线性代数测试题(第一章)
线性代数期中测试题(第一章第二章)
___.
第 1 页 共 2 页
装订线
1 0 1 2 −1 5．设 3 阶方阵 A, B 满足 A B− A−B = E，且 A = 0 2 0 ，求 B . − 2 0 1
3 0
3．已知矩阵 A = 0
0
1 − 2 ，求 A 的逆矩阵. 0 3 1
0 0 − 1 0 0 −1 0 0 , 求 (2 E + A) −1 . 6. 已知矩阵 A = 0 0 −5 0 0 0 − 6 − 7
a11 4．已知矩阵 A = a 21 a31
0 1 0 1 0 0 a12 a13 P = 0 0 1 P = 0 1 0 ，求 P AP . a22 a23 , 1 2 1 2 1 0 0 0 2 1 a32 a33
东北师范大学测试题
学年度第一学期） （XXXX 学年度第一学期）
课 名 ： 程 称 班级 题 分 得 号 值 分 线性代数 学号 一 40 二 60 三 0
（考试日期： 年 月 日）
7.
a b A= 已知 c d
可逆，则 A =___________ ___.
−1
8. 设 A 为 3 阶方阵，且 A = 2 ，则行列式 A −1 − 3 A * = ________________.
姓 名 四 0 五 0源自成绩 合分人 核分人9. 设 A
1 3 = 2 7 ,
则 A * =______________.
10. 设 A 为 2 阶方阵，B 为 3 阶方阵，且
2A O = A = 2 , B = 3, 则 O B _______________.
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数第一章自测题
第一章 行列式（√）1．若111213212223313233a a a a a a d a a a =，则131211232221333231a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ）4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ）5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ）6.设A 为3阶方阵，2A =，则12TA A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 .10.设四阶行列式1112224333444pa b c p a b c D p a b c p a b c =,则第四列的代数余子式之和 = 0 .11.设3312243,0311A tB ⨯-⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，010000=--a b ba13.==343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=.15.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.16.sin coscos sinαααα-=_____________.17.00102000n=_____________.18.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）．.A D与T D相等；.B若D中有两行元素成比例，则D等于零；.C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零．20.行列式349571214-的元素23a的代数余子式23A为（）A. 3B.3-C.5D.5-21．方程111012λλλλ-=的实根个数为（）A. 0B. 1 .C 2 .D 3 22．23.计算行列式2111121111211112D=；1311131113D=；21111351925D=；1411141114D=；21111241416D =；0100421523132131---；1000313333133331；3112513420111533D ---=---；=aa a a 111111111111 24.设3351110243152113------=D D 的()j i ,元的代数余子式记作ijA ，求 34333231223A A A A +-+25.设 3142313150111235------=D .D 的()j i ,元的余子式记作ijM ，求14131211M M M M -+-．26.设 4001030100214321=D ，D 的()j i ,元的代数余子式记作ij A ， 求14131211A A A A +++．。
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
线性代数习题及答案1
线性代数测试题（线性代数测试题（--）一、单项选择题（每小题3分，共15分。
）1.1.已知已知B A ,是同阶方阵，下列等式中正确的是 【【 】 A. ||||||B A AB = ； B. T T T B A AB =)(； C.111)(---=B A AB ； D. kk k B A AB =)(.2.2.设设A 是n m ´矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 【 】A.n A r =)(；B.n A r <)(；C.0||=A ；D.n m > .3.3.设设A 是45´矩阵矩阵,,则下列命题正确的是 【 】A.A 的行向量组线性无关；B.A 的行向量组线性相关；C.A 的列向量组线性无关；D.A 的列向量组线性相关的列向量组线性相关..4.4.设设A 是n 阶可逆矩阵，l 是A 的一个特征值，则*A 的一个特征值是 【 】 A.n A ||1-l ； B.||1A -l ； C.||A l ； D.n A ||l .5.5.设设n 阶方阵A 与B 相似，则下列命题不正确的是 【 】A.A 与B 有相同的特征值；B.)()(B r A r =；C.||||B A =；D.A 与B 有相同的特征向量有相同的特征向量. .二、填空题（每小题3分，共15分。
） 1.1.已知已知)1,3,2(),1,1,1(),,2,1(321=-==a a a t ，当t t 时，时，321,,a a a 线性无关线性无关.. 2.yy y y y y f 212112)(---=中3y 的系数是的系数是 .3. .3. .3.设设A 为3阶方阵，A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2，则|3|1-A = . 4.设321,,a a a 是三元线性方程组b Ax =的三个解，且2)(=A r ，÷÷÷øöçççèæ=+40221a a ，÷÷÷øöçççèæ=-11132a a ，则b Ax =的通解为 5.设二次型31212322212224x x x tx x x x f ++++=是正定的，则t 的范围是的范围是三、（本题10分）已知÷÷÷øöçççèæ-=221011324A ，矩阵X满足X A AX 2+=，求矩阵X四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组求下列向量组的秩和一个最大无关组. .)3,4,3,4(,)3,2,1,1(,)1,1,3,2(,)1,1,1,1(4321-=-=--==a a a a . 五、（本题14分） 已知线性方程组ïïîïïíì=+-=-=-=-.,,,41433221k kx x k x kx k x kx k x kx (1)(8分)k 为何值时，方程组有惟一解为何值时，方程组有惟一解? ? ? 无解？无穷多解？无解？无穷多解？无解？无穷多解？(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.六、（本题10分）已知三阶方阵A 的特征值为的特征值为-1-1-1，，1，2.2.设设3223A A I B +-=. (1)(5分)求矩阵A 的行列式及A 的秩；的秩；(2)(5分)求矩阵B 的特征值及其相似对角矩阵的特征值及其相似对角矩阵. .七、（本题14分）设úúúûùêêêëé=011101110A ，求正交矩阵P 使得L =-AP P 1为对角矩阵为对角矩阵. . 八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）分）1.1.向量组向量组321,,a a a 线性无关，试证向量组32121132,2,a a a a a a +++ 线性无关线性无关.. 2.2.设设A 为n m ´矩阵矩阵,,B 为m n ´矩阵矩阵,,且n m >. . 证明：证明：.0||=AB线性代数测试题答案线性代数测试题答案((一)一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.A 1.A；； 2.B 2.B；； 3.B 3.B；； 4.B 4.B；； 5.D. 二、填空题（每小题3分，共15分）1.2¹t； 2.-4 2.-4；； 3.227-； 4.)()1,1,1()2,0,1(R k k T T Î+； 5.22<<-t .三、（10分）解：由X A AX 2+=得A X I A =-）（2 （（1分）分）30210113222=--=-|I A | （（2分）所以A I A X 12--=）（ （2分）分）÷÷÷øöçççèæ--=--3423111012021//I A ）（ （（3分）故÷÷÷øöçççèæ--=35432230241//X . . （（2分）分） 四、（10分）解：对A 进行初等行变换进行初等行变换÷÷÷÷÷øöçççççèæ-@÷÷÷÷÷øöçççççèæ----=00001100011041213311421131314121A （（5分）此向量组的秩为：分）此向量组的秩为：3 3 3 （（2分）分） 它的一个最大无关组为.,,321a a a （（3分）分）五、（14分）解：解：(1)(1)(1)系数矩阵系数矩阵A 的行列式为的行列式为10011000100014-=----=k kk k k |A | （（5分）当1±¹k 时，方程组有惟一解；时，方程组有惟一解； （（1分）分） 当1=k 时，4)(,3)(==Ab r A r ，方程组无解；，方程组无解； （1分）当1-=k 时，3)()(==Ab r A r ，方程组有无穷多解；（1分）分）(2)(2)对增广矩阵进行行初等变换：对增广矩阵进行行初等变换：÷÷÷÷øöççççèæ-@÷÷÷÷øöççççèæ------------=0000011100010101100111001111001011010011)Ab （ （（3分）分） \原方程组的通解为：)R k (),,,(k ),,,(x T T Î--+=11110101 （（3分）分）六、（10分）解：解：(1)(1)2-=A （3分）3=)A (r （（2分）分） (2)(2)设设l 为A 的特征值，x 为A 的对应于l 的特征向量，则：的特征向量，则： x x A A I Bx )231()23(3232l l +-=+-=B \的特征值为的特征值为-4-4-4，，0，5 5 （（4分）分）B 的相似对角矩阵为：÷÷÷øöçççèæ-504 . . （（1分）分） 七、解：0)2()1(1111112=+-+=---=-l l l l l l I A 得到特征值2,121=-=l l （3分）11-=l 时，÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ=+000000111~111111111I A ，对应于11-=l 的两个正交的特征向量为÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-101,121 ，单位化得÷÷÷øöçççèæ-÷÷÷øöçççèæ-10121,12161 （6分）22=l 时，÷÷÷øöçççèæ--÷÷÷øöçççèæ---=-000110101~2111211122I A ，对应于22=l 的一个特征向量为÷÷÷øöçççèæ111，位化得÷÷÷øöçççèæ11131（3分）正交阵÷÷÷÷øöççççèæ--=3/12/16/13/106/23/12/16/1P . . （（2分）分）八、（共 12分）1.1.证：令证：令0)32()2(321321211=+++++a a a a a a x x x （（2分）分）整理得：03)22()(332321321=+++++a a a x x x x x x(1分) 由于321,,a a a 线性无关，所以有：.0,0,0321===x x x （2分）则向量组32121132,2,a a a a a a +++线性无关线性无关. . . （（1分）分） 证：A 为n m ´矩阵，B 为m n ´矩阵，且n m >，n AB r n B r n A r £££\)(,)(,)( （4分）分） 又AB 为m 阶方阵，则0||=AB . （2分）分）。
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：(1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B)P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明：3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明： |A *|=|A |n-1，(n ≥2)．..8. 设A ,B 都是三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且|A |=2，|B |=1，计算 |-2A *B -1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1. 复习题二1．设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*=B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．..4．设A ,B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A BE -=．第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ，计算3α1-2α2+α3．2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ；(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r ...3．设有三个n 维向量组A ：α1, α2, α3；B ：α1, α2, α3, α4；C ：α1, α2, α3, α5．若A 组和C 组都线性无关，而B 组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．4．设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基；(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关．复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a =.2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a , b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax=β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．..3. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=-1，证明：-1是A 的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1)λA是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ，求矩阵A ．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |=．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足． 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+, α2，则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9． 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值X 围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A T A ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n .2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3．3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵． 测试题二一、填空题:１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为；２、已知A 为三阶正交矩阵，且A ＜０，则*AA =；３、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ，若A 不可逆，则=x ； ４、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001，则6A =； ５、“若向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则4α一定能由32,αα线性表示”．该命题正确吗？ 。
线性代数第一章n阶行列式练习题
线性代数第一章n阶行列式练习题填空01111．设n阶行列式D =10111a131?11?10?11?01?111110，则D的值为．1a11a122a113a12?a114a13?a122．设行列式D =a21a22a23a31a32a33= a ，则行列式D1 =2a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32= ．3．设行列式D =1234234567894567，则D的第3列元素的代数余子式之和为． 4．设f=x1?2101?x11312x14?323x?443xx ，则f的展开式中??的系数为，的系数为，常数项为．5．方程1?2231x2313x4114x= 0 的根x = ．6．当满足条件时线性方程组选择??x1?x2?x3?x4?0??x??x?x?x?0?1234???x1?x2??x3?x4?0??x1?x2?x3??x4?0 只有零解．1．设4阶行列式D =a100b10a2b200b3a30b400a4，则D的值为．a1a2a3a4?b1b2b3b；a1a2a3a4?b1b2b3b；；．?2．设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则．?ai?1n nijAij?= 0；?ai?1ijAij?= D； ?aj?1n n1jA2j?= D ； ?aj?1ijAij?= 0．a11a12?a1na1na1,n?1?a11a21a22?a2n3．设行列式D =a2na2,n?1?a21= aan1an2?ann，则行列式D1 =nannan,n?1?an1= ．n2a ；－a ；a ； a ．4．设f=x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?5 4x4x?35x?74x?，则方程f= 0的根的个数为．1 ；；；．a1a1a15．方程a2a3a4?xa4a4a4= 0a2a3?xa2?xa3a2a3a1?x的根为．a1?a2，a3?a；0 ，a1?a2?a3?a4；a1a2a3a，0 ；0 ，?a1?a2?a3?a4．6．设D为n阶行列式，下列命题中错误的是．2n 若D中至少有?－?n?＋?1个元素为0 ，则D = 0 ；若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k?＋?l?＞?n ，则D = 0 ；若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 ．1．答案n?1 ．提示将D化为上三角行列式即得．．答案 4a ．提示利用行列式性质、5变化行列式D1 即得．．答案 0 ．提示A13?A23?A33?A43?=123423451111456．4．答案－、1、－．提示x、x3的系数由4个主对角元的乘积?x2x 确定，常数项为f．5．答案 x = －、1 、．提示将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得．．答案??≠?1且≠ －．提示齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 ．选择 1．答案．提示利用行列式的Laplace展开定理即得．．答案．提示由定理1.2即得．．答案．提示利用行列式性质2变化行列式D1 即得．．答案．提示先利用行列式性质5将方程f= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f的次数．5．答案．提示将方程左边的行列式化为上三角即得．6．答案．提示命题是错误的．反例：100100000010010= 1 ．一. 判断题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开 a100b40a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式 k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。