第二讲 3第三节 参数方程

第三节 参数方程 课时作业
一、填空题
1．(2009年深圳模拟)已知点P 是曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为坐标
原点，直线PO 的倾斜角为π
4
，则P 点坐标是________．
2．若直线x ＋y ＝a 与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ
y ＝4sin θ(θ是参数)没有公共点，则实数a 的取值范围是
________．
3．已知圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，P 是圆C 与y 轴的交点，若以圆心C
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P 圆C 的切线的极坐标方程是____________．
4．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为
________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为________．
5．已知动圆：x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，a ≠b ，θ是参数)，则圆心的轨迹是________．
6．曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)上的点到曲线C 2
：⎩⎨⎧
x ＝－22＋1
2t
y ＝1－1
2
t (t 为参数)上的
点的最短距离为________．
7．(2008年广东卷)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ＜π
2)，则曲线C 1，C 2交点的极坐标为________．
8．已知点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1
4上移动，点Q 在曲线x 2＋4y 2＝4上移动，则|PQ |的最大值
为________．
二、解答题
9．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．
(1)求2x ＋y 的取值范围；
(2)若x ＋y ＋c ＞0恒成立，求实数c 的取值范围．
10．已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t y ＝1＋2t
(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4(θ为参数)．
(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．
参考答案
1．解析：将曲线C 化为普通方程，得x 29＋y 2
16＝1，
因为直线OP 的倾斜角为π
4
，
所以其斜率为1，则直线OP 的方程为y ＝x ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
9＋y 2
16＝1y ＝x (x>0)，解得x ＝y ＝12
5
，
即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫
125，125. 答案：⎝⎛⎭⎫125，125
2．解析：直线与曲线无公共点即方程3cos θ＋4sin θ＝a 无解 ∵|3cos θ＋4sin θ|≤5，∴|a|>5. 答案：{a|a>5或a<－5}
3．ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－2π3＝2或ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π
3＝2 4．x 2＋(y －2)2＝4 ⎝⎛⎭⎫2，π
2 5．椭圆 6．1
7．解析：通过联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
ρcos θ＝3ρ＝4cos θ (ρ≥0,0≤θ＜π
2)解得⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ＝23θ＝
π
6
，即两曲线的
交点为⎝
⎛⎭⎫23，π
6. 答案：⎝
⎛⎭⎫23，π
6 8．解析：依据题意可设圆心O ′(0,2)，Q(2cos β，sin β)， 则|O ′Q|＝(2cos β)2＋(2－sin β)2 ＝
－3⎝⎛⎭⎫sin β＋232＋283≤2213
， 即|O ′Q|≤
2213，此时sin β＝－23，cos β＝±5
3
， 从而有|PQ|max ＝12＋2213，此时Q ⎝⎛⎭⎫±253，－2
3.
答案：12＋221
3
9．解析：圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ
y ＝1＋sin θ，
(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5. (2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即
c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立． 又－(cos θ＋sin θ＋1)最大值是2－1， ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立． 10．解析：(1)l ：y ＝2x ＋1，
由ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4⇒ρ＝22⎝⎛⎭⎫22sin θ＋2
2cos θ ⇒ρ＝2sin θ＋2cos θ⇒ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ ⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.
(2)圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝2
5
< 2 故直线l 和圆C 相交．。