电磁学(梁灿彬)第五章 稳恒电流的磁场
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仿照静电场的研究方法，我们可以把电流 看作是无穷多小段电流的集合。各小段电 流称为电流元，电流元常用矢量 Id 来表 示，某一电流产生的磁场就是各个电流元 在空间产生的磁场迭加的结果。
1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普拉 斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁 场的规律：毕奥—萨伐尔定律（ 以下简称 毕—萨定律），其内容如下： 数学表达式是：
2
R R r
2 2 0
dl
0
2 R2 r 2 0
R I
2
3
2
考虑两个特殊情形：
（1）在圆心处，r0=0,
B
用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁， 磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各 个实验统一起来,概括成这样一个图示：
磁铁 磁铁
磁场
电流
电流
二、物质磁性的起源—安培分子电流假说
由于磁极与电荷之间有某些类似之处，最初曾认 为磁极是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁 荷”，S即由“负磁荷”），并认为磁性起源于
各种矢量场在研究方法上有类似之处，稳 恒磁场的许多基本规律也与静电场对应，可采 用与静电场对比的方法研究稳恒磁场。 二、本章的基本要求 1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义； 2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律，要 掌握其内容，并能熟练应用该定律计算磁感 应强度B；
3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用 安培环路定理计算具有对称性分布的磁场； 4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公 式， 了解安培力和洛仑兹力的关系。
0 I B 4r0
我们在实际中遇到的当然不可能真正是无限 长的直导线。然而若在闭回路中有一段长度 为l的直导线，在其附近 r0 远小于l的范围内 上式近似成立。
2.载流圆线圈轴线上的磁场 解：作对称性分析，得总磁 感应强度 B 沿轴线方向。
A
I
r
r0
P
dB
O
B dB cos
（2）m先回到出发点，依 mV R 得 . qB
R3m 3Rm
，
该题（1）的结果是制造回旋加速器的理论依据， （2）的结论是制造质谱仪的理论依据。
回旋加速器、速度选择器、质谱仪、汤姆孙实验 等等，这些实例不论简单还是复杂，都有一个共 同特点：应用了电荷在电场和磁场中受力的规律。
§3 毕奥—萨伐尔定律 (Biot-Savart’s law)
3.安培实验：通电导线之间有相互作用力，即 电流和电流之间也有相互作用力。
4.磁铁对运动电荷有作用力。电子流从电子射 线管的阴极发射,形成一条电子射线，在旁边放 置一块磁铁，就可以看到电子射线的路径发生 偏转。
大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。 我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电 流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另 外一种场—磁场来传递的。
0 B 4
2
1
I sin d 0 I cos cos 1 2 4r0 r0
1）沿长线上， 1 2 0 , B 0
2）无限长载流导线， 1
0, 2
，则
3）半无限长载流导线，1 , 2
2
0 I B 4r0
例题：两个电荷相同的带电粒子同时射入均匀磁 场中，速度方向均与磁场垂直。（1）如果两粒 子质量相同，速率分别为V和3V，问哪个粒子先 回到出发点？（2）如果两个粒子速率相同，质 量分别为m和3m，问哪个粒子先回到出发点？两 个粒子的轨道半径是否相同？
（1）∵
2m T ，∴两粒子同时回到出发点； qB
B M 最大 / P
即：磁场中某点的磁感应强度 B 是一个矢量，
它的大小等于具有单位磁矩的试探线圈在该点所 受到的最大磁力矩，它的方向与试探线圈在该点 处于平衡位置时的法线方向一致。在国际单位中， 的单位为特斯拉（T）。在实用中有时也用高斯 B （Gs）作为 的单位，1T=104Gs . B 地 球 表 面 附 近 的 地 磁 感 应 强 度 B: 赤道大 约 0.3Gs,两极大约:0.6Gs ； 一般仪表中永久磁铁B：几千高斯； 大型电磁铁产生的B：2T; 用超导材料制成的磁体产生的B更强。
ห้องสมุดไป่ตู้
A
r
dB
0 Idl dB sin 2 4 r
0 Idl 2 , r0 r sin , dB sin 2 2 4 r0
B dB cos
0 I 2 sin cos dl 2 4 r0
0 I r0 2 2 2 4 r0 R r0
实验表明，磁场和电场一样，遵从叠加 原理，即任意载流导线在空间某点的磁 感应强度 B 等于所有电流元在该点的磁 感应强度矢量和。（只有积分，为什 么？） 0 Idl r B dB r3 4
它是一个矢量积分，实际使用时，要化成标 量积分进行计算。
毕—萨定律的应用
这样，上面的图示可简化为：
电流 磁场 电流
注意：无论电荷静止还是运动，它们之 间都存在着库仑相互作用，但是只有运 动着的电荷之间才存在着磁相互作用。
§2 磁感应强度B 磁感应线 (magnetic induction B & magnetic induction line) 一、 磁感应强度 B
任何运动电荷或电流，在周围空间产 生磁场，磁场对外的重要表现是：（1） 磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载 流导体有磁力的作用；（2）载流导体在 磁场内移动时，磁场的作用力将对载流 导体作功。这些表现说明了磁场的物质 性。
磁场的描述是用磁感应强度（由于历史的 原因不叫磁场强度）这一物理量。它的定义方 法有三种：（1）由试探电流元在磁场中受力 来定义；（2）由运动电荷在磁场中所受到的 力来定义；（3）由试探线圈在磁场中受的力 矩来定义。这三种定义是相互等效的，我们现 采用最后一种方式来定义磁感应强度 B 。若 一个线圈的线度充分小，通过的电流I0也很小， 那么这样的载流线圈称为试探线圈。描述载流 线圈的物理量是磁矩，磁矩 P 定义 m ，n 按右手法则确定。 ˆ 为 Pm I0Sn ˆ
一块磁体上磁性特别强的区域，叫做磁极。 任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N） 事实表明磁体不存在独立的N极或S极，但是 有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极与电荷 的基本区别。 近代理论认为可能有独立磁极存在,这种具有 磁南极或磁北极的粒子，叫做磁单极子，但至今 尚未观察到这种粒子
实验表明：同名磁极互相排斥；异名磁 极互相吸引。 在历史上很长一段时期里，磁学和电学 的研究一直彼此独立地发展着，人们曾认为 磁与电是两类截然分开的现象。直至十九世 纪初，一系列重要的发现才打破了这个界限 ，使人们开始认识到电与磁之间有着不可分 割的联系。 下面介绍几个这方面的实验：
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
CH5 稳恒电流的磁场
2010级物理学专业
前言(Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
静止电荷的周围存在着电场 运动电荷周围，不仅有电场，而且还有磁场。 不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也 称为“静磁场”。 稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。 运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又 会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。 本章就是从这两个方面来研究磁场的。
1.奥斯特实验：导线沿南北方向放置，下面有一 可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电 流通过时，磁针在地磁场的作用下沿南北取向. 当导线中通有电流时, 磁针就会发生偏转。上述 实验表明，电流可以对磁铁施加作用力。 2.磁铁对电流（通电导线）也有作用力（水平 直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间，通电后，导 线就会运动）。
1.载流直导线的磁场
I 2 A2
dl
l O
A1
解：任意电流元 Id 产生的 元磁场dB 的方向都一致，只 需求dB 的代数和，
A2
2 1
r
1 r0
dB
0 A Idl sin B dB A r 2 A1 4 l r0ctg r0ctg
二、磁感应线
为了形象的描述磁场的空间分布，按照下面的 规定在空间作出一系列曲线：（1）曲线上任一 点切线方向是该点的磁感应强度B的方向；（2） 通过垂直于B的单位面积上的曲线根数等于该点 B的大小，即曲线密处磁场强，曲线稀处磁场弱。 如此作出的曲线称为磁感应线，它没有起点， 也没有终点。
实验证明:在所有情况下，运动电荷所受磁场 力满足下式： qv B ，称为洛仑兹力。 F 洛仑兹力有两个主要性质： （1）磁场只对运动电荷有洛仑兹力作用 （2 ） 洛 仑 兹 力 对 运 动 电 荷 永 远 不 作 功 （ F v 0 ）. 运用 F qv B 判定力的方向时，不仅要注 意 v 与 B 的叉乘关系，而且要注意电荷q的正负。 当空间某点，除磁场B外还存在电场E时，则 运动电荷受到的合力为. F q（ E v B）
§1 基本磁现象概述 (summary of basic magnetic phenomenon) 一、磁的基本现象
对磁现象的认识很早 最早发现的磁现象：天然磁石吸铁， 我国远在春秋战国时期（公元前六、七世 纪）的古书中已有记载
现在知道, 最早发现的天然磁铁矿矿石的 化学成分是Fe3O4 。近代制造人工磁铁是 把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化， 使之变成暂时的或永久的磁铁。根据需要 可以制成条形、针形、蹄形等各种形状。
磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的 相互作用，通过一系列实验，才逐步认识到“磁 荷是不存在的”。
截流螺线管的行为很象一块磁铁，启发物 理学家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本 源上是一致的？法国科学家安培提出磁性起源 的假说—安培分子电流假说：组成磁铁的最小 单元（磁分子）就是环形电流。
安培认为，任何物质的分子都存在环形电流， 称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的 方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相 当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫 无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显 磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较 有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强， 整个物体就会显示出磁性。 安培的分子电流的想法基本上是正确的，近 代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子 自旋和电子的轨道运动合成的结果。
2
（3）磁矩 P 不同的载流线圈（ S 不同或 I 0 不 m
同，或两者都不相同的线圈），在同一磁场中的 同一点处受到最大磁力矩 M 最大 不同， 但是其 比值 M 最大 / P却是相同的。
这就是说，比值与试探线圈本身的性质无关， 仅与线圈所在位置有关，因此这个比值反映了 该点磁场 的性质。比值大，表示该点的磁 B 场强，比值小，表示该点磁场弱，所以定义磁 感应强度 的大小为： B
ˆ 0 Idl r dB 2 4 r
式中 dB 是电流元
Id 在场中任一点P产生的磁 ˆ 感应强度， r 为由 Id 指向P点的单位矢量, 0 称为真空磁导率，是一个有量纲的常数
0 4 10 T m A
7
1
毕奥—萨伐尔定律是一个实验定律，它是由一些 简单的、典型的载流导体所产生的磁场为基础， 经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得 出的，事实上，也不可能得到单独的电流元。
实验表明： （1）试探线圈（即载流小线圈）在磁场中受到 力矩的作用而发生转动，线圈转动到某一位置 时，磁力矩为零，这一位置称为线圈的平衡位 置。规定：当线圈处于平衡位置时，线圈的法 线方向（磁矩 P 的方向）为该点的磁场方向， m 这样规定的磁场方向与一个放置在该点的小磁 针的北极N的指向一致； （2）载流线圈在磁场中所受的磁力矩M的大小 与线圈相对于磁场的取向有关，当线圈从平衡 位置转过 时，线圈所受磁力矩最大；
1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普拉 斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁 场的规律：毕奥—萨伐尔定律（ 以下简称 毕—萨定律），其内容如下： 数学表达式是：
2
R R r
2 2 0
dl
0
2 R2 r 2 0
R I
2
3
2
考虑两个特殊情形：
（1）在圆心处，r0=0,
B
用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁， 磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各 个实验统一起来,概括成这样一个图示：
磁铁 磁铁
磁场
电流
电流
二、物质磁性的起源—安培分子电流假说
由于磁极与电荷之间有某些类似之处，最初曾认 为磁极是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁 荷”，S即由“负磁荷”），并认为磁性起源于
各种矢量场在研究方法上有类似之处，稳 恒磁场的许多基本规律也与静电场对应，可采 用与静电场对比的方法研究稳恒磁场。 二、本章的基本要求 1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义； 2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律，要 掌握其内容，并能熟练应用该定律计算磁感 应强度B；
3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用 安培环路定理计算具有对称性分布的磁场； 4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公 式， 了解安培力和洛仑兹力的关系。
0 I B 4r0
我们在实际中遇到的当然不可能真正是无限 长的直导线。然而若在闭回路中有一段长度 为l的直导线，在其附近 r0 远小于l的范围内 上式近似成立。
2.载流圆线圈轴线上的磁场 解：作对称性分析，得总磁 感应强度 B 沿轴线方向。
A
I
r
r0
P
dB
O
B dB cos
（2）m先回到出发点，依 mV R 得 . qB
R3m 3Rm
，
该题（1）的结果是制造回旋加速器的理论依据， （2）的结论是制造质谱仪的理论依据。
回旋加速器、速度选择器、质谱仪、汤姆孙实验 等等，这些实例不论简单还是复杂，都有一个共 同特点：应用了电荷在电场和磁场中受力的规律。
§3 毕奥—萨伐尔定律 (Biot-Savart’s law)
3.安培实验：通电导线之间有相互作用力，即 电流和电流之间也有相互作用力。
4.磁铁对运动电荷有作用力。电子流从电子射 线管的阴极发射,形成一条电子射线，在旁边放 置一块磁铁，就可以看到电子射线的路径发生 偏转。
大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。 我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电 流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另 外一种场—磁场来传递的。
0 B 4
2
1
I sin d 0 I cos cos 1 2 4r0 r0
1）沿长线上， 1 2 0 , B 0
2）无限长载流导线， 1
0, 2
，则
3）半无限长载流导线，1 , 2
2
0 I B 4r0
例题：两个电荷相同的带电粒子同时射入均匀磁 场中，速度方向均与磁场垂直。（1）如果两粒 子质量相同，速率分别为V和3V，问哪个粒子先 回到出发点？（2）如果两个粒子速率相同，质 量分别为m和3m，问哪个粒子先回到出发点？两 个粒子的轨道半径是否相同？
（1）∵
2m T ，∴两粒子同时回到出发点； qB
B M 最大 / P
即：磁场中某点的磁感应强度 B 是一个矢量，
它的大小等于具有单位磁矩的试探线圈在该点所 受到的最大磁力矩，它的方向与试探线圈在该点 处于平衡位置时的法线方向一致。在国际单位中， 的单位为特斯拉（T）。在实用中有时也用高斯 B （Gs）作为 的单位，1T=104Gs . B 地 球 表 面 附 近 的 地 磁 感 应 强 度 B: 赤道大 约 0.3Gs,两极大约:0.6Gs ； 一般仪表中永久磁铁B：几千高斯； 大型电磁铁产生的B：2T; 用超导材料制成的磁体产生的B更强。
ห้องสมุดไป่ตู้
A
r
dB
0 Idl dB sin 2 4 r
0 Idl 2 , r0 r sin , dB sin 2 2 4 r0
B dB cos
0 I 2 sin cos dl 2 4 r0
0 I r0 2 2 2 4 r0 R r0
实验表明，磁场和电场一样，遵从叠加 原理，即任意载流导线在空间某点的磁 感应强度 B 等于所有电流元在该点的磁 感应强度矢量和。（只有积分，为什 么？） 0 Idl r B dB r3 4
它是一个矢量积分，实际使用时，要化成标 量积分进行计算。
毕—萨定律的应用
这样，上面的图示可简化为：
电流 磁场 电流
注意：无论电荷静止还是运动，它们之 间都存在着库仑相互作用，但是只有运 动着的电荷之间才存在着磁相互作用。
§2 磁感应强度B 磁感应线 (magnetic induction B & magnetic induction line) 一、 磁感应强度 B
任何运动电荷或电流，在周围空间产 生磁场，磁场对外的重要表现是：（1） 磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载 流导体有磁力的作用；（2）载流导体在 磁场内移动时，磁场的作用力将对载流 导体作功。这些表现说明了磁场的物质 性。
磁场的描述是用磁感应强度（由于历史的 原因不叫磁场强度）这一物理量。它的定义方 法有三种：（1）由试探电流元在磁场中受力 来定义；（2）由运动电荷在磁场中所受到的 力来定义；（3）由试探线圈在磁场中受的力 矩来定义。这三种定义是相互等效的，我们现 采用最后一种方式来定义磁感应强度 B 。若 一个线圈的线度充分小，通过的电流I0也很小， 那么这样的载流线圈称为试探线圈。描述载流 线圈的物理量是磁矩，磁矩 P 定义 m ，n 按右手法则确定。 ˆ 为 Pm I0Sn ˆ
一块磁体上磁性特别强的区域，叫做磁极。 任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N） 事实表明磁体不存在独立的N极或S极，但是 有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极与电荷 的基本区别。 近代理论认为可能有独立磁极存在,这种具有 磁南极或磁北极的粒子，叫做磁单极子，但至今 尚未观察到这种粒子
实验表明：同名磁极互相排斥；异名磁 极互相吸引。 在历史上很长一段时期里，磁学和电学 的研究一直彼此独立地发展着，人们曾认为 磁与电是两类截然分开的现象。直至十九世 纪初，一系列重要的发现才打破了这个界限 ，使人们开始认识到电与磁之间有着不可分 割的联系。 下面介绍几个这方面的实验：
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
CH5 稳恒电流的磁场
2010级物理学专业
前言(Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
静止电荷的周围存在着电场 运动电荷周围，不仅有电场，而且还有磁场。 不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也 称为“静磁场”。 稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。 运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又 会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。 本章就是从这两个方面来研究磁场的。
1.奥斯特实验：导线沿南北方向放置，下面有一 可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电 流通过时，磁针在地磁场的作用下沿南北取向. 当导线中通有电流时, 磁针就会发生偏转。上述 实验表明，电流可以对磁铁施加作用力。 2.磁铁对电流（通电导线）也有作用力（水平 直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间，通电后，导 线就会运动）。
1.载流直导线的磁场
I 2 A2
dl
l O
A1
解：任意电流元 Id 产生的 元磁场dB 的方向都一致，只 需求dB 的代数和，
A2
2 1
r
1 r0
dB
0 A Idl sin B dB A r 2 A1 4 l r0ctg r0ctg
二、磁感应线
为了形象的描述磁场的空间分布，按照下面的 规定在空间作出一系列曲线：（1）曲线上任一 点切线方向是该点的磁感应强度B的方向；（2） 通过垂直于B的单位面积上的曲线根数等于该点 B的大小，即曲线密处磁场强，曲线稀处磁场弱。 如此作出的曲线称为磁感应线，它没有起点， 也没有终点。
实验证明:在所有情况下，运动电荷所受磁场 力满足下式： qv B ，称为洛仑兹力。 F 洛仑兹力有两个主要性质： （1）磁场只对运动电荷有洛仑兹力作用 （2 ） 洛 仑 兹 力 对 运 动 电 荷 永 远 不 作 功 （ F v 0 ）. 运用 F qv B 判定力的方向时，不仅要注 意 v 与 B 的叉乘关系，而且要注意电荷q的正负。 当空间某点，除磁场B外还存在电场E时，则 运动电荷受到的合力为. F q（ E v B）
§1 基本磁现象概述 (summary of basic magnetic phenomenon) 一、磁的基本现象
对磁现象的认识很早 最早发现的磁现象：天然磁石吸铁， 我国远在春秋战国时期（公元前六、七世 纪）的古书中已有记载
现在知道, 最早发现的天然磁铁矿矿石的 化学成分是Fe3O4 。近代制造人工磁铁是 把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化， 使之变成暂时的或永久的磁铁。根据需要 可以制成条形、针形、蹄形等各种形状。
磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的 相互作用，通过一系列实验，才逐步认识到“磁 荷是不存在的”。
截流螺线管的行为很象一块磁铁，启发物 理学家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本 源上是一致的？法国科学家安培提出磁性起源 的假说—安培分子电流假说：组成磁铁的最小 单元（磁分子）就是环形电流。
安培认为，任何物质的分子都存在环形电流， 称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的 方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相 当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫 无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显 磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较 有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强， 整个物体就会显示出磁性。 安培的分子电流的想法基本上是正确的，近 代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子 自旋和电子的轨道运动合成的结果。
2
（3）磁矩 P 不同的载流线圈（ S 不同或 I 0 不 m
同，或两者都不相同的线圈），在同一磁场中的 同一点处受到最大磁力矩 M 最大 不同， 但是其 比值 M 最大 / P却是相同的。
这就是说，比值与试探线圈本身的性质无关， 仅与线圈所在位置有关，因此这个比值反映了 该点磁场 的性质。比值大，表示该点的磁 B 场强，比值小，表示该点磁场弱，所以定义磁 感应强度 的大小为： B
ˆ 0 Idl r dB 2 4 r
式中 dB 是电流元
Id 在场中任一点P产生的磁 ˆ 感应强度， r 为由 Id 指向P点的单位矢量, 0 称为真空磁导率，是一个有量纲的常数
0 4 10 T m A
7
1
毕奥—萨伐尔定律是一个实验定律，它是由一些 简单的、典型的载流导体所产生的磁场为基础， 经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得 出的，事实上，也不可能得到单独的电流元。
实验表明： （1）试探线圈（即载流小线圈）在磁场中受到 力矩的作用而发生转动，线圈转动到某一位置 时，磁力矩为零，这一位置称为线圈的平衡位 置。规定：当线圈处于平衡位置时，线圈的法 线方向（磁矩 P 的方向）为该点的磁场方向， m 这样规定的磁场方向与一个放置在该点的小磁 针的北极N的指向一致； （2）载流线圈在磁场中所受的磁力矩M的大小 与线圈相对于磁场的取向有关，当线圈从平衡 位置转过 时，线圈所受磁力矩最大；