北京四中数学必修一【知识讲解】1.1集合的含义及表示(提高)

集合及集合的表示（B层）

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系．

2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．

【要点梳理】

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.

要点一、集合的有关概念

1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.

3．关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

4．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A

?

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A

5．集合的分类

(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?.

(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.

(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.

6．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

要点二、集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，

3x+2，5y3-x，x2+y2}，….

3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大

括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条

封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法.

如下图，就表示集合{}

1,2,3,4.

【典型例题】

类型一：集合的概念及元素的性质

例 1 集合A由形如(,)

m m Z n Z

+∈∈A中的元素？

答案：是

解析：由分母有理化得，2

=+.由题中集合A可知2,1,

m n

==均有

,m Z n Z ∈∈，∴2A

A . 点评：（1）解答本题首先要理解∈与?的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的

A 中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.

举一反三：

【变式1】设Z}∈

(1)若a ∈Z ，则是否有a ∈S ？

(2)对S 中任意两个元素x 1，x 2，则x 1+x 2，x 1·x 2，是否属于集合S ？

解：(1)若a ∈Z ，则有a ∈S ，即n=0时，x ∈Z ，∴a ∈S ；

(2)?x 1，x 2∈S ，则1112221122x =m ,x =m (m ,n ,m ,n Z)∈

1212121212())(,)x x m m n n S m m Z n n Z ∴+=++∈+∈+∈

12112212121221x x =(m )(m )=m m +2n n n +m n )??

∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴m 1m 2+2n 1n 2∈Z ，m 1n 2+m 2n 1∈Z

∴x 1·x 2∈S.

类型二：元素与集合的关系

例2.用符号“∈”或“?”填空．

(1)||4}x x x x <>；

(2)223___{|1}5___{|1}N N x x n n x x n n ++=+∈=+∈，， ，；

(3)22

(11)

___{|}(11)___{()|}.y y x x y y x -=-=，， ，， 解析：给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a A ∈，或者a A ?，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.

(1) 23{|x x =>∴<；

324{|4}x x =>=∴>，；

(2)令2

31n =+，则23{|1}N N n x x n n ++=∴?=+∈，，；

令251n =+，则2225{|1}N N n x x n n ++=±∈∴∈=+∈，其中，，； (3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x 2，

∴22

(11)

{|}(11){()|}.y y x x y y x -?=-∈=，， ，， 点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的

解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合2{|1}N x x n n +=+∈，这个“口袋”中是装了些x 呢？还是装了些n 呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x 具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合2{|}y y x =这个“口袋”是由y 构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合2{()|}x y y x =，是由抛物线2

y x =上的所有点构成的，是一个点集.

举一反三：

【变式1】 用符号“∈”或“?”填空 （1）若A=Z ,则12

-

A ；-2 A . （2）若{}2

B |210,x x x =--=则12- B ；-2 B . 答案：

（1）?，∈ （2）∈，?

类型三：集合中元素性质的应用

例 3.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对（a,b ）,在S 中唯一确定的元素*a b 与之对应），若对任意的,a b S ∈，有*(*)a b a b =，则对任意的,a b S ∈，下列等式中不恒成立的是（ ）

A. (*)*a b a a =

B. [*(*)]*(*)a b a a b a =

C. *(*)b b b b =

D. (*)*[*(*)]a b b a b b =

答案： A

解析：抓住本题的本质(*)*a b a b =恒成立. ,a b 只要为S 中元素即可有*a b S ∈. B 中由已知即为*(*)b a b a =符合已知条件形式.C 中a b =即可. D 中*a b 相当于已知中的a 也正确.只有A 不一定正确.

点评：本题应紧紧抓住关系式(*)*a b a b =，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.

举一反三：

【变式1】定义集合运算：{}|(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈.设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为

A. 0

B. 6

C. 12

D. 18

答案： D

解析：{}|(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，∴当{}{}0,1,2,3A B ==时，

{}0,6,12A B =，于是A B 的所有元素之和为0+6+12=18. 点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.

例4. 6M={a Z,|N}5-a

∈∈，则M=( ) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}

答案：D

解析：集合中的元素满足是整数，且能够使

65-a 是自然数，所以0665-a ≤≤ 由a ∈Z ，所以-1≤a≤4

当a=-1时，16=N 5-(-1)

∈符合题意； 当a=0时，

65

?6=N 5-0不符合题意； 当a=1时，63512?-=N 不符合题意；

当a=2时，

652

=2N ∈-符合题意； 当a=3时，6=3N 5-3

∈符合题意； 当a=4时，6=6N 5-4∈符合题意. 故a=-1，a=2，a=3，a=4为M 中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D 正确.

■高清课程：集合的表示及运算 例1

例5. 设集合A ={x R ∈|2210ax x ++=}，当集合A 为单元素集时，求实数a 的值. 答案：0，1

解析：由集合A 中只含有一个元素可得，方程ax 2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：

当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.

当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a 的值，可求得为a=1.故a 的取值为0，1.

例6.已知集合{}

222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值及集合A . 答案：0a =，{}1,2,3A =

解析：（1）若21,a +=则1a =-.

所以{}1,0,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则1a =-应舍去.

（2）若2(1)1a +=，则0a =或2a =-，

当0a =时，{}2,1,3A =满足题意；

当2a =-时，{}0,1,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则2a =-应舍去.

（3）若2331++=a a ，则1a =-或2a =-，由上分析知1a =-与2a =-均应舍去. 综上，0a =，集合{}1,2,3A =.

点评：本题中由于1和集合A 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.

举一反三：

【变式1】已知集合{}

22,2A a a =++，3A ∈，求实数a 的值

答案：1a =-

解析：当21a +=，即1=-a 时，{}1,3=A ，满足题意；

当223,a +=即1a =±，1a =时，{}3,3A =，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去， 1a =-时， 由上面知，满足题意

故 1a =-

例7．设A 是实数集，且满足条件：若,1a A a ∈≠，则

11A a ∈-. （1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；

（2）集合A 不可能是单元素集；

（3）集合A 中至少有三个不同的元素.

答案：（1）11,2

- （2）略 （3）略 解析：（1）若2A ∈，则

1112A =-∈-，于是111(1)2A =∈--，故集合A 中还含有11,2-两个元素.

（2）若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴11a a ≠-，∴a 与11a

-都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集. （3）由已知1111111a a A A A a a a

-∈?∈?=∈----.现只需证明11a a a a --1-、、三个数互不相等. ①若2110,1a a a a =

?-+=-方程无解，∴11a a

≠-； ②若2110a a a a a -=?-+=-，方程无解，1a a a

-∴≠-； ③若211101a a a a a -=?-+=--，方程无解，111a a a -∴≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素.

点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.

类型四：集合的表示方法

例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程2

30x -=的所有实数根组成的集合；

(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.

答案：-；{}16,17,18,19,20,21,22,23,24。 解析：(1)设方程230x -=的实数根为x ，并且满足条件2

30x -=

因此，用描述法表示为2{|30}A x x x =-=∈R ，；

方程230x -=

因此，用列举法表示为A =. (2)设大于15小于25的整数为x ，它满足条件Z x ∈，且15

因此，用描述法表示为{|1525}B x x x =<<∈Z ，；

大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，

因此，用列举法表示为{}16,17,18,19,20,21,22,23,24B =.

点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.

（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.

（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.

举一反三：

【变式1】用列举法表示集合：

(1)A={x ∈R |(x-1)(x+2)(x 2-1)(x 3

-8)=0}

(2)B={(x ，y)|x+y=3， x ∈N ， y ∈N }

(3)C={y|x+y=3，x ∈N ， y ∈N } (4)??

???????????-===x y x y )y ,x (D (5)?

?????

???-===x y x y x M

(6)P={x|x(x-a)=0， a ∈R }

解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.

(1)A={1，-2，-1，2}

(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}

(3)C={0，1，2，3}

(4)D={(0，0)}

(5)M={0}

(6)当a ≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.

点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母a ∈R ，需要分类讨论.

【变式2】用适当的方法表示下列集合：

（1）比5大3的数；

（2）方程2246130x y x y +-++=的解集；

（3）二次函数210y x =-的图象上的所有点组成的集合。

答案：（1）{}8；（2）{}(2,3)-；（3）{}

2(,)|10x y y x =-。

解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{}8。

（2）方程2246130x y x y +-++=可化为22(2)(3)0x y -++=， 2,3,

x y =?∴?=-?∴方程的解集为{}(2,3)-。 （3）用描述法表示为{}

2(,)|10x y y x =-。

点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。