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用面积求反比例函数的解析式(初二)
用面积求反比例函数的解析式(初二)反比例函数是一种常见的函数形式，它表示两个变量之间的关系，其中一个变量的改变会对另一个变量产生相反的影响。
使用面积来表示反比例函数可以是一种更形象化的方式，下面是用面积求反比例函数的解析式的方法：1. 定义反比例函数反比例函数是一种二元函数，可以表示为y=k/x，其中k为常量。
2. 求解k值假设有一个平行四边形的面积为A，其中两个相邻的边长分别为x和y，那么有A=xy。
由于这是一个反比例关系，我们可以将其转化为y=k/x的形式，并代入面积公式得到A=x(k/x)，化简后得到k=A。
因此，反比例函数可以表示为y=A/x。
3. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，它在y轴和x轴上都有渐近线。
当x趋近于0时，y趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，y趋近于0。
4. 反比例函数的性质反比例函数具有以下性质：（1）在定义域内，y随x的增大而减小。
（2）当x越接近0，y越接近正无穷大；当x越接近正无穷大，y越接近0。
（3）当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。
（4）当x>0时，y的变化率为负数；当x<0时，y的变化率为正数。
5. 反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，例如：（1）人口密度与国土面积的关系国土面积越大，人口密度越小，可以用反比例函数来表示这种关系。
（2）电阻与电流的关系电阻越大，电流越小，可以用反比例函数来表示这种关系。
（3）运动员完成任务所需的时间与速度的关系速度越快，完成任务所需的时间越短，可以用反比例函数来表示这种关系。
总结：反比例函数是一种重要的函数形式，通过面积求其解析式可以帮助我们更好地理解这种函数的特点和应用，对于学习函数和数学建模都有一定的帮助。
在实际生活中，反比例关系也存在于很多方面，可以用来分析和解决实际问题。
维纳斯四边形反比例函数
维纳斯四边形反比例函数
维纳斯四边形反比例函数是一种特殊的反比例函数，它的方程可以写成：
f(x) = k / sqrt(x^2 + a^2)
其中，k和a是常数，且a>0。
这个函数的图像呈现出维纳斯四边形的形状，因此被称为维纳斯四边形反比例函数。
在维纳斯四边形反比例函数中，x越接近于0，函数值越大，而当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
这个函数在数学和物理中都有广泛应用。
例如，在物理中，它用于描述电荷在单一点源周围的分布情况；在数学中，它用于描述一些三角函数的积分。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合1．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2﹣S1，求S的最大值．2．已知：如图所示，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x 轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求M点坐标．3．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．4．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．5．如图，已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在函数（x＜0）的图象上，点C在函数（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．（1）若点A的坐标为（，2），求点D的坐标；（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在＞0，x＞0），＜0，x＜0），＞0，x＜0），＜0，x＞0）上，请直接写出k1、k2、k3、k4满足的数量关系式．6．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），与x轴交于点A．点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD．（1）求a，k的值；（2）若点P为x轴上的一点，求当PB+PC最小时，点P的坐标；（3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），过A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点D，连接CD，AB∥CD．（1）证明：四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）求sin∠DAC的值．8．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函数交y轴于点C（0，﹣1），交反比例函数于A、D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAD的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点PP的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m （m＞0）.（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB 时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D 两点．（1）求k的值；（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．12．综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C 的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k ＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A 顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（m，2），B 两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点B的坐标为；当y1＞y2，则自变量x的取值范围是；（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点P，使以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S＝．△PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线交于点M（﹣4，m）、N（n，﹣4），与x轴交于A．（1）求k、b的值．（2）①将直线y＝kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线．②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，过点A作AE⊥CD，垂足为E．（1）若点A（6，8），点E（6，14）．①求AO的长；②线段MN在y轴上移动（点M在点N的上方），MN＝2，当四边形AEMN的周长最小时，求点M的坐标；（2）如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，AO⊥AD，AO＝AB，DE＝4CE，连结OE，OF，EF，且S△EOF＝．求反比例函数的表达式．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）把A（1，3）的坐标分别代入y＝、y＝﹣x+b，∴m＝xy＝3，3＝﹣1+b，∴m＝3，b＝4．（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝﹣x+4，∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，﹣x+4），其中，x＞0，又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，∴S1＝x•＝3，S2＝x•（﹣x+4）＝﹣x2+4x，∴S＝S2﹣S1＝（﹣x2+4x）﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．其中，x＞0，∵a＝﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x＝2时，S取最大值，其最大值为1．2．【解答】解：（1）∵点A（3，2）为正比例函数与反比例函数的交点，∴将x＝3，y＝2代入正比例解析式y＝ax得：3a＝2，解得：a＝，将x＝3，y＝2代入反比例解析式y＝得：＝2，解得：k＝6，∴正比例函数解析式为y＝x，反比例函数解析式为y＝；（2）过M作MN⊥x轴于N点．∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，∴mn＝6，BM＝m，BO＝DC＝MN＝n，又A（3，2），∴AC＝2，OC＝3，又mn＝6，＝S矩形OCDB﹣S△BMO﹣S△AOC＝3n﹣mn﹣×2×3＝3n﹣6＝6，∴S四边形OADM解得：n＝4，由mn＝6，得到4m＝6，解得：m＝，则M坐标为（，4）．3．【解答】解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA＝OC＝2，∴点B坐标为（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，∴k＝2×2＝4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON＝OM＝2AO＝4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y＝的图象上，∴当x＝4时，y＝1，即E（4，1），当y＝4时，x＝1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y＝mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m＝﹣1，n＝5．∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5．4．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），＝OB•BQ＝×m×m＝m2，于是S△OBQ＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，而S△OAP所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）5．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，∴B点纵坐标为2，又点B在函数（x＜0）的图象上，∴当y＝2时，x＝﹣1.5，∴B（﹣1.5，2），∵BC∥y轴，∴C点横坐标为﹣1.5，又点C在函数（x＜0）的图象上，∴当x＝﹣1.5时，y＝﹣4，∴C（﹣1.5，﹣4）．∵AD⊥y轴，∴D（0.5，﹣4）．（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a，），则B（﹣3a，），C（﹣3a，﹣），D（a，﹣）．∵矩形ABCD的面积＝矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩形DHOG的面积＝1+3+6+2＝12．（3）设A（t，），则B（，），C（，），D（t，），又∵点D在y＝的图象上，t•＝k4，∴k1k3＝k2k4．6．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），∴a＝3﹣1，∴a＝2．∴B（3，2），∴k＝3×2＝6；（2）令y＝0，则x﹣1＝0，∴x＝1．∴A（1，0），∴OA＝1，∵OA＝AD，∴AD＝1，∴OD＝2，∴点C的横坐标为2，由（1）知：k＝6，∴反比例函数y＝（x＞0）的解析式为y＝．∴y＝＝3，∴C（2，3）．设点C关于x轴的对称点C′，则C′（2，﹣3），连接BC′，交x轴于点P，如图，则此时PB+PC最小．设直线BC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC′的解析式为y＝5x﹣13．令y＝0，则5x﹣13＝0，∴x＝．∴P（，0）；（3）存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，理由：①当四边形ABFC为平行四边形时，如图，由（2）知：AD＝1，C（2，3），B（3，2），OD＝2，∴CD＝3，DM＝2，BM＝1．过点F作FG⊥x轴，过点B作MH∥x轴交CD于点M，交FG于点H，∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，∴CD∥FG．∵四边形ABFC为平行四边形，∴AC∥FB，AC＝FB．∴∠ACD＝∠BFH．在△ACD和△BFH中，，∴△ACD≌△BFH（AAS），∴AD＝BH＝1，CD＝FH＝3．∴MH＝MB+BH＝2．∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，MH∥x轴，∴四边形MDGH为矩形，∴GH＝DM＝2，DG＝MH＝2，∴OG＝OD+DG＝4，FG＝FH+HG＝5，∴F1（4，5）；②当四边形ABCF为平行四边形时，如图，设直线y＝x﹣1与y轴交与点N，则N（0，﹣1），∴ON＝1．∵OA＝1，∴OA＝ON，∴∠OAN＝45°，∴∠EAD＝∠OAN＝45°，∵CD⊥x轴，∴∠AED＝45°．∴DE＝AD＝1．∵CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，过点B作BM⊥CE于点M，则BM＝1，∵∠CEB＝∠AED＝45°，∴ME＝BM＝1，∴CM＝1，∴BM＝CE，M为CE的中点，∴∠CBE＝90°．∵四边形ABCF为平行四边形时，∴CB∥AE，∴∠EAB+∠ABC＝180°∴∠EAB＝90°，∴∠FAO＝45°，∴OF＝OA＝1，∴F2（0，1）；③当四边形ACBF为平行四边形时，如图，过点B作BG⊥x轴，过点F作MH∥x轴，交BG的延长线于点H，过点A作AM⊥MH 于点M，同①可求得：OB＝3，BG＝2，△ACD≌△FBH，∴BH＝CD＝3，FH＝AD＝1，四边形AMHG为矩形，∴MH＝AG＝2，AM＝GH＝BH﹣BG＝1，∴MF＝MH﹣FH＝1，∴F3（2，﹣1）．综上，存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点F的坐标F1（4，5），F2（0，1），F3（2，﹣1）．7．【解答】（1）证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，AO＝4，BO＝3，CO＝2，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过点D作DH⊥x轴于H，则四边形AOHD是矩形，∴DH＝AO＝4，OH＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，∴OH＝5，∴D（5，4），∵反比例函数的图象于点D，∴4＝，∴k＝20，∴此反比例函数的解析式为y＝；（3）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝2∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACO，∴sin∠DAC＝sin∠ACO＝＝＝．8．【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴点P1的坐标为（，0），当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），过点A作AH⊥x轴于点H，同理证得点P2的坐标为（﹣，0），当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．9．【解答】解：（1）作AF垂直于x轴，垂足为点F，∵AO＝AB，AF⊥OB，∴，∵∠OAB＝90°，AO＝AB，∴∠AOB＝45°，∴AF＝OF＝1，∴点A（1，1），设一次函数解析式为y1＝k1x+b，反比例函数解析式为，将点A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，得y1＝2，b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1．将点A（1，1）代入，得k2＝1，∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2x2﹣x﹣1＝0，解得，x2＝1，∴y1＝﹣2，y2＝1，∴点，∴，即△OAD的面积为；（3）存在，①以OA为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将A点向右平移个单位，向上平移2个单位得到P点的坐标，即P（，3），②以OD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P点的坐标，即P（，﹣1），③以AD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到P点的坐标，即P（﹣，﹣3），综上所述，点P的坐标为，，．10．【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于A点，交x轴于B点，∴点A（0，2），点B（4，0），∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（2，），点D（2+m，），∵四边形CABD为平行四边形，∴AD与BC互相平分，∴＝，＝，解得：m＝4，k＝6；（2）①证明：∵CC′∥y轴∥DD'，CD∥AB，∴四边形CDD'C'是平行四边形，∴CC'＝DD'，∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（a，），点D（a+m，），∵CC′∥y轴∥DD'，∴点C'的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，∴点C'（a，﹣a+2），点D'（a+m，﹣a﹣m+2），∴+a﹣2＝+a+m﹣2，∴k＝a（a+m），∴当k为定值时，a（a+m）为定值；②解：∵k＝6，∴6＝a（a+m），∴a2+am＝12，∵m＝a﹣4+，∴a2+a（a﹣4+）＝12，∴d＝﹣2a2+4a+12＝﹣2（a﹣1）2+14，∴当a＝1时，d的最大值为14．11．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，∴x D＝1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴k＝4；（2）由（1）得C（2，2），∵B（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，设点G的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（，m），N（﹣，m），∵FM＝FN，∴1﹣（﹣）＝﹣1，解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），∴点G的坐标为（0，）；（3）∵由（1）知k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP＝BQ，且AP∥BQ；∴＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．12．【解答】（1）解：结论：点B在反比例函数y＝﹣的图象上．理由：∵反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B关于原点对称，∴B（2，﹣4），∵x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴点B在反比例函数y＝﹣的图象上；（2）证明：由题意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D关于原点对称，∴OC＝OD，∵A，B关于原点对称，∴OA＝OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四边形ADBC是矩形；（3）解：如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，P1（4，0）．当四边形OBQ2P2是菱形时，P2（2，0）．当四边形OP3BQ3是菱形时，P3（5，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性质得到B（0，5），设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，∴点D'的坐标为（4+m，3），∵点D'在y＝的图象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如图，存在，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，＝OB•NF＝BN•ON，∴S△OBN∴NF＝，∵点N在直线AB上，∴N（﹣，），设M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．14．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象是中心对称图形，∴AO＝EO，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AO＝EO，∴FO＝，故答案为：＝；（2）①如图，连接CF，由（1）可知，FO＝AO，∴∠OAF＝∠OFA，∵AF平分∠OAC，∴∠OAF＝∠BAF，∴∠OFA＝∠BAF，∴OF∥AC，＝S△AFC＝10，∴S△AOC对于y＝﹣x+5，令y＝0，则0＝﹣x+5，∴x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，设A（m，﹣m+5），m＞0，∴S＝﹣，＝10，又∵S△AOC∴﹣，∴m＝1，∴﹣m+5＝﹣1+5＝4，∴A（1，4），∵A（1，4）在反比例函数y＝上，∴k＝1×4＝4；②如图，连接BF，由①可知，OF∥AB，FO＝AO，当AO＝AB时，此时四边形AOFB是菱形，将y＝﹣x+5由y＝联立，得：，解得：或，∴A（），B（），∴OA+（）2＝25﹣2k，AB2＝50﹣8k，当AO＝AB时，OA2＝AB2，即25﹣2k＝50﹣8k，∴k＝，综上所述，当四边形AOFB为菱形时，k＝．15．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2与x轴交于点A，∴0＝﹣2x+2，得x＝1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB＝∠BOA＝90°∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC＝45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝1，CH＝BO，设OB＝a，则OH＝a+1，∴点C（a，﹣a﹣1），∵点C在直线l上，∴﹣a﹣1＝﹣2a+2，∴a＝3，∴C（3，﹣4）；（2）将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，﹣3），C（3，﹣4）∴点D（1，3t），点E（0，﹣3+3t），点F（3，﹣4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t＝3×（﹣4+3t），∴t＝2；（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），∴EF＝，当EF＝EP＝时，则OP＝1，∴P（1，0）或（﹣1，0），当P（1，0）时，由平移的性质得，点Q（4，﹣1），当P（﹣1，0）时，由平移的性质得，点Q（2，﹣1），当EF＝FP＝时，同理得P（3﹣，0）或（3+，0），∴Q（﹣，1）或（，1），当PE＝PF时，设P（x，0），则9+x2＝4+9﹣6x+x2，解得x＝，∴P（，0），∴Q（），综上：Q（4，﹣1）或（2，﹣1）或（﹣，1）或（，1）或（）．16．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y1＝x+1得，2＝m+1，∴m＝1，∴A（1，2），将A（1，2）代入y2＝得，k＝1×2＝2，∴y2＝；（2）根据函数图象的轴对称性知，点A与B关于直线y＝﹣x对称，过A作AC∥y轴，过B作BC∥x交于C，则C（﹣1，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），当y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0，故答案为：（﹣2，﹣1），x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，如图，∵OA＝OB，∴点P在AB上方时，四边形OAPB是菱形，∵O（0，0），A（1，2），B（﹣2，﹣1），由平移的性质得P（﹣1，1），∴以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形，点P的坐标为（﹣1，1）．17．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，＝．∵S△PAO∴，∴m＝4，∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵点P在这个反比例函数的图象上，∴点P的横坐标为＝15，∴P（15，4）；（2）如图，点P在直线y＝4上运动，作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，此时PO+PA的最小值即为AO'的长，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值为10；（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．18．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案为：（8﹣2t）；当BP＝CQ时，四边形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，四边形PQCB为矩形；故答案为：（5﹣t）；3；（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，∴k＝4t，∴y＝，∴点M的坐标为（5，），∴BM＝4﹣，连接PM，如图1所示：∴△POM的面积S＝矩形AOCB的面积﹣△AOP的面积﹣△PBM的面积﹣△OCM的面积＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t﹣3，0），点C的坐标为（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情况讨论：①当PQ＝PC时，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合题意，舍去）；②当PQ＝CQ时，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此时点E的坐标为（，4）；③当PC＝CQ时，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝83＝﹣3+2，此时点E的坐标为（3﹣2，4）；综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形，t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）．19．【解答】解：（1）把x＝﹣4，y＝m代入中，得，∴点M（﹣4，2），把x＝n，y＝﹣4代入中，得，∴点N（2，﹣4），∴将点M（﹣4，2），点N（2，﹣4）代入y＝kx+b中，得，解得，∴k＝﹣1，b＝﹣2；（2）①将直线y＝﹣x﹣2向上平移4个单位，得y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝﹣x+2＝0时，x＝2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当CA，CB为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（0，﹣2），当BC，BA为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（﹣4，2），当AC，AB为边，AC∥BP且AC＝BP，∴点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，﹣2）或（﹣4，2）或（4，2）．20．【解答】解：（1）①∵点A（6，8），∴AO＝＝10；（2）∵点A（6，8），点E（6，14），∴AE＝6，∵四边形AEMN的周长＝AE+MN+ME+AN，AE＝6，MN＝2，∴四边形AEMN的周长＝8+AN+ME，∴当AN+ME有最小值时，四边形AEMN的周长有最小值，如图，将A向上平移两个单位得到A'，连接A'M，作点A'关于y轴的对称点A''，连接A''E，∴AA'＝2＝MN，A'（6，10），∴四边形ANMA'是平行四边形，∴AN＝A'M，∴AN+ME＝A'M+ME，∵点A'与点A''关于y轴对称，∴A''M＝A'M，点A''（﹣6，10），∴AN+ME＝A''M+ME，∴点M，点E，点A''共线时，A''M+ME的最小值为A''E的长，∵点A''（﹣6，10），点E（6，14），∴直线A''E的解析式为：y＝x+12，当x＝0时，y＝12，∴点M（0，12）；（3）如图，延长EA交x轴于N，过点F作FH⊥x轴于H，设AB＝AO＝5a，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB＝5a＝AD，∵DE＝4CE，∴DE＝4a，CE＝a，∵AB∥x轴，∴DE∥AB∥x轴，∵AE⊥CD，∴AE⊥x轴，AE⊥AB，∴∠DEA＝∠ANO＝90°，∴AE＝＝3a，∵AD⊥AO，∴∠DAE+∠OAN＝90°＝∠OAN+∠AON，∴∠DAE＝∠AON，又∵AD＝AO＝AB，∴△ANO≌△DEA（AAS），∴DE＝AN＝4a，AE＝ON＝3a，∴点A（3a，4a），点E（3a，7a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，∴k＝21a2，点F（a，4a），＝＝×3a×7a+（7a+4a）×（a﹣3a）﹣×4a×a，∵S△EOF∴a＝1，∴k＝21，∴反比例函数解析式为y＝．。
反比例函数
反比例函数反比例函数图象与性质知识点1.反比例函数的概念：一般地，xky =(k 为常数，k≠0)叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数。
(x 为自变量，y 为因变量，其中x 不能为零) 2.反比例函数的等价形式：y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=k xky ←→ )0(1≠=-k kx y ←→ )0(≠=k k xy ←→ 变量y 与x 成反比例，比例系数为k.3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即k xy =>。
(通常第二种方法更适用)4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性(对称性、延伸特征)。
5.反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴(x 轴和y 轴)，但不会与坐标轴相交。
6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有||21||21||||k xy S k xy S AOB OAPB ====∆矩形反比例函数的定义及应用【例1】已知函数y = y 1 +y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x -2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y 关于x 的函数解析式.知识精讲P B AOP BA O图4确定反比例函数解析式【例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点．(1)求图象经过点的反比例函数的解析式；(2)设(1)中的反比例函数图象交于点，求出直线的解析式．反比例函数增减性的应用 【例1】已知反比例函数3m y x-=(m 为常数，且3m ≠)． (1)若在其图象的每一个分支上，y 的值随x 的值增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在该反比例函数的图象上． ①求m 的值；②当1x <-时，直接．．写出y 的取值范围．xOy OEFG E ()4,0G ()0,2OEFG O F y N OMNP OM GFA A EFB AB由图形面积求比例系数【例1】如图，已知点A(2，m)是反比例函数y＝kx的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6．(1)求k和m的值；(2)直线y＝2x+a(a≤0)与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；①若a＝0，已知E(p，q)，则F的坐标为(用含p，q的坐标表示)；②若a＝﹣2．求AC的长．已知反比例函数求面积【例1】已知，反比例函数2yx=和6yx=的部分图象如图所示，点P在6yx=上，PC垂直x轴于点C，交2yx=于点A(2，1)，PD垂直y轴于点D，交2yx=于点B，连接OA，OB．(1)求B点和P点的坐标；(2)求四边形AOBP的面积．题型11．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )A．x(y﹣1)＝1B．y＝15x-C．y＝﹣13x﹣1D．y＝21x当堂提升2．若函数2k 31y (3)k k x --=-是反比例函数，那么k 的值是_____．3.函数y=(m ﹣1)21mm x --是反比例函数(1)求m 的值(2)判断点(12，2)是否在这个函数的图象上．4.反比例函数y ＝kx图象经过A (1，2)，B (n ，﹣2)两点，则n ＝( ) A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣35．若反比例函数1y x=的图象经过点A (﹣2，m )，则m ＝_____． 6．数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为2200cm 的矩形学具进行展示.设矩形的宽为cm x ，长为cm y ，那么这些同学所制作的矩形长(cm)y 与宽(cm)x 之间的函数表达式是____________.7．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km /h 时，视野为80度.如果视野f(度)是关于车速(km /h)v 的反比例函数，则f ，v 之间的函数关系式为______；当车速为100km /h 时，视野的度数为______度.8．已知一次函数y ＝kx －1，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 9．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确的是( ) A ．点(﹣2，﹣1)在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小10．已知反比例函数y ＝2k x-的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是_____． 11．若反比例函数()31m y m x-=+的图像在第二、四象限，则m 的值是______．12．已知反比例函数21k y x -=的图象经过第一、三象限，则常数k 的取值范围是_____． 13．反比例函数y ＝2m x+的图象上，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_____．14．若反比例函数的图象2ky x在其每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围____________. 15．已知A(，1y )，B(2，2y )两点在双曲线32my x+=上，且12y y >，则m 的取值范围是( ) A ．m 0>B ．m 0<C ．3m 2>-D ．3m 2<-16．若A (-3，y 1)、B (-1，y 2)、C (1，y 3)三点都在反比例函数y=kx(k ＞0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1＞y 2＞y 3B ． y 3＞y 1＞y 2C ． y 3＞y 2＞y 1D ． y 2＞y 1＞y 317．点1(1,)A y -，2(2,)B y -在反比例函数3y x=的图象上，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．12y y > B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定18．在函数y ＝kx(k ≠0)的图象上有三点(﹣3，y 1)(﹣1，y 2)(2，y 3)，若y 2＜y 3，那么y 1与y 2的大小关系正确的是( ) A ．.y 1＜y 2＜0B ．.y 2＜y 1＜0C ．.0＜y 2＜y 1D ．0＜y 1＜y 219．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是( ) A ． B ． C ． D ．20.若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是( )A．B．C．D．21．定义新运算：1(0)(0)bba babb⎧>⎪⎪⊕=⎨⎪-<⎪⎩，则函数2(0)y x x=⊕≠的图象大致是()A．B．C．D．反比例函数的应用知识点一、利用反比例函数解决实际问题1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2. 一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示.(2)由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.二、反比例函数在其他学科中的应用1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.反比例函数和一次函数综合【例1】如图，直线11y x =+与双曲线2ky x=(k 为常数，k ≠0)交于A ，D 两点，与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，点A 的坐标为(m ，2)． (1)求反比例函数的解析式．(2)结合图象直接写出当12y y <时，x 的取值范围．知识精讲【例2】已知A(﹣4，2)、B(n，﹣4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx+b﹣mx＞0的解集．反比例函数的几何综合【例1】如图，A(4，3)是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．(1)求反比例函数y=kx的表达式；(2)求点B的坐标；(3)求△OAP的面积．反比例函数实际问题与图象【例1】某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【例2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F (单位：N )关于动力臂l(单位：m )的函数解析式正确的是( ) A ．1200F l=B ．600F l=C ．500F l=D ．0.5F l=【例3】如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m 3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S (单位：m 2)与其深度d (单位：m )的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【例4】如图，反比例函数k(0)xy x =>经过A 、B 两点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，连结AD ，已知AC 1=、BE 1=、4BDOE S =．则ACDS＝_______．【例5】图，点P 是双曲线C ：4y x=(0x >)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：122y x =-于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是______.【例6】如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0,4)，B(6，0)，若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为___.利用反比例函数解决实际问题【例1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(3m )的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应( )A ．不小于35m 4B ．大于35m 4C ．不小于35m 4D ．小于35m 4【例2】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间(min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的A ．7：20B ．7：30C ．7：45D ．7：50【例3】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y (℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？1．如图，反比例函数k y x的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，矩形OABC 的对角线OB ，AC 交于点E (1，2)，则k 的值为( )当堂提升A ．4B ．8C ．﹣4D ．﹣82.在同一直角坐标系中，函数y kx k =+与(0)k y k x-=≠的图象大致为( )． A ．B ．C ．D ．3．如图，一次函数y 1＝k 1+b (k 1≠0)的图象分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，与反比例函数222(0)k y k x=≠的图象交于C (﹣4，-2)，D (2，4)．当x 为( )时，12y y <．A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣4C ．x ＜﹣4 或0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜24．如图，一次函数 1y ax = 与反比例函数 2k y x =的图象交于 ()1,1A ，()1,1B -- 两点．(1)若 12y y =，则 x = ____________；(2)若 12y y >，则 x 的取值范围是____________；(3)若 k ax x<，则 x 的取值范围是______________．5．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于(6,1)A ，(2,)B n -两点，连接 OA ，OB ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()kPa p 是气体体积()3m V 的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的表达式；(2)当气体体积为31m 时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？。
反比例函数中的平行四边形(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题06 反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A 是反比例函数()110k y k x=>图象上的任意一点，AB 平行于y 轴交反比例函数()220k y k x=<的图象于点B ，作以AB 为边的平行四边形ABCD ，其顶点C ，D 在y 轴上，若7ABCD S =，则这两个反比例函数可能是（ ）A ．2y x =和3y x =-B ．3y x =和4y x=-C ．4y x =和5y x=- D ．5y x=和6y x =-2．如图，反比例函数ky x=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是____．【答案】9【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D 也用a 、b 表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a 、b ，再由点坐标求出k 的值． 【详解】解：∵()3,0A ，()0,4B ，∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， ∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-， ∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-， ∵C 、D 都在反比例函数图象上，∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=． 故答案为：9．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图像上一点，点B 是y轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作平行四边形ABCO ，若点C 和BC 的中点D 都在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图像上，则k 的值是___________．∵四边形ABCO是平行四边形，∴8k =-， 都答案为：-8．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．如图，已知反比例函数(0)ky x x=>与正比例函数(0)y x x =的图象，点(1,4)A ，点(4,)A b '与点B ′均在反比例函数的图象上，点B 在直线y x =上，四边形AA B B ''是平行四边形，则B 点的坐标为__．【详解】解：反比例函数点点点四边形点【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B ′点坐标是解题的关键．5．如图，分别过反比例函数1y x=图像上的点P 1（1，y 1），P 2（1+2，y 2），P 3（1+2+3，y 3），．．．，Pn （1+2+3+．．．+n ，yn ）作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，A 2，A 3，．．．，An ，连接A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，．．．，An -1Pn ，再以A 1P 1，A 1P 2为一组邻边画一个平行四边形A 1P 1B 1P 2，以A 2P 2，A 2P 3为一组邻边画一个平行四边形A 2P 2B 2P 3，以此类推，则B 2的纵坐标是__________；点B 1，B 2，．．．，Bn 的纵坐标之和为__________．1 123(1)n n n n +=++++++++1y x=的图象上，1123(1)n n n +++++++++14(2)n n +++1(n n ++⨯+1115n n -++-+三、解答题(共0分)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象与双曲线y =-8x交于点M （-4，m ）、N （n ，-4），与x 轴交于A ．(1)求k、b的值；(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），当y=-x+2=0时，x=2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），分情况讨论：∥且AP=CB，当CA，CB为边时，AP CB∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），点P坐标为（0，-2）；∥且AP=CB，当BC，BA为边时，AP CB同理可得点P坐标为（-4，2）；∥且AC=BP，当AC，AB为边，AC BP同理可得点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．7．综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．(1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在ky x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．8．如图，一次函数22y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数(0)y k x=≠的图象的一个交点为()A 2m ，．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，设点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于6，请求出点P 的坐标；（3）设M 是直线AB 上一动点，过点M 作MN//x 轴，交反比例函数ky x=的图象于点N ，若以B 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．9．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数y x=的图像交于点()1,6A ，()3,B n 两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)直线a 经过点()0,1且平行于x 轴，点M 在直线a 上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M 、N 的坐标，如果不可以，说明理由．ADO S=BDO S =8AOB ADO BDO S S S =-=；（3）∴M （4，1），N （0，7）；②当AM 为为平行四边形对角线时，130612m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得25m n =⎧⎨=⎩， ∴M （2，1），N （0，5）；③当AN 为为平行四边形对角线时，103621m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得23m n =-⎧⎨=-⎩， ∴M （-2，1），N （0，-3）；综上所述，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，M （4，1），N （0，7）或M （2，1），N （0，5）或M （-2，1），N （0，-3）．【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x 轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M 、N 的位置是解题的关键．10．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12AOB OCA OCB S S S OC =+=⋅）解：存在，理由如下：OA 与OB 为邻边时，点11．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标． (6)B m ，1m ∴=，(61)B ∴，，当AP OC ∥且AP OC =时，则7AP OC ==，(16)A ，，P ∴点坐标为当AP OC '∥(1,6)A ，P '∴点坐标为：当AO P ∥P ''∴点坐标为：综上所述：点12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝2x ﹣4（k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝x的图象交于A 、B 两点．(1)求A、B的坐标．(2)当x为何值时，2x﹣4＞6 x(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝6x的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．则FE ＝m ＝8，13．如图，一次函数1y x =+与反比例函数y x =的图象交于点A 和B （-2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PD//y轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（2，0），（−2，0），（−2＋1【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的15．如图1，菱形ABCD 顶点A 在y 轴上，顶点D 在反比例函数()0y x x=>上，边BC 交y 轴于点E ，AD x ∥轴，2AE EC =，5AD =．(1)求k ．(2)如图2，延长BA 交x 轴于点F ，问是否在该反比例函数上存在的点P ，坐标轴上的点Q ，使得以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-的图像与反比例函数2y x=（0k ≠）的图像交于()2,A a -、(),2B m 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数2ky x=（0k ≠）的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)点N 为坐标轴上一点，点M 为2y 的图像上一点，当以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N 点的坐标． AOBS=1(02)N ，【分析】(1)8k ， (02)C ，-1(02)N ∴，②如图2，四边形是平行四边形，2(0N ∴-，③如图3，四边形3CM ∴∥【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y x=（k 为常数，0x >）的图像经过点()2,A m ，()6,B n 两点．(1)m 与n 的数量关系是（ ）A ．3m n =B ．3n m =C ．8m n +=D ．4m n -= (2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合． ①求点P 的坐标及反比例函数的表达式； ②连接OA 、OB ，则AOB 的面积为_________；(3)若点M 在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．②借助割补法求面积，将AOB 的面积补全在五边形中，利用边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得分别代入y =②如图，作AE y ⊥轴，AF x ⊥轴，BG x ⊥轴，综上所述，AOB的面积为8．(3)-=-x x x xx x x x -=-18．如图1，动点M 在函数()0y x x =>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数()40y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为()2,4．①B 点坐标为______，C 点坐标为______，直线BC 的函数表达式为______；②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO、CO．=时，求OB的长度；①当OB OC②如图2，试证明BOC的面积是个定值．8m84。
反比例函数与平行四边形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练
专题28 反比例函数与平行四边形结合（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）1. 如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的三个顶点坐标分别为()()()1,04,22,3A B C ,,，第四个顶点D 在反比例函数()0k y x x =<的图像上，则k 的值为（ ）A. 1-B. 2-C. 3-D. 4-2. 如图，点A ，B 在反比例函数()20y x x=-<的图象上，连结OA ，AB ，以OA ，AB 为边作OABC ，若点C 恰好落在反比例函数()10y x x=>的图象上，此时OABC 的面积是（ ）A. 3B.C.D. 6（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）3. 如图，四边形OABC 为平行四边形，A 在x 轴上，且∠AOC ＝60°，反比例函数=k y x（k ＞0）在第一象限内过点C ，且与AB 交于点E ．若E 为AB 的中点，且S△OCE ＝，则OC 的长为（ ）A. 8B. 4C.D. （2020春·浙江杭州·八年级期末）4. 如图，已知函数y=2x 和函数k y=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是____．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）5. 如图，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴上，顶点C 在反比例函数()40y x x=-<的图象上，BC 与y 轴相交于点D ，且D 为BC 的中点，则平行四边形OABC 的面积为__________．6. 如图，点A 、B 分别在双曲线2y x=和6y x =上，四边形ABCO 为平行四边形，则 □ABCO 的面积为_________（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）7. 如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上，点A 是第一象限内一点，反比例函数8y x=的图象经过点A ，与BC 边交于点D ，若OCD 与ABD △的面积相等，则OAD △的面积为______________．8. 综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．（1）证明四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在k y x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．（2021春·浙江衢州·八年级统考期末）9. 如图，平行四边形ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （﹣6，0），D （0，3），点C 在反比例函数y k x=的图象上．（1）直接写出点C 坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将平行四边形ABCD 向上平移得到平行四边形EFGH ，使点F 在反比例函数y =k x的图象上，GH 与反比例函数图象交于点M ．连结AE ，求AE 的长及点M 的坐标．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 坐标（2，3），过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点B ，且满足AB BH＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C 在x 正半轴上，点D 在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD 是平行四边形，求点D 坐标．11. 如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．12. 定义：点(),P a b 关于原点的对称点为P'，以'PP 为边作等边'PP C ∆，则称点C 为P 的“等边对称点”；（1）若(P ，求点P 的“等边对称点”的坐标；（2）若P 点是双曲线()20=>y x x上动点，当点P 的“等边对称点”点C 在第四象限时，①如图（1），请问点C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；②如图（2），已知点()1,2A ，()2,1B ，点G 是线段AB 上的动点，点F 在y 轴上，若以A 、G 、F 、C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C 的纵坐标C y 的取值范围.13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在y 轴上，C 在x 轴上，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线翻折，点B 恰好落在反比例函数()0k y k x=≠的图象上的点B'处，'CB 与y 轴交于点D ，已知'2DB =，30ACB ∠= ．()1求的度数；()2求反比例函数()0k y k x =≠的函数表达式；()3若Q 是反比例函数()0k y k x=≠图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P ，使以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）14. 如图1，在直角坐标系xOy 中，点(2,)(0)P n n n >在函数k y x=（0x >）图象上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，PA x ⊥轴于点A ．已知△PAB 的面积为4．（1）求点P 的坐标与k 的值．（2）如图2，设点C 是线段AB 的中点，点D 在函数k y x =（0x >）图象上，当四边形BCPD 是平行四边形时，求点D 的坐标．（3）如图3，设点C 在直线AB 上，点D 在函数k y x=（0x >）图象上，若四边形BCPD是平行四边形，设该四边形BCPD的面积为1S，△APC的面积为2S，求1S S的数量关系式．与2专题28 反比例函数与平行四边形结合（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）【1题答案】【答案】A【解析】【分析】过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥x 轴于F ，作BH ∥x 轴，交CF 于H ，利用AAS 得到三角形ADE 与三角形BCH 全等，由全等三角形的对应边相等得到AE =BH =2，DE =CH =1，求出OE 的长，确定出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥x 轴于F ，作BH ∥x 轴，交CF 于H ，∵A （1，0），B （4，2），C （2，3），∴BH =4-2=2，CH =3-2=1，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC =AD ，BC ∥AD ，∴∠DAB +∠ABC =180°，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH =∠BAF ，∵∠DAE +∠BAF +∠DAB =180°=∠CBH +∠ABH +∠DAB ，∴∠DAE =∠CBH ，在△ADE 和△BCH 中，90DAE CBH AED BHC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCH （AAS ），∴AE =BH =2，DE =CH =1，∴OE =1，∴点D 坐标为（-1，1），∵点D 在反比例函数()0k y x x =<的图象上，∴k =-1×1=-1，故选：A ．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．【2题答案】【答案】A【解析】【分析】连接AC ，BO 交于点E ，作AG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，设点A （a ，2a -），点C （m ，1m）（a ＜0，m ＞0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[（a+m ），（2a -+1m）]，把点B 坐标代入解析式可求a=-2m ，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，连接AC ，BO 交于点E ，作AG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，设点A （a ，2a -），点C （m ，1m）（a ＜0，m ＞0），∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AC 与BO 互相平分，∴点E （21,22a m a m -++），∵点O 坐标（0，0），∴点B[（a+m），（2a-+1m）].∵点B在反比例函数y=2x-（x＜0）的图象上，∴212a m a m-+=-+，∴a=-2m，a=m（不合题意舍去），∴点A（-2m，1m），∴四边形ACFG是矩形，∴S△AOC=12（1m+1m）（m+2m）-12-1=32，∴▱OABC的面积=2×S△AOC=3.故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解决问题的关键是数形结合思想的运用．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）【3题答案】【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，根据平行四边形的性质可得∠EAF=∠AOC=60°，设OD=t，在Rt△COD和Rt△EAF中表示出CD、OC、AE、AF以及EF，再根据点C与点E都在反比例函数kyx=的图像上，得到OD×CD=OF×EF，进而表示出OF、OA，在利用平行四边形OABC的面积与△OCE 的面积关系得出关于t的方程，解方程得t，即可得解．【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，∵四边形OABC 为平行四边形，∴OC =AB ，OC AB ∥，∴∠EAF =∠AOC =60°，∵在Rt △COD 中，∠DOC =60°，∴∠DCO =30°，设OD =t ，∴CD，OC =AB =2t ，∵在Rt △EAF 中，∠EAF =60°，AE =12AB =t ，∴AF =12t ，EF，∵点C 与点E 都在反比例函数k y x=的图像上，∴OD ×CD =OF ×EF ，∴2OD CD OF t EF ⨯===，∴OA =OF -EF =2t -12t =32t ，∵平行四边形OABC 的面积为2OCE S S =△，∴2OA CD ⨯=⨯，322t =⨯，解得t =（负值舍去），∴OC =2t，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、平行四边形的性质、解直角三角形以及四边形与三角形的面积等知识，根据点C 与点E 都在反比例函数k y x=的图像上，得到OD ×CD =OF ×EF ，进而表示出OF 是解答本题的关键．（2020春·浙江杭州·八年级期末）【4题答案】【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）【解析】【分析】先求出B 、O 、E 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P 点的坐标.【详解】解：如图∵△AOE 的面积为4，函数k y=x的图象过一、三象限，∴k=8．∴反比例函数为8y=x∵函数y=2x 和函数8y=x的图象交于A 、B 两点，∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P 点有3个，分别为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．【点睛】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P 点的所有情况都画出来．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）【5题答案】【答案】8【解析】【分析】设点C 的坐标为（a ，b ），四边形OABC 是平行四边形，证得BC ⊥OD ，CD ＝﹣a ，OD ＝b ，由点C 在反比例函数()40y x x=-<的图象上，得到﹣ab ＝4，根据平行四边形面积公式即可求得答案．【详解】解：设点C 的坐标为（a ，b ），∵ 四边形OABC 是平行四边形，∴ BC OA ，∴ ∠CDO ＝90°，∴BC ⊥OD ，∴CD ＝﹣a ，OD ＝b ，∵D 为BC 的中点，∴BC ＝2CD ＝﹣2a ，∵点C 在反比例函数()40y x x =-<的图象上，∴﹣ab ＝4，∴平行四边形OABC 的面积＝BC ×OD ＝﹣2ab ＝8．故答案为：8【点睛】此题考查了反比例函数，平行四边形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【6题答案】【答案】4【解析】【分析】由AB∥x 轴可知，A 、B 两点纵坐标相等，且都设为b ，根据点A 在双曲线2y x =上，点B 在双曲线6y x=上，求得AB ，而▱ABCD 的CD 边上高为b ，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．【详解】∵点A 在双曲线y=2x上,点B 在双曲线y=6x 上,且AB ∥x 轴，∴设A(2b ,b),B(6b ,b)，则AB=6b −2b，▱ABCD 的CD 边上高为b ，∴S ▱ABCD=(6b −2b )×b=6−2=4.故答案为4.【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是由平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等，根据平行四边形的面积公式计算．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）【7题答案】【答案】6【解析】【分析】先求出OABC 的面积，再根据OAD △的面积为OABC 的面积的一半即可求出．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，8a ），AB =OC =b ，则点B 的坐标为（a +b ，8a ）∵OCD 与ABD △的面积相等，且AB =OC∴点D 到AB 和OC 的距离相等，∴点D 为BC 的中点，∵点C 的坐标为（a +b ，0）∴点D 的坐标为（12a b +，4a ）∵点D 在反比例函数8y x=的图象上，∴12a b +=84a=2a ，解得b =32a ．∴OABC 的面积=32a 8a =12∴OAD △的面积=1122⨯=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，根据面积相等得到点D 是线段BC 的中点是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）见详解 （2）20y x= （3）8(0,)3【解析】【分析】（1）由A （0,4），B （-3,0），C （2,0），利用勾股定理可求得AB =5=BC ，又由D 为B 点关于AC 的对称点，可得AB =AD ，BC =DC ，即可证得AB =AD =CD =CB ，继而证得四边形ABCD 为菱形；（2）由四边形ABCD 为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N 的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N 的坐标，继而求得M 点的坐标．【小问1详解】证明：∵()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，∴4OA =，3OB =，2OC =，∴5AB ===，235BC BO OC =+=+=，∴AB BC =，∵D 为B 点关于AC 的对称点，∴AB AD =，CB CD =，∴AB AD CD CB ===，∴四边形ABCD 为菱形；【小问2详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴D 点的坐标为（5，4），反比例函数y=k x 的图象经过D 点，∴4=5k ，∴k =20，∴反比例函数的解析式为：20y x=；【小问3详解】∵四边形ABMN 是平行四边形，∴AN BM ∥，AN BM =，∴AN 是BM 经过平移得到的，∵将B 点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A 点，∴将M 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N 点，∵M 点在y 轴正半轴，∴M 点的横坐标为0，∴即根据平移可知N 点的横坐标为3，代入20y x=，得203y =，即N 点坐标为20(3,)3，∴根据平移的路径可知M 点的纵坐标为：208433-=，∴M 点的坐标为8(0,)3．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．（2021春·浙江衢州·八年级统考期末）【9题答案】【答案】（1）12y x =-；（2）2AE =，12(,5)5M -【解析】【分析】（1）由A 与B 的坐标求出AB 的长，根据四边形ABCD 为平行四边形，求出DC 的长，进而确定出C 坐标，设反比例解析式为k y x=，把C 坐标代入求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B 与F 横坐标相同，代入反比例解析式求出F 纵坐标得到平移的距离，即为AE 的长，求出H 纵坐标，即为M 纵坐标，代入反比例解析式求出M 横坐标，即可确定出M 坐标．【详解】解：（1）ABCD 中，(2,0)A -，0()6,B -，(0,3)D ，4AB CD ∴==，//DC AB ，(4,3)C ∴-，设反比例解析式为k y x=，把C 坐标代入得：12k =-，则反比例解析式为12y x =-；（2）(6,0)B - ，∴把6x =-代入反比例解析式得：2y =，即(6,2)F -，∴平行四边形ABCD 向上平移2个单位，即2AE =，(0,5)H ∴，把5y =代入反比例解析式得：125x =-，即12(,5)5M -．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）【10题答案】【答案】（1）y ＝2x ；（2）点D 坐标（1，2）【解析】【分析】（1）先求出点B 坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，可求点D 坐标．【详解】解：（1）∵点A 坐标（2，3），∴AH ＝3，∵AB BH＝2，∴BH ＝1，AB ＝2，∴点B （2，1），设反比例函数的解析式为y ＝k x（k ≠0），∵点B 在反比例函数的图象上，∴k ＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，∵AB ⊥x 轴，∴CD ⊥x 轴，∴点D 纵坐标2，∴点D 坐标（1，2）．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．【11题答案】【答案】（1）18y x =， 132y x =-+；（2）①不存在，理由详见解析；②存在，t =【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）①可用t 的代数式表示DF ，然后根据DF=BC 求出t 的值，得到DF 与CB 重合，因而不存在t ，使得四边形DFBC 为平行四边形；②可分两种情况（点Q 在线段BC 上和在线段BC 的延长线上）讨论，由于DE ∥QC ，要使以点D 、E 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC ，只需将DE 、QC 分别用的式子表示，再求出t 即可解答．【详解】解：（1）由题意得(6,3)C ，(0,3)A ，(6,0)B ，∴反比例函数为18y x =，一次函数为：132y x =-+．（2）①不存在．l x ⊥ 轴，CB x ⊥轴，//l BC ∴．又 四边形DFBC 是平行四边形，3DF BC ∴==．设18,D t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,32F t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，181332DF t t ⎛⎫∴=--+= ⎪⎝⎭，6t ∴=．此时D 与C 重合，不符合题意，∴不存在．②存在．当01t <<时，CQ DE ≠；当16t <≤时，由18,D t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3E ，得183DE t=-．由()6,3Q t ，()6,3C ．得33CQ t =-．//DE CQ∴当DE CQ =时，四边形DECQ 为平行四边形．18333t t∴-=-．1t ∴=，2t ∴=（舍）∴当t =DECQ 为平行四边形．又DE CE ⊥ 且DE EC ≠，DECQ ∴ 为矩形．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，在解答以点D 、E 、Q 、C 为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论是解答本题的关键．【12题答案】【答案】（1）(3,C或(C -；（2）①()60y x x=->；②6C y ≤-或32C y -≤≤-【解析】【分析】（1）根据P 点坐标得出P'的坐标，可求PP'=4；设C （m ，n ），有PC=P'C=24，通过解方程即可得出结论；（2）①设P （c ，2c），得出P'的坐标，利用连点间的距离公式可求PP '的长，设C （s ，t ），有=''==PC P C PP，然后通过解方程可得22,=-=t s t c，再根据x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩消元c 即可得xy=-6；②分AG 为平行四边形的边和AG 为平行四边形的对角线两种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∵P （1，∴P'（-1，，∴PP'=4，设C （m ，n ），∴等边△PP′C ，∴PC=P'C=4，4==∴=m22(1)(16∴-+=n解得∴m=-3或m=3．如图1，观察点C 位于第四象限，则C -3）．即点P 的“等边对称点”的坐标，-3）．（2）①设2,P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2',P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴'PP =，设(),C s t ，'PC P C ====，∴22t s c =-，∴223t c =，∴t =，∴C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或C ⎫⎪⎪⎭，∴点C 在第四象限，0c >，∴C ⎫⎪⎪⎭，令x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴6xy =-，即()60y x x=->；②已知()1,2A ，()2,1B ，则直线AB 为3y x =-+，设点(),3G a a -+，设点()0,F m ，6,C n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2A ，(),3G a a -+，6,C n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,F m 构成平行四边形，点G 在线段AB 上，12a ≤≤；当GF 为对角线时，平行四边形对角坐标之和相等；01632a na m n +=+⎧⎪⎨-++=-⎪⎩，1n a =-，01n <≤，即6C y ≤-；当GF 为边时，平行四边形GFAC ，10632a n a m n +=+⎧⎪⎨-++=-⎪⎩，1n a =+，23n ≤≤，即32C y -≤≤-；当GF 为边时，平行四边形GFCA，01632a n a m n +=+⎧⎪⎨-+-=+⎪⎩，1n a =-，10n -<≤，而点C 在第三象限，0n >，即此时点C 不存在；综上，6C y ≤-或32C y -≤≤-.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，新定义；理解题意，利用等边三角形的性质结合勾股定理求点C 的坐标是关键，数形结合解题是求y c 范围的关键．【13题答案】【答案】（1）30．（2）y =（3）满足条件的点P坐标为1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，5P ⎫⎪⎪⎭．【解析】【分析】（1）'90906030B CO BCB ∠'=-∠=-= ；（2）求出B '的坐标即可；（3）分五种情况，分别画出图形可解决问题．【详解】解：()1 四边形ABCO 是矩形，90BCO ∴∠= ，'30ACB ACB ∠=∠= ，'906030B CO ∴∠=-= ．()2如图1中，作'B H x ⊥轴于H．'30DAC ACB DAB ∠=∠=∠= ，2'4AD CD DB ∴===，'6CB ∴=，'3B H =，CH =CO =OH ∴=)'B ∴，反比例函数()0kyk x=≠的图象经过点B'，k ∴=y ∴=()3如图2中，作//DQ x 轴交y =2Q ⎫⎪⎪⎭，以DQ 为边构造平行四边形可得1P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图3中，作'//CQ OA 交y =3'2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以'CQ 为边构造平行四边形可得370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭；如图4中，当2Q ⎛⎫"- ⎪ ⎪⎝⎭，以CQ "为边构造平行四边形可得5P ⎫⎪⎪⎭，综上所述，满足条件的点P 坐标为1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，370,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，5P ⎫⎪⎪⎭．【点睛】本题考核知识点：反比例函数，矩形，翻折，直角三角形等综合知识. 解题关键点：作辅助线，数形结合，分类讨论.（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）【14题答案】【答案】（1）P （4，2），k =8；（2）D （2，4）；（3）12S 1+S 2=4【解析】【分析】（1）根据12PAB S OA PA ∆=⋅，列方程求解即可得出答案；（2）根据平行四边形性质和平移规律可得出(2,2)2b D +，由点D 在函数8y x=图象上，建立方程求解即可；（3）连接BP ，运用平行四边形性质可得11122BCP BCPD S S S ∆==四边形，再利用BCP ACP BAP S S S ∆∆∆+=，利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：（1）PA x ⊥ 轴于点A ．(2P n ，)(0)n n >，PA n ∴=，2OA n =，211222PAB S OA PA n n n ∆∴=⋅=⨯⨯=，PAB ∆ 的面积为4，24n ∴=，0n > ，2n ∴=，(4,2)P ∴，428k ∴=⨯=；（2）(4,0)A ，(0,)B b ，点C 是线段AB 的中点，(2,)2bC ∴，四边形BCPD 是平行四边形，//BC DP ∴，BC DP =，根据平移规律可得：(2,2)2b D +，点D 在函数8yx=图象上，2(2)82b∴⨯+=，解得：4b =，(2,4)D ∴；（3）如图3，当点C 在线段AB 上时，四边形BCPD 是平行四边形，//PD AB ∴，PD BC =，//BD AC ，BD AC =，连接BP ，11122BCP BCPD S S S ∆∴==四边形，1124422BCP ACP BAP S S S AP OA ∆∆∆+==⋅=⨯⨯= ，∴12142S S +=．如图4，当点C 在AB 延长线上时，连接BP ，四边形BCPD 是平行四边形，则11122BCP BCPD S S S ∆==四边形，1124422ACP BCP BAP S S S AP OA ∆∆∆-==⋅=⨯⨯=，21142S S ∴-=．如图5，当点C 在BA 延长线上时，四边形BCPD 是平行四边形，C P BD x x x x ∴-=-，∴点D 在第二象限，不成立；综上所述，12142S S +=或21142S S -=．【点睛】本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图像交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数性质．。
反比例函数与几何的重要结论与证明.doc
反比例函数与几何的重要结论与证明
反比例函数与几何综合的处理思路 1. 从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特征与几何特征综合在一起进行研究．2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用．
反比例与面积问题
线段等量关系
平行关系
证明１
由反比例函数的几何性质有SΔOAD=SΔOCB
SΔOCD=SOBCD-SΔOBC=SOBCD-SOAD=S梯形ABCD 证明２
辅助线是关键
分别过Ｂ、Ｃ两点，作x、y轴垂线，连接ＢＥ和ＣＦ因为ＢＦ平行于Ｙ轴，所以ＳΔＢＥＦ＝ＳΔＢＦＯ（同底等高）
同理ＣＥ平行于Ｘ轴，所以ＳΔＥＦＣ＝ＳΔＥＣＯ（同底等高）
故ＳΔＥＦＢ＝ＳΔＥＦＣ得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＡＢＦＥ和ＣＤＦＥ都为平行四边形（两组对边
平行）
所以ＡＢ＝ＣＤ
一样的证明思路
过A、D分别作ＸＹ轴的垂线，连接ＡＦ、ＤＥ
SΔDFE=SΔDFO SΔAFE=SΔAEO (同底等高）
所以ＳΔＥＦＡ＝ＳΔＥＦＤ所以得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＥＦＢＡ和ＥＦＤＣ都是平行四边形
所以ＡＢ＝ＣＤ
证明３
同理可得
同样运用同底等高可以证明，相信你也可以的！
以上重要结论在题目中如果能直接使用则可以大大提升做题速度,后面证明中作辅助线的方法在某些大题中可以提供思路和线索.对于一些反比例相关的压轴题还是比较有用的.。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=kxk≠0．其解析式有三种表示方法：①xk y =0≠k ；②1-=kx y 0≠k ；③k xy = 2．反比例函数y=kxk≠0的性质1当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一,三象限内⇔在每一象限内,y 随x 的增大而减小．2当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二,四象限内⇔在每一象限内,y 随x 的增大而增大．3在反比例函数y=kx中,其解析式变形为xy=k,故要求k 的值也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积.4若双曲线y=k x图像上一点a,b 满足a,b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根,求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2,又ab=k,∴k=－2,故双曲线的解析式是y=2x-．5由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零,所以图像和x 轴,y 轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图,点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点,且AB 垂直于x 轴,则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点,且3=∆AOB S ,1求m 的值 2求ABC ∆的面积变式题1、如图所示,点1A ,2A ,3A 在x 轴上,且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线,与反比例函数y=x8x>0的图像交于点1B ,2B ,3B ,分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线,分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图,点A 在双曲线1y x =上,点B 在双曲线3y x=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点,直线AB 交x 轴于M点,交y 轴于N 点,再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点,x BF ⊥轴于F 点,再连结DF 两点,则有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MNxy O例2：如图,一次函数y a x b =+的图象与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,与反比例函数ky x=的图象相交于C ,D 两点,分别过C ,D 两点作y 轴,x 轴的垂线,垂足为E ,F ,连接CF ,DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．把你认为正确结论的序号都填上例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ,与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴,垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴,BD y ⊥轴,垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ,连接CD ．1若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上,如图1,试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． 2若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上,如图2,则AN 与BM 还相等吗 试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图,已知反比例函数ky x=k ≠0,x>0上任意两点P 、C ,过P 做PA ⊥x 轴,交x 轴于点A ,过C 做CD ⊥x 轴,交x 轴于点D,则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图,在直角坐标系中,一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A 1,4、B 4,1两点,则△AOB 的面积是______.例5：如图,在直角坐标系中,一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A 1,4、B 3,m 两点,则△AOB 的面积是______.例6：如图1,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点,且点A 的横坐标为4． 1求k 的值；2如图2,过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点点C 在第一象限且在点A 的左边,当四边形ACBD 的面积为24时,求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中,OB =a ,OA =b ,分别以OB ,OA 所在直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点不与B 、C 重合,过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ,则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示,点P 在ky x=的图象上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图象于点B ,当点P 在ky x=的图象上运动时,以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________把你认为正确结论的序号都填上．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0,则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图,大致是xB FC E A O yA. B. C. D 2、如图,点A 在双曲线xy 6=上,且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴,垂足为c,OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为A.72B.5C.74D.22 3、如图,双曲线xky =k>0经过矩形OABC 的边BC 的中点E,交AB 于点D,若梯形ODBC 的面积为3,则双曲线的解析式为 A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题54、如图,A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点,BC//x 轴,AC//y 轴,ABC ∆的面积记为S,则SA.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示,等腰直角三角形ABC 位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A 在直线y=x 上,其中A 点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC 分别平行于x 轴,y 轴,若双曲线y=kxk≠0与△ABC 有交点,则k 的取值范围是A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图,点A 在双曲线1y x =上,点B 在双曲线3y x=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四DB AyxO C边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .2、如图,双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C,∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB ∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C,B ＇点落在OA 上,则四边形OABC的面积是 . 3、如图,将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中,B 2,0,∠AOB ＝60°,点A 在第一象限,过点A 的双曲线为y = 错误! ,在x 轴上取一点P ,过点P 作直线OA 的垂线l ,以直线l 为对称轴,线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.1当点O ′与点A 重合时,点P 的坐标是 .2设Pt ,0,当O ′B ′与双曲线有交点时,t 的取值范围是 .4、如图,已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为6-,4,则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图,14y x=, 过1y 上的任意一点A ,作x 轴的平行线交2y 于B , 交y 轴于C ,若1AOB S ∆=,则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图,直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点Pa,b,且a,b 是方程t 2－4t －2=0的两个根,则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点,则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点Pa,b,其中a,b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根,那么点P 的坐标是_______． 5、如图,已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ,与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3,则k ＝___．第5题图 第6题图 与反比例函数y=2x的图像6、如图,已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点,点B 在x 轴的负半轴上,且OA=OB,那么△A OB 的面积为 A ．2 B ．22C ．2D ．227、已知P 为函数y=2x的图像上一点,且P 到原点的距离为3,则符合条件的P 点数为 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个AB CD E yx O。
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智谷教育辅导学案Education Change Tlie Future姓 名； 门淇琪 ;年 级 初三性 别1 女讶斗 目数学教师ii 授课时间i15.4.30课时119:00 ・［备课时间；教学课题反比例函数与四边形■ ■■■■■■■■■■（ \ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- -------------------------------------教学目标教学内容 反比例函数kk y 二1-定义：一般地，形如二— y ——兀（R 为常数，的函数称为反比例函数。
兀述可以写成y = kx^}2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数A ,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数殳（也叫做比例系数比）， 分母中含有自变量％,且指数为1・ ⑵比例系数2 0⑶自变量兀的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）k y =—⑵反比例函数的图像是双曲线，X （£为常数，PH °）中自变量XH0,函数值yH°,所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与 坐标轴相交。
智谷教育ZHIGU EDUCATIONQuilin institute Of Zhigu Education皆谷教肓，快乐学习，健康成长One To One⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是尸兀或〉=一“）。
k = —i1• 2k 2+k-2 y ~ --- ・・M = T 时函数y = kjc~ ■为 X 4.5.6. k k y = —y =—⑷反比例函数 兀（R H O ）中比例系数£的儿何意义是：过双曲线 兀（RzO ）上任意“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数k兀中的两个变量必成反比例关系。
反比例函数的应用7. 二、例题【例1】如果函数y=^ 一的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少?，一 k【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数厂匚，（"°）即y =kx ~l（"°）又在第二，四象限内，则RvO 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得:2k 2+k-2 = -lk<Q解得"一1或"丄2k<0引兀轴y 轴的垂线，所得矩形面积为网 反比例函数性质如下表：【例2】在反比例函数〉一一匚的图像上有三点仏，X）,亿，＞?2）,（兀3,儿）。
若%,＞x2＞o＞x3 则下列各式正确的是（）A.儿＞力＞儿B.儿＞丿2＞必C. ）1＞力＞〉'3D. 儿＞〉‘2【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
1 1 1必=一『2=― 儿=一解法一：由题意得 西， 吃，兀3 ・・・兀1 >兀2 >°>兀3,・・・％>”>%所以选A1 y =—解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 兀的图像 描出三个点，满足K ＞吃＞ 0 ＞ ®观察图像直接得到力＞ X ＞力选A 解法三：用特殊值法・•・x.>x 2>0>“,•・・令坷=2» 1內二-1・・・X V ，儿“1，>3二1，・・・>3 > X >力y = mx + n （m 丰0）与反比例函数y =【例3】如果一次函数该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】m y =—【例4】如图，在 WOB 中，点A 是直线y = “ + 〃与双曲线 x 在第一象限的交点，且呼的图像相交于点订'2）,那么•/直线〉，=iwc + 〃与双曲线y =—―— X（\ \湘交于上，2卜 1丄 尹+ "2解得3n - m = 1tn = 2 n = 1・・・直线为y = 2x +1,双曲线为尸丄解方程组＜Xy = 2x +11y =—Xx x = —1 y = j 1-22 -=S A AOBm解：因为直线"X +加与双曲线‘一；过点A,设A 点的坐标为比宀）.m y A =x A +m,y A = —— 则有 心•所以m = x^A,又点A 在第一象限，所以OB = \X A \ = X A ,AB =以| =儿.所以加 三、练习题2 y -—1 •反比例函数 兀的图像位于（）A. 第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限 2 .若儿与兀成反比例，兀与z 成正比例，则歹是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长『cm 与宽兀cmZ 间的函数图彖大致为（）所以S^OB =~°^9=~x Ay y A1———YYI2.而已知 D.第二、四彖限4•某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （ kPa ）是气体体积V （ m3 ）的反比例函数，其图彖如图所示•当气球内气压大于120 kPa 球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应（）5 5 4A、不小于4 m3B、小于4 m3C、不小于5 m3 时,气D、小于5 m3n + 16.关于x 的一次函数y 二-2x+m 和反比例函数y 二兀的图象都经过点A （-2, 1）.求：（1） 一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标;（3） AA0B 的面积.lz7.如图所示，一次函数y = ax + b 的图象与反比例函数y=-的图彖交于A 、B 两点，与x 轴X交于点C.已知点A 的坐标为（一2, 1）,点B 的坐标为（*, m ）.（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；（2） 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.y = 一5. 如图,A 、C 是函数 无的图象上的任意两点，过A 作兀 垂足为B,过C作y 轴的垂线，垂足为D, ill Rt AAOB 的面积 COD 的面积为S2则（）A. SI >S2B. SI <S2C. S1=S2D ・SI 与S2的犬小关系不能确定8.某蓄水池的排水管每小时排水8m3, 6小时可将满池水全部排空.(1)蓄水池的容积是多少？(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q (m3),那么将满池水排空所需的吋间t (h)将如何变化？(3)写出t与Q的关系式.(4)如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？(5)己知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空?・9•某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y (件) 是口销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？m一y ~—10.如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y = kx + b的图象与反比例函数兀的图象交于A(-2, 1)、B(l, n)两点。
⑴求上述反比例函数和一次函数的表达式;⑵求AAOB的面积。
强化练习8.已知y与x-1成反比例，并且x=-2时y = 7,求：（1）求y和x之间的函数关系式；（2）当x=8时，求y的值;⑶y=-2时，x的值。
_ 1+b9.已知网=3,且反比例函数〉'一=的图彖在每个象限内，y随兀的增大而增尢如果点（⑦3）1+by =在双曲线上兀，求a是多少？四边形一.知识框架二.知识概念1•平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定①.两组对边分别相等的四边形是平行四边形②.对角线互相平分的四边形是平行四边形；③.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；©—组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
5.直角三角形斜边上的屮线等于斜边的一半。
6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
AC=BD&矩形判定定理：①.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②.对角线相等的平行四边形是矩形。
③.有三个角是直角的四边形是矩形。
9.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
11•菱形的判定定理：①.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
①四条边相等的四边形是菱形。
12.S菱形=l/2Xab （a、b为两条对角线）13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
正方形既是矩形，又是菱形。
15.正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
16•梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形1&等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
19. 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条刈•角线相等。
20. 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程屮多动手多动脑，把自己的发 现和知识带入做题中。
因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知识的 把握。
2.CABCD 的周长为40cm, AABC 的周长为25cm,则对角线AC 长为(A. 5cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm3•在Z7ABCD 中，ZA=43° ,过点A 作BC 和CD 的垂线，那么这两条垂线的夹角度为（A. 113°B. 115°C. 137° 4. 如图，在口ABCD 中，EF 过对角线的交点O, AB=4, 贝燜边形BCEF 的周长为（ ）A. 8.3B. 9.6C. 12.6D. 13.65. 下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；笫4题舀③在四边形ABCD 中，AB = AD, BC = DC,那么这个四边形ABCD M 平行四边形；④一组对边相等, 一组对角相等的四边形是平行四边形.英中正确命题的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 3个 D. 4个6. —个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（A. 88° , 108° , 88°B.88° , 104° , 108° 7.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（） A.对角相等 B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等8. 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F点处，如果ZBFA=30° ,那么ZCEF 等于（ ） A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°9. 菱形具有而-•般平行四边形不一定具有的特征是（A.对边相等B.对角线互相平分A.平行四边形ABCDC.矩形ABCD C.88° , 92° , 92°D.88° , 92° , 88° 练习题一、选择题l.£7ABCD 中， ZA 比ZB 大 40° ,则ZC 的度数为（) A. 60°B. 70°C.100°D.110°D. 90°AD=3, OF=1.3,D E___ A BC.对角相等D.对角线互相垂直平分10.已知四边形ABCD,顺次连接各边屮点，得到四边形EFGH,添加下列条件能使四边形EFGH成为菱形的是（）B.菱形ABCDD.对角线互相垂直的四边形ABCD11 .正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.对角线互相垂直平分B.内角之和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角 12.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ） A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形二、填空题 13.OABCD 中，两邻边的差为4cm,周长为32cm,则两邻边长分别为 ________________ 14. 平行四边形的周长等于56cm,两邻边长的比为3：1,则这个平行四边形较长的 长为 ___________ .15. 若平行四边形的两邻边长分别为12和26,两长边之间的距离为8,则两短边 的距离为 _________ 16. 如图，在OABCD 中，DB = DC, ZA=65° ,CE 丄BD 于 E,则 ZBCE= __________ .17. 三角形的三条中位线长是3cm, 4cm, 5cm,则这个三角形的周长为 ____________ •18. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O,过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F, AB=2, BC = 3.则图中阴彫部分的面积为 ______________ .19. E 点为正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE=连接BE,则ZCBE= _________ 度.20. __________________________________________________ 等腰梯形两底Z 差等于一腰长，则这个等腰梯形的锐角是 _______________________________________________ 度.三、解答题21. 如图，点己是口ABCD 的边AD 延长线上一点，若BC = 3, 口ABCD 的面积是8,求：=?22. 求证：顺次连接矩形各边屮点的四边形是棱形.23. 如图，口ABCD 中，AE 平分ZBAD 交BC 于点E, CF 平分ZBCD 交AD 于点F,求证：四边形AECF 是平行四边形. 厂D 第21题图24•如图，在四边形ABCD 中，AD〃BC, AB = DC = AD,25•己如如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足ZABE=ZCBP, BE= BP.求证：(l)ACPB^AAEB； (2)PB丄BE.。