6.2二重积分在直角坐标系下的计算

D
y = ϕ1 ( x )
x型平面区域 ( x型区域 )
b x
O a
特点:穿过 内部且垂直于 轴的直线与D的边界相 内部且垂直于x轴的直线与 特点:穿过D内部且垂直于 轴的直线与 的边界相 交不多于两点. 交不多于两点.
设f ( x , y ) ≥ 0, ∫∫ f ( x , y )dσ 的值等于以 D 为底,以
0 0
1
y
2 − y2
dx
= ∫ e− y
2
1 2 2 y2 2 1 y3 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 6 3
例11 求由曲面 z = x + y , z = xy , x + y = 1, x = 0, y = 0 所围成的立体的体积 . 解 曲面围成的空间立体形状如下. 曲面围成的空间立体形状如下.
a 2a
例6
计算积分 I = ∫ dy ∫1 e dx + ∫1 dy ∫ e dx .
y x
1 2 1 4
y
y x
1
y
y x
2
2
y
解 由于 ∫ e dx 不能用初等函数表示 ,
所以先改变积分次序再 计算 .
I = ∫1 dx ∫ 2 e dy
2
1
1
x
y x
y= x
x
= ∫1 x (e − e x )dx
例4 计算
∫∫ x
D
2
e
− y2
dxdy
D : 由 x = 0 , y = 1, y = x 围成的区域
1 1 由于 2 − y 2 e 的原函数不能用初等函数 2 − y2 解 ∫∫ x e dxdy = ∫ dx ∫ x e dy 表示，故不能先对y积分 x D 0
− y2
y
∫∫ x e
D
1 0
0
1 = 2
∫ x (1 −
1 0
x
)
1 dx dx = 8
另解 : D : 0 ≤ x ≤ 1 − y ,0 ≤ y ≤ 1
2
∫∫ xydxdy
D
=
∫
1
0
dy
∫
1− y 2
0
1 xydx = 8
例 2 计算
∫∫ y
D
x
2 2
dxdy
D : 由直线 x = 2, y = x 及双曲线 xy = 1 围成的区域 .
D D1 D2 D3
例 1 计算
∫∫ xydxdy
解
D : x + y ≤ 1 , x ≥ 0, y ≥ 0 D y 2 D : 0 ≤ y ≤ 1 − x ,0 ≤ x ≤ 1 1
2 2
∫∫ xydxdy
D
=
∫
1
0
dx
∫
1− x 2
0
xydy
o
1 2 x⋅ y 2
1− x 2
x
2
1
x
=
∫
1
0
dx
1
b
ϕ2 ( x )
f ( x , y )dy
情况一: 若积分区域D = {( x, y) ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x), a ≤ x ≤ b},
则
ϕ2 ( x)
1
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) D
b
f ( x, y)dy.
如果积分区域 D :ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d , 其中函数 ψ 1 ( y ), ψ 2 ( y ) ∈ C [c , d ]. y d x = ψ2 ( y) D y 型平面区域 ( y 型区域 ) x = ψ1 ( y) c
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0
y
1
y 2 − y2
dx
1
0
1
D
1 1
= ∫ e− y
t= y2
2
1 3 − y2 2 dy ∫ x dx = ∫ y e dy 30 0
o
x
1 1 1 1 1 1 −t 1 −t 1 −t = ∫ te dt = − te − ∫ e dt = − 6 3e 0 0 302 6
解
∫∫ xydσ = ∫−1[∫y D
2
2
y+ 2
2
xydx ]dy
x 2 y+ 2 = ∫ [ y ] y 2 dy −1 2 1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 − y 5 ]dy 2 −1
4 6 2
1 -1 -2
2
3
4
5
1y 4 3 y 2 = + y + 2y − = 55. 2 4 3 6 −1 8
( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ 2 ( x 2 + y )dy ∫∫
2 D
y = x2
1
x
0
x
1 33 4 = ∫ [ x ( x − x ) + ( x − x )]dx = . 0 2 140
1 2 2
例9
计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ , 其中D是由直线 y = x ,
1
3 2 2 1 x
例10 求 ∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy , 其中D是以 (0,0), (1,1), (0,1) 为
顶点的三角形区域 .
解 注意到 ∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示 ,
所以积分时必须考虑次 序.
∫∫ x e D
1 0
2 − y2
d xd y = ∫ d y ∫ x e
D
x = 1和y = 1所围成的闭区域 .
解
y
y= x
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ [ ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy ]dx
−1 x
1
1
−1
O
1
x
1 2 = − ∫ [(1 + x − y ) ] dx 3 −1 1 1 2 1 3 1 3 = − ∫ (| x | − 1)dx = − ∫ ( x − 1)dx = . 3 −1 3 0 2
=∫
1
2
(
9 x − x dx = 4
3
)
o
x
法二 先对x后对y积分
y
y= x
(1 , 1 )
∫∫
D
x2 dxdy 2 y
(2, 2)
=
∫∫
D1 1
x2 x2 dxdy + ∫∫ 2 dxdy 2 y D2 y
2 2 2 2 2
D x=2
1 yx = 1 ( 2 , 2 ) 1
o
x
x x = ∫ dy ∫ 2 dx + ∫ dy ∫ 2 dx 1 1 y 1 y y
2 1
y
2 8 y 17 5 9 dy + ∫ 2 − dy = + = 3y 3 2 6 4 1
8 1 = ∫ 2 − 3y 3y5 1
2
例3
计算 ∫∫ xydσ , 其中 D 是由抛物线 y = x 及
2 D
3 2 1
y = x − 2 所围成的闭区域 .
O
x
特点:穿过 内部且垂直于 轴的直线与D的边界相 内部且垂直于y轴的直线与 特点:穿过D内部且垂直于 轴的直线与 的边界相 交不多于两点. 交不多于两点.
∫∫ f ( x, y )dσ D
= ∫ [∫
c
d
y d
f ( x , y )dx ]dy
f ( x , y )dx
c
O
d
ψ 2( y)
x = ψ2 ( y) D x = ψ1 ( y)
x=0 y
z = x+ y
z
z = xy
y=0 x
x+ y =1

所围立体在 xOy 面上的投影是
0 ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ x ≤ 1.
V = ∫∫ [( x + y ) − xy ]dσ
D
= ∫ dx ∫
0
1
1− x
0
( x + y − xy )dy
1
y
x+ y =1
1 = ∫ [ x (1 − x ) + (1 − x )3 ]dx 0 2 7 = . 24
注意：在例2中，法1比法2简便，在例4中，由于被积 函数中含有 e
− y2
，只能先对x积分. 因此，在把二重积
分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的， 而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。
y
例5 作出积分域，并改变积分次序：
4
(1)
∫ dx ∫ f ( x, y )dy
2 2x 0 x2
V = ∫ A( x )dx = ∫ [ ∫
a a
b
b
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫a [∫ϕ ( x ) D
1
b
ϕ2 ( x )
f ( x , y )dy ]dx
上式叫做先对 y、后对 x 的二次积分 , 也可记作
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫a dx ∫ϕ ( x ) D
y = 2ax
2a
y=
⇒ x = a ± a2 − y2 2ax − x