线性代数练习题 (1)

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线性代数复习题带参考答案(一)

线性代数考试题库及答案第三章向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

线性代数练习题一

A
=
1
1
2
，（1）求
A 的特征值和特征向量；（2）求一个可逆矩阵
P，使
P 1 AP
为对角矩阵.
四、解答题设向量组1 ,2 ,3 ,4 线性无关，且向量 1 1 2 ，2 2 3 ，3 3 4 ，4 4 1 ，那
么向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关还是线性无关？说明理由.
0
2
−4
→
0
0
1
−2
0 0 −1 2 0 0 0 0
对应的同解方程组为
x1 x3
− −
x2 − 2 x4
x4
= 0 ，即
= 0
x=1 x3 =
x2 + 2 x4
x4
取自由未知量
x2 x4
=
1 0
及
0 1
，
1 1
得基础解= 系 ξ1
= 10 ,ξ2
0
−1 −1 1 1
−1
A − 3E = −1
−1
→
0
0
，得基础解系 ξ1
=
1
，
故
c
−1
1
（且
c
≠
0
）为对应于特征值
λ1
=
3
的全部特征向
量.
当 λ2 = 1 时，令 ( A − E ) x = 0 ，即
第1页共2页
1 −1 1 −1
1
A − E = −1
1
→
0
0
，得基础解系
3. 解： A=
1
−1
2
−1
→
0
−4
6
−5
3 1 0 2 0 −8 12 −10

线性代数总复习题(一)

九．设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ．证明：∵ A, B 都是 n 阶对称阵．
∴ AT = A ， B T = B ．
∴ AB 是对称阵 ⇔ ( AB ) = AB
T
⇔ B T AT = AB ⇔ BA = AB
十．求下面矩阵的特征值和特征向量：
1．设 D1 =
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
， D2 =
an1 an −1,1 a11
an 2 an −1,2 a12
ann an −1, n a1n
，则 D1 与 D2 的关系是（
C
）．
（A） D2 = D1 分析： rn 依次与 rn −1 , rn − 2 ,
∴ i = 2 ， k = 5 ；或 i = 5 ， k = 2 ．
．若 i = 2 ， k = 5 ，则列标排列 32145 的逆序数为 3，这一项的符号为“ − ” ．若 i = 5 ， k = 2 ，则列标排列 35142 的逆序数为 6，这一项的符号为“ + ”
∴ i =5，k = 2．
（2） R ( A ) = 2 ；（3） R ( A ) = 3 ．（1） R ( A ) = 1 ；
−2 3k ⎞ ⎛ 1 −2 3k ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ( k − 1) 解： A = ⎜ −1 2k −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 ( k − 1) ⎟． ⎜ k −2 3 ⎟ ⎜ 0 0 −3 ( k + 2 )( k − 1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ （1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1 时， 2 ( k − 1) ≠ 0 ， −3 ( k + 2 )( k − 1) ≠ 0 ， R ( A ) = 3 ． ⎛ 1 −2 −6 ⎞ ⎜ ⎟ （2）当 k = −2 时， A ∼ ⎜ 0 −6 −9 ⎟ ， R ( A ) = 2 ． ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎜ ⎟ （3）当 k = 1 使， A ∼ ⎜ 0 0 0 ⎟ ， R ( A ) = 1 ． ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 9； (2) 1；(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】(1) τ(9)=11; (2) τ(1)=36;(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122x x x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解：设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)214131211232562-----； (2) abac ae bd cd de bfcf ef-------； (3)10011001101a b c d ---； (4) 1234234134124123. 【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------;21011111(3)(1)11101100111;b c D a a b cd c c d d d dabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111a ab b a a b b a b +=-；(2) 2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++； (3) 232232232111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++(4) 20000()000n n a b a b D ad bc c d cd==-ONN O；(5)121111111111111nn i i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏L L M M M . 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b ba b a b b a b a b ba b a b a b a b --+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b cc c c cc d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11xx x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)0000000(),n n n n a b aba b a b D abc dc dc d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-ONONN O NO据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-L 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+L L LL L L L L L L L L L LL LLL但由归纳假设11121111,n n n i iD a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑L 从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏L L L8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x=LL M M ML(2) 122222222232222n D n=L L L LL L L L L； (3)000000000000n x y x y D x y y x=L L LL L L L L L L . (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-=L ； (5)2100012100012000002100012n D =LL LM M MM M L L. 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n 1),得11111[(1)],11n x D x n x=+-L L M M M L 将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---LL M M M L(2) 213111222210000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-MLL L L M M M M M L按第二行展开222201002(2)!.00200002n n =---L LL M M M M L(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000000(1)(1).n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y xxyx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-L L L L M M M M M M L L M M MM M LL(4)由题意，知1112121222120121101221031230n nn n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----L L L LL M M MM M MM LL122111111111111111111111n n ------------LL LM M MM M L L后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行012211221111112000020000200000000022n n n n --------=-L L L LL LM M M M M M MM M L LL按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=---LL M M M L按第列展开. (5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+LL L L L L LLLM M MM M M M M M M M M M M M L L L LLL122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=L 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-L 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n nn na a a a a a D a a a ++=+LL M M M L【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑L LLM MM M L将第一行乘（1）后加到其余各行，得23111010011.00100001n nnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑L L LM M M M L10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠=L ）.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=L L MM M M L L. 【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=L ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏L LL L L L L L LL 11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+=同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 121232343454556 1,56 0,56 0, 560, 5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23140123123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.122112120133123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2, 1.D D D Dx x x x D D D D========- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111aa b=-即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=；（2）500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（6） 1210131010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()ij iji j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(AB )≠A 2B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ，则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .4. 设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A L 5. 100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A =今归纳假设121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= 1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a bc d ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b cd b a d c a b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有22222()a b c d =-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) ABBA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= B ,故(B 2)′=B ′·B ′= B ·(B )=B 2;(ABBA )′=(AB )′(BA )′=B ′A ′A ′B ′= BAA ·(B )=ABBA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= BA +A ·(B )= (AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，ABBA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数.13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O ，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2)121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠- 故112311101111122.02211130122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）1=（A 1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)1. 【证明】（1）因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1)1=|A |1A . 于是A * (A 1) *=|A |A 1·|A |1A =E ,所以(A 1) *=(A *)1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A 1=A ′. 由(2)(A *)1=(A 1) *,得(A *)1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若kA =O (k 为正整数)，证明：121()k ---L E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,L L L 从而EA 可逆，且121()k ---L E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A 1及(A +2E )1. 【证】因为A 2A 2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E. 由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A 2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E即A 2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ，求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ 23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++L ，记01()mm f a a a =+++L A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ，证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,000kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L L L L A E +A++A ++++++ (2) 由(1)与A =P 1BP ,得B =PAP 1.且B k =( PAP 1)k = PA k P 1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A P P A P L L L24. a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1）若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)1=|A |( A *)1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n , 若|A |≠0，则| A *|=|A |n 1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n 1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数). 【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3) 11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）00310021********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r L ααα线性无关，证明向量组12,,,r L βββ也线性无关，这里12.i i +++L β=ααα【证明】设向量组12,,,r L βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k L 使得1122.r r k k k +++=L 0βββ把12i i +++L β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0L L L ααα.又已知12,,,r L ααα线性无关，故1220,0, 0.r rr k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩L L L L L 该方程组只有惟一零解120r k k k ====L ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r L βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==L L α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n L ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=L α1,2,,i n =L 组成的，所以12,,,n L ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t L 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -==L L α是线性无关的.【证明】任取nr 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n rr r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠L M M M M LL M M M ML从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r L ααα也线性无关.10. 设12,,,s L ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r L ααα线性表出.证明：12,,,r L ααα为12,,,s L ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r L ααα(1)线性相关，且不妨设12,,,t L ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s L ααα的一个极大无关组，这与12,,,s L ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r L ααα必线性无关且为12,,,s L ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a 2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需ba +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0).13. 设12,,,n L ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n L ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n L ααα线性表示，则单位向量12,,,n L εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n L ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n L ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n L ααα线性相关，所以α能由12,,,n L ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m L ααα与12,,,s L βββ秩相同且12,,,m L ααα能经12,,,s L βββ线性表出.证明12,,,m L ααα与12,,,s L βββ等价.【解】设向量组12,,,m L ααα (1)与向量组12,,,s L βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r L ααα (3)和12,,,r L βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑L αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r =L β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ×n 矩阵，B 为s ×n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有max{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir L ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jk L βββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir L ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jk L βββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir L ααα,12,,,j j jk L βββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ×n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ×s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ×(ns )),因为A 为行无关的s ×n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ×n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ×s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ×(ns ))=(KA s ,KP s ×(n s)) 知R (B )=r ,即B 行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x L )｜12,,,n x x x L ∈R 且12n +++L x x x ＝0}是否构成向量空间为什么【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y L L αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++=L L αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++=L L L L L 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦M A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2)1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b M 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩解②①×2得 x 22x 3=0③① 得2x 3=4 由⑥得 x 3=2,由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=22x 3 2x 2 = 10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4)123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)。

线性代数习题1(附答案)

线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的，则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵，则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。

线性代数习题1

习题一一.单项选择题1.三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则下列矩阵中非奇异矩阵是（）． A.2+A E ； B. 2-E A ； C.-E A ； D.3-A E . 答案：A解因为若λ为三阶矩阵A 的特征值，则0λλ-=-=A E E A ，也即当λ为矩阵A 的特征值时，矩阵,λλ--A E E A 为奇异矩阵. 由于2λ=-不是矩阵A 的特征值，所以20+≠A E ，即矩阵2+A E 非奇异. 故答案A 正确.2.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.3.二次型),,(321x x x f 22112263x x x x =++的矩阵是（）. A.1113-⎛⎫⎪-⎝⎭； B.1243⎛⎫ ⎪⎝⎭； C. 1333⎛⎫ ⎪⎝⎭； D. 1513⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C解因为),,(321x x x f 22112263x x x x =++112213(,)33x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以二次型矩阵为1333⎛⎫=⎪⎝⎭A ，故答案C 正确. 4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确.二、解答下列各题1.试证:由123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T T ===ααα所生成的向量空间就是3R . 证设123(,,)ααα=A ，因为011101110=A 20=-≠于是()3R =A ，故123,,ααα线性无关.由于123,,ααα均为三维且秩为 3. 所以123,,ααα为此三维空间的一组基，故由123,,ααα所生成的向量空间就是3R .2.利用施密特正交化方法，将向量组化T 1(011),α=，，T 2110,α=（，，）T3101α=（，，）为正交的单位向量组．解令1β=T 1011α=（，，）， 2β=2121111111(1,1,0)(0,,)(1,,)2222T T T T T αβαβββ-=-=-，3β=31323121122T T T T αβαβαββββββ--，=11111(1,0,1)(0,,)(,,)22366T T T---=（T)32,32,32-，再将向量组123,,βββ单位化，即得到正交的单位向量组．T T T12363(),),)33γγγ==． 3.判别矩阵211020011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵．解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T =-α. 对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α.由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可对角化．令123110(,,)001101ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P 则1100020002-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP4.求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.解二次型的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其特征多项式为20032032(2)23023λλλλλλλ---=-=---A E )1)(5)(2(λλλ---=令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,5,2321===λλλ当21=λ时, 解方程组(2) -=A E x 0，由0000122012001021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E . 得基础解系 1100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.当52=λ时，解方程(5) -=A E x 0，由3001005022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当13=λ时，解方程() -=A E x 0，由100100022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 3011α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.将123,,ααα单位化，得1100β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,20β⎛⎫ = ⎝,30β⎛⎫ =- ⎝⎭于是正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321************1y y y x x x . 且标准形为 23222152y y y f ++=． 5.判别二次型),,(321x x x f =322123222144465x x x x x x x --++是否为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为520262024-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .由于1150a =>，5226026-=>-，520262840024-=--=>-A即A 的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.三、证明题如果A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，证明1-B AB 为n 阶实对称矩阵．证因为111()()()T T T T T T T ---==B AB B A B B A B 又A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，所以T =A A 及T =B B E ，即1()T -=B B于是 11()()T T T T T --==B AB B A B B AB 1-=B AB 所以1-B AB 为n 阶实对称矩阵．习题2一.单项选择题1.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.2.设矩阵A 与B 相似，其中12312001x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，已知矩阵B 有特征值1,2,3，则=x （）． A.4； B.3-； C.4-； D.3. 答案：A解因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵A 的特征值为1,2,3. 由11123x ++=++，得4x =，故答案A 正确. 3.设,A B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则（）.A. A 与B 相似；B. =A B ；C. A 与B 有相同的特征值；D. ()()R R =A B 答案：D解因为A 与B 合同，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T=B C AC ，故()()R R =A B故答案D 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，求向量(2,0,0)Tα=在此基下的坐标.解设112233k k k αααα=++，则123,,k k k 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+002323121k k k k k k 的解.解得1231,1,1k k k ===-，所以向量α在此基下的坐标为(1,1,1)T-.2.求矩阵211020011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 的特征值和特征向量解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T=-α，于是A 的属于11λ=的全部特征向量为11c α（1c 为不等于零的常数）对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α，于是A 的属于23,λλ的全部特征向量为2233c c +αα（23,c c 为不全等于零的常数）.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 010(1)(1)1λλλλλλ--=--+- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,1,0321-===λλλ对于10λ=，解方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(0,1,0)=α；对于21λ=，解方程组() -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 2(1,0,1)α=；对于13-=λ，解线性方程组() +=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,0,1)α=-. 分别将123,,ααα单位化得T T T123(0,1,0),,(βββ===，令1230(,,)1000βββ⎛== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则 1000010001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ .4.用配方法将二次型22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =+++化成标准形, 并写出所用变换的矩阵：解对二次型配方，得222212313132313323(,,)222()2f x x x x x x x x x x x x x x =+++=+++22213223()()x x x x x =+-++令 11322323y x x y x y x x =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 即112322323x y y y x y x y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩,写成矩阵形式为112233111010011x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为111010011C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭在此变换下二次型化为规范形 222123f y y y =-+. 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为 1112125t t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 0111>=a , 11t t =21t ->0, 254t t =--A >0，由此解得 054<<-t . 三、证明题若矩阵A 与B 相似，试证明（1）A 与B 有相同的特征多项式和特征值；（2）A 与B 的行列式相等，即A B =.证（1）由相似定义可知，存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B ，于是1111()B E P AP P P P A E P P A E P A E λλλλλ-----=-=-=-=-即A 与B 的特征多项式相同，因而有相同的特征值.（2）由1B P AP -=，有11B P AP P A P A --===，即A 与B 的行列式相等.习题3一.单项选择题1.设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（）． A.λλ-=-A E B E ； B.A 与B 有相同的特征值和特征向量； C.A 与B 都相似于一个对角矩阵； D.对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 答案：D解因为由A 与B 相似不能推得=A B ，所以答案A 错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B 错误；由A 与B 相似不能推出A 与B 都相似于一个对角矩阵，所以答案C 错误；由A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，所以11()t t t ---=-=-P A E P P AP E B E所以，对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 故答案D 正确.2.设A 为n 阶实对称矩阵，则（）． A.A 的n 个特征向量两两正交；B.A 的n 个特征向量组成单位正交向量组；C.A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E ；D.A 的k 重特征值0λ，有0()R k λ-=A E .答案：C解由实对称矩阵特征值的性质可知，对于实对称矩阵A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E . 故答案C 正确.3.设矩阵2001002005-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则与A 合同的矩阵是（）.A.100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； B. 300020005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； C. 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D. 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭答案：A解两矩阵合同时，其正惯性指数相同，且负惯性指数也相同，只有答案A 满足题意. 故答案A 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的两个基为123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)T T T ααα==-=123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,3)T T T βββ===求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .解取矩阵123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，对()A B M 作初等行变换()=A B M 111123100234100234010010111143001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故过渡矩阵234010101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭P .2.设矩阵20131405x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可相似对角化, 求x .解矩阵A 的特征多项式为2201||31(1)(6)45x λλλλλλ--=-=----A E , 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,6λλλ===因为A 可相似对角化，所以对于121λλ==, 齐次线性方程组() -=A E x 0有两个线性无关的解, 因此()1R -=A E . 由101101()30003404000x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 知当3x =时()1R -=A E , 即3x =为所求.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵111111111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 2111111(3)111λλλλλ--=--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为3,0321===λλλ对于120λλ==，解齐次线性方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(1,1,0)=-α ，T 2(1,0,1)α=-对于33=λ，解齐次线性方程组(3) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,1,1)α=将向量组12,αα正交单位化得T T12,,ββ== 将向量3α单位化得T3β=，令 123(,,)βββ=Q 0⎛ = ⎝则 1-Q AQ 000000003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4.用配方法化二次型2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x 为标准形, 并写出所用变换的矩阵.解先将含有1x 的项配方.2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x=21x +1232(2)x x x -+223(2)x x -－223(2)x x -+223x +235x=2123(2)x x x +-+222x +324x x +23x再对后三项中含有2x 的项配方，则有123(,,)f x x x =222123233(2)2()x x x x x x +-++- 令 1123223332y x x x y x x y x=+-⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即所作变换为 1123223333x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,写成矩阵形式为112233113011001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为113011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C在此变换下二次型化为标准形为 2221232f y y y =+- 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =322123222122x tx x x x x x ++++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为210112012t t ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 1120a =>, 1112>0, 2102t =->A ；由此解得 22<<-t .三、证明题（1）设,A B 都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似．（2）如果矩阵A 与B 相似，且A 与B 都可逆，证明1A -与1B -相似. 证（1）因为0≠A ，则A 可逆.由于11()()()--==A AB A A A BA BA所以AB 与BA 相似.（2）因为矩阵A 与B 相似，所以存在一个可逆矩阵P ，使得1P AP B -= 所以 111()P AP B ---=，即111P A P B ---=，所以1A -与1B -相似.。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数习题,数学

第一章练习题（一）一、填空题 1. 设xxx x x xD x f 412412102132)(==，则4x 项的系数为，3x 项的系数为，常数项为 . 2. 五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 . 3. 设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx其中)1,,2,1(-=n i a i 是互不相等的实常数，则方程的全部解为 . 4. 设A 为3阶方阵，4-=A ，设i α为A 的第i 个列向量，于是),,(321αααA =，则行列式=+12134,,3αααα .5. 设4阶方阵)(432γ,γ,γα,A =，)(432γ,γ,γβ,B =，其中432,,,γγγβα,为4维列向量，且3,2=-=B A ，则=+B A 2 .6. 已知x 的一次多项式111111111111111)(------=xx f ，则其根为 . 二、选择题1. 五阶行列式)det(ij a D =中应有一项为（）. （A ）4453452311a a a a a （B ）5445342311a a a a a （C ）4452352311a a a a a （D ）4451352312a a a a a2. 四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 3. 记347534453542333322212223212)(---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为（）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 已知四阶行列式4D 第1行的元素依次为1，2，1-，1-，它们的余子式依次为2，2-，1，0，则4D =（）.(A) 3- (B) 5- (C) 3 (D) 5 5. 已知n 阶行列式1110111=D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于（）. (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 2 6. 五阶行列式=---------=aa a a a a a a a D 1111000110001100015（）.(A) 54321a a a a a -+-+- (B) 4)1(a - (C) 5)1(a - (D) 4 三、计算题1. 计算n 阶行列式121001001001111-=n n a a a a D，其中01210≠-n a a a a .2. 计算n 阶行列式nn n n nn n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=111111111212221212111.3. 计算四阶行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a D +++=.4. 解方程0)1(111121111111111=----xn x x.5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++22221d z c y b x a d cz by ax z y x ，其中d c b a ,,,为不同的数. 四、证明题 1. 证明行列式nn ny xx yy x x y x y x D 1)1(00000000000000+-+==.2. 用归纳法证明：])()[(21nnn a x a x xaaaa x a aa a x aa a a x D -++=------=.3. 证明：333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++.。

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2 x3 1 x1 9、对于线性方程组 x1 x 2 3x3 2 ，讨论，为何值时方程组有无穷多解， 2 x x x 2 3 1
并在有无穷多解时求其通解。 10、已知向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 线性无关. 证明：
(1) 1 能由 2 , 3 线性表出； (2) 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出.
11、设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* ，证明： A* A
n 1
.
1,0,0, 1 ） 12、利用 Schmidt 法化 α1 =(1,1,0,0) ， α 2 =(1,0,1,0) ，α3 =（， α 4 =(-1,1,1,-1) 为规范正交向量组.
26、设 n 阶方阵 A，若 R A n 2 ，则 Ax 0 的基础解系所含向量的个数为 27、已知 Ax b 有两个不同的解 x1 , x2 ，则 Ax 0 有一个非零解为
1 a 1 T 28、若 A 0 1 ，且 A A ，则 a
3
三、计算题
x a a
1、 Dn
a
x a
a a x
x12 1
2、 D
x1 x2 x 1
2 2
x1 xn x2 xn
2 xn 1
x2 x1 xn x1
a2
xn x2
3、 D3 b 2
c2
a 12 a 22 b 12 b 22 c 12 c 22
15、设 Amn ， Bmn 为矩阵，则 R A B R A RB 。（ 16、设 A =0，则 R A 0 。（））
）
17、线性方程组 Ann X 0 只有零解，则 A 0 。（
18、若 AX b 有无穷多解，则 AX 0 有非零解。（） 19、若可逆矩阵 P, Q 使得 PAQ B ,则 R( A) R( B) 。（）
22、， 1， 2 线性相关，则， 1， 2， 3 线性 23、， 1， 2， 3 线性无关，则 1， 2， 3 线性 24、由 m 个 n 维向量组成的向量组，当 25、 Amn x b 有唯一解的充要条件是
关关
时，向量组一定线性相关，有无穷多解的充要条件是，无解的充要条件是
3 0 0 15、 0 2 3 0 5 8
1

16、设 n 阶方阵 A 满足 A2 2 A E 0 ，则 A 1
1 2 4 17、要使矩阵 2 1 的秩取得最小值，则 1 1 0
18、列向量组 1， 2，， n 的秩， n 的秩与矩阵 1， 2， 19、设 1 1 2 1 ， 2 0 5 3 ， 3 2 4 2 ，则向量组 1 , 2 , 3 的秩
5 1 3 2 0 1 1 5 3
， D 的 (i, j ) 元的余子式和代数余子式依次记作 M ij ， Aij .
3
4、设 D
1 1 2
4 1 3
求 M11 M 21 M 31 M 41 5、设 A 是 3 阶方阵，且 A
1 1 ，求行列式 3 A 2 A 的值。 2
x1 ax 2 x3 0 7、讨论 a 取何值时，方程组 x1 x 2 x3 0 有非零解？在有非零解时，求其通解。 x x ax 0 2 3 1
x1 2 x 2 x3 0 2 x 5 x 2 x 0 1 2 3 8、求齐次线性方程组的基础解系及通解。 x1 4 x 2 7 x3 0 x1 3x 2 3x3 0
12、设 A 为三阶方阵， A 3 ，则 5 A 1 2 A =
cos 13、设 A sin sin ，则 A 1 cos
a b 1 1 14、设 A c d ，当 ad bc 时， A 存在，此时 A
5
30、向量组 1， 2，（， n 的秩为零的充要条件是它们全为零向量。 31、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（）
32、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（
）
二、填空题
1、排列 32514 的逆序数为 2、已知排列 1s46t5 为奇排列，则 s、t 依次为
20、若 1， 2，（）， n 线性无关，且 k11 k 2 2 k n n 0 ，则 k1 k 2 k n 0 。 21、单独的一个零向量是线性相关的。（） 22、两个等价向量组，若一个线性无关，则另外一个也线性无关。（））
， n （ n 2 ）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。 23、向量组 1， 2，（
24、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（
1
）
25、向量组 1， 2，（， n 线性相关，则 n 必可由 1， 2，， n1 线性表示。
1
3、四阶行列式
2
3
4 0 6
号中元素 a 23 的代数余子式为
6 4
1 7 9 5
5 2 8 3
4、 a11a23a32a44 在四阶行列式中应带
0 0 a 0
5、
0 b 0 0 0 0 0 c d 0 0 0

3 6、 1 2 3 2 1 1 7、 2 3 2 1 3
4
4 1 2 1 3 4 5 2 5、设 A ， 1 4 2 14 1 1 3 1
（1）求 R A ；（2）求 A 的列向量组的一个最大无关组；（3）把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 6、设 A 为列满秩矩阵, AB C ,求证:线性方程 BX 0 与 CX 0 同解.
13、证明：若向量组 , , 线性无关, 则向量组 , , 亦线性无关.
2， 0 14、设 1 1 0， 7， 14 ， 4 2，， 1， 2， 4 ， 2 0， 3， 1， 2 ， 3 3， 1， 5， 6 ， 5 1， 1，
求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。
x1 1 x2 12 x3 13 2 3 x x 2 x3 2 15、设线性方程组 1 2 2 求证：若 1 , 2 , 3 , 4 两两不等，则此线性方程组无解. 2 3 x1 3 x2 3 x3 3 2 3 x1 4 x2 4 x3 4
0， 1， 1 ， 4 0， 20、设 1 1， 1， 1， 1 ， 2 0， 1， 1， 1 ， 3 0， 0， 0， 1 线性
关
0， 1 ， 4 0， 21、已知 1 1， 0， 0 ， 2 0， 1， 0 ， 3 0， 2， 1 ，则用 1， 2， 3 表示 4 1 0
1 1 9、 0 1
2
10、设 A 1,2, B 2,1 ，则 AT B

99

1 2 3 11、设 A 0 3 2 ，则 A 0 0 6

1

4、设 A ， B 为 n 阶方阵，如有矩阵关系式 AB AC ,则 A 0 时必有 B C 。（ 5、若 A2 B 2 ，则 A B 或 A B 。（） 6、若 AB AC ， A 0 ，则 B C 。（） 7、设 A ， B 为 n 阶方阵，且 A 可逆，若 AB O ,则 B 可逆。（ 8、设 A 是 n 阶方阵，若 A 0 ，则必有 A 可逆。（） 9、若矩阵 A 满足 A 2 0 ，则 A 0 。（）
1
）
10、对 n 阶可逆方阵 A ， B ，必有 AB A1 B 1 。（
1
））
11、对 n 阶可逆方阵 A ， B ，必有 A B A1 B 1 。（ 12、设 A ， B 为 n 阶方阵，则必有 A B A B 。（ 13、设 A ， B 为 n 阶方阵，则必有 AB BA 。（ 14、若矩阵 A 与 B 等价，则 A B 。（）））
1 1 0 1 6、已知 A 0 0
1 1 ，求 A1 . 1 n
四、解答题
1、设 1 2 3 ， 1 1 / 2 1 / 3 ，（1）计算 T 、 T ；（2）求 T 。
T T

n
0 1 2 2 3 2、解方程 1 1 4 X 1 5 。 2 1 0 3 6 0 3 3 3、设矩阵 A 1 1 0 ，且 AX A 2 X ，求解未知矩阵 X 。 1 2 3 0 1 0 1 1 4、设矩阵 X 满足方程 X AX B ，其中 A 1 1 1 , B 2 0 ，求 X 。 1 0 1 5 3
《线性代数》练习题一、判断题
1、四阶行列式中含因子 a11a 23 的项为 a11a23a34a42 和 a11a23a32a44 。（ 2、设 D 为六阶行列式，则 a61a52a43a34a25a16 是 D 中带负号的项。（ 3、排列 nn 1321 的逆序数为 n 。（））））
））
26、若向量组 1， 2，（， n 线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。 27、两个向量线性相关，则他们的分量对应成比例。（） )
28、若向量不能由 1， 2，， n 线性表示，则 1， 2，， n , 线性无关 ( 29、任意 n 1 个 n 维向量必线性相关。（））