2013-2014阳江一中高三数学理科单元过关自测8
广东省阳江市阳春第一高级中学高三数学理月考试题含解析
广东省阳江市阳春第一高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选B．2. 全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )A.B.C.D.参考答案：答案：A解析：先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.3. 已知集合则( )A. B. C. D.参考答案：D4. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（）A．1 B．C． D．参考答案：C略5. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）(A) (B) (C) (D)参考答案：D6. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则该双曲线的离心率等于(A) (B) (C) (D)参考答案：B7. 已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]参考答案：C【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（﹣1）的值域，设z=2b﹣c，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．8. 在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A、 B、 C、 D、参考答案：A略9. 函数f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，即是奇函数，图象关于原点对称，排除B，又由当时，恒成立，排除A，D，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
广东省2013届高三数学一轮单元测评训练第八单元理
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20．(14 分) 已知
1 F 2， 0 为抛物线
y2＝ 2px( p>0) 的焦点， 点 N( x0，y0)( y0>0) 为其上一点，
5 点 M与点 N关于 x 轴对称， 直线 l 与抛物线交于异于 M，N的 A，B 两点， 且 | NF| ＝2，kNA· kNB
＝－ 2.
(1) 求抛物线方程和 N点坐标；
| AF| 点( 点 A 在 x 轴上方 ) ，则 | BF| ＝ ________.
13．设圆 C位于抛物线 y2＝ 2x 与直线 x＝ 3 所组成的封闭区域 ( 包含边界 ) 内，则圆 C的
半径能取到的最大值为 ________．
14．有对称中心的曲线叫做有心曲线， 过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径． 定理：
x
2 1
y
2 1
一点，则 kACkBC＝ x0－ x1· x0＋ x1. 由于点 A， C在曲线上，所以 m＋ n＝ 1， m＋ n ＝ 1，
y0－ y1 y0＋ y1
n
两式相减得
·
＝－ .
x0－ x1 x0＋ x1
m
15． [ 解答 ] (1) 设 M( x，y) ，则
3 x－ 2
2＋ y2
1
x－ 2＋ y2＝ 2，
M、N，且满
x2 y2
22
19． (14 分 ) 已知椭圆 M： a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 的离心率为 3 ，且椭圆上一点与椭圆的两
个焦点构成的三角形周长为 6＋4 2. (1) 求椭圆 M的方程；
(2) 设直线 l 与椭圆 M交于 A，B 两点，且以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点 C，求△ ABC 面积的最大值．
广东省阳江市第一中学高三数学(理科)大练习(一)2010.8.14
∴最后一列货车出发时已等待的时间为 （小时），
于是全部货车到达 地的时间为 ．
由 可知 ，代入上式整理得
于是 ．
当且仅当 ，即 （千米/时）时，等号成立．
∴26列货车都到达 地最少用10小时，此时货车速度为80千米/时．
命题意图：本题考查学生的建模能力，考查基本不等式的知识的应用，及基本的计算能力。
6.使关于 的不等式 有解的实数 的最大值是( )
7.已知点 的距离相等,则 的最小值为( )
8.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 处有一棵树与两墙的距离分别是 、 ，不考虑树的粗细．现在想用 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ．设此矩形花圃的面积为 ， 的最大值为 ，若将这棵树围在花圃内，则函数 的图象大致是( )
所以不等式左边
(13分)
下证 ,显然.即证.(14分)
证法二：（数学归纳法）即证：当
下用数学归纳法证明：
当 时，左边 ，显然；
假设 时命题成立,即 (10分)
当 时,左边
( )
(12分)
下证： （*）
（*）
显然 .所以命题对 时成立。
综上 知不等式对一切 成立. (14分)
阳江一中2011届高三数学(理科)大练习(2010.8.14)
命题:周如钢审核:曾广荣2010年8月14日下午3:00─5:00
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)
所以当 时, ;当 时, ;当 时,
综上可得, 的最小值为5.
所以 对一切实数 恒成立,实数 的取值范围
2013-2014枝江一中高三数学理科测试题1
2013-2014枝江一中高三数学理科测试题1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A. 3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C. 3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. 1 D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个9.双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上,且满足121||||n n P F P F +=,1212PF F F ⊥,则2012x 的值是（ ） A．B．C ．8048D ．804010.已知()f x 是定义在[,]a b 上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且满足下列条件:①()f x 的值域为G ,且[,]G a b ⊆;②对任意不同的,[,]x y a b ∈,都有()()f x f y x y-<-.那么,关于x 的方程()f x x =在[,]a b 上根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有且只有一个实数根C ．恰有两个不同的实数根D ．有无数个不同的实数根二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中15～16题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .12.已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α .13.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .14.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈ 的距离是 .16.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .7 9 8 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数()2,f x x x x R =∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2)若28f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.18.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.19.（本小题满分12分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.ABCEO20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-， 求点M 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）已知函数()e xf x kx x =-∈R ， （1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．2013-2014枝江一中高三数学理科测试题1参考答案与评分标准11．94.5 12．34π （或135︒） 13．1- 14．36 15． 16． 517.解(1)∵()2222cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以2sin 282f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即sin α=………………………8分又α是第二象限的角,所以cos α===……10分所以sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭………12分18.解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ=== ………8分 ∴ξ的分布列为………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ………12分19（本小题满分12分） (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分 则点O 到面ABC 的距离为111n OA d n ⋅===......6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ......7分 设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = (9)分 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = ……………10分 则cos <1,n n >119n n n n ⋅====⋅.……………11分 结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………12分20.（本题满分12分）解：（1）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+，所以211111()2442ns n n n n ==-++. …………7分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …………9分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.∴1368nT≤<.…………12分21.解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即2c ， ……………2分整理得22()10c c aa++=，得1ca=-(舍)或12c a =，所以12e =.……………4分（2）由（1）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为),y x c =- ……………………………………………5分,A B 两点的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx-=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解 110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩……………………8分不妨设8((0,)5A cB ,设M 的坐标为(,)x y 则8(,5AM x c y =-(,)BM x y =， …………10分由),y x c =-得3c x y =-.于是8338(,),55AM x y =-()BM x = …………11分由2AM BM =-得38)(255y x x y -⋅+=-，化简得218150x --=， ………………………………12分将2y =c x y =得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …13分22.解：（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．……4分 （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．由此可得，在上，． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．……9分 （3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，………………………… 由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．……14分。
2013-2014学年上学期半期考高三数学(理)答案
2013---2014学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学（理科）科参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题4分，共16分）13．2214．(]()212,，-⋃-∞- 15. 54 16. (]ππ2,三、解答题（共74分）17. 解：（1）依题意得：{}{}31|42|-<>=<<-=x x x B x x A 或，{}41|<<=⋂∴x x B A …………………………………………………5分（2）①当，符合时，Φ==C 0a )(B A C ⋂⊆；…………………7分 ②当0>a 时，{}a x a x C 2|<<=， 要使)(B A C ⋂⊆，则⎩⎨⎧≤≥421a a ，解得：21≤≤a ；……………………9分③当0<a 时，{}a x a x C <<=2|，0<a ，)(B A C ⋂⊆=Φ，0<∴a 不符合题设……………………11分∴综合上述得:021=≤≤a a 或…………………………………………12分18.解:(1)由已知得: x x x xxx f ωωωωωcos 3sin 3cos 32cos2sin32)(+=+⋅==)3sin(32πω+x …………………………………2分A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为32又ABC ∆为正三角形，所以4||=BC …………………………………3分∴42=T可得8=T 即82=ωπ 得4πω=…………………………………5分∴)34sin(32)(ππ+=x x f …………………………………………………6分 （2）由题意可得),64sin(323)2(4sin 32)(ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x x g ………8分令z k k x k ∈+≤-≤+,2236422ππππππ，……………………………………10分可得z k k x k ∈+≤-≤+,2236141221)(,8320838z k k x k ∈+≤≤+∴…………………………………………………11分 故函数)(x g 的减区间为)(8320838z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++，。
2013绵阳一诊数学理科答案
绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 16．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1，x )=x+ cos2x =2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==， 令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d +5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7， 即(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d )，整理得a 1=2d ， 代入①得d =2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)=5log 3(b 5·b 6)=5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）∵a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C =π-(A +B )，得sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A ， ∵ sin C +sin(B -A )=3sin2A ，∴ sin B cos A +cos B sin A +sin B cos A -cos B sin A =6sin A cos A ，整理得sin B cos A =3sin A cos A ． ………………………………………………8分 若cos A =0，即A =2π时，△ABC 是直角三角形，且B =6π，于是b =c tan B =2tan6π=，∴ S △ABC =12bc=． ……………………10分 若cos A ≠0，则sin B =3sin A ，由正弦定理得b =3a ．②联立①②，结合c =2，解得a=b= ∴ S △ABC =12ab sin C =12=．综上，△ABC的面积为或．………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1， 由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n +1=2ta n +1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ， , ∴121n n a ta t +=+（常数）． ∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1nn b =，∴ 1n b n=．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62] 显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n )2-(2n -1)2=4n -1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212．∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62) =1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1． 于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只须f (x )ma x ≤g (x )ma x ．∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -， ∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分（Ⅲ）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ (n ∈N*，n ≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ， 只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x )为减函数， f (x )=ln x -x +1≤0，即ln x ≤x -1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln 3ln 23n n +++ <111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴ 2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ ．………………………………………14分。
2024学年广东省阳江三中高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年广东省阳江三中高三数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±= 2．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-3．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．94．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面CCD DC ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值5．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20177．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 9．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3210．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．40011．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 12．设()f x x ()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．613．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．14．52()x x-的展开式中含3x 的系数为__________．（用数字填写答案） 15．在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．16．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.三、解答题：共70分。
广东省阳江一中高三数学单元过关自测8 理 新人教A版
(数列与不等式)练习时间：2013年11月17日星期天上午一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b >B. 1b a <C.1lg()lg a b a b->- D. 33a b --< 2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( ) A.(3)(1)0x x +-> B.(4)(1)0x x +-< C.2230x x -+< D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或155. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n ，都有n n S T =231n n +， 则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______.10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______.11．不等式11ax x <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动， 则21b a ω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥,则_________. 14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.高三( )班 学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题 (本大题共8小题,每小题5分,共40分)二、填空题(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________.14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）.（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)m n m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠（1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.阳江一中2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （16. 解不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n =∆=⋅，则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分 故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。
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阳江一中2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 8 )(数列与不等式)练习时间：2013年11月17日星期天上午一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b > B. 1ba< C.1lg()lg a b a b ->- D. 33a b --<2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )A.(3)(1)0x x +->B.(4)(1)0x x +-<C.2230x x -+<D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或5. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n 则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( )A.6B.9C.12D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______. 10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______. 11．不等式11axx <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则21b aω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥, 则的最大值为_________.14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.成绩__________9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）. （1）求()f x ； （2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)mn m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠ （1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t 为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.阳江一中2014届高三数学理科 第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （ 16. 解 不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2 由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0m in m ax ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n =∆=⋅，则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分 所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。
-------4分（2）依题意有，1(1)n n c n n n a -=∆-=⋅，（*n N ∈），--------------5分所以，当1a =时，12...123...n n S c c c =+++=+++；---7分 当1a ≠时，012112...(1)n n n S a a n a n a --=⋅+⋅++-⋅+⋅，-----（1）所以12112...(1)n n n aS a a n a n a -=⋅+⋅++-⋅+⋅---------（2）---------8分由（2）-（1）得：0121(1)11...11n n n n a S a a a a n a ---=⋅+⋅++⋅+⋅--------9分得：12221(1)1(1)(1)(1)n n n n n n a n a a n a n a a S a a a +----+=-=--- ，（*n N ∈）--------11分 综上所述，121(1)(1)(1)(1)2n n nn n a n a a a a S n n a +⎧--+≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩-------------------------14分18、解：（I ）()22f x x '=+，………1分 122n n a a +∴=+ 122(2)n n a a +∴+=+11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 1322n n a -∴=⋅-…………4分 （Ⅱ）由已知得0n b >， 211(1),n n b b ++=+……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+ ∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以{lg(1)}n b +的公比为2的等比数列， ∴12(1)1n n b t -=+-。
………8分（Ⅲ） 212,k k k b b b +=+ 12,k k kb b b +∴+=1111(2)111k k k k k k k b b c b b b b +++++-===-， n k ,,2,1 = 1212231111111()()()n n n n S c c c b b b b b b +∴=+++=-+-++- 211,(1)1nt t =-+- 0,t > 11,t ∴+>n S n ∴∈在[1,)+∞上是增函数1n S S ∴≥211(1)1t t =-+-21,2t t t+=+ 又不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，21.2t t tλ+∴<+附加题：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立， ()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+， 即只需证明2||||+x c x c x c ++≥++，若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立，综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a >， 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++，即8d c =+， 故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．。