线性代数综合练习题(一)

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线性代数习题,数学

第五章练习题（一）一、填空题1. 已知三阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1-，则=A ，1-A 的特征值为，T A 的特征值为，*A 的特征值为，2. 已知T )1,2,1(-=α，T ααA =，若矩阵A 与B 相似，则的特征值为。

3. 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30061411x A 可相似对角化，则=x 。

4. 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=163020104a a A 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 00010001B 相似，则A 的全部特征值为。

5. 设A 为n 阶方阵，0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值。

6. 设二次型32212322214432x x x x x x x f ++++=，则的正惯性指数为。

7 已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=，经正交变换Py x =可化成标准形216y f =，则=a 。

二、选择题1. 若为正交矩阵，下列命题正确的是（）。

(A) 1=A (B) 1-=A (C) A 为对称矩阵 (D) T A 与A 为可交换矩阵2. 设A 是n 阶矩阵，如果互换A 的第i 行与第j 行后，再互换第i 列与第j 列，得矩阵B ，则（）。

（A ）A 与B 等价、A 与B 相似，A 与B 也合同（B ）A 与B 等价、A 与B 相似，但A 与B 不合同（C ）A 与B 等价、A 与B 合同，但A 与B 不相似（D ）A 与B 等价，但A 与B 不相似、A 与B 也合同3. 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵。

已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵T)(1AP P -属于特征值λ的特征向量是（）。

（A ）αP 1- （B ）αP T （C ）P α （D ）αP T )(1- 4. n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）。

《经济数学基础》综合练习(线性代数)

《经济数学基础》综合练习（线性代数）一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A . T T T )(B A AB = B . TT T )(A B AB = C . 1T 11T)()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .TTT)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A=-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（）．A .kA -1B .11kA n- C . --kA 1D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13．线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.四、证明题1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。

线性代数综合练习题

线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010；（B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010；（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；（B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（）。

（A ）34；（B ）43；（C ）21；（D ）41。

5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。

（A ）合同；（B ）相似；（C ）等价；（D ）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。

2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。

线性代数综合练习100题

综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A A B E ，则+=A B A E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=A B C E ，则'''=B A C E .8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B 13n --. 9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 11166611033102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C =0A B(1)m nab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100. 15．已知110001011001001101000111101a -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0A X 的通解为(1,1,,1),k k ' 为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0A X 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-. 19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0. 20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--. 21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=AA 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为±.26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X A X A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X A X A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0A X 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0A X 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =；（B ）A 的行向量组线性无关；（C ）A 的列向量组线性相关；（D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0A X 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0A X 只有零解，则=AX β有唯一解；（B ）若=0A X 有非零解，则=AX β有无穷多解；（C ）若=AX β有无穷多解，则=0A X 有非零解；（D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解；（B ）方程组无解；（C ）若方程组有解，则有无穷多解；（D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解；（B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解；（C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解；（D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3；（B ）4；（C ）0；（D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）. （A ）*||=A A A ；（B ）若||0≠A ，则*||0≠A ；（C ）**1||=A A A ；（D ）秩()=A 秩*()A .7．设,A B 是n 阶方阵，A 非零，且=A B 0，则必有（D ）.（A ）=0B ；（B ）=0B A ；（C ）222()+=+A B A B ；（D ）||0=B .8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ）（A ）1π与2π平行；（B ）1π与2π垂直；（C ）1π与2π重合；（D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-；（B ）||λA ；（C ）λ；（D ）1||λ-A . 10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件；（B ）充分而非必要条件；（C ）必要而非充分条件；（D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值；（B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量；（D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）.（A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0 αα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '= X 都有''X A X =X B X ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ；（B ）若'=A A ，则'=B B ；（C ）若'=B B ，则=A B ；（D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）A B 正定；（B ）2+A B 正定；（C ）-A B 正定；（D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵；（C ）若,A B 都是正交矩阵，则A B 也是正交矩阵；（D ）若,A B 都是实对称矩阵，则A B 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ；（B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0A X 与=0B X 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价. 18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B12010100100010001101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）. （A ）12=A P P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B . 19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B . 20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆；（B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0；（D ）≠A E 时，+A E 不可逆. 21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，400000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）. （A ）合同且相似；（B ）合同但不相似；（C ）不合同但相似；（D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0；（B ）存在正交阵P 使'=A P P ；（C ）存在可逆阵T 使'=A T T ；（D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0B X 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ；（C ）A 的特征值大于等于0；（D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A等于（C ）.（A ）a ；（B ）1a；（C ）2n a -；（D ）n a .25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）.（A ）11||||||--+=+A B A B ；（B ）111||---+=+A B B A ; （C ）222()=A B A B ；（D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0A X 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ；（B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη；（D ）1121212()()k k +-++ξηηηη. 27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）.（A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π.28．若1231,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +；（B ）()m n -+；（C ）m n -；（D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）.（A ）**1()||n -=A A A ；（B ）**1()||n +=A A A ；（C ）**2()||n -=A A A ；（D ）**2()||n +=A A A . 30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y bz ca ab bc c ---==---与直线111232323x a y bz ca ab bc c ---==---（A ）.（A ）相交于一点；（B ）重合；（C ）平行但不重合；（D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A .解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ，令 12341111010010(),0101000114D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=A TTD得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪-⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TD T T T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪==⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A T D T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====AA AA A .2．设0100102ac b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，（1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3; （2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bcac b b b ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A 当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===. （3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即0010100100001011010022a b a c cb ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,222a b c ==-=. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一；（3）β不能由123,,ααα线性表示. 解法1：设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭B 由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪⎪=+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+⎪⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一. （3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=-⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ 又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ.所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ 111232221232(,2,3)2123211231nnn n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n nn n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭. 5．设122212221-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭T A T 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T E A T ，故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值. 解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα. 即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·129·即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-. 7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求：（1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P A P 为对角阵. 解：（1）211111111101101120112a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B111011000(1)(2)2a a a aaa ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-. （2）此时112121211-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1333⎛ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭η；对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ξ，单位化得·130·2202⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3636η⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;令326033326⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P A P 为对角阵033⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=A B .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=B A ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组·131·1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β 1024211530042452ab a a -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解 112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数. 10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：·132· 322122||101423123k kkλλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+. 解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k kk k k 因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =. 因此 322010423-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ，得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ 令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 11．设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E 由于001010100⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，·133·得 201030102⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ， 12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=C A B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A BC. 13．设有线性方程组123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0）（1）,a b 为何值时方程组有非零解；（2）写出相应的基础解系及通解；（3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0ab b ba b bba= 即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.·134· （3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X P Y 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a ab b⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP . 由,A B相似知|||λλ-=-E A E B ，即32223(2)()a b a b λλλ-+--+- 3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==. 由100010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P A P B ，知A 的特征值是0,1,2. 解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ -⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P P P .·135·15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2t t λλ--A B ，则应有(21,,2)A B t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---= A B t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3A B =- ，故公垂线方程为44133122y z z ++-==-.16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)λλλ++-+--=解得14λ=.从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩ππL 0L·136· 17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，（1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4bb b b λλλλλλ-=--=-+++-E B 比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量 3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B . 18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01⎛⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的·137·特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X P Y 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ，可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：12310221,0,00122⎛⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P . 令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ，则在正交变换=X P Y 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,0),'''=-==-P P P ，取正交变换阵·138·⎛⎫- ⎪ ⎪ =-⎪ ⎪⎝⎭P ，则在正交线性变换=X P Y 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+ ，求1000a . 解法1：由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A22，并且12,2211⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+-的特征向量.记12(,)2211⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是112112-⎛-⎪=⎪+-⎪⎝⎭T则1102102-⎛⎫+⎪= - ⎝⎭A T T99999910202-⎛⎫⎪= ⎝⎭A T T10001000999999555))])522210210555))]522210210-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以100010001000)522a =-.·139·解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ将n D 按第一行展开可得1nn n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1n n n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111nD --=-补充定义100,1D D -== ，则 12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+-==，由（3）知·140· 000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++1000100000αβαβ-=-10001000522⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 四、证明题1．证明69169169(1)316916nn D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅ 2 假设当n k≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916kk k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m =0A ，则=20A . 证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .·141·所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A U V .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =，或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证（1）A 的特征值只能是1或0，（2）()()n R R n +-=A A E ，（3）A 可相似对角化；（4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=A X X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0.（2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r - ξξξ为=0A X 的基础解系212,,,n r - ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r - ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r - ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n·142· 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r -- ξξηη. 从而A 可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E TA T 于是1()tr()tr()R r -===A T A T A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：A B 的特征值全大于0. 证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P A B P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P P P 正定，它的特征值全大于0，因A B 与1212()()''''P P P P 相似，从而A B 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k ≠0A α，则1,,,,k k - A A A αααα线性无关；（2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解；（3）1()()n n R R +=A A . 证：（1）反证法若1,,,,k k + A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01kk l l l +++=0 αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠ ，则 11i i ki i k l l l +++++=0 A A A ααα，两边乘以矩阵k i -A ，得121kk k ii i k l l l +-++++=0 A AAααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m=0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n=0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn - A AA αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n - A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0AX 的解，所以方程1n +=0AX 与n=0A X 同解，所以1()()n n+=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ ααα线性无关，试证：向量组1112,mk =+=βααβ 22111,,,m m m m m m m k k ---+=+= ααβααβα线性无关.·143·证：假设有一组数121,,,,m m l l l l - 使得112211m m m m l l l l --++++=0 ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0 ααααααα，即有112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0 αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++= ，所以1210m m l l l l -===== .故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+= βααβααβ 11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0 ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0 αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0 ααα又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+= ，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式11011101(1)2001001m D +==+-=≠，112100m m m k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1）故（1）只有零解，所以120m k k k ==== ，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为·144· 122311,,,,,()n n n R n -++++= ααααααααA ，问齐次线性方程组=0B X 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0B X ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0B X 有非零解.由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++ αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0B X 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n nn -+-++++-+=0 αααααααα，122311,,,,n n n -++++ αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0B X 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++ αξξξ. 试证：1,,,n - A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ ，对应的特征向量依次为12,,,nξξξ，则1111(),,n n nnλλ=++=++=++ A A A A αξξξξξξ 11111n n n n n λλ---=++ Aαξξ.设有一组数011,,,n k k k - ，使得1011n n k k k --+++=0 αααA A即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0 ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n nn k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n n n n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n nk k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ 又由于1111221111()01n n i j j i nn n n--≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.·145·所以0110n k k k -==== ，即21,,,,n - A A A αααα线性无关.10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E TAT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ . 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P Q B Q 于是11--=PA P QB Q .即111()()---=PQA PQB故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A A X ，（1）=0A X （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·146· 另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭RX 如果'=0A A X ，则()0''=X A AX ，即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '= A X ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ==== ，即=0A X ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立.13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵.证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n = ，于是1()E e e e = j n由已知,1,2,,j j j n λ== A e e得11()(),,A e e e e e e A E E A E λλλ=== j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·147·121n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P A P D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ== ，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PD PP P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故 2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα.因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0A X 的解都是=0B X 的解，且()()R R =A B ，试证：=0A X 与=0B X 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0A X 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为·148· 12,,,n r - ξξξ. 有,(,,)A ==-01 i i n r ξ.又=0A X 的解必为=0B X 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01 B 从而12,,,n r - ξξξ也是=0B X 的基础解系.于是=0B X 的通解为11.n r n r k k --+ ξξ则=0A X 与=0B X 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '= β是n 维列向量，0⎛⎫=⎪'⎝⎭AB ββ，若()()R R =A B，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤= A B A β，又由于()()R R ≤ A A β，所以()()R R = A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==< α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '= β 是线性方程组1111221211222211220n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量，试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++ βααα，（1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r == βα于是11(,)(,)0r r k k =++= βββαα，从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关.19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则A B 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵，设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n = P P P P ，则112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P P B P 并且,0,(1,,)i i k i n λ>= ，所以。

(完整版)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。

（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。

=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。

（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。

(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。

若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。

(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数练习册练习题—第1章行列式

第1章行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是。

3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （）.（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有（）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（）.（A ）3,2==l k ，符号为正（B ）3,2==l k ，符号为负（C ）2,3==l k ，符号为正（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是（）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于（）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为（）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。

线性代数

线性代数练习册第六版（工科用）武汉工程大学第二数学教研室编使用说明本练习册是一本与线性代数（同济大学应用数学系编，第四版）相配套的教学辅导书，它适用于全校本科各专业的学生。

这套练习册与教学内容密切配合。

强调基本概念、基本理论、基本方法的训练，同时适当选择了一些综合性的题目。

因此，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。

这套练习册对学生来说，不仅可以训练基本功，同时也可以作为考研复习的好资料；对于教师来说，能统一要求全校学生，便于获取学生达到“基本要求”及其学习情况的反馈信息而及时调整教学进度，改进教学方法，加强对教学的微观调控。

这套练习题由舒忠烈老师编写；第二版的修改、增补等工作由江世宏老师完成；第三版的修改、增补等工作由娄联堂、张志军二位老师完成；第四版的修改、增补等工作由杨建华老师完成；第五版的修改、增补等工作由杨雪帆老师完成；为了配合现用教材（同济大学应用数学系编，第四版），在第五版的基础上由罗进老师作了适当调整、修改和增补。

在整套练习册的编写过程中，得到了数学教研室全体教师的大力支持与帮助，在此表示衷心感谢。

对本练习册中存在的种种不足之处，恳请用者批评指正。

武汉工程大学第二数学教研室2004年6月线性代数练习题（1）逆序数行列式定义及对换姓名学号班级1.填空题：（1）排列1234的逆序数为 . （2）排列的逆序数为 4132. （3）排列)2(24)12(13n n L L −的逆序数为 .（4）排列42)22)(2)(12(13L L −−n n n 的逆序为 .（5）如果阶行列式中等于零的元素个数大于，那么此行列式的值为 n n n −2. （6）已知的逆序数为，那么的逆序数为 n a a a L 21k 121a a a a n n L −. （7）四阶行列式中带负号且包含因子的项为 2112a a 和. （8）排列最少可经 n n i i i i 121−L 次对换后变为排列. 121i i i i n n L −2.写出四阶行列式中含有因子的项. 2311a a 3.问是否是四阶行列式中的一项（试说明理由）？()342342111423)1(a a a a t −4.用行列式的定义计算120340005.5.设==)(,333231232221131211λf a a a a a a a a a D λλλ−−−333231232221131211a a a a a a a a a利用行列式的定义证明：（1）)(λf 是关于λ的三次多项式；（2）,, 的系数分别为3λ2λ0λ332211,1a a a ++−和.D线性代数练习题（2）行列式的性质行列式按行列展开姓名学号班级1.填空题：（1）在函数x x xx x x f 21112)(−−−=中，的系数是 3x . （2）=−−−000z y z x yx ，其中元素的余子式为 x .2.证明：333322221111d c b a d c b a dc b a =))()()()()((cd b c b d a b a c a d −−−−−−.3.计算下列行列式的值：（1）xa a aa x a a a a x a a a a x D =4.（2）)0(,1111111113≠+++=abc cb a D .(3) 40030430021020014=D .4.设4322321143113151−=D ，求44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=j A j 是中元素的代数余子式. D j a 4线性代数练习题（3）克拉默法则线性变换与矩阵姓名学号班级1.填空题：（1）设为实数，则当 b a ,=a 且=b 时，010100=−−−ab b a . （2）当满足条件 k 时，方程组有唯一解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++74)1(3)2(8)1(32z kx k z y k y k x （3）当满足条件 b a ,时，线性方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200z by x z by x z y ax 2.用克拉默求解非齐次线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3221133221x x x x x x3.证明平面上三条不同直线相交于一点的必要条件为：. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000b ay cx a cy bx c by ax 0=++c b a （提示：可考虑齐次线性方程组）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000bz ay cx az cy bx cz by ax4.已知两个线性变换及，求从变量到变量的线性及相应的变换矩阵.⎪⎩⎪⎨⎧++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=+−=323312211323zz y z z y z z y 321,,z z z 321,,x x x线性代数练习题（4）矩阵的运算姓名学号班级1.判断题:（1）任何矩阵都可求行列式. ( ) （2）所有的零矩阵都是相等的. ( ) （3）E 为单位阵，则n n ×1=E ,且1−=−E . ( ) （4）一阶方阵是一个数，且行列式()a a a −=−=−. ( ) （5）若，则O A =2O A =. ( ) （6）若A A =2，则O A =或E A =. ( ) （7）若AY AX =，且，则O A ≠Y X =. ( ) 2.填空题：（1）设A 为矩阵, 33×B 为44×矩阵，且2,1==B A ，则A B = . （2）设A 为三阶方阵，且4=A ，则A 21= . （3）设，)3,2,1(=A )1,1,1(=B ，则= kB A )(/.（4）设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=011221121 ,011221121B A =+B A . （5）设是三阶单位阵，则E A ,314021001⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=()()=−′−A E A E 44 .（6）适合条件A A =2的矩阵称为等幂矩阵.设是等幂矩阵，则满足 B A ,B A ,时，B A +仍为等幂矩阵.3.计算：. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−212103134101403411124.设，求:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=150421321,111111111B A A AB 23−与B A /.线性代数练习题（5）逆矩阵矩阵的分块姓名学号班级1.填空题：（1）设A 为三阶方阵，且2=A ，则*123A A −−= .（2）设A 为阶可逆方阵，则n ()=**A A .（3）设，则 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=100020101A ()=−+−)9(321E A E A . （4）设四阶矩阵，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1100210000120025A =−1A . （5）方阵的逆阵为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=010100001A . （6）设A 为矩阵，33×2−=A ，把A 按行分块为，其中是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=321A A A A )3,2,1(=j A j A 的j 行，则行列式=−121332A A A A .2.求方阵的逆阵. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=111012112A3.解方程：（1）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛021102341010100001100001010X（2）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−234311*********X4.求证：若A 是n 阶方阵，且1,/−==A E AA ，则0=+E A .线性代数练习题（6）矩阵的初等变换初等矩阵姓名学号班级1.填空题：已知，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300020001A =−1A . 2.选择题设A 是阶方阵，n A 经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B ，则（）（A ）B A = （B ）存在可逆阵P ，使B AP =（C ）存在可逆阵Q ，使BQ A = （D ）存在可逆阵Q ，使QB A =3.利用初等变换求矩阵的逆矩阵. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=2321121010231220A4. 设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=101110011A AX AX +=2，求. A5.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到矩阵B .（1）证明：B 可逆；（2）求.1−AB线性代数练习题（7）矩阵的秩姓名学号班级1.判断题：（1）矩阵A 的K 阶子式实质上也是一个K 阶矩阵. ( )（2）若中所有n m A ×1+r 阶子式全为0，则()r A R = . ( )（3）阶矩阵n A 可逆，则等价于0≠A ，或A 为非奇异阵，或()n A R =. ( )2.填空题：（1）设，则()αββα==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A ,2010,2101=)(A R . （2）设，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A L L L L L L L 212221212111),,2,1(0,0n i b a i i L =≠≠，则矩阵A 的秩 =)(A R .3.设，求及⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=02301085235703273812A )(A R A 的一个最高阶非零子式.4.设 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=32321321k k k A 问k 为何值，可使（1）；（2）()1=A R ()2=A R ；（3）()3=A R .线性代数练习题（8）线性方程组的解姓名学号班级1.选择题：非齐次线性方程组b Ax =中，未知量个数为，方程个数为m ，n ()r A R =，则（）.（A ）m r =时，方程组有解（B ）b Ax =n r =时，方程组b Ax =有唯一解（C ）时，方程组有唯一解（D ）n m =b Ax =n r <时，方程组b Ax =有无穷多解2.解齐次线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−=−+−0200232121321x x x x xx x x3.解非齐次性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧−=+−+=−+−=+−+2534432312w z y x w z y x wz y x4.当取何值时，方程组无解？有唯一解？有多解？多解时求出其全部解.b a ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4322321321321bx x x x x x x ax x线性代数练习题（9）n 维向量线性相关性姓名学号班级1.填空题：（1）设)1,4,1,4(),10,5,1,10(),3,1,5,2(321−===a a a ，且)(5)(2)(3321X a X a X a +=−+−，则=X .（2）若向量组线性相关，则321,,a a a 21a a +，32a a +，13a a +线性 .（3）设()()(1,2,1,3,2,0,1,1,321=)==a a k a ，则当时，线性相关.321,,a a a 2. 选择题：（1）设A 为阶方阵，且n 0=A ，则（）.（A ）A 中必有两行（列）的对应元素成比例；（B ）A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（C ）A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；（D ）A 中至少有一行（列）向量为零向量.（2）设有三维列向量，则（）.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=21,211,11,11321k a k a k a β（A ）当时，1≠k β可由线性表示，且表达式唯一；321,,a a a （B ）当时，0≠k β可由线性表示，且表达式唯一；321,,a a a （C ）当时，0=k β可由线性表示，且表达式不唯一；321,,a a a （D ）当时，0=k β不能由线性表示.321,,a a a （3）设向量组（I ）：和向量组（II ）：中的向量都是维向量，则下列结论正确的是（）.r a a a L ,,21m r r a a a a a ,,,,,121L L +n （A ）向量组（I ）线性无关时，向量组（II ）线性无关；（B ）向量组（I ）线性相关时，向量组（II ）线性相关；（C ）向量组（II ）线性相关时，向量组（I ）线性相关；（D ）以上结论都不对.3.设)0,0,2(),1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(321====a a a a 且可由线性表示为：a 321,,a a a 332211a x a x a x a ++=，试求.321,,x x x4.设向量组)1,0,0,1(),1,1,0,0(),10,1,0(),0,0,1,1(4321====a a a a ，试证明向量组线性相关.4321,,,a a a a5.设r r αααβααβαβ+++=+==L L 2121211,,,，且向量组r ααα,,,21L 线性无关，证明向量组r βββ,,,21L 亦线性无关.6.设向量β可以由向量组线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件为线性无关.s a a a L ,,21s a a a L ,,21线性代数练习题（10）向量组的秩姓名学号班级1.判断题：（1）若s ααα,,,21L 线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有s k k k ,,,21L 02211=+++s s k k k αααL . （）（2）两个线性相关的向量组成的向量组，其秩为1. （）（3）s ααα,,,21L 线性无关的充要条件是此向量组的秩为. （）s （4）维向量空间中，任何n 1+n 个向量都是线性相关的. （）2.填空题：（1）向量组)1,1,3,4(),2,6,2,4(),0,2,1,3(),1,3,1,2(4321−=−=−=−=a a a a , 则向量组的秩为 4321,,,a a a a .（2）设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵∗A 的秩为 . 3. 设，求以及⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0000001000111000101000111A )(A R A 的列向量组的一个最大无关组；并将其它的列向量用此最大无关组线性表示.4. 设是一组维向量，已知维基本向量n a a a L ,,21n n n εεεL ,,21都可以由它们线性表出，求证：线性无关.n a a a L ,,215. 设有向量组()()(′+−=)′=′=2,1,1,3,1,1,2,0,1:321a A ααα和向量组()()()′+=′+=′+=4,1,2,6,1,2,3,2,1:321a a a B βββ.试问：当为何值时，向量组a A 与B 等价？6.设A 是一个r 阶方阵，B 是一个n r ×矩阵，秩O AB r B ==,)(，试证：. O A =线性代数练习题（11）线性方程组解的结构姓名学号班级1.填空题：（1）若线性方程组有解，则应满足的条件是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+=+−=+441343232121a x x a x x a x x a x x 4321,,,a a a a . （2）设，若存在三阶非零矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=11334221t A B ，满足0=AB ，则 =t .（3）方程组0=AX 以为其基础解系，则该方程的系数/2/1)1,1,0(,)2,0,1(−==ηη矩阵为 .（4）设A 是阶方阵，对任何维列向量，方程n n b b AX =都有解的充分必要条件是 .s ηηη,,,21L （5）设是方程组的解，若)0(≠=b b AX L ++2211ηηk k s s k η+也是的解，则应满足条件 )0(≠=b b AX s 21k k k ,,,L .2.已知，求方程组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4321,211112211221x x x x X A 0=AX 的基础解系、通解.3.已知，求方程组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=241,,2122111212114321b x x x x X A b AX =的通解.4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且，求该方程组的通解./32/1)4,3,2,1(,)5,4,3,2(=+=ηηη5.设都是n 阶方阵，且B A ,0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(.线性代数练习题（12）向量空间姓名学号班级且}0321=++x x x , 1.设V ),,({3211x x x X ==R x x x ∈321,, ),,({3212x x x X V ==R x x x ∈321,,且}1321=++x x x ，问是不是向量空间？为什么？，1V 2V2.（1）试证：由)011(),101(,220(，，，，），，321===a a a 所生成的向量空间就是3R .（2）求在下的坐标，亦即使得表达式)0,0,2(=a 321,,a a a ),,(321x x x 332211a x a x a x a ++=成立的系数.321,,x x x3.由1V )1,1,0,1(),0,0,1,1(21==a a 所生成的向量空间，由2V )3,3,1,2(1−=b ， )1,1,1,0(2−−=b 所生成的向量空间.（1）证明：；21V V =（2）求由基到基的过渡矩阵，矩阵21,a a 21,b b ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=22211211k k k k K K 应满足下述表达式：. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛212221121121a a k k k k b b4.验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(=321=−=a a a 是3R 的一个基；求)7,0,5(=a 在该基下的坐标.线性代数练习题（13）向量的内积方阵的特征值、特征向量姓名学号班级1.填空题：（1）矩阵的特征值为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=002010200A . （2）已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则=A ；1−A 的特征值为 .（3）设0是矩阵的特征值，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=a A 01020101=a ；A 的另一个特征值是 . 2.用施密特正交化方法将向量组正交化、规范化：)9,4,1(),3,2,1(),1,1,1(321===p p p .3.求下列方阵的特征值与特征向量：（1）； ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4211A（2）. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=633312321B4.已知向量是矩阵的逆矩阵/)1,,1(k a =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=211121112A 1−A 的特征向量，试求常数的值.k5.设A 是实正交矩阵，λ是它的一个实特征值，试证：（提示:利用矩阵的特征值与特征向量的定义）.12=λ线性代数练习题（14）相似矩阵对称矩阵的对角化姓名学号班级1.填空题：（1）若矩阵A 与矩阵相似，则kE =A .，则=2B A A =2（2）若阶方阵n A 与B 相似，且. （3）已知，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=20002000,533242111λB A A 与B 相似，则=λ . （4）若A 是三阶方阵，且A 的特征值为2，4，6，则=−E A 3 .（5）已知A 与B 相似，且，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ()()=−+−E A R E A R 2 .2.设有三个线性无关的特征向量. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0011100y x A 321,,p p p （1）求A 的特征值；（2）求与的关系.x y3.设， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=201029313A （1）求出A 的所有特征值和特征向量；（2）判断A 能否对角化?如果能，则求出相似变换矩阵P ，使A 化为对角形.4.设与相似，求与⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−=12422421x A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=40000005y B x y .5.设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321−===λλλ，对应的特征向量依次为，求/3/2/1)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(−−=−==p p p A .6.试求一个正交的相似变换矩阵，将对称矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=020212022A 化为对角阵.线性代数练习题（15）二次型及其标准形姓名学号班级1.填空题：（1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++−=的矩阵是，二次型的秩为 .（2）已知二次型的系数矩阵为，那么它相应的二次型 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−143401312=),,(321x x x f .（3）的矩阵是 3221232221321242),,(x x x x x x x x x x f ++++=.2.求正交变换PY X =化二次型为标准型：（1）；322322214332x x x x x f +++=（2） .43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +−−++++=3.二次型经过正交变换313221232221222x x x bx x ax x x x f +++++=PY X =化为，求及矩阵22212y y f +=b a ,P .4.已知矩阵，求一个多项式，使⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=3815A )(x f O A f =)(.5.设A 为阶实对称矩阵，且，试证：n O A =2O A =（提示：A 相似于对角矩阵),,,(21n diag λλλL =Λ）.线性代数练习题（16）正定二次型姓名学号班级1.填空题：（1）若二次型是正定的，那么31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=t 应满足不等式 . （2）是正定矩阵，则满足条件 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=20001011k k A k . （3）实二次型的秩为 2322213213),,(x x x x x x f +−= ，正惯性指数为，负惯性指数为 .2.判断二次型的正定性：（1）；312123222122462x x x x x x x f ++−−−=（2）.4342413121242322211262421993x x x x x x x x x x x x x x f −−++−+++=3.设A 是阶正定矩阵，证明存在着非奇异线性变换n PY X=，将二次型化为规范型：. AXX f /=22221n y y y f +++=L4.证明：若是正定二次型，则也是正定二次型.Ax x f /=x A x g 1/−=5.设*A 是阶正定矩阵，n E 是阶单位矩阵，证明：n E A +的行列式大于1（提示：存在正交矩阵P ，使得，且),,,(21/n diag AP P λλλL =n λλλ,,,21L 均大于零）.线性代数练习题（17）线性空间基与坐标姓名学号班级1.填空题：（1）设)3,2,1(),2,1,1(),1,1,1(=321==ξξξ是的一个基，则3R ()14,9,6=a 在该基下的坐标为 .（2）在基下坐标为的向量为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=213,132,321321ξξξ)2,1,0( . （3）设是的一个基，且在该基下的坐标为，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=121,110,011321ξξξ3R /)0,0,(t a =)1,1,1(−=t .2.证明)1,1,1(),5,2,3(,),3,1,2(321−=−=−=ξξξ是三维向量空间的一个基，并求向量在此基下的坐标.)7,2,6(−=a3.设321,,ξξξ是3R 的一个基，3R 中向量关于这组基的坐标为，求关于基a 321,,x x x a 213,,ξξξ的坐标.4.设321,,ξξξ是3R 的一个基，3R 中向量关于这组基的坐标为，求关于基a 321,,x x x a )0(,,3221≠+k k ξξξξ的坐标.线性代数练习题（18）基变换与坐标变换姓名学号班级1.填空题：（1）设3R 的两个基为和, ,,则由基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=110,011,101321ξξξ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1111η⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2112η⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1213η321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为.（2）设321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两个基，从基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为，向量在基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=100210321A a 321,,ξξξ下的坐标为，则在基)2,1,0(a 321,,ηηη下的坐标为 .（3）3R 中由基)2,1,3(),2,3,6(),4,3,1(321===ααα到基)1,7,3(1=β,),1,0,0(=2β )5,3,2(3=β的过渡矩阵为.2.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η ),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，求321,,ξξξ到321,,ηηη的过渡矩阵.3.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，已知在基a 321,,ηηη下的坐标为，求在基)1,1,0(a 321,,ξξξ下的坐标.4.设3R 中两个基)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(321===ξξξ和),1,1,1(1=η),2,1,1(2=η )1,2,1(3=η，求在基321,,ξξξ和基321,,ηηη下坐标相同的向量.5.设3R 中两个基321,,ξξξ和321,,ηηη之间有关系式211ξξη−=, ++=21232ξξη 33ξ+,321323ξξξη++=，求向量32132ξξξη+−=在基321,,ηηη的坐标.线性代数练习题（19）线性变换及其矩阵表示姓名学号班级1.填空题：(1)和向量)1,0,1(),1,1,1(21−==a a 都正交的全部向量为 .)0,2,2,1(),1,0,1,1(),0,1,1,1(321−−=−==a a a (2)和向量都正交的单位向量是 .(3)实数域上全体阶反对称矩阵（若n A A −=/，则称矩阵A 为反对称矩阵）组成的线性空间的维数为 . 2.设a ;为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=111,012,101321a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=112,122,121321βββ3R 的两个基, T 是该空间的线性变换,且)3,2,1(==i T i i βα,求线性变换T 在基下的矩阵. 321,,a a a3.已知为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=001,011,111321a a a 3R 的一个基,T 是该空间的线性变换,且=1αT 3α, 22αα=T ,13αα=T ,求3R 另一组基,使线性变换T 在该基下的矩阵为对角矩阵.4.设T 为的线性变换,33R R →T 关于基的矩阵为, 321,,a a a ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A 求T 关于基)0(,,321≠k a ka a 的矩阵.线性代数综合练习题（1）姓名学号班级1.选择题：（1）设A 是n m ×阵，且n m <，则必有（）.A.0≠′A AB.0=′A AC.0>′A AD.0<′A A （2）设A 是n m ×阵，()()n m r A R ,min <=，则A 中（）. A. 至少有一个r 阶子式不为0，没有等于0的1−r 阶子式； B. 有不等于0的r 阶子式，所有1+r 阶子式全为0； C. 有等于0的r 阶子式，没有不等于0的1+r 阶子式； D. 有等于0的1−r 阶子式，有不等于0的r 阶子式.（3）设中，，将n m A ×3,3>>n m A 经若干次初等行变换后得到的矩阵记为B ，则必有（）.A. 若A 的前3列线性无关，则B 的前3列也线性无关；B. 若A 的前3行线性无关，则B 的前3行也线性无关；C. 若A 的左上角的三阶行列式不为0，则B 的左上角的三阶行列式也不为0；D. 以上都不对.（4）设A 是阶方阵，满足，则（）.n A A =2A.1=AB.I A I A +−,不同时可逆C.A A =*D.A 的特征值为1 2.求下列行列式：（1）1)(1)1(1)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n −−−−−−=−−−+L L LL LL L L .（2）ba ab b a b a abb a ab b a D n +++++=10000000010001000L L L L L L L L L L L .3.解方程：（1）0=+−+−+−cb xc b ad d b x b a d c d c x a d c b a （这里是实数）. d c b a ,,,（2）0112520842111111154115212111111541132111111323232=++−x x xx x x x x x .4. 设，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=2200020000340043A 3A 及4A .5. 设三阶方阵满足B A ,E B A B A =−−2，其中E 为三阶单位矩阵，已知，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=102020101A B .6. 设维向量n ()0,,0,,0,<′=a a a L α，E 是阶单位矩阵，n αααα′+=′−=aE B E A 1,，其中A 的逆矩阵为B ，求元素. a7. 设阶方阵n A 的伴随矩阵为*A ，证明：（1）若，则0*=A ；（2）1*−=n A A .8.设是互异的实数，求非齐次线性方程组的解.c b a ,,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++323232c z c cy x b z b by x a z a ay x （提示：方法1 用克拉默法则；方法2 考虑关于未知量R 的一元三次方程）023=−−−x Ry z R R线性代数综合练习题（2）姓名学号班级1.选择题：（1）设有齐次方程组0=Ax 和，其中均为0=Bx B A ,n m ×矩阵，现有4个命题： ①若的解均是的解，则0=Ax 0=Bx ()()B R A R ≥； ②若，则的解均是()()B R A R ≥0=Ax 0=Bx 的解； ③若与0=Ax 0=Bx 同解，则()()B R A R =； ④若，则与同解. ()()B R A R =0=Ax 0=Bx 以上命题中正确的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④（2）设相量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由相量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（） A.当s r <时，相量组Ⅱ必线性相关. B.当s r >时，相量组Ⅱ必线性相关. C.当s r <时，相量组Ⅰ必线性相关. D.当s r >时，相量组Ⅰ必线性相关. （3）设阶矩阵n A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值（） A. –1 B. 1 C. 0 D.n（4）设的特征值为1，-3，5，且33×A A 对应于特征值5的特征向量是ξ，则A 的伴随阵对应于特征向量ξ的特征值是（）*A A. 5 B. –3 C. 1 D. -15 2.已知方程组（I ），且齐次方程组（II ）的通解为⎩⎨⎧=+=+004221x x x x )1,2,2,1()0,1,1,0(21−+=k k X .（1）求（I ）的基础解系；（2）问（I ）与（II ）是否有共同的非零解?若没有，则说明理由；若有，求所有共同的非零解.3. 已知4阶方阵()43214321,,,,,,,αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα−=，如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解.4.设有向量组A ：s ααα,,,21L 与向量组B ：t βββ,,,21L ，它们具有相同的秩，且A 组能由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价.5. 设向量组A ：s ααα,,,21L 的秩为，向量组1r B ：t βββ,,,21L 的秩为，向量组C ：2r t s βββααα,,,,,,,2121L L 的秩为，证明：3r 21321},max{r r r r r +≤≤.线性代数综合练习题（3）姓名学号班级s A ααα,,,:21L r 的秩为，向量组s :B βββ,,,21L 满足下式：1.设向量组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛s r K αααβββM M 2121这里：K 是s r ×矩阵，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是. r K R =)(2.设A 与B 是阶矩阵，证明：n m ×（1）若，则)()(B R A R =A 与B 等价；（2）)()()(B R A R B A R +≤+.3.设矩阵，求P A P B P A *1,100101010,322232223−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=E B 2+的特征值与特征向量．其中为*A A 的伴随阵，E 为3阶单位矩阵.4.设A 是矩阵，是的一个解，n m ×*,0η≠b b AX =r n −ξξξ,,,L 21r n −是的一个基础解系，证明：0=AX （1）,*ηξξξ,,,L 21线性无关；（2）,线性无关；*ηr n −+++ξηξηξη*2*1*,,,L （3）设121,,,+−r n ηηηL 是b AX =的1+−r n 个解，且它们线性无关，，则的任一解均可表示为：)(A R r =b AX =112211+−+−+++=r n r n k k k X ηηηL ，且.111=∑+−=r n i i k线性代数综合练习题（4）姓名学号班级1. 设X 是n 维列向量，1/=X X ，方阵X X E A /2−=，证明A 是正交阵.2. 设都是阶方阵，且B A ,n 0≠A ，证明：AB 与BA 相似.3.设A 是阶方阵，3A 的特征值为6，3，3，特征值所对应的特征向量为，求6/1)1,1,1(=p A .4. 设A 为阶实对称矩阵且正定，m B 为n m ×实矩阵，B ′为B 的转置矩阵，试证：AB B ′为正定矩阵的充要条件是()n B R =.5. 对于二次型，存在AX X f /=0,021≠≠X X ，使得，，证明：存在，使得. 01/1>AX X 02/2<AX X 00≠X 00/0=AX X6. 已知A 是三阶方阵，3,2,1321===λλλ是A 的特征值，设，记()13323−+−=x x x x f ()A f B =.试求：（1）B 的相似对角阵；（2）B 及E B +.。

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1 0 0 2 x 1 2 0 3 12
解得 x=0 , y= -2,
4、A解：PB因P为 PBA=AP而PBP 可P 逆,
1
5
5 1
1 0 0
1 2
0
0
B5
0
25
0
,
P1
0
1
2
0 0 25
0 0 1
2 0 01 0
0
1 2
0
0
A5
0
1
2
0
25
0
0
1
2
0 0 1 0 0 25 0 0 1
1 2
r3
r2
3 2
r3
1 0 0
0 0 2
2 0 0
1 0 10
0
6
6
~r2
(
1 2
)
r3
1 0
0 1
2 0
1 5
0
3
0 0 0 0 6
当 6时, R(A) R(B) 2
此时方程组有解，同解方程组为
x1 并令x2
x3
2x3 5x4
x4
x4
3
0
0 取 x3, x4 为自由未知量，
线性相关；当 m 为奇数时，
方程组（2）只有零解，即只有
x1，x2，x3，L
，x m
全为零时（1）式才能成立，故此时向量组
1, 2 ,L , m 线性无关。
与 2是对应的齐次线性方程组
AX=b的基础解系，k1 与k2 为任意
常数，则方程组AX=b的通解
为
；
(a)
k11
k2
(1
2
)
1 2
(1
2
);
(b)
k11
k2
(1
2
)
1 2
(1
2
);
(c)
k11
k2
(1
2
)
1 2
(1
2
);
(d
)
k11
k2
(1
2
)
1 2
(1
2
);
5、已知三阶实对称矩阵A的特
征值为1、2、3，且对应于1、2
1 0
0 1
1 1
1 1
3 2
2
1
0 0 1 0 3 1
~r2
r1
1
0
0
1
0
1
r3r1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
~
0
1
0
1
1
0
0 0 1 0 3 1
1 0 1
X
1
1
0
0 3 1
2、解：对矩阵A施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵
3 1 0 2
230
123 6 0 0,解得 9.
111
5、解：因为A为满秩方阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对B 进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，
1 2 3 1 2 3
~ Q
AB
2
4
6
r2
2
r1
0
0
0
3 6 9 r3 3r1 0 0 0
单位化得P3
1 (1, 2, 2)T 3
令
P (P1 P2 P3 ),则P为正交矩阵，在正交变换
X=PY之下，原二次型化为标准形
f y1 y2 10 y3
2
2
2
六、解：由aij Aij知A* AT而
A a31A31 a32 A32 a33 A33
a321 a322 a323 a321 a322 1 1
2、设A、B均为n阶方阵，且满
足AB=0，则必有
；
(a) A 0或B 0;
(b) A B 0;
(c) A 0或 B 0 ; (d ) A B 0.
3、设A是三阶可逆矩阵，则 (2A)1 等于
；
(a) 1 ; (b) 8 ; (c) 1 ; (d ) 8 A .
8A
A
2A
4、已知 1、2 是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，1
1
,
求X .
1 2 1
1 1 0
2、求矩阵
3 1 0 2
A
1
3
2
1
1 3 4 4
的秩及一个最大无关列向量组.
3、设矩阵A与B相似，其中
2 0 0 1 0 0
A
2
3
x 1
2
,
1
B
0 0
2
0
,
0 y
求 x , y 的值.
4、设PB=AP，其中
2 0 0 1 0 0
P
0
1
2
,
B
0
2
0
,
0 0 1 0 0 2
求 A5 .
四、问当取何值时，下面的方程组
x1 x2 2x3 4x4 3
x1
2 x2
2 x3
11x4
3x1 x2 6x3 2x4 3
有解？有解时求其通解.
五、设二次型 f 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 1、试用矩阵形式表示；
的特征向量分别为 (1,1, 0)T 和
(2, 2,1)，T 则对应于3的特征向
量为
.
(a) (1,1, 0)T ; (b) (0,1, 2)T ; (c) (1,1, 4)T ; (d) (1,1, 4)T
三、解答下列各题
1、已知AX=B-2X，其中
0 2 3 4 7 5
A
1
3
0
,
B
0
1
A
1
3
2
1
1 3 4 4
0 10 6 5
~r1
3r2
1
3
2
1
r3 r2 0 6 6 5
0
~r1
r3
1
0
4 3 6
0 2 6
~ 0
1 5
r1
r2
1 0 0
3 4 6
2 0 6
1
0
5
~r2
1 4
1 0
3 1
2 0
1
0
0 6 6 5
1 3 2 1
~r3
6 r2
x2
k1
1
k2
0
x3 0 1
取对应的两个正交特征向量
0 4
c1
1
,
c2
1
1
1
单位化得
p1
1 2
(0,1,1)T
,
P2
1 32
(4,
1,1)T
当3 10时,
由方程组(A 10E)X 0,解得
(x1, x2 , x3 )T k (1, 2, 2)T
取对应的特征向量c3 (1, 2, 2)T ,
的通解为其对应的齐次线
性方程组的通解和它的一
个特解的和。已知
1, 2为非齐次线性方程组的解，
12（1 2）为非齐次方程组的解,
而1,2为齐次方程组的基础解系，
1,2线性无关，可证1,1 2线性无关且为齐次线性方程组的解
1 ,1 +2可做为齐次线性方程组的基础解系，
k11 +k2(1 +2
通解,故选(b).
2 0
0
1 2
0
0 1 0
0
0
25
26
0
1
2
0
32
0
0 0 25 0 0 1 0 0 32
四、解：对增广矩阵 B 施行初等行变换
1 1 2 4 3
B 1
2
2
11
பைடு நூலகம்
3 1 6 2 3
~ ~ 1
r2 r1
0
r33r1 0
1 3 2
2 0 0
4 15 10
3
3
6
r1
m1 m1 m , m m 1
的线性相关性.
一、1、解：
a11 a22 a33 a44
1 2 3 4
=1+2+3+4=10
A 1234 1 23 4 24
2、将A分块
A
B 0
0 C
,
B
7 3
3 1
,C
1 1
2
1
而
A1
B1
0
0
C
1
Q
B1
1 B
B*
1 2
xm1 xm 0
x1
xm 0
而其系数行列式
1 1 0L 0
0 L
1 L
1 L
L L
0 L
1
(1)m1
0 2
m为偶数时 m为奇数时
1 0 0L 1
所以当 m 为偶数时，方
程组（2）有非零解，即有不
全为零的数x1，x2，x3，L
，x m
使（1）式成立，据线性
相关性的定义知1, 2 ,L , m
，得它的一个特解为 (0,3, 0, 0)T
对应的齐次方程组的基础解系为 1 (2, 0,1, 0)T , 2 (1, 5, 0,1)T 于是，原非齐次线性方程组当
6时的通解为 X k11 k22 ,(k1, k2 R).
五、解：
2 2 2 x1
(1)
f
(x1,
x2
,
x3
)
三、1、解：由AX=B-2X得