九年级数学上-一元二次方程知识点复习-北师大版
考点一：一元二次方程的定义
考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a ≠0设计陷阱。
基础知识：
(1)只含有_________未知数,,并且未知数的最高次数是____的______方程,叫一元二次方程, 一元二次方程的解也叫一元二次方程的_______.
(2) 一元二次方程的一般形式为__________________________.
例1．（1）方程12m 21)x +(m --m +7x-m=0是一元二次方程，则m=
（2）若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0的常数项为0，则m 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
例2.（1） 若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______.
（2） 若b （b ≠0）是关于x 的方程2x2+cx+b=0的根，则2b ＋c 的值为 .
（3）.（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a 是一元二次方程x2+5x ﹣m=0 的一个根，则a 的值是 ．
考点二:一元二次方程的解法
一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。
对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。
基础知识填空：
(1) 解一元二次方程的基本思路是将__________化为_________(即_________)。
(2) 解一元二次方程的基本方法有_______,_______,________,________等.
(3) 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式为 . 例3．用适当的方法解一元二次方程
（1） x 2=3x (2)(x-1)2=3 (3)x 2-2x-99=0 (4)2x 2+5x-3=0
（5）3x(x-1)=2-2x (6)2x+6=(x+3)2
例4．若（a+b ）2-2(a+b)-3=0,则a+b= .
(x 2+y 2)2-4(x 2+y 2) -5=0,则x 2+y 2 = 。
例5、用配方法解方程x2+8x-9=0时，此方程可变为（）
考点三:一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式可以用来：(1)不解方程，判断根的情况；(2)利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”，“有两个相等实数根”，“有两个不相等实数根”等关键性的字眼。
基础知识：
一般的式子_________________叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。
通常用字母____表示。
当Δ>0 时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有__________;当______时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有___________; 当______时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有_________________.
例6.①一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为.
②.关于x的方程x2-kx+k-2=0的根的情况是.
③.一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是. 变式：若方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________。
例7.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0
①.若方程有两不相等的实数根，则k的取值范围是_______________.
②.若方程的两根是直角三角形的两直角边，且此三角形的斜边为5，则k=________________.
考点四：一元二次方程的根与系数的关系
基础知识：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2和系数a,b,c的关系为： x1+x2= , x1x2=
例8、①关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数，则（）
A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0
②、若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2且满足x1+x2=x1x2.则k的值为（）
（A ）－1或43 （B ）－1 （C ）43 （D ）不存在
③、已知方程x 2+(a-3)x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．
例9、（2014四川成都）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式的值为___________.
例10、已知：关于x 的方程x 2－6x ＋m 2－3m －5＝0的一个根是－1，求方程的另一个根及m 的值。
例11、已知一元二次方程2x 2-4x+1=0的两根为x 1,x 2，试求下列代数式的值。
考点五:一元二次方程应用
解答题（中考链接）
1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m －1＝0。
(1)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。
2. 已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三 边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
3. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
4．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
5．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
6. 在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①．求2012年全校学生人均阅读量；
②．2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
北师大版数学一元二次方程中考复习
第二节 一元二次方程知识点清单.（1）一无二次方程的概念和一般形式形如02=++c bx ax （其中a 、c b 、为常数，a ≠0）的方程为一元二次方程，判断时满足三个条件：（1）方程是整式方程：（2）只含有一个未知数：（3）未知数的最高次是2.二、基础巩固1、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 、 0122=+xx B 、 02=++c bx ax C 、 0)2)(1(=--x x D 、052322=--y xy x 2、方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m ＝ . 3、已知3||=m ，那么关于x 的一元二次方程02)2()3(2=++--x m x m 的解是 .4、一元二次方程02=+-m mx x 有两个相等实数根，则m ＝ .5、已知关于x 的方程02)1(2=---x x a 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 .6、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）.A 、1B 、2C 、1或2D 、07已知关于x 的方程02=++a bx x 有一个根是a -(a ≠0),则b a -的值为 .8、关于x 的一元二次方程013222=+--a x x 的一个根为2，则a 的值是（ ）.A 、1B 、3C 、3-D 、3±9、用配方法解方程0542=--x x 时，原方程应变形为（ ）.A 、9)2(2=-xB 、6)1(2=-xC 、6)1(2=+xD 、6)2(2=+x 10、一元二次方程x x x -=-2)2(的根是（ ）A 、1-B 、2C 、1和2D 、1-和211、方程0142=+-x x 的解为 .12、据调查，某市2011年的房价为4000元/2m ，预计2012年将达到4840元/2m ，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为 .13、如图，将矩形ABCD （AB ＜AD ）沿BD 折叠后，点C 落在点E 处，且BE 交AD 于点F ，若BF ＝5，AB+BC ＝12.则AB 的长为 .三、拓展练习14、在一块长比宽多6米的矩形场地中央建造商店，它周围都留3米宽的路，若使道路的面积与商店面积相等，求商店的长与宽各是多少米？15、两年前，某种化肥的生产成本是2500元/吨，随着生产技术的改进，今年，该化肥的生产成本下降到1600元/吨。
北师大版九年级数学上册一元二次方程的解及其估算
知1－讲
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总结
知1－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
知1－讲
例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( B ) A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
知2－讲
例3 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？ 为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？ 为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？
解：小亮把他的求解过程整理如下：
x
0 0.5 1 1.5 2
x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13
所以1<x<1.5.
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》
知识点归纳
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳
第二章一元二次方程
1.定义：方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3.用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
初中数学北师大版九年级上册《第二章一元二次方程》知识点归纳
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当b2-4ac4、用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
5、一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)有两个实数根
x1x2,那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元复习课件
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
北师大版九年级上册一元二次方程复习课
2.一元二次方程的几种解法
(1)直接开平方法(2)因式分解法
Hale Waihona Puke (3) 配方法(4)公式法
(1)直接开平方法 (2)因式分解法
Ax2=B(A≠0)
1、提取公因式法 2、平方差公式
(3) 配方法 (4)公式法
当二次项系数为1的时候，方程 两边同加上一次项系数一半的平 方
当b-4ac≥0时，x=
b
b2 4ac 2a
A.16 B.18 C.16或18 D.21
11.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值 182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少? 若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是
A.50(1+x) (2+x)=182-50 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+x)×2=182
A、1 B、 -1 C、 1或 -1
D、2或 -1
4.方程2x2-2x-1=0的解是
．
5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2． 则另一根x2及q的值分别是（ ）
A.x2 =1,q=2
B. x2 = -1,q =2
C. x2 =1,q = -2
D. x2 = -1,q = -2
返回
效果检测
2.一元二次方程与几何图形结合
例题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰好
是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长
是
.
效果检测
1.方程x2= 7x 的解是
.
2.对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数
北师大版 九年级上册 第二章 《一元二次方程》(解法)
一元二次方程教学目标1.一元二次方程的概念2.直接开平方法、配方法解一元二次方程3.推导一元二次方程的求根公式，并运用公式法解一元二次方程4.用因式分解法解一元二次方程重点难点灵活选择直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程知识解析1.一元二次方程的概念方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中______是二次项，_____是二次项的系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．2.直接开平方法与配方法①直接开平方：注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且a≠0)。
②通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．③配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边②二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
3.公式法、根的判别式以及根与系数的关系①求根公式的推导用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．解：移项，得____________________________________二次项系数化为1，得___________________________配方，得___________________________即⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac4a 2.提示：这时能不能开方解方程？为什么？当b 2－4ac ＞0时，直接开平方，得____________________________________即x ＝____________________________________∴x 1＝_____________________， x 2＝_______________________.当b 2－4ac ＝0时，方程_________________________________当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根由_______________而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当____________________时，将a ，b ，c 的值代入x ＝－b±b 2－4ac2a就可得到方程的根． （2）_________________________________叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用_______________________解一元二次方程的方法叫公式法．②公式法注意事项及根的判别式（1）在运用求根公式求解时，应先计算b 2－4ac 的值． 当b 2－4ac ≥0时，可以用公式求出两个实数解；当b 2－4ac<0时，方程没有实数解，就不必再代入公式计算了． （2）把方程化为一般形式后，在确定a ，b ，c 时，需注意符号．总结:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可___________来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． 当b 2－4ac ＞0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＝0时，方程有_________________________________； 当b 2－4ac ＜0时，方程_________________________________．③一元二次方程根与系数的关系一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，能得出以下结果： x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ .4.因式分解法当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解为两个 的乘积时，我们就可以采用分解因式法解一元二次方程．典例解析考点一：一元二次方程的概念例1、（一元二次方程的判断）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=0 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A 、5x+3=0B 、x 2-x （x+1）=0C 、4x 2=9D 、x 2-x 3+4=0 1-2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .例2、（一元二次方程一般形式的理解）把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A 、2，-3B 、-2，-3C 、2，-3xD 、-2，-3x【变式1】若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或-1 D 、0【变式2】关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a是一元二次方程，则a 的值是（ ）A 、a=±2B 、a=-2C 、a=2D 、a 为任意实数【变式3】把方程2(x 2+1)=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ） A 、8 B 、9 C 、-2 D 、-1 【变式3】方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 。
九年级数学上册第二章一元二次方程复习新版北师大版
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
行途中侦察船能否侦察到这艘
军舰 ?如果能,最早何时能侦察
●B
到?如果不能,请说明理由.
解: 设电子侦察船最早需要 x小时能侦察到军舰 ,根据题意,得
(90 30 x)2 202 502. 北
整理得:
A
东
13x2 54x 56 0.
●B
解得:
●B
28
x1
2;
x2
. 13
答 :电子侦察船最早能在2h时能侦察到军舰.
第二章 一元二次方程 复习
定义及一般形式:
1.定义 只含有一个未知数,未知数的最高次数二是次___整___
的___式a方x2+程bx,+叫c=做o 一(a≠元o二) 次方程。 一般形式:________________
• [注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为
解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1 =0（用配方法）
3、3x2 4x 7 （用公式法）
4、(2 x 1)2 x2 0
(用因式分解法）
步骤归纳
① 二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
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九年级 数学 上册 北师版
典例导学 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时 间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二 次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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(2)填写下列表格：
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14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
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一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0