高等数学上期末复习

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高数期末必考知识点总结大一

高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。

本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。

一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。

2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。

3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。

2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。

4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。

2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。

3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。

4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。

四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。

3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。

五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。

2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。

综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。

在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。

2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。

3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。

4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。

5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。

7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。

8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。

10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。

2022年《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限2lim()xxx x 的结果是（C ）（A ）0（B ）（C ）12（D ）不存在2、方程3310xx 在区间(0,1)内（B）（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根3、)(x f 是连续函数, 则dx x f )(是)(x f 的（C）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D)全体导函数；4、由曲线)0(sin xx y和直线0y所围的面积是（C ）（A ）2/1 (B) 1(C)2 (D)5、微分方程2x y满足初始条件2|0xy 的特解是 ( D)（A ）3x（B ）331x（C ）23x （D ）2313x6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ）(A))1(ln x x (B))0(1lnxx(C) cos (0)x x(D))2(422xxx 7、极限011lim(sinsin )xx x xx的结果是（C）（A ）0（B ）1（C ）1（D ）不存在8、函数arctan xy ex 在区间1,1上（ A）（A ）单调增加（B ）单调减小（C ）无最大值（D ）无最小值9、不定积分dx xx 12= （D）(A)2arctan xC (B)2ln(1)xC (C)1arctan 2x C (D)21ln(1)2xC10、由曲线)10(xe yx 和直线0y 所围的面积是（ A）（A ）1e(B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dy xy dx的通解为（ B ）（A ）2xy Ce（B ）212x y Ce（C ）Cxy e（D ）2xy Ce12、下列函数中哪一个是微分方程032x y 的解( D )（A ）2xy （B ）3xy（C ）23xy（D ）3xy 13、函数1cos sin xx y 是（ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数；(C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当0x 时，下列是无穷小量的是（ B）（A ）1x e(B))1ln(x (C) )1sin(x (D)1x15、当x时，下列函数中有极限的是（ A）（A ）211x x(B)cosx (C)1xe(D)arctan x16、方程310(0)x px p的实根个数是（B ）（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个17、21()1dxx（ B ）（A ）211x（B ）211Cx（C ）arctan x （D ）arctan x c18、定积分()baf x dx 是（ C）（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数19、函数2ln 1y x x是（ A）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数f x 在区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且0fx ，则( B ) (A)00f (B)10f f (C) 10f (D)1f f 21、设曲线221xye，则下列选项成立的是（C）(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近线22、(cos sin )x x dx( D )（A ）sin cos x x C （B ）sin cos x x C（C ）sin cos xxC（D ）sin cos x x C23、数列})1({nnn的极限为（ A）（A ）1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ，则下列式子一定成立的有（ C）(A)()()f x g x (B)()()df x dg x (C)(())(())df x dg x (D)()()1f xg x 26、下列曲线有斜渐近线的是( C )(A)sin y x x (B)2sin yxx(C)1sinyx x(D)21sinyxx二、填空题1、21cos lim x x x122、若2)(2xex f ，则)0('f 23、131(cos 51)x x x dx 2 4、dxe tte xC5、微分方程0y y满足初始条件|2xy 的特解为2xy e6、224lim 3x xx 07、极限42lim222xxxx 438、设sin 1,y x x 则()2f 19、11(cos 1)x x dx210、231dx x3arctan x C11、微分方程ydyxdx 的通解为22yxC12、1415x dx 213、sin2limxxx x114、设2cos y x ，则dy22sin x x dx15、设cos 3,y x x则()f -116、不定积分xxdee Cx2e 2117、微分方程2xye的通解为212xyeC22222222222111120,201122xxxxx xxdy y y e y edy e dx dx ydy e dxe C yy x yCe ye y代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x yln 的通解是xyeC19、xxx3)21(lim ＝6e20、,xyx y设函数则(ln 1)xx x 21、)21(lim 222nn nnn的值是1222、3(1)(2)lim23xx x x xx1223、,xyx dy设函数则(ln 1)xx x dx24、2231lim4xx x x1425、若2()sin6xf x e，则)0('f 226、25(1sin )a ax dx2().a 为任意实数27、设ln(1)xye ，则微分dy______1xx e dx e__________.28、3222(cos )d 1xxxx2三、解答题1、（本题满分9分）求函数162yx x 的定义域。

高等数学高数期末总复习题

高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（）。

A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（）。

A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（）。

A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在，则ｋ＝，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2）内（）。

《高等数学(一)》期末复习题(答案)

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数（B) 偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小（B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小（D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时，下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是（ B ）.（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ）（D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数（D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减（B)在（+∞,1e）内单调递减（C ）在（0，+∞）内单调递减（D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ）（B ）（C ）（D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减（B)在(,0)-∞内单调递减（C ）在(,0)-∞内单调递增（D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导（C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）．（A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点（C) 无穷间断点（D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点（B) 跳跃间断点（C) 无穷间断点（D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导（B) 不连续且不可导（C) 不连续但可导（D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导（B) 不连续且不可导（C) 不连续但可导（D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小（B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小（D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数（B ）是偶函数，非奇函数（C ）既非奇函数，又非偶函数（D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数（B) 奇函数（C)偶函数（D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导；（B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导；（C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续；（D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

《高等数学一》期末复习题及答案

高数(上)期末复习重点

高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。

〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。

《高等数学》(第一学期)期末试题

《高等数学》（第一学期）期末试题一、选择题（每小题4分，共24分）1、f(x)＝|x|在x ＝０处（）A 连续且可导B 不连续不可导C 连续但不可导D 可导但不连续 2、下列命题中，不正确的是A /()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ B /()()f x dx f x c =+⎰ C /()0ba f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ D ()()f x dx F x c =+⎰，其中/()()F x f x = 3、如果直线(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则a = （）A 0B 2C －2D ±24、0sin 3sin 2limx xx→= （）A 23B 32C 0D 不存在 5、已知/(4)3f =，则0(42)(4)limh f h f h→+-= （）A 3 B23C 6D 9 6、下列方程中是微分方程的是（）A 2350y x -+= B /43y x =+C 21y x =-D cos 0xdx =⎰二、填空题（每小题3分，共33分）7、1(1)lim x x x→∞+= 。

8、2221332lim n n n n n →∞+-=++ 。

9、若224y x x =+-，则在点（1，－1）处的切线方程为。

10、若生产某种产品x 件的成本函数为2()0.15200C x x x =++，则边际成本函数为。

11、某种汽车刹车后运动规律为319.20.4s t t =-，假设汽车作直线运动，则汽车在t = 4s 时的速度为，加速度为。

12、y = 。

13、若sin 2x y e =，那么dy = . 14、微分方程22()24x y y x e '+=的阶数为。

15、微分方程0xy y '+=的通解为。

16、221x dx x=+⎰ 。

17、120(1)x dx -=⎰ 。

三、解答题：（18—22小题每小题7分，23小题8分，共43分） 18、求函数32391y x x x =--+单调区间与极值19、求32321y x x x =-+-的凹凸区间与拐点20、求320sin cos x x dx π⎰.21、求sin x e xdx ⎰.22、求方程30xy y '+=满足初始条件1|2x y ==的特解.23、求由1y x=，y x =，2x =，0y =围成的图形面积.。

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edx[
xedxdx C]
ex[ xexdx C] ex (xex ex C) Cex x 1
由 ② 得 C = 2, 因此所求曲线方程为 y 2ex x 1.
16. 设函数(x) 连续,且满足 (x) ex
x
(t x)(t)dt
0
解
(x) ex
x
t(t)dt x
D:x2 y 2 R2
(r 2 sin2 r cos R2 r 2 )rddr
D:00rR2 ,
(r3 sin2 ddr r2 cos R2 r2 ddr
D:00rR2 ,
D:00rR2 ,
2 sin 2 d R r3dr
2
cosd
R
r2
R2 r 2 dr
0
0
0
0
注意： 2 sin 2 d 4 2 sin 2 d 4 ,
2(1 3 1 ) 256 32 .
2 2 4 2 2 15 15
x2 y2 4 D : x2 y2 4
5.计算
其中L为圆周
解参数方程计算, 则
y
o
d s x2 y2 d t
t ax
第二型曲线积分的计算
1. 直接计算法
2. 利用格林公式化为二重积分计算
格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则
df (x) 1 f (x) 1. dx 2x
f(x)
e-
1 dx 2x
(C
1 e
1 dx
2x dx)
- 1 ln x
e 2 (C
1 ln x
e 2 dx)
1
- ln x
e 2 (C
1
x 2 dx)
-1
x 2 (C
2
3
x2)
-1
Cx 2
2
x.
3
3
代入初始条件f(1)=1,得 C 1 ,所以 3
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
yd
z
c
20 d
z Dz
d
xd
x y
c
ab(1
0
z c
2 2
)
d
z
4
3
abc
解法2 利用三重积分换元法. 令
x ar sin cos , y br sin sin , z cr cos
则
J
(x, y, z)
(r, , )
abcr 2
sin ,
:
0 r 1
0
0 2
V d x d y d z J d d dr
1 2 0, 3, 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
14. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: 5 4 0, 特征根 : 1 2 3 4 0, 5 1
原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex (不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
dp 2xdx, p2
1 p
x2
C1 ,
代入f (0) 1,得C1 1,所以
1 1 x2, p
f
(
x)
1
1 x
2
.
再积分，得
f (x) arctan x C2 , 代入f(0)=1,得C2=1,所求函数
f (x) arctanx 1.
13.
的通解.
解: 特征方程 4 2 3 5 2 0, 特征根:
abc r 2 sin d d dr
abc 2 d sin d 1r 2 d r Nhomakorabea4 abc
0
0
0
3
4 .求三重积分
I (x2 y2z)dv
其中是由曲面 2z x2 y2及平面z 2围成.
z 2
o x
y
解 (x, y, z) | x2 y2 4, 1 (x2 y2 ) z 2}.
y
C
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
D
L
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
B o Ax
(利用格林公式)
7. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
I (ex sin y 2y) d x (ex cos y 2)d y L
y L
D
L AB AB
2cos
y
4cos
解 f (x, y)d f ( cos, sin )dd
D
D
o
x
4cos
2
d
2cos
f ( cos, sin ) d
2
x2 y2 2x x2 y2 4x
3. 试计算椭球体
解法1 利用“先二后一”计算.
的体积 V.
c z Dz
z
a
by
V
d
xd
x2 y2
x2 y2 4
e2
x
dxdy
x2 y2
2 d 0
2 er rdr 1r
2
d
0
1 e rdr 0r
2
d
2 e2 rdr 2e2.
0
0r
s1
y
s2
10.
求微分方程dy dx
1
x
y2
xy 2
满足初始条件y
|x0
1的解
解原方程化为 dy (1 y 2 )(1 x), 分离变量 ,得 dx
6. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x
a
a
x2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
15.一曲线在点(x, y)处的斜率等于 x y,且经过点(01), 试求
该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy x y
①
dx
y x0 1
②
由 ① 得 d y y x, dx
p(x) 1,Q(x) x,
y
e
pdx[
Qe pdxdx C]
S
Dxy
（上侧正下侧负）
光滑曲面
前侧
（单值）
后侧
P( x, y, z)d y d z P( x( y, z), y, z)d y d z
S
D yz
(前侧正后侧负)
光滑曲面
右侧
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x左侧
S
D z x (右侧正左侧负)
y x0 1
①
② (C为任意常数)
[2ex x 1].
11. 设曲线积分 yf (x)dx [2xf (x) x2 ]dy在右半平面(x 0)内与路径 L
无关,其中f (x)可导且f (1) 1,求f (x).
解 [由恰当条件 Qx Py列方程解之 ]依题意,有
[yf(x)]y [2xf (x) x2 ]x , 即 f(x) 2f(x) 2xf (x) - 2x,
oA a B x
Q P 2
x y
2d x d y a ex sin 0dx (ex cos 0 2) 0dx
D
0
a2
第二型曲面积分的计算
曲面曲面曲面
上侧,下侧
（上侧正下侧负）前侧,后侧
(前侧正后侧负)
右侧,左侧
小结: 光滑曲面
（单值）
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z( x, y) )d x d y
由于(1)中自由项 f (x) e x , 1不是特征根 ,故设
*(x) aex , * (x) * (x) aex , 代入(*)解得 a 1 ,
2
*(x) 1 ex ,
2
(
x)
C1
cos
x
C2
sin
x
1 2
ex
.
17: 设 (x) ex x 0 x( x u ) d u, (0) 0,
f (x) 2 x 1 . 3 3x
曲线12，.设f曲(x线)在积分(L ,f(x))上 [2x二yf次(x可)d微x ,d且y]f
0, (0)
L为xoy平面上任意按段光滑的闭 1, f (0) 1,求f (x).
解由题设沿闭回路的第二型曲线积分等于零和与路线无关的
定理，知被积函数必满足恰当条件，这里
0
0
4
2
cosd 0.
I 1 R4.
0
4
9.计算
ez dxdy,其中S为锥面z x2 y2
S x2 y2
及平面z 1 及z 2所围成的立体表面外侧 . z s3
解原式
S1 S2 S3
e x2y2 dxdy
x y 2
2
1 x2 y2 4
x2 y2 1
e dxdy
dy 1 y2
(1 x)dx
积分, 得
arctgy x - 1 x2 C, 2
以y
|x0
1代入求得C
4
,
故所求之解为
11.一曲线在点(x, y)处的斜率等于 x y,且经过点(01), 试求