1.1 数值分析的对象、作用与特点
第1章 数值分析与科学计算引论
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数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
设多元函数A f ( x1 , x2 ,, xn )， x1 , x2 ,, xn为 x1 , x2 ,, xn的近似值
初始数据 x1 , x2 ,, xn
第1章 数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
一、数值分析的概念、地位和特点
1. 数值分析的概念
数值分析是研究用计算机解决各种数学问题的 数值解法(近似解法)，包括数值计算方法的构造和 求解过程的理论分析。
这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。
3
数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
◆非线性方程组的数值解法 (Ch7)
数 ◆代数特征值问题 (Ch8)
◆常微分方程的数值解法 (Ch9)
8
数值分析
研究方法:
第1章 数值分析与科学计算引论
数值方法的特点（支撑理论） 递推性(迭代), 近似代替, 离散化, 外推法
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数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
收敛性：方法的可行性 可
数 值 方 法
2 0.a1a2
an
1 10 n1 2a1
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数值分析
相对误差限 有效数字
第1章 数值分析与科学计算引论
已知 x* 的相对误差限可写为
er
1
10 n1
2(a1 1)
则
| x x
| er | x |
10 n1 2(a1 1) 0.a1a2
生的误差
方法误差 (截断误差 ) /* Truncation Error */ ——计算方法近似求解时产生的误差
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数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析简介
理论是基础
上机实践：算法实现项 ：
实践课时远远不够，希望大家充分利用自由 上机时间加强实践，完成实验和习题
在加强实践的同时，请同学们务必重视理论 课程的学习，二者不要偏废。 希望同学们在学习理论的同时，及时复习数 学分析和高等代数知识。只有不断地学习，才 能加深对以前所学知识的理解。
二、计算科学简介
简单地说，使用计算手段研究自然现象和 社会现象的学科均称为计算科学。例如：计 算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等，学科领域非常宽广，数值分析是基础。 现在，人们把计算称为科学研究的三大方 法之一。 There are three great branches of science: theory, experiment and computation.
――L.N. Trefethen
计算科学发展趋势
计算科学发展趋势与计算机的发展密切相 关。 计算机的发展趋势：多核化，多CPU化， 集群化，高性能化。 计算科学发展趋势：算法并行化。 如何因应？
我们学院已经成立了高性能计算实验室，购买了 浪潮并行计算机，这学期开设一个并行计算讨论班。 希望我们班有同学参加。
[1] 白峰杉，《数值计算引论》，北京：高等教育出版社， 2004.7 [2] 封建湖，聂玉峰，王振海，《数值分析（第四版）导 教· 导学· 导考》，西安：西北工业大学出版社，2003.6 [3] Michael T.Heath ，张威等译，《科学计算导论（第二 版）》，北京：清华大学出版社，2005.10 [4] 薛毅，《数值分析与实验》，北京：北京工业大学出版 社，2005.3 [5] Curtis F.Gerald, Applied Numerical Analysis (Seventh Edition),北京：高等教育出版社，2006.1 [6] 张韵华，符号计算系统 Mathematica 教程，北京：科学 出版社，2001.11 [7] 徐安农， Mathematica 与数学实验，北京：电子工业出 版社，2004.7
数值分析
第一章 数值分析与科学计算引论1,1 数值分析的对象、作用与特点用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤： (1).根据实际问题建立数学模型。
(2).由数学模型给出数值计算方法。
(3).根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
数值分析的特点：第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析。
第三， 要有好的计算复杂性。
第四， 要有数值实验。
1.2 数值计算的误差1.数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
2.用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
3.设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差。
4.*e 的绝对值不超过*ε，*ε叫做近似值的误差限。
5.误差*e 与准确值x 得比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。
6.相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***xrεε=。
7.若近似值*x 的误差限是某一单位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字。
它可表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数，且1*1021+-⨯≤-n m x x 。
8.设近似数*x 表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数。
若*x 具有n 为有效数字，则其相对误差限)1(1*1021--⨯≤n r a ε；反之，若*x 的相对误差限)1(1*10221--⨯+≤n r a ε，则*x 至少具有n 为有效数字。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析关冶版第一章教案
授课题目: 第一章引论§1数值分析的研究对象（1学时）教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点教学难点: 数值分析的研究对象教学过程:一、数值分析的研究对象、作用数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果二、数值分析的作用：重点研究数学问题的数值方法及其理论。
作用领域广，形成许多交叉学科。
科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段最重要作用——计算模型数值解三、数值分析的特点面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。
有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。
要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。
要有数值实验。
证明其有效性。
练习：思考：作业:教学反思:授课题目: §2 数值计算的误差（1学时）教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计教学难点: 误差估计教学过程:误差来源与分类截断误差例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式则数值方法的截断误差是舍入误差例如，用3.14159代替π，产生的误差●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。
●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。
误差与有效数字定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。
通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成把近似值的误差e *与准确值x 的比值称为近似值x *的相对误差，记作e r ∗它的绝对值上界叫做相对误差限,记作εr ∗,定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字.其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，且定理1设近似数x *表示为x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x .**ε±=x x x xx x e -=*******x xx x e e r-==.***x r εε=其中a i 是0到9中的一个数字，m 为整数，若x *具有n 位有效数字，则其相对误差限为反之，若x *的相对误差限则x *具有n 位有效数字。
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
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在误差允许的范围内，无限次的计算用 有限次计算替代
数值算法特点：
一、算法只能包括加减乘除运算和逻辑运算，这 些是计算机能直接处理的。
二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度 要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性， 还要对误差进行分析。
三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好指节 省计算时间，空间复杂性好指节省存储空间。
1.1 数值分析的研究对象和特点
Introduction
数值分析 能够做什么？
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法
编写程序
上机计算结果
结果分析
数值分析 是研究用计算机求解各种数学问题
的数值方法及其理论的一门学科。数值分析也称
为数值计算方法。
研究对象 由数学模型提出求解的数值计算
方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。
四、要有数值实验，通过数值试验证明算法行之 有效。
小结：用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉
及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，
一个数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值
计算方法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。
作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法 外，各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们首 先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与 计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。其次， 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方 法的计算过程。最后，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量机使用密切结合，实用性很强。
内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系，既 有纯数学高度抽象性与严密科学性，又有广泛性 与实际试验高度技术性
方法:
离散化
计算离散点上的近似值
构造性
方法的构造，解的存在唯一性的证明
递推性
复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复 （适合计算机计算）