7.2 探索平行线的性质(2)
7.2 探索平行线的性质(2)
（1） 判定两直线平行的方法有哪些？怎样用符 号语言表述？ （2） 若两直线平行，那么同位角有什么关系 呢？ 新课引入： 既然同学们知道两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等，那么两条平行线被第三条直线所截，内 错角、同旁内角各有什么关系呢？ 直观感受： 利用“几何画板”制作的课件的动画演示初步得 出“两直线平行，同位角相等” “两直线平行，同旁 内角互补”. 实践探索： 请你根据“两直线平行，同位角相等”说明“两 直线平行，内错角相等”.
学生互动交流： 请你根据“两直线平行，同位角相等”说明知： 例1 如图是梯形上底的一部分， 已经量得∠A＝
115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？
例3
如图，已知 AB∥CD，∠1＝110º， C E
你能求出∠2、∠3、∠4 的度数吗？ A 1 4 2
3
B 小结：
D
1．平行线的性质的条件是什么？有哪些结论？ 2 ．平行线的性质与平行线的判定有何区别与联 系？ 3． 你能用三种语言表示平行线的性质与判定吗？ 4．判定角相等的方法有哪些？
作 业 布 置
7.2 板 书 设 计
探索平行线的性质（2）
性质1 性质2 性质 3
两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补．
教学重难 点 教 学 方 法 教 学 手 段 教 时 安 排
探究平行线的性质． 平行线的性质与判定的区别与联系．
讲授法 讨论法 多媒体 1 课时
情境导入： 小明沿正北方向走到 A 点，向左转 50º行进到 B 点，为了保证继续行进的方向与开始时平行，小明应 向哪个方向转多少度？ 复习提问：
教 学 过 程
教 后 反 思
个人初备案 课时 课题 授 课 类 型 第 4 课时 7.2 探索平行线的性质（2） 新授课
7.2.2 探索平行线的性质 苏科版数学七年级下册教案
b
2
知识点：初识辅助线 例 3、如图所示，AB∥ED，
D=42°，BC 垂直于 CD 吗？
∠B=48°， ∠
A
B
A
B
CF
E
D
图（1）
GC
E
D
图(2)
图（1），过点 C 作 CF∥AB， 则∠BCF=∠B=48° 又∵AB∥ED ∴CF∥ED（平行线传递性） ∴∠FCD=∠D=42° ∴∠BCD=∠BCF+∠FCD =48°+42° =90° ∴BC⊥CD（垂直定义）
作辅助线的时候， 只能说作 CF∥AB， 而不能说作 CF∥AB ∥ED ，而是再证明 CF ∥ED ，利用的是 平行线的传递性.
本题证明方法很 多，还可以延长线段 BC 与 ED 相交，利用 三角形内角和知识也 可解决.
图（2），过点 C 作 CG ∥AB,利用两条直线 平行，同旁内角互补，再利用周角知识，也可求出∠ BCD 度数
通过平行线的性 质转化角度之间的关 系，要寻找已知角与 所求角之间的关联和 变化线路.
C
F
O
已知：BC∥AD，BE∥AF. B A (1)求证：∠A=∠B. (2)若∠DOB=135°，求∠A 度数.
练习 2. 如图，AB∥CD，根据图中标注的角，
由平行线的性质，
下列关系中成立的是（ ）.
两直线平行，同位角
教法学法
教学过程
教学内容及环节设计 （主备人）
集体备课
二次备课
（思路方法技巧） （个人）
一、知识准备.
1、平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
探索平行线的性质ppt课件
3 7
1
B
5
D
C
4
8
F
2 6
2 、指出图中同位角、内错角、同旁内角
5
2、将上图按照如下方式剪开，并分别把剪开得 到的每对同位角叠合，你发现了什么？
做 一 做
A
E
3
C
1 5
B D D
4 8
F
7 2 6
6
2、将上图按照如下方式剪开，并分别把剪开得 到的每对同位角叠合，你发现了什么？
做 一 做
A
l
２ １ ３ ４ ６ ５ ７ ８
a
b
当两条平行线被第三条直线所截时，只要知道其中 的1个角，就能求出“三线八角”中的另７个角20
例1 如图，已知AB∥CD，∠1＝110º，你
能求出∠2、∠3、∠4的度数吗？
C A 1 4 2 E
3
B
D
21
2、如图，AB∥CD，FE平分∠GFD，若 ∠GHA=40°，求∠BEF.
A B D C
17
3.如图若AB ∥ CD,则下列结论中
× ① ∠B=∠2 × ② ∠3=∠A
正确的 是 A①② C①④ (
√ ③ ∠3=∠B √ ④ ∠B + ∠BCD= 180°
D
)
1
A
D
B①③ D③④
2 3
B
C
18
E
4. 如图，AB∥CD, ∠A=∠D， 判断AF与ED的位置关系，并说明理由。
G A E H B
C
F
D
22
3.如图, 已知 DF∥AC, ∠C=∠D,试探索BD 与CE平行吗？并说明你的理由。
D E F
苏教版七年级数学下册 7.2 探索平行线的性质 知识点
7.2 探索平行线的性质知识点知识点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.例：如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠ADB和∠EDB的度数，然后即可得到∠ADE的度数．【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．知识点二、平行线的判定与性质的区别条件结论作用判定同位角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 例：下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同旁内角互补，两直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；④同一平面内两条不相交的直线一定平行．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，综上所述，说法正确的有②④共2个．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记各性质是解题的关键．巩固练习一．选择题（共12小题）1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFE＝68°，则∠C′EF等于（）A．68°B．80°C．40°D．55°2．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°3．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．60°B．40°C．30°D．20°4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°5．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是同旁内角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2 个C．3个D．4个7．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，∠AOF的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°8．如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（）A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠39．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④10．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（）A．116°B．122°C．128°D．142°11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（）A．30°B．25°C．35°D．40°12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB 上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二．填空题（共12小题）13．如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为．14．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为．15．如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝°．16．如图，直线AB∥CD，∠A＝60°，∠D＝40°，则∠E＝．17．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝．18．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为．19．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝．20．如图，如果∠1＝∠3，∠2＝64°，那么∠4的度数为．21．如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1＝．22．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM 上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为．23．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为°．24．如图，已如长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是．三．解答题（共6小题）25．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（）．∴∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（）．26．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．27．如图，∠ABC＝∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1＝∠2．问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．28．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．29．如图，直线AB∥CD，CD∥EF，且∠B＝30°，∠C＝125°，求∠CGB的度数．30．已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．一．选择题（共12小题）1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFE＝68°，则∠C′EF等于（）A．68°B．80°C．40°D．55°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CEF的度数，然后根据折叠的性质，即可得到∠C′EF的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠AFE＝68°，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF＝68°，由折叠的性质可得，∠CEF＝∠C′EF，∴∠C′EF＝68°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：如右图所示，∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，∴∠5＝42°，由折叠的性质可知，∠2＝∠3，∵∠2+∠3+∠5＝180°，∴∠2＝69°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．60°B．40°C．30°D．20°【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠2+90°＝180°，由∠1＝60°可求解∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠2+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝90°，∠1＝60°，∴∠2＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，∴∠CHF＝∠EHD＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，属于基础题．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°，可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD＝∠CBD，进而可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，∴∠1+∠CBD＝90°，CD∥AB，∵∠1＝40°，∴∠CBD＝50°，∠ABD＝∠1＝40°，由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，∴∠2+∠ABD＝50°，∴∠2＝10°．故选：D．【点评】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得∠2+∠ABD＝∠CBD 是解题的关键．6．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是同旁内角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】由平行公理的推论可求AB∥CD∥GP，利用平行线的性质和三角形的外角性质依次判断可求解．【解答】解：∵∠AMF与∠DNF不是同旁内角，∴①错误；∵AB∥CD，GP∥AB，∴AB∥CD∥GP，∴∠PGM＝∠CNM＝∠DNF，∠BMN＝∠HNG，∠AMN+∠HNG＝180°，故②正确；∵HG⊥MN，∴∠HNG+∠GHN＝90°，∴∠BMN+∠GHN＝90°，故③正确；∵∠CHG＝∠MNH+∠HGN，∴∠MNH＝∠CHG﹣90°，∴∠AMN+∠HNG＝∠AMN+∠CHG﹣90°＝180°，∴∠AMG+∠CHG＝270°，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握平行公理的推论是本题的关键．7．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，∠AOF的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】根据平行线的性质可得∠AOD＝60°，易得∠DOB＝120°，利用角平分线的性质可得∠DOE＝60°，由角的和差易得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∠D＝120°，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝60°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣60°＝30°，∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝60°﹣30°＝30°．故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．8．如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（）A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠3【分析】过∠2的顶点，作射线l，使l∥l1，利用平行线的性质得到∠1、∠2与∠α、∠β的关系，从而得出∠1、∠2、∠3关系．【解答】解：过∠2的顶点，作如图所示的射线l，使l∥l1，∵l1∥l2，l∥l1，∴l1∥l2∥l．∴∠1＝∠α，∠2＝∠β．∵∠α+∠β＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，作l与l1平行并利用平行线的性质是解决本题的关键．9．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．10．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（）A．116°B．122°C．128°D．142°【分析】根据邻补角定义可得∠3+∠4的度数，再根据角平分线定义可得∠4的度数，根据两直线平行同旁内角互补即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，∵AC∥BD，∴∠2+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣58°＝122°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（）A．30°B．25°C．35°D．40°【分析】先根据平行线的性质求出∠GAB的度数，再根据邻补角的定义求出∠BAE的度数，最后根据∠1＝∠2求出∠2即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝130°，∴∠GAB＝∠3＝130°，∵∠BAE+∠GAB＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，∵∠1＝∠2，∴∠2∠BAE50°＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB 上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠F AE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．二．填空题（共12小题）13．如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为125°．【分析】根据三角形的内角和外角的关系，可以求得∠5的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠3＝140°，∠3+∠4＝180°，∴∠4＝40°，∵∠2＝95°，∠2＝∠5+∠4，∴∠5＝55°，∵a∥b，∴∠1+∠5＝180°，∴∠1＝125°，故答案为：125°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为15°．【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BAE的度数，再根据∠2＝30°，即可得到∠CAE的度数．【解答】解：由图可知，∠1＝45°，∠2＝30°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠1＝45°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝20°．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AFE的度数．【解答】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵EF∥AC，∴∠EF A＝∠CAP，∴∠BAP＝∠EF A，∵∠BEF＝40°，∠BEF＝∠BAP+∠EF A，∴∠BAP＝∠EF A＝20°，即∠AFE＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，直线AB∥CD，∠A＝60°，∠D＝40°，则∠E＝20°．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1的度数，再根据∠1＝∠E+∠D，即可得到∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝60°，∴∠A＝∠1＝60°，∵∠1＝∠E+∠D，∠D＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠D＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝50°．【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．【解答】解：∵DE∥AF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠A，∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，∴∠A＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．18．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为12°．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根据三角形的外角性质可得答案．【解答】解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．19．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝45°．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠BFD的度数，本题得以解决．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．如图，如果∠1＝∠3，∠2＝64°，那么∠4的度数为116°．【分析】根据∠1＝∠3，可以得到AB∥CD，从而可以得到∠2＝∠5，再根据∠5+∠4＝180°，即可得到∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，∴∠2＝∠5，∵∠2＝64°，∴∠5＝64°，∵∠5+∠4＝180°，∴∠4＝116°，故答案为：116°．【点评】本题考查平行线的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1＝130°．【分析】由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．【解答】解：如图：∵AB∥CD，∴∠A+∠2＝180°，∵∠A＝50°，∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是能够根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等进行分析解答．22．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM 上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为105°．【分析】先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【解答】解：过点B作BG∥DM，如图：∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．23．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为46°．【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BCF和∠DCF的度数，从而可以得到∠BCD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCE，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．如图，已如长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是30°．【分析】根据折叠，得出相等的线段和相等的角，根据中点得出DP AP，进而得出∠DAP＝30°，再根据折叠对称，得出答案．【解答】解：由折叠得，∠BAO＝∠OAP，AB＝AP，∵长方形纸片ABCD，∴AB＝CD，∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，∵P为CD中点，∴PC＝PD CD AP，在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，∴∠OAB＝∠OAP（90°﹣30°）＝30°，故答案为：30°．【点评】考查矩形的性质，直角三角形的边角关系，折叠轴对称的性质等知识，根据折叠对称相等的角和线段，是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）25．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂直的性质）．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【分析】要证明DE∥FC，可证明∠DEF＝∠EFC，由于∠1＝∠2，可证明∠3＝∠4，需证明EH∥FG，可通过垂直的性质得到．【解答】证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂线的性质）．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂线的性质；FG，HE，同位角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定并学会分析是解决本题的关键．26．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠E＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质等知识点，综合性较强，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．27．如图，∠ABC＝∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1＝∠2．问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．【分析】先根据角平分线的定义得到∠2∠ABC，∠CDE∠ADC，由于∠ABC＝∠ADC，则∠2＝∠CDE，根据∠1＝∠2，可得∠1＝∠CDE，然后根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，再根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ADC+∠A＝180°，由于∠ABC＝∠ADC，则∠ABC+∠A＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行可判断AD∥BC．【解答】解：AB与CD，AD与BC平行．理由如下：∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠2∠ABC，∠CDE∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠2＝∠CDE，∵DE∥BF，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠CDE，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠A＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．28．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB 可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．29．如图，直线AB∥CD，CD∥EF，且∠B＝30°，∠C＝125°，求∠CGB的度数．【分析】根据平行公理的推论可得直线AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BGF＝∠B＝30°，∠C+∠CGF＝180°，求出∠CGF＝55°，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥CD∥EF，∵∠B＝30°，∠C＝125°，∴∠BGF＝∠B＝30°，∠C+∠CGF＝180°，∴∠CGF＝55°，∴∠CGB＝∠CGF﹣∠BGF＝25°，【点评】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，牢记“两直线平行，内错角相等”等平行线的性质是解题的关键．30．已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝60°．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．【分析】（1）过A作AQ∥EM，判定AQ∥BN，根据平行线的性质可求解；（2）①由（1）的结论可求解∠ABN＝100°，利用角平分线的定义可求∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，根据4∠A＝3∠EFG列方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）过A作AQ∥EM，∴∠E+∠EAQ＝180°，∵EM∥BN，∴AQ∥BN，∴∠QAB+∠B＝180°，∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，∴∠ABN＝100°，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC＝50°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，故答案为60°；②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF∠AEM，∠FBC∠ABN，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC∠ABN，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°∠AEM∠ABN＝180°（360°﹣∠A）∠A，即∠A＝2∠EFD；（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，由题意得4•2x＝3（90+x），解得x＝54°，答：∠EFB的度数为54°．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．。
2021-2022学年苏科新版七年级数学下7.2探索平行线的性质最新试题同步练习课时作业含答案解析
2022年7.2探索平行线的性质一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝°．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是°．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝°．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝°．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是．（请填序号）30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝°．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线BQ互相平行．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（）∴＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（）∴＝∠F（）∵BE⊥AF（已知）∴＝90°（）∴∠F＝90°．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（），∴∠BAE+∠DCE＝+（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）2022年7.2探索平行线的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°【解答】解：∵BE∥CD，∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，∵∠2＝50°，∠3＝120°，∴∠C＝130°，∠D＝60°，∵AF∥BE，∠1＝40°，∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，∠F的值无法确定．故选：D．2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°．故选：D．3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，∴∠1+∠3＝115°，∵AD∥BC，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．故选：A．4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC【解答】解：A：∵∠2＝∠C，由同位角相等两直线平行，可得AE∥CD，故A正确，B：∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，而∠2和∠B不一定相等，故B错误，C：∵AE∥CD，由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠3＝180°，故C正确，D：∵∠1＝∠2，由内错角相等两直线平行，可得：AD∥BC，故D正确．故选：B．5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠可知：∠IPF＝∠B＝90°，∠KPG＝∠C＝90°，EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝116°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝232°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣232°＝128°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣128°＝52°，∴∠IPK＝360°﹣∠IPF﹣∠KPG﹣∠FPG＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°．故选：B．6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°【解答】解：由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，∴∠ADF＝2∠ADB，∵∠ADB＝20°，∴∠ADF＝2×20°＝40°，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠ADF＝40°，故选：D．7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，∵∠B＝75°，∠D＝35°，∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°，∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°，∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝145°﹣105°＝40°，故选：D．8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴答案①正确；∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D，而∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，∴答案②正确；又∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，∴答案④正确；∵∠ECD＝∠CAD，∠EBC＝∠EBA，∴∠ECD+∠EBC＝∠CFE＝∠BEC，∴答案③正确．故选：D．9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝34°，∵ED∥AC，∴∠CAE+∠AED＝180°，∴∠DEA＝180°﹣34°＝146°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB+∠BED+∠AED＝360°，∴∠BED＝360°﹣146°﹣90°＝124°，故选：B．10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：B．11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣∠1＝110°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°，故选：B．12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°【解答】解：∵直尺的对边互相平行，∠2＝44°，∴∠2＝∠3＝44°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝46°，故选：B．13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，又∵∠A＝120°，∴∠ACD＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，∴∠1＝30°，故选：D．14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ【解答】解：由图知，∠FBG＜45°，∴α＝∠ABF＝180°﹣45°﹣∠FBG＞90°；由图知，∠DGF＝45°，∠EGH＝45°，∴γ＝∠DGE＝180°﹣∠DGF﹣∠EGH＝180°﹣45°﹣45°＝90°，由图知，∠MCH＜45°，∠BCF＝45°，∴β＝∠FCH＝180°﹣∠BCF﹣∠MCH＝180°﹣45°﹣∠MCH＜90°，∴β＜γ＜α，故选：B．二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝58°．【解答】解：∵∠AEG＝64°，∴∠DEG＝180°﹣∠AEG＝116°，由折叠得：EF平分∠DEG，∴∠DEF＝∠DEG＝58°，故答案为：58°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝105°．【解答】解：如图，根据题意得，∠EDF＝45°，∵BC∥DF，∠B＝60°，∴∠2＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，故答案为：105．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝50°．【解答】解：如图：∵∠2＝130°，∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝50°．故答案为：50°．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝40°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠3＝∠2＝40°．故答案为：40°．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是122°．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故答案为：122°．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为130°．【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，∴∠ABC＝∠BCD＝25°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，故答案为：130°．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是70°．【解答】解：∵∠1＝110°，∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝70°，故答案为：70．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝56°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，∴∠EFC＝118°，由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，故答案为：56．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝117°．【解答】解：如图，∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，∵a∥b，∴∠2＝∠BAD＝117°．故答案为：117．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝86°．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝47°，∠BGP＝∠AEP，由折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝47°，∴∠AEP＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝86°，∴∠BGP＝86°．故答案为：86°．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是140°或40°．【解答】解：（1）点P在直线AB、CD之间，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠FPM+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝130°，∴∠FPM＝50°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵PM∥AB，∴∠PEB+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝90°，∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝90°+50°＝140°；（2）点P在直线AB、CD外，延长PE交CD于点M，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠PMF＝∠PEB＝90°，∵∠PFD＝∠EPF+∠PMF，∠PFD＝130°，∴∠EPF＝∠PFD﹣∠PMF＝40°，故答案为：140°或40°．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝40°或140°．【解答】解：如图1所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1＝∠B．∴∠B＝∠A＝40°；如图2所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1+∠B＝180°．∴∠B＝140°；故答案为：40°或140°．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为75°或25°．【解答】解：如图1：∵AE∥BF，∴∠A+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠A，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝75°；如图2：∵AE∥BF，∴∠A＝∠1，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝2∠B+15°，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴2∠B+15°+∠B＝90°，∴∠B＝25°；综上，∠B的度数为75°或25°．故答案为：75°或25°．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是①②③⑤．（请填序号）【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β，一共4个．故答案为：①②③⑤．30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝61或119°．【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝20°．【解答】解：由题意得，AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝6∠CDE，∴∠BCF＝180°﹣6∠CDE，∵∠CDE＝∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝180°﹣6∠CDE+∠CDE＝180°﹣5∠CDE，∵∠BCD＝∠4CDE，∴180°﹣5∠CDE＝4∠CDE，∴∠CDE＝20°．故答案为：20°．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝40°．【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．∵∠AED'＝40°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．∴∠DEF＝＝70°．∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC．∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．∴∠EFC′＝110°．∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．故答案为：40°．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动或18秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0；∴a＝6，b＝1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝15×6°＝90°，分两种情况：①当＜t＜15时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝（6t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝45°＝∠ABQ，∵∠MAM'＝90°，∴∠M'AB＝45°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝（6t）°﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝（6t）°﹣45°，解得t＝；②当15＜t＜时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝（6t）°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣[（6t）°﹣90°]＝135°﹣（6t）°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝135°﹣（6t）°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣（6t）°，解得t＝18；综上所述，射线AM再转动秒或18秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为：或18．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义）∴∠EBC＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等）∵BE⊥AF（已知）∴∠BEF＝90°（垂直的定义）∴∠F＝90°．【解答】证明：∵AG∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠ABE＝∠FCB（已知），∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，即∠EBC＝∠FCD，∵CF平分∠BCD（已知），∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），∵BE⊥AF（已知），∴∠BEF＝90°（垂直的定义），∴∠F＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠E，∴∠BAE＝∠E，∴∠E＝∠DAE，∴AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为∠CDP+∠P AB﹣APD ＝180°．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A＝50°，∴∠APE＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD＝180°，∵∠D＝150°，∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP＝∠DPF，∠FP A+∠P AB＝180°，∵∠FP A＝∠DPF﹣APD，∴∠DPF﹣APD+∠P AB＝180°，∴∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，故答案为：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°；（3）如图3，PD交AN于点O，∵AP⊥PD，∴∠APO＝90°，∵∠P AN+∠P AB＝∠APD，∴∠P AN+∠P AB＝90°，∵∠POA+∠P AN＝90°，∴∠POA＝∠P AB，∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD＝∠P AB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN＝∠PDC，∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN＝180°﹣（∠P AB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，∴∠CDP+∠P AB＝180°+∠APD，∴∠AND＝180°﹣（∠P AB+∠PDC）＝180°﹣（180°+∠APD）＝180°﹣（180°+90°）＝45°．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，（2）①由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF＝∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝×74°＝37°；②由①得：∠AEC＝2∠AFC，∵∠AEC+∠AFC＝126°，∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，∵CG⊥AF，∴∠CGF＝90°，∴∠GCF＝48°，∵CE平分∠DCG，∴∠GCE＝∠ECD，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，∴∠GCF＝3∠DCF，∴∠DCF＝16°，∴∠DCE＝32°，∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）【解答】解：（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．第41页（共41页）。
初中数学教学课例《探索平行线的性质》课程思政核心素养教学设计及总结反思
解决相关问题。
2、数学思：在平行线的性质的探究过程中，让
学生经历观察、比较、
联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
教学目标
3、解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形
成数形结合的数学思
想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获
得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的
同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③
同旁内角互补两直线平行； 4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线
平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？ 从而引出课题：7.2 探索平行线的性质(板书)
（二）数形结合，探究性质 1、画图探究，归纳猜想 教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线 （a∥b），画一条截线 c 与这两条平行线相交，标出 8 个角。（统一采用阿拉伯数字标角） 教师提出研究性问题一： 指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下 表： 第一组 第二组 第三组 第四组
热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。
学生学习能
本节课在一农村中学的多媒体教室里上的一节公
力分析 开课，课堂中数学优秀生、中等生及后进生都有，所用
教材为苏科版义务教育课程标准实验教科书七年级数
学（下册），课题难度不大，学生应该都能接受。
《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教
学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；
初中数学教学课例《探索平行线的性质》教学设计及总结反 思
学科
初中数学
教学课例名
《探索平行线的性质》
称
本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书七
年级数学（下册）第七章第 2 节内容——探索平行线的 教材分析
2011-无锡-初一(下)数学实验手册参考标准答案
回顾与反思本题运用了同底数幂的乘法公式,即将220０5作为一整体,把220０６转化为2×22００5,然后利用合并同类项的法则进行计算.
【训练与提高】
1.（1）×（２)×（3)×(4）×(５)×(6）×
(２)原式=１07＋1=1０8；
（３)原式＝－x3·x５＝－ｘ3＋5=-x8;
（4）、(5)、(６)略.
回顾与反思(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是具体的数,也可以是单项式或多项式，如(y-x)2与(y－ｘ)2的底数相同且是多项式;
（２）当3个或３个以上同底数幂相乘时，法则仍然适用,即am·an·ａp=aｍ＋n＋p（m、n、p都是正整数)，如-ｂ3·(-ｂ)2·bn=-b3+2＋ｎ=－b５+n；
2.0
8.2幂的乘方与积的乘方(1)
【实践与探索】
例1解(1)(10７)２＝107×2＝101４；（2）(z4)4＝z４×4＝ｚ1６;
（３）－(y4)3＝－y４×3＝-ｙ12；（4)(am)4=a４×m=a4m．
回顾与反思 不要把幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则混淆.幂的“乘方运算”的底是“一个幂”,同底数幂的乘法是指“两个幂”之间的乘法运算．
7.同位角相等,两直线平行
拓展与延伸
1.略２.正确,小强构造了９0度的同位角
７.1探索直线平行的条件(2)
例1:内错角，同旁内角,同位角； 例２：平行
训练与提高
1.C2．Ａ3．同位角,内错角,邻补角,对顶角,同旁内角
４.AＢ,ED,EＦ,EＦ,BC,AＢ,AB,ＥD,BC5.∠1=∠C或∠2=∠DEB 6.平行７.平行；8２
7.2探索平行线的性质
第七章平面图形的认识（二）(教案)
7．2探索平行线的性质
教学目标
掌握平行线的性质。
运用平行线的性质及判定方法解决问题
重点
三条性质的推导
运用平行线的性质及判定方法解决问题
难点
运用平行线的性质及判定方法解决问题时的过程
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
教师活动
情景设置：
1在练习本上画两条平行线AB、CD，再画直线MN与直线AB、CD相交如图M
7 4
7
4
5 2
5
2
由上可知
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同“两直线平行，内错角相等”，说明“两直线平行，内错角相等”成立的理由吗？C
1 a
如图3
因为a∥b, 2 b
所以∠1=∠2，
又因为∠1与∠3是对顶角，∠1=∠3，所以∠2=∠3。
类似地，请根据“两直线平行，同位角相等”，说明“两直线平行，同旁内角互补”成立的理由，并与学生交流。
A 3 1 B
7 5
C 4 2 D
8 6
N
指出图中的同位角、内错角、同旁内角。
2将图剪成（1）（2）（3）（4）所示的四块。分别把图中的同位角、内错角重叠你会发现什么？
A 3 1 B (1)
A 7 5 B
C 4 2 D
(2) (3)
C 8 6 D
(4)
3将图(2)、(3)分别剪成两部分，并按图中所示拼在一起，你发现每对同旁内角有什么关系？
（2）如图若AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B=
a 36°A F
b 1 1 1 B C
120°D E
B组题：
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如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分 ∠ECB.
D E
1
2
B
C
• 如图9所示 ,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求 ∠ADC的度数.
如图所示,已 AB∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°, 求∠BED的度数.
7.1 探索平行线的性质（2）
小结： 已知 判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 得到 得到
D B
E
∴DE∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
C
（2）∵ DE∥BC （已证）， ∴∠CED＋∠C＝180º (两直线平行，同旁内角互补) ， 又∵∠C＝40° （已知） ， ∴∠CED＝180º－40º＝140º （等式性质） ．
7.1 探索平行线的性质（2）
2．如图，已知AB//CD，AD//BC．填空： （1）∵ AB//CD （已知），
∴ ∠1＝ ∠＿D __
（ 两直线平行，内错角相等． ）；
（2） ∵ AD//BC （已知）
. ∴ ∠2＝ ∠ ACB （ 两直线平行，内错角相等 ）．
7.1 探索平行线的性质（2）
3. 如图，已知AB∥CD，AD∥BC．判断∠1与∠2 是否相等，并说明理由． 解 ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠BCE（两直线平行， 内错角相等）， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠BCE（两直线平行， 同位角相等）， ∴∠1＝∠2．
初中数学 七年级(下册)
7.1 探索平行线的性质（2）
7.1 探索平行线的性质（2）
情境导入： 小明沿正北方向走到A点，向左转50º行进到B点， 为了保证继续行进的方向与开始时平行，小明应向哪 个方向转多少度？
小明向右转50º或者向左转130º．
7.1 探索平行线的性质（2）
回顾
平行线的判定方法有哪三种？它 们是先知道什么„„后知道什么？
7.1 探索平行线的性质（2）
例1
如图是梯形有上底的一部分, AD//BC ．已经量 得A＝115°，D＝100°，梯形另外两个角各是多 A D 解：∵AD//BC （已知）， ∴A＋B＝180°， （两直线平行，同旁内角互补） 即 B＝180 °－A＝180 °－115 °＝65 °， ∵AD//BC（已知） ， B C ∴D＋C＝180 °， （两直线平行，同旁内角互补） 即C＝180 °－D＝180 °－100 °＝80 °． 答：梯形的另外两个角分别为65 °、80 °．
1 4 3
∴∠1＝∠3 （两直线平行，同位角相等） ， 又∵∠1＝110° （已知）， ∴∠1＝∠3＝110° （等量代换）． B
D
(3)∵AB∥CD （已知） ， ∴∠1＋∠4＝180° （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠1＝110°（已知）， ∴110 °＋∠4＝180° （等量代换）， ∴∠4＝180°－110°＝70°（等式性质）．
7.1 探索平行线的性质（2）
比一比
平行线的“判定”与“性质”有什么不同．
已知角之间的关系(相等或互补)，得到两直线平行 的结论是平行线的判定． 已知两直线平行，得到角之间的关系(相等或互补) 的结论是平行线的性质．
7.1 探索平行线的性质（2） Nhomakorabea填空：如图：∵∠1＝∠２（已知），
∴AD∥BC（
内错角相等，两直线平行
），
两直线平行，同旁内角互补 ∴∠BCD＋∠D＝180°（ ） ．
A
B
1 2
D
C
例4 如图，在△ABC中， （1）若∠BDE＝120º，∠B＝60º.请说明DE∥BC. （2）若DE∥BC，且∠C＝40º.求∠CED的度数.
A
解（1）∵∠BDE＝60 ° ∠B＝60° （已知） ， ∴∠BDE＋∠B＝180º （等式性质） ，
7.1 探索平行线的性质（2）
平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
7.1 探索平行线的性质（2）
精彩回放 平行线的性质1（公理） 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
7.1 探索平行线的性质（2）
例2 如图，AD∥BC，∠A＝∠C.试说明AB∥CD. 解 ∵ AD∥BC， ∴∠C＝∠CDE（两直线平行，内错 角相等）， 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠CDE， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
例3 如图，已知AB∥CD，∠1＝110º，你能求出∠2、∠3、 ∠4的度数吗？ 解：(1)∵AB∥CD （已知） ， ∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等） ， C （已知）， 又∵∠1＝110° 2 ∴∠1＝∠2＝110°（等量代换）． A E (2)∵AB∥CD （已知） ，
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
7.1 探索平行线的性质（2）
回顾
如果两条直线平行，那么这两条平行线被 第三条直线所截而成的同位角有什么数量关系？
7.1 探索平行线的性质（2）
3
1
a
2
b
平行线的性质2 结论 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
两直线平行
性质 已知