2018-2019年上海市复旦附中高三下二模模拟数学试卷及答案

上海市复旦大学附属中学2019届高三数学模拟预测试卷
2019.4.2
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．
1、方程33log (325)log (41)0x x
⋅+-+=的解x = ．
2、已知复数z 满足3
0z z
+
=，则||z = 3、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}
22,,a b a b =，则a b += .
5、袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取 出的球的编号之和为奇数的概率是 （结果用最简分数表示）.
6、已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n n
n
a a n k a +-=-
=-，若
1224,51,0k a a a ===，则k = ．
7、21
lim
1
n n n →+∞+=-
8、ABC ∆所在平面上一点P 满足()
0,PA PC mAB m m +=>为常数，若ABP ∆的面积为6，则
ABC ∆的面积为
9、若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 .
10、设*
n ∈N ，n a 为(4)(1)n
n
x x +-+的展开式的各项系数之和，3
24
c t =
-，t ∈R ，1222555n n n na a a b ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .
11、如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥
，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为
12、把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图()b 的三角形数阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若
2015k a =，则__________.k =
1 1
2 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 ()a ()b 二、选择题（每题5分，共20分）
13、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，
6600，另两位员工数据不清楚。

那么8位员工月工资的中位数不可能是
(A) 5800
(B) 6000
(C) 6200
(D) 6400
14、下列不等式中，与不等式3
02x x
-≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x -->
（C ）
203x x -≥- （D ）30
2
x
x -≥- 15、对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ） A. 若m ∥α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β
C. m ∥α，n ∥α，m 与n 不平行，m 、n 共面于β，则α∥β
D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线
16、对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得
对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：
R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1
是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；
②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，*
*
∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}
A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．
A ．①②；
B ．①③；
C ．①②③；
D ．②③．
三、解答题：（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知长方体1111-A BCD A B C D 的棱长12,1,2===A B BC A A ，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1A CD 的距离．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数(),(0),a
f x x x a x
=+
>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某公园有个池塘，其形状为直角ABC ∆，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米． （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(1)，使得EF//AB ，EF ED ⊥，在DEF ∆内喂食，求当DEF ∆的面积取最大值时EF 的长；
（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(2)，建造DEF ∆连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ∆为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ∆边长的最小值及此时α的值．(精确到1米和0.1度)
A
A F F
20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 设常数t>2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：²8y x
=00x t y ≤≤≥（，）
，l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点。

(1)用t 表示点B 到点F 的距离；
(2)设t=3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
(3)设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，
5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知*
1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.
参考答案
一、填空题
1、4 2 3、-1 4 5、52 6、50 7、2 8、12 9、),21(+∞+ 10、425
11、
4
π
12、1030 13-16、DDCD
17、（1） （218、（1） 结论成立
（2）当0a =时，()y f x =的最小值不存在；当0a <时，()y f x =的最小值为0；
当0a >时，()a
y f x x x
==+≥x =()y f x =的最小值为
19、(1)()max DEF S ∆=．（2）tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈
20.（1）
2BF t =+；（2）12323AQP
S
⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭；(3)5m =
21、（1）316a =．；（2）所以{}n a 不具有性质P ．
（3）“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”。