a a a a a a a a a a =-⋅-⋅-⋅- 将第3列变出2个0，从最后一行开始进行变换：332231,r a r r a r --142434132322131232111(1)()()()00a a a a a a a a a a a a a a a a =-⋅-⋅-⋅----- 按第3列展开132314243422131232(1)()()()a a a a a a a a a a a a a a a a --=-⋅-⋅-⋅---14243413231211(1)()()()()()a a a a a a a a a a a a =-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-142434132321(1)()()()()()()a a a a a a a a a a a a =-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅- 414243313221()()()()()()a a a a a a a a a a a a =-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-只看原行列式的第2行，就可直接写出这个结果； 共有 244!62!(42)!C ==- 个因子注意：.36P 范德蒙行列式的结果中， 被减数的下标>减数的下标 （j i >）1()n j i i j nD a a ≤<≤=-∏121323121()()()()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a --=-⋅---⋅-⋅-补充：1) 两条线的行列式112211n n nna b a b a b b a --，如果0n b =，则为上三角行列式112211n n nna b a b a b b a --按第1列展开22133221131111(1)n n n n nn n a b b a b a b a b a a b a a b +----=⋅+⋅-⋅(1)n -阶上三角行列式 (1)n -阶下三角行列式112121(1)n n n n a a a b b b b +-=⋅+-⋅⋅⋅两条线的行列式有以下形式:112211n n nna b a b a b b a --;112211nn n n a b b a b a b a --;112121n nn n b a a b b a a b --;111212nn nn b a a b b a a b -- ; 121211nn n nb a b a a b a b -- ;1121nn nb a a a a b -1211nn na b a a b a -后三种形式都可以化为三角行列式计算 补充：2) 爪形行列式1212231n n n n na b b b c a c a c a --；112211121n n n n a b a b a b c c c a ---；12112321n nn nb b b a ac c a a c -- ；12112123nn n nb a b a b a ac c c --练习：求(1)n +阶爪形行列式0111212n na na a na -的值按照 121,,n n a a a a - 中零的个数分三种情况讨论： 情况一：121,,n n a a a a - 中有两个或两个以上的零， 则行列式有两行成比例，行列式的值为零；情况二：121,,n n a a a a - 中只有一个零，例如设 0k a = ，而0,()i a i k ≠≠01111101k k na k k na k k a na -+++按第(1)k +行展开，1(1)111120(1)000k k k nkna k a a a ++-+=⋅-⋅（n 阶行列式）按按第k 列展开，11211(1)(1)k k k k na a k k a a -+++=⋅-⋅⋅-⋅（1n -阶对角行列式）21211k k n k a a a a a -+=-⋅⋅⋅情况三：121,,n n a a a a - 全不为零00112121112111212211n n n nna na na a a a a a a a na n a --=⋅⋅现在从第二行起，主对角线元素都是1，再把第一行的1，2， ，n 变为0；222012112121200011211nn nnn a a a a a a a a a a n a -----=⋅⋅现在是1n +阶的下三角行列式22212101212()n n nn a a a a a a a a -=⋅⋅⋅----教材.36p 例1.30 改为计算四阶行列式1234111111a a D a a -=-- 这是三条线的行列式可以直接按第2、3、4行降阶，或直接按第1、4列降阶， 也可以先把某行或某列变换为只有1个非零元素以后再降阶； 还可以变换为上三角行列式求解，具体做法是：依次将 第4列乘以41a 加到第3列； 第3列乘以31a 加到第2列； 第2列乘以21a 加到第1列； 1234111111a a D a a -=--34441234344234111111a a a a a a a a a a a a a a ++++++=344123412343442341()1a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+=+++补充：按多行展开行列式的拉普拉斯定理1）k 阶子式：n 阶行列式中，任取k 行k 列，交叉点处的2k 个元素， 按原来相对位置组成的k 阶行列式；2）k 阶子式的余子式：划去某k 阶子式所在的k 行、k 列以后， 余下元素按原来相对位置组成的n k -阶行列式； 3）k 阶子式的代数余子式=k 阶子式的余子式(1)m ⨯-m 为该k 阶子式的行下标与列下标之和； 拉普拉斯定理：在n 阶行列式D 中，任取k 行以后，含于此k 行中的所有k 阶子式（个数为kn C ）与其代数余子式的乘积之和等于D 的值。

练习题：1） 求112233440000000a b a b D b a b a =的值 这是两条线的行列式方法一：用拉普拉斯定理求选定1，4两行，该两行一共可组成6个二阶子式（从4列中任取两列的组合数246C =），这6个 二阶子式只有一个不为零，于是2211(14)(14)3344(1)a b a b D b a b a +++=⋅-⋅14142323()()D a a bb a a b b =-⋅-方法二：化为上三角行列式； 方法三：按第一行展开：1122222213313333444400000000a b a b a b a b D a b a b b a b a a b b a ==- 再把两个行列式都按第三行展开：222214143333a b a b a a b b b a b a =-两个二阶行列式相同2214141414232333()()()a b a a b b a a b b a a b b b a =-=--2） 用拉普拉斯定理证明教材 .31p 例1.28证明k k n k n n knA C AB O B ⨯⨯=⋅证：D =k k n n knA C OB ⨯⨯=111111111111000k nk kk k kn n n nna a c c a a c cb b b b这是k n +阶行列式，子块,k n A B 在主对角线方向， 选定第1k +行、第2k +行、 、第k n +行，在这n 行中，只有一个非零的n 阶子式1111nn nnb b b b这个非零子式的余子式为1111kk kka a a a这个非零子式的代数余子式中的正负号为：[(1)(2)()][(1)(2)()](1)k k k n k k k n +++++++++++++- 2[(1)(2)()](1)1k k k n ++++++=-= 于是：D =1111nn nn b b b b⋅1111kk kka a a a k n A B =⋅ 自己练习用拉普拉斯定理计算教材 .58p 22.（1）（3）3） 求111111*********k k kk nk n nnn nka a a a Db bc c b b c c =的值D 为()k n +阶行列式，分块形式k n k nn kO A D B C ⨯⨯=，子块 ,k n A B 在次对角线方向选定第1行、第2行、 、第k 行，在这k 行中，只有一个非零的k 阶子式1111kk kka a a a这个非零子式的余子式为1111nn nnb b b b这个非零子式的代数余子式中的正负号为：(12)[(1)(2)()](1)k n n n k ++++++++++- 2(12)(1)(1)k kn kn ++++=-=- 于是：D =(1)kn -1111k k kka a a a1111nn nnb b b b =(1)kn -k n A B ⋅教材改错：.58p 20（3）主对角线元素都是1；.58p 23（2）第3行第2列的元素为1；1.5证明.41p 若A 可逆，则1A -也可逆，且11()A A --=; 证：已知A 可逆，则11AA A A E --==A 与1A -互为逆矩阵，A 的逆矩阵为1A -，1A -的逆矩阵为A ，即11()A A --=；证明.41p 若A 可逆，0λ≠，A λ也可逆，且则111()A A λλ--=;证：已知A 可逆，则0A ≠,又0n A A λλ=≠ ，则A λ也可逆；已知A 可逆，则1A A E -=，又A λ也可逆，则1()()A A E λλ-= 两端右乘1A -，111()()A A A EA λλ---=，11()A E A λλ--=， 111()A A λλ--=补充练习1. A 为n 阶方阵，已知0A ≠ 求*A解： 0A ≠ 1A -∴存在，1*111n nn A A A A A A A A---=⋅=⋅=⋅=2. A 为可逆矩阵，证明*11*()()A A --=证: 一方面 *1A A A -=⋅ *1111()()A A A A A---=⋅=另一方面 1*111()()A A A ----=⋅=1A A于是 *11*()()A A --=3. ,A B 为n 阶方阵，A ，B 已知，求*1A B -解：*11111nA BA AB A A B -----=⋅=11111n n nA A AB A A B B---=⋅⋅=⋅⋅=4. A 为n 阶方阵，用A 及A 表示**()A解：*1A A A -=⋅ **()A 1*111()()A A A A A A ----=⋅=⋅⋅⋅21111nn n A A A A A A A A A A--=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅5. A 为n 阶方阵，k 为自然数，如果kA O = (零矩阵) ，21,,k A A A O -≠求1()E A --解：k A O = ()k E A E ∴-= E 为n 阶单位矩阵 ()k k E A E -= 利用代数公式：12321()()()k k k k k k x y x y x x y x y y -----=-++++ 则 21()()k E A E A A A E --++++= 121()k E A E A A A ---=++++6. ,A B 为n 阶方阵，2,A =，3B =，求*12A B -解：*112A A A A --=⋅= ；111,2AA -== 111,3B B -== *111112224n A B A B A B -----=⨯=⋅⋅1144236nn=⋅⋅=7. A 为3阶方阵，1,2A =求1*(3)2A A --解： 11(3)3A A --= ，1*12A A A A --==111*12(3)22323A A A A A -----=-⨯=-3133221216()()()233327AA -=-=-=-⨯=-8. 用A 、1A -表示*1()A -解：*111111()()()A A A A A-----=⋅=1A A -=⋅9.已知12212A ⎛-⎪=⎪⎪⎭以及 6A E = ,求11A解：11121621211()A A A A E A A ----==⋅=⋅=*1211222131()442A A ⎛ ⎪⎛ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=== ⎪-- ⎪⎝⎭10. A 为n 阶可逆矩阵，且 2A A E =⋅ , 证明*A A =证: 在 2A A E =⋅ 的两端同时左乘1A - 121A A AA E--=⋅ ; *1*A A A A A A A-=⋅=⋅=1.6已介绍了分块对角矩阵求逆矩阵：11111221s s A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦补充：11121211s sA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦练习已知005200211200110A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭求1A -解： 将A 写成分块形式 ，1112121,OA O A A A A O A O ---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11112521225212554A ---⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭112121212113*********A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭112003311003312002500A A -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-==⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例题1.43的补充例题1）01234305678719101112110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ;0010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为单位列向量3e 用分块矩阵表示：()1234300,,,10A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（右乘得列）2）单位行向量()30,0,1,0Te =1234123456789101112T T T T A ββββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()1234560,0,1,0789789101112⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，用分块矩阵表示：()123340,0,1,0T T TT T βββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(左乘得行)。