上海市浦东新区高考数学二模试卷解析版
高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A. B. C. D.2.点P（2，0）到直线，（t为参数，t∈R）的距离为（）A. B. C. D.3.已知点P（x，y）满足约束条件：，则目标函数z=x-y的最小值为（）A. 40B. -40C. 30D. -304.已知f（x）=a|x-b|+c，则对任意非零实数a，b，c，m，方程mf2（x）+nf（x）+t=0的解集不可能为（）A. {2019}B. {2018，2019}C. {1，2，2018，2019}D. {1，9，81，729}二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若集合A={x|x＞5}，集合B={x|x≤7}，则A∩B=______．6.若行列式，则x=______．7.复数的虚部为______（其中i为虚数单位）．8.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作______个三角形（结果用数值表示）．9.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的______倍．10.已知函数f（x）=sin2(x+φ)（φ＞0）是偶函数，则φ的最小值是______．11.焦点在x轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为______．12.已知无穷数列{a n}满足a n=，则=______．13.二项式展开式的常数项为第______项．14.已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为______（精确到小数点后一位）15.已知正方形ABCD边长为8，，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使，则λ的取值范围为______．16.已知f（x）=2x2+2x+b是定义在[-1，0]上的函数，若f[f（x）]≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x0满足：f[f（x0）]=x0且f（x0）≠x0，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=2，延长CB至D，使CB=BD．（1）求证：CA⊥DA1；（2）求二面角B1-AD-C的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知向量，，其中ω＞0，若函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若f（B）=-2，，，求的值．19.浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没有经过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为R=700万米）的中心F为右焦点的椭圆C，已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．（1）求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；（2）在地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半袖、短半袖的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L，称该直线的斜率k为“变轨系数”，求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞（精确到小数点后一位）20.已知各项均为不为零的数列{a n}满足a1=1，前n项的和为S n，且，数列{b n}满足．（1）求a2，a3；（2）求S2019；（3）已知等式对1≤k≤n，k，n∈N*成立，请用该结论求有穷数列，的前n项和T n．21.已知函数y=f（x）的定义域D，值域为A．（1）下列哪个函数满足值域为R，且单调递增？（不必说明理由）①，②．（2）已知，函数f[g（x）]的值域A=[-1，0]，试求出满足条件的函数f[g（x）]一个定义域D；（3）若D=A=R，且对任意的x，y∈R，有|f（x-y）|=|f（x）-f（y）|，证明：f（x+y）=f（x）+f（y）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，根据正视的方向，有一条可以看到的水平棱（实线），故选：B．从原图的构特征分析，即可得出该几何体的俯视图．本题考查了空间几何体的三视图，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由消去参数t可得3x-4y+5=0，根据点到直线的距离公式可得d==．故选：D．先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3.【答案】B【解析】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y，得y=x-z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线，解得A（0，40）平移直线y=x-z，当直线y=x-z经过点A时，和直线x-y=0平行时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，此时z min=-40．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．4.【答案】D【解析】解：因为f（x）=a|x-b|+c，则y=f（x）的图象关于直线x=b对称，设y=f（x），设方程my2+ny+t=0的解为y1，y2，则必有y1=a|x-b|+c，y2=a|x-b|+c，由于y=y1，y=y2是平行与x轴的直线，即直线y=y1，y=y2与函数y=f（x）的交点关于对称轴x=b对称，对于选项A，对称轴方程可以为x=2019，对于选项B，对称轴方程可以为x==，对于选项C，对称轴方程可以为x===1010，对于选项D，，即y=f（x）的图象不是轴对称图形，故选：D．由函数图象的对称性及复合方程的解得：对于选项A，对称轴方程可以为x=2019，对于选项B，对称轴方程可以为x==，对于选项C，对称轴方程可以为x===1010，对于选项D，，即y=f（x）的图象不是轴对称图形，得解本题考查了函数图象的对称性及复合方程求解，属中档题5.【答案】（5，7]【解析】解：∵A={x|x＞5}，B={x|x≤7}；∴A∩B=（5，7]．故答案为：（5，7]．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．6.【答案】3【解析】解：∵行列式，∴2×2x-1-8=0，解得x=3．故答案为：3．利用行列式的展开法则直接求解．本题考查实数值的求法，考查行列式的展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】-1【解析】解：∵=，∴的虚部为-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8.【答案】220【解析】解：根据题意，在12个点中，任取3个，有C123==220种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220．根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案．本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件．9.【答案】【解析】解：设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积V=πr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积V′=πR2h，由，得R2=5r2，则R=．∴它的底面半径应该扩大为原来的倍．故答案为：．设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．10.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系求出φ的表达式即可，为基础题．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出φ的表达式是解决本题的关键．【解答】解：f（x）=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ）是偶函数，则2φ=+kπ，k∈Z，即φ=+，k∈Z，当k=0时，φ取得最小值，为，故答案为：．11.【答案】．【解析】解：焦点在x轴上，焦距为6，c=3；且经过点可得a=，双曲线的标准方程为：．故答案为：．利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】0【解析】解：无穷数列{a n}满足a n=，==0．故答案为：0．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．13.【答案】4【解析】解：由二项式展开式的通项公式得：T r+1=（2x）6-r（-）r=（-1）r26-2r x6-2r，当6-2r=0，即r=3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．由二项式展开式的通项公式得：T r+1=（2x）6-r（-）r=（-1）r26-2r x6-2r，当6-2r=0，即r=3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，得解．本题考查了二项式展开式的通项，属中档题．14.【答案】12.3【解析】解：根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，则a=1，b=6，c=12；其方差s2=[（1-5）2+（3-5）2+（3-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（12-5）2]≈12.3；故答案为：12.3．根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a=1，b=6，c=12；由方差公式计算可得答案．本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．15.【答案】（-1，8）【解析】解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：如图，则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴=（-x，2），=（8-x，4）∴•=x2-8x+8，∵x∈[0，8]，∴-8≤•≤8，∴当λ=-8时有一解，当-8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴=（0，2-y），=（8，4-y）∴•=（2-y）（4-y）=y2-6y+8∵0＜y≤8，∴-1≤•＜24∴当λ=-1或8＜λ＜24时有唯一解；当-1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴=（-x，-6），=（8-x，-4），∴•=x2-8x+24，∵0＜x≤8，∴8≤•≤24，∴当λ=8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴=（-8，2-y），=（0，4-y），∴•=（2-y）•（4-y）=y2-6y+8∵0＜y＜8，∴-1≤•＜24，∴当λ=-1或8＜λ＜24时有一解，当-1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得•=λ成立，那么λ的取值范围是（-1，8）故答案为：（-1，8）建立坐标系，逐段分析•的取值范围及对应的解得答案．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．16.【答案】【解析】解：f（x）=2x2+2x+b，x∈[-1，0]，对称轴为x=-，可得f（x）的最小值为f（-）=b-，f（x）的最大值为f（0）=f（-1）=b；由题意f（f（x））≤0，可得可得-≤b≤0，设y0=f（x0），可得f（y0）=x0且y0≠x0，即有f（x）存在两点关于直线y=x对称，令直线l：y=m-x，与y=2x2+2x+b，联立可得2x2+3x+b-m=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为E（x0，y0），即有，即有E（-，m+）在直线y=x上，可得m=-，则2x2+3x+b+=0在[-1，0]上有两个不等实根，设h（x）=2x2+3x+b+，可得解得-≤b＜-．故答案为：[-，-）．求得f（x）的最值，可得-≤b≤0，由题意可得f（x）存在两点关于直线y=x对称，令直线l：y=m-x，与y=2x2+2x+b联立，可得2x2+3x+b+=0在[-1，0]上有两个不等实根，由二次方程实根分布可得b的范围．本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次迭代函数的单调性和最值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．17.【答案】证明：（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=2，延长CB至D，使CB=BD．∴AA1⊥AC，AD⊥AC，∵AA1∩AD=A，∴AC⊥平面ADA1，∵DA1⊂平面ADA1，∴CA⊥DA1．解：（2）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0，0），C（0，1，0），B1（，，2），A（0，0，0），=（，0，0），=（，，2），设平面ADB1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，-4，1），平面ADC的法向量=（0，0，1），设二面角B1-AD-C的大小为θ，则cosθ===，∴二面角B1-AD-C的大小为arccos．【解析】（1）推导出AA1⊥AC，AD⊥AC，从而AC⊥平面ADA1，由此能证明CA⊥DA1．（2）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1-AD-C的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+），∵函数的最小正周期为π，∴=π，∴ω=1．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+），f（B）=-2，∴f（B）=2sin（2B+）=-2，∴B=，∵，∴sin A=，∴A=，A=（舍去），∴C=π-A-B=，∴BA=BC=，∴=||•||•cos=．【解析】（1）利用向量的数量级运算法则，确定函数的解析式，并化简，利用三角函数图象与性质ω的值．（2）根据f（B）的值，求得B，利用第二个等式求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案．本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用．综合考查了学生分析问题和运算能力．19.【答案】解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a-c-700=100，a+c-700=2500，∴a=2000，c=1200，∴b2=a2-c2=2560000，∴椭圆C的标准方程；（2）由（1）可知ab=3200000，设变轨时，地球位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=3200000，又，解得：x0≈1333.3，y0≈1738.5，设过P（1333.3，1738.5）的直线方程为y-1738.5=k（x-1333.3），即kx-y-1333.3k+1738.5=0，由，解得k≈-1.8，或k≈1.1．∴若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是（-1.8，1.1）．【解析】（1）由题意设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），再由已知列关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）由（1）可知ab=3200000，设变轨时，地球位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=3200000，又，联立求解P，再由直线与圆位置关系的应用求解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由a，得，即，又a1=1，∴a2+a1+a1=8，则a2=6，a1+a2+a3+a1+a2=18，得a3=4；（2）由（n≥2），得，两式作差可得：S n+1-S n-1=4n+2．即a n+a n+1=4n+2．∴S2019=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2018+a2019）=1+4×2+2+4×4+2+…+4×2018+2=1+4（2+4+6+…+2018）+2×1009=1+4×=4078379；（3）由b k=a k+a k+1=4k+2，得=（4×1+2）+（4×2+2）+（4×3+2）+…+（4n+2）=4（）+2（）=4×n×2n-1+2×2n-2=（n+1）2n+1-2．【解析】（1）由a，可得，结合a1=1，依次求得a2，a3的值；（2）由（n≥2），得，两式作差可得a n+a n+1=4n+2，结合等差数列的前n项和求S2019；（3）由b k=a k+a k+1=4k+2，得，然后结合已知组合数公式的性质求解有穷数列，的前n项和T n．本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和与等差数列前n项和，考查二项式系数的性质，是中档题．21.【答案】解：（1）①理由如下：∵x∈（0，1），∴（x-π∈（-，），根据正切函数的单调性可知①正确；g（x）在（0，1）上递减；（2）（答案不唯一）；理由如下：当x∈[0，]时，g（x）=sin2x∈[0，]，2g（x）+1∈[1，2]，f（g（x））∈[-1，0]．（3）假设存在a，b使得f（a+b）≠f（a）+f（b）……………（1分）又有|f（a）|=|f（a+b）-f（b）|，|f（b）|=|f（a+b）-f（a）|，所以-f（a）=f（a+b）-f（b），-f（b）=f（a+b）-f（a），……………（1分）结合两式：f（a）=f（b），f（a+b）=0，所以|f（b）-f（-a）|=|f（a+b）|=0，故f（-a）=f（b）=f（a）．……………（2分）由于f（a+b）≠f（a）+f（b）知：f（a）≠0．又．类似地，由于f（-a）≠0，得．……………（3分）所以，与f（a）≠0矛盾，所以原命题成立．……………（1分）【解析】（1）①理由如下：∵x∈（0，1），∴（x-π∈（-，），根据正切函数的单调性可知①正确；g（x）在（0，1）上递减；（2）（答案不唯一）；理由如下：当x∈[0，]时，g（x）=sin2x∈[0，]，2g（x）+1∈[1，2]，f（g（x））∈[-1，0]．（3）假设存在a，b使得f（a+b）≠f（a）+f（b），再根据已知推出矛盾，故原命题成立．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．。
上海市高考数学二模试卷(解析版)
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“αβm ⊂αβl m ⊥l α⊥β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是( ) {a n }a 1>0q ∈(‒1,0)A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为{a n }a 1{a n }a 2C. 数列为严格递增数列D. 数列为严格递增数列{a n a n +1}{a 2n ‒1+a 2n }3. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水W t W =f(t)‒f(b)‒f(a)b ‒a[a,b]治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示则下.列正确的命题是( )A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 [t 1,t 2]B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 t 2C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标t 3D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强[0,t 1][t 1,t 2][t 2,t 3][t 1,t 2]4. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有R f(x)A ∀x 1x 2∈R x 1‒x 2∈A f(x 1)，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：‒f(x 2)∈A f(x)A .：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数； P f(x){1}f(x){k}(k ∈N ∗)：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数． Q f(x)[a,b](a,b ∈N ∗)f(x){ab}则下列判断正确的为( )A. 对，对B. 不对，对C. 对，不对D. 不对，不对P Q P Q P Q P Q 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合，集合，则 ． A ={x|‒2<x <0}B ={x|0≤x ≤1}A ∪B =6. 在复平面内，点对应的复数，则______． A(‒2,1)z |z +1|=7. 若不等式的解集为，则实数等于______ ．|x ‒a|<2(a ∈R)(‒1,t)t 8. 在中，，，，将绕边旋转一周，所得到几何Rt △ABC ∠B =90°AB =2CB =3△ABC AB 体的体积为______ ．9. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． X N(2,1)P(X ≤a ‒2)=P(X ≥2a +3)a =10. 若，则 ______ ．x 8=a 0+a 1(x ‒1)+⋯+a 8(x ‒1)8a 3=11. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．f(x)=x 3y =f(x)(0,0)12. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______ ． f(x)=sin (x +φ)+cosx ‒2φ13. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程单位：万千米对应维修保养费用x()y(单位：万元的四组数据，这四组数据如表： )行驶里程万千米x/1245维修保养费用万元 y/ 0.50 0.90 2.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为万千米时y =0.58x +a 6的维修保养费是______ ．14. 已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为a ,b x |x ⃗a ‒⃗b|≥32a ,b ______ ．15. 不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点x l N(x N ,0)(x N ≠0)C x 2‒y 2b 2=1(b >0)A，关于对称，中点的横坐标为，若，则的值为______ ．B l AB M x M x N =4x M b 16. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，，，各项和为，集合Q a 1a 2…a m S(Q){(i,j)|，中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最a i >a j 1≤i <j ≤m}T(Q)S(Q)=100Q T(Q)大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。
2020届上海市浦东新区高三二模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市浦东新区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.解：由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B点评：本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在答案：C 易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.解：若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C点评：本题考查了线面平行的判定，属于基础题.3．已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈； ④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 则正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④答案：D 由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题. 解：()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确； 当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+ 当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=-- 可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确； 函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.点评： 本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.4．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅ 答案：C先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.解：当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况； 集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况； 以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况. 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ②707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C点评：本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.二、填空题5．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．答案：{}2由补集的运算法则可得解.解：{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2点评：本题考查了补集的运算，属于基础题.6．某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．答案：100数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.解：5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100点评：本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.7．若函数()12f x x =，则()11f -=__________． 答案：1由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解. 解：由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1。
【上海专版】-2020届上海市浦东新区高三二模数学试题(解析版)
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2 【解析】 【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___． 【答案】100 【解析】 【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字. 【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题. 3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1 【解析】 【分析】由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -Q 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 ． 【答案】1:8 【解析】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8 考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离d r =<，问题得解. 【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r = 圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==< 则直线l 与圆O 的位置关系是相交. 故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 7.若二项式()412x +展开式的第4项的值为，则()23lim nn x x x x →∞++++=L __．【答案】15【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+L ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==16x =， 2311166(1)111115616nn n nx x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+L ，()231111565lim lim nnn n x x x x →∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=L . 故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题. 8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】22221x y -= 【解析】 【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】Q 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c = Q 双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=， 双曲线的方程是22221x y -=. 故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________． 【答案】10 【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况， 事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B =Q ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴= 221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+= 整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈Q 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1 【解析】 【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-， ()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点， ()0=0f ∴ 由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC V 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为332，则AP u u u r 的最小值为__________.2 【解析】 【分析】设,AB AC m n ==u u u r u u u r ，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=u u u r u u u r ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 后由222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==u u u r u u u rABC QV 33， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠u u u r u u u r 13332mn ==6mn ∴=Q D 为AB 中点，2AB AD ∴=u u u r u u u r1233t AC AB t AC AD AP +==+∴u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+u u u r u u u r u u u r则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥=u u u r当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113nn n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________. 【答案】202133- 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=++Q ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b ++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n nna b a b a b ++=++()22n n n n a b a b =+=-{}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =113323n n n n n n n n n n a bc a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩， 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可. 【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A. 有一条B. 有二条C. 有无数条D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条. 【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ， 又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条. 故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题. 15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数， 当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈ 若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅【答案】C 【解析】 【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况： 集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ① 70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ② 707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120o 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）83π（2）62arccos 4【解析】 【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积； （2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，即可得解. 【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--u u u r，()32AC =--u u u r .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=. 【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 31025、（1）求()cos αβ+的大小；（2） 在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）2（2）1=2λ-【解析】 【分析】（1）由已知得：cos αβ==，故而sin α=，sin β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以cos C C =，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得sin B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c A C bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβQ 、为锐角，sin α∴==，sin β== cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-2-=（2）由cos(+)2αβ=，αβQ 、为锐角，得：4C παβ=+=，cos C C ∴=由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=， 解得34sin ,cos 55A A == []sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+3455=+=由正弦定理可得：222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- 【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件② ； （2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x bx+≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件② .（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x+'=+=Q 所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<， 所以94b ≥-由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x bx+≤在[]3,6上恒成立， 等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程； （3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞U【解析】 【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =. 由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. 设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++ 21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得m =0y ±=. （3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F Q ，由已知可得： 1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--. 1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件， 因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+>L ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-L ②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k-'=-+= 当212k >时，()0f k '<，()12f k k k∴=--,2⎛-∞- ⎝⎭或2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛∴>-= ⎝⎭()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞U .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5,L ； ②等比数列：11111,,,,24816--L ； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,2a ∈-U【解析】 【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，由2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则1n a +⎛∈ ⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当n a ⎛∈ ⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,L 通项公式为：n a n =()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-<Q所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816--L 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q所以此数列是跳跃数列 （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=， 213112a a a a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>> 321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->， 故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=Q()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125nn n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =---- ①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； ②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；若522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈， 所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
2020届上海市浦东新区高三二模数学试题(解析版)
【解析】
由已知可得：直线 的标准方程为 ，圆 的标准方程为 ，再计算出圆心到直线的距离 ，问题得解.
【详解】
由直线 的参数方程 ，可得：
直线 的标准方程为： ，
由圆 的参数方程 ，可得：
圆 的标准方程为： ，圆心为 ，半径
圆心为 到直线 的距离
则直线 与圆 的位置关系是相交.
故答案为：相交
和 可求b的取值范围.
【详解】
（1）由 可得： ，
从而 ，所以椭圆方程为 .
（2）由于四边形 是菱形，因此 且 .
由对称性， 在线段 上.因此， 分别关于原点对称；
并且由于菱形的对角线相互垂直，可得 ，即 .
设直线l方程为： ，且 ,
与椭圆方程 联立可得： ，
， ，
由 ，可得：
解得 ，即直线方程为 .
（3）设直线l方程为： ，
，由已知可得：
，即 .
，
化简得： .
若 ，则 经过 ，不符合条件，
因此 .
联立直线与椭圆方程得： .
因为 ，即
由 得：
将 代入 得： ，
解得：
令 ，则
当 时， ，
在 或 上单调递减，
或
所以b的取值范围为： .
【点睛】
本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
（1）判断使用参数 是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数 的取值范围．
【答案】（1）当 时不满足条件②，见解析（2）
【解析】（1）因为当 时， ，所以不满足条件②；
（2）求导得： ，当 时，满足条件①；当 时， 在 上单调递增，所以 .由条件②可知， ，即 ，等价于 在 上恒成立，问题得解.
2020年上海市浦东新区高考数学二模试卷(有答案解析)
，则 λ 的取值范围为______．
16. 已知 f（x）=2x2+2x+b 是定义在[-1，0]上的函数，若 f[f（x）]≤0 在定义域上恒成立，而且存在 实数 x0 满足：f[f（x0）]=x0 且 f（x0）≠x0，则实数 b 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1=2AC=2，延长 CB 至 D，使 CB=BD．
=，
对于选项 C，对称轴方程可以为 x=
=
=1010，对于选项 D，
图象不是轴对称图形，得解 本题考查了函数图象的对称性及复合方程求解，属中档题
5.答案：（5，7]
，即 y=f（x）的
解析：解：∵A={x|x＞5}，B={x|x≤7}； ∴A∩B=（5，7]． 故答案为：（5，7]． 进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，以及交集的运算．
故答案为：12.3． 根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这 6 个数为 a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这 6 个 数方差的最大，则 a=1，b=6，c=12；由方差公式计算可得答案． 本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平 均数的定义，属于基础题．
1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，根据正视的方向，有一 条可以看到的水平棱（实线）， 故选：B． 从原图的构特征分析，即可得出该几何体的俯视图． 本题考查了空间几何体的三视图，属于基础题．
2.答案：D
解析：解：由
15.答案：（-1，8）
解析：解：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立 平面直角坐标系如图：如图，则 F（0，2），E（8，4） （1）若 P 在 AB 上，设 P（x，0），0≤x≤8
上海市浦东新区2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +【答案】B 【解析】 【分析】转化()(1)11i z i +-=-，为111iz i--=+，利用复数的除法化简，即得解 【详解】复数z 满足：()(1)11i z i +-=-所以()211112i i z i i ---===-+1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 3．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.4．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出． 【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确；②因为()2fπ=，5242f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，②错误；③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 0,1t x =∈， 22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．5．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r的取值范围是（ ） A ．[0，1] B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D 【解析】 【分析】设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设2m a b =+r r r，则2m =r，[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r，，，∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r|m r |2m r =2＝4，所以可得：2182m =r，配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r rr ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，，又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+rr r r rr 则a ∈r[0，2]． 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】 【分析】根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果.【详解】由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x = 当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224= 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.8．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.9．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.10．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩.故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.11．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 12．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121 C ．74- D ．121-【答案】D 【解析】 【分析】根据5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，进而得到其系数，【详解】因为在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，所以含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，()10203556121=-+++=-，故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浦东区高考数学二模试卷含答案
2017年浦东新区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{|04}B y y =≤<，则A B =I ____________.2. 若直线l 的参数方程为44,23x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.4. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________.6. 若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.7. 已知射手甲击中A 目标的概率为，射手乙击中A 目标的概率为，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在[1,1]-上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________.12. 已知平面上三个不同的单位向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗满足a ⃗·b ⃗⃗=b ⃗⃗·c ⃗=12，若e ⃗为平面内的任意单位向量，则|a ⃗·e ⃗|+2|b ⃗⃗·e ⃗|+3|c ⃗·e ⃗|的最大值为____________.二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（ ）A.椭圆B.双曲线C.直线D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A.（1）（3）（4）B.（2）（4）（3）C.（1）（3）（2）D.（2）（4）（1）15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx（ ）或21或0D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A.)83(，B.)162(，C.)84(，D.(226)，1三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE ̂所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到平方千米），并指出哪一种设计方案更好.19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为n ⃗⃗=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有kn n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ; （3）设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c nlog 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；（2）若2)(π=a f ，2)(π-=b f ，求b a +的值；（3）证明：)(x f 是奇函数.参考答案1. [2,4)2. 13. 8π4. 25. 56. 97.8. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.1410. 6 11. 16 12.13. D14. C15. C16. D17. （1）3DC π=（2）arcsinθ=18. （1）选取3OP OQ ==时养殖场△POQ 的面积最大，max 12S =（平方千米） （2）1max 18S =（平方千米），20.144S ≈（平方千米） 12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好19. （1）2212(2)7x y -+=（2）2d =220. （1）是 （2）1*110()n k kn T n --=∈N（3）证明略21. （1）证明略 （2）0a b += （3）证明略。
2022-2023学年上海市浦东新区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年上海市浦东新区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______ .2. 若复数z满足是虚数单位，则复数______ .3. 若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为______ 结果保留4. 的二项展开式中项的系数为______ .5. 设随机变量X服从正态分布，且，则______ .6. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为______ .7. 投掷一颗骰子，记事件，，则______ .8.在中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则______ .9. 函数在区间上的最小值为______ .10. 已知，，函数在区间上有唯一的最小值，则的取值范围为______ .11. 已知边长为2的菱形ABCD中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是______ .12. 已知，设，，其中k是整数.若对一切，都是区间上的严格增函数.则的取值范围是______ .13. 已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 某种产品的广告支出x与销售额单位：万元之间有如表关系，y与x的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差真实值减去预报值为( )x24568y3040607080A. B. C. D.15. 在空间中，下列命题为真命题的是( )A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直16. 已知函数，其导函数为，有以下两个命题：①若为偶函数，则为奇函数；②若为周期函数，则也为周期函数.那么( )A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题17. 已知数列是首项为9，公比为的等比数列.求的值；设数列的前n项和为，求的最大值，并指出取最大值时n的取值. 18. 如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，，F、H分别为ED、EA的中点.求证：平面AFC；求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.19. 为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题.在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由.20. 椭圆C的方程为，A、B为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，P为椭圆上的动点.求椭圆的离心率；若为直角三角形，求的面积；若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆相切，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.21. 设P是坐标平面xOy上的一点，曲线是函数的图像.若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是函数的“k度点”.判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；已知，证明：点是的0度点；求函数的全体2度点构成的集合.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：求解一元二次不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】【解析】解：，则故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】【解析】解：设圆柱底面圆半径为r，根据已知可得，解得，故底面圆周长为，则圆柱的侧面积为故答案为：根据底面积求得底面圆半径以及底面圆周长即可求得圆柱的侧面积．本题考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．4.【答案】270【解析】解：由二项式定理可得展开式中含项的系数为故答案为：利用二项式定理即可求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．5.【答案】【解析】解：X服从正态分布，其正态分布曲线关于y轴对称，由对称性可知故答案为：由正态分布曲线的对称性进行求解即可．本题考查正态分布的应用，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：双曲线方程为，双曲线的右焦点F坐标为，渐近线为，即，可得焦点F到其渐近线的距离为故答案为：由双曲线方程，算出右焦点F为，渐近线为由点到直线的距离公式加以计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．本题给出双曲线方程，求它的焦点F到渐近线的距离．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.【答案】【解析】解：，，则故答案为：根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：由于，利用正弦定理：，由于，故，所以，故，所以故答案为：直接利用正弦定理和同角三角函数的关系式的变换及二倍角公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：，，，，，当且仅当，即时，等号成立，即函数在区间上的最小值为故答案为：利用对数的运算性质化简函数解析式可得，再利用基本不等式求解即可．本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．10.【答案】【解析】解：，由，知，因为函数y在区间上有唯一的最小值，所以解得故答案为：由辅助角公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，即可得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：，，内切圆的半径为，，且P，Q点在内切圆上，设，，，，，，设，，时，取最大值，的最大值为可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出，，内切圆的半径为，且设，，从而得出，可设，从而可得出，然后配方即可求出最大值．本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，，则方程满足，因为，所以，①当无解时，即，时，对于任意的都有，即恒成立，所以在上严格增．②当有解时，即，时，取，则，，设的两个根为，，则，所以，均为大于0，所以在，上严格递增，在上严格递减，不满足条件，综上所述，的取值范围为故答案为：，由于若对一切，都是区间上的严格增函数，则方程满足，分两种情况：①当无解时，②当有解时，的取值范围，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：因为时，，所以不成立，即充分性不成立；时，，成立，即必要性成立；所以是必要不充分条件．故选：分别判断充分性与必要性是否成立即可．本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．14.【答案】A【解析】解：，当时，当广告支出6万元时，离差为故选：由线性回归方程求得时的预报值，再由离差的定义得答案．本题考查线性回归方程的应用，考查离差的求法，是基础题．15.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行、垂直或相交，A错误；对于B，若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面可以互相平行，B错误；对于C，若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线可以与另外一个平面平行，C错误；对于D，由直线与平面垂直的性质可得：若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确．故选：根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，注意直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题；对于②，令，则，为常数，显然不是周期函数，②是假命题．故选：对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数，显然不是周期函数，②为假命题．本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：已知数列是首项为9，公比为的等比数列，则数列是以为首项，3为公比的等比数列，即；由题意可得，则，则，又，则当或时，取最大值【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，然后结合等比数列的前n项和公式求解即可；由题意可得，然后结合等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等比数列及等差数列，重点考查了等比数列及等差数列的前n项和公式，属基础题．18.【答案】解：证明：连接FH，如图所示：、H分别为ED、EA的中点，在中，且，，，，且，四边形FHBC是平行四边形，，又平面平面AFC，平面AFC，平面AFC；三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，即平面平面ABCD，，又平面平面，平面EAD，平面ABCD，又平面ABCD，则，则建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示：，，则，，，，，，由得平面EAB的法向量为，设平面ACF的一个法向量为，则，取，则，，平面ACF的一个法向量为，设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为，，，故平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值为【解析】连接FH，由题意得且，结合题意可得且，即四边形FHBC是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；由题意得平面平面ABCD，，可得，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A，事件A的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”，则；情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，设该代表队必答环节的得分为X，，2，4，7，10，，，则X的分布列为：X 0 2 4 7 10P此时得分期望；情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，设该代表队必答环节的得分为Y，，3，6，8，10，，，则Y的分布列为：Y 0 3 6 8 10P此时得分期望；由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．【解析】先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．20.【答案】解：由椭圆C的方程为，得标准方程为，，离心率设，，当时，，，，此时；，由对称性，不妨设时，且P在第一象限，则，此时；，综上，的面积为或设，则直线PQ的方程为，由已知，同理：，因而，，是方程的两根，所以，得，由P在第一象限得，存在位于第一象限的点P，使得，点P的坐标为【解析】由已知易求椭圆的离心率；分，两种情况可求的面积；设，则直线PQ的方程为，可得，进而可得，可求P的坐标．本题考查椭圆的几何性质，考查三角形的面积，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．21.【答案】解：由题意，设，则曲线在点处的切线方程为，该切线过原点O时，，解得，故原点O是函数的一个1度点；又因为该切线过点，所以，设，则，令，得，所以时，，单调递减；时，，单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，且，所以无解，点不是函数的1度点；证明：设，，则曲线在点处的切线方程为，则该切线过点，当且仅当，设，，时，，故在区间上单调递增，当时，，恒不成立，即点是的一个0度点；，对任意，曲线在点处的切线方程为，故点为函数的一个2度点当且仅当关于t的方程恰有两个不同的实数解，设，则点为函数的一个2度点，当且仅当有两个不同的零点，若，则在R上严格增，只有一个零点，不合要求；若，，令得或，由或时，，得严格增；当时，，得严格减，故在时取得极大值，在时取得极小值，又，，当时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，也不合要求；故有两个不同零点当且仅当或，若，同理可得有两个不同零点当且仅当或，综上，函数的全体2度点构成的集合为或，【解析】是的1度点，不是的1度点；求导得，设，可得出曲线在点处的切线方程为，该切线过点时，，然后设，然后根据导数符号可判断在上单调递增，从而得出方程无解，这样即可得出要证明的结论；求导得出，设，可得出曲线在处的切线方程为，设点为函数的2度点，从而得出关于t的方程恰有两个不同的实数解，设，则有两个不同的零点，讨论a：时，可得出不合要求；时，，根据可求出的极大值和极小值，并可得出，，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数的2度点构成的集合．本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题．。
上海市浦东新区2022届高三下学期质量调研(二模)数学试(含详细
上海市浦东新区2022届高三下学期质量调研（二模）数学试（含详细2022.04一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）2n1nn1某2.不等式0的解集为某13.已知{an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a34，a48，则S51.lim4.已知f1(某)是函数f(某)log2(某1)的反函数，则f1(2)5.(某)9二项展开式中的常数项为1某某2co6.椭圆（为参数）的右焦点坐标为y3in某2y42某y37.满足约束条件的目标函数f3某2y的最大值为某0y08.函数f(某)co2某3in2某，某R的单调递增区间为29.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O某yz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为11.已知f(某)是定义在R上的偶函数，且f(某)在[0,)上是增函数，如果对于任意某[1,2]，f(a某1)f(某3)恒成立，则实数a的取值范围是12.已知函数f(某)某25某7，若对于任意的正整数n，在区间[1,n]上存在m1个实数a0、a1、a2、、am，使得f(a0)f(a1)f(a2)f(am)成立，则m的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知方程某2p某10的两虚根为某1、某2，若|某1某2|1，则实数p的值为（）A.3B.5C.5n3，5D.3，514.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1z2||z1||z2|；（2）|z1z2||z1||z2|；（3）(z1z2)z3z1(z2z3)，相应的在向量运算中，下列式子：（1）|ab||a||b|；（2）|ab||a||b|；（3）(ab)ca(bc)，正确的个数是（）A.0B.1C.2D.315.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷(解析版)
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为．6．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．参考答案一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝{﹣1，0，1}．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝﹣2．解：因为1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，所以1﹣i也是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，故，解得a＝﹣2，b＝2，所以2a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝2．解：二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，解得，则xy＝2．故答案为：2．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．解：πR2＝，R＝，V＝πR3＝．故答案为：．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为20．解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为206．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．解：将原方程变成，解得log3x＝1或，∴x＝3或，∴原方程的解集为．故答案为：．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为140．解：样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为20﹣6＝14（人），估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为200×＝140（人）．故答案为：140．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为[2，+1）．解：由题意，可知t＝•＝||||cos∠PBA，当||cos∠PBA，是向量在上的投影，曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，如图中的红色直线与半个圆有两个交点，红色直线的斜率为﹣1，直线方程设为：y＝﹣x+b，直线与圆x2+y2＝1（y≥0）有2个交点，可知b≥1，，解得＜b，此时t＝•∈[，），即t＝•∈[2，+1）．故答案为：[2，+1）．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，即方程sin（2x+）＝在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个解．则当b最小时，满足2b+＝+2020π，求得b＝，故答案为：π．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．解：（m+）•（n+）＝mn+＝mn+＝mn+＝mn+﹣2，因为2021a+2020b﹣ab＝0，所以＝1，∴m+n＝8（）＝8，则（m+）（n+）＝mn+﹣2，设t＝mn＝m（8﹣m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∵0＜m＜8，∴t∈（0，16），∴（m+）（n+）＝mn+﹣2＝t﹣2≥2﹣2，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∴（m+）（n+）≥2﹣2，∴（m+）（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．故答案为：[2﹣2，+∞）．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为9．解：依题意，可知，从而可知x1，x2∈（﹣1，0），所以有，故，又a，b，c为正整数，取c＝1，则a+1＞b⇒a≥b，所以a2≥b2≥4ac＝4a⇒a≥4，所以b2≥4ac≥16．又b＜4+1＝5，所以b＝4，因此a+b+c有最小值为9．故答案为：9．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：实数a≠0，则“a＜1”，“＞1”不一定成立，如a＜0，＜0，所以充分性不成立；＞1时，﹣1＞0，化为＜0，解得0＜a＜1，所以a＜1，必要性成立；是必要非充分条件．故选：B．14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x解：x2+y2+4x+3＝0的圆心（﹣2，0），圆心为焦点的抛物线标准方程为y2＝﹣8x．故选：C．15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意，依次分析4个函数，①f（x）＝x2，有f（x）≥0，一定不满足f（t）＝﹣f（x），不是“拟奇函数”；②f（x）＝lnx，设D＝（0，+∞），若对任意的x∈D，都存在t＝∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝lnx是“拟奇函数”；③f（x）＝x+，定义域为{x|x≠0}，设其定义域为D，若对任意的x∈D，都存在t＝﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝x+是“拟奇函数”；④f（x）＝cos x，设D＝（0，π），若对任意的x∈D，都存在t＝π﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），在f（x）＝cos x是“拟奇函数”；故选：C．16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③解：∵a n+a n+1＝2n+1，∴，则a n+2﹣a n＝2，由a1+a2＝3，a1＝m得，a2＝3﹣m，故，①当m＝1时，{a n}为等差数列，①对；②{a n}不可能为等比数列，②错；③当n为偶数时，，当n为奇数时，，∵S k＝S k+1＝55，∴S k＝55，且a k+1＝0，（i）当k为偶数时，，解得；（ii）当k为奇数时，，解得，∴m不唯一，③错．故选：A．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）∵圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．∴SA＝2，∴圆锥SO的侧面积S侧＝πrl＝2π．（2）∵E为母线SA的中点，EA＝1，SO垂直圆O所在的平面，CD⊂圆O所在的平面，∴CD⊥SO，∵CD⊥AB，SO∩AB＝O，SO、AB⊂平面SOA，∴CD⊥平面SOA，∵OE⊂平面SOA，∴OE⊥CD，∵AB⊥CD，∴∠EOB是二面角E﹣CD﹣B的平面角，在△BOE中，OB＝OE＝1，BE＝，∴cos∠EOB＝﹣，∴二面角E﹣CD﹣B的大小为．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．解：（1）g（x）＝f（2x）+2f2（x+）＝sin2x+2sin2（x+），＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x﹣1＝2sin（2x+）+1，因为﹣1≤sin（2x+）≤1，所以﹣1≤f（x）≤3，故函数的值域[﹣1，3]；（2）f（A）＝sin A＝，所以A＝或A＝，因为S△ABC＝＝＝，所以c＝4，当A＝时，a2＝b2+c2﹣bc＝16+1﹣4＝13，所以b＝，所以sin C＝＝；当A＝时，a2＝b2+c2+bc＝16+1+4＝21，故b＝，所以sin C＝＝，故sin C＝或sin C＝．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a+49×40+250）＝190，解得a＝﹣；（2）当x∈（0，50]时，y＝50x﹣（）＝，∵对称轴方程为x＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上为增函数，∴当x＝50时，y max＝425万元；当x∈（50，100]时，y＝50x﹣（51x+﹣860+250）＝610﹣（x+）＝610.5﹣（）≤610.5﹣2≈445.4．当且仅当，即x＝≈82.1时取等号．即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．解：（1）因为椭圆C：+y2＝1，所以椭圆C的长半轴长为，由椭圆的定义可得，，所以△F1PQ的周长为；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，此时Q（0，1），P（0，﹣1），又F2（1，0），所以，所以符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与，则有（1+2k2）x2+8kx+6＝0，所以，△＝64k2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，因为，＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1+2）（kx2+2）＝0，所以（k2+1）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5＝0，故，解得，故直线l的方程为11x+8y﹣16＝0，综上所述，直线l的方程为x＝0或11x+8y﹣16＝0；（3）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，若Q（0，1），P（0，﹣1），则，所以，此时；若Q（0，﹣1），P（0，1），则，所以，此时λ＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），又A（0，2），所以，因为＝λ，所以，故，由（1）可知，，所以，则，即，因为，故3（1+2k2）＞12，，所以，因为，由，可得，即，所以，综上所述，实数λ的取值范围为．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．解：（1）∵，∴若使数列{a n}为有界数列，则需使M≥1，由知，a n＞a n+1，则b i＝|a i+1﹣a i|＝a i﹣a i+1，（i＝1，2，3，4……，n﹣1），∴b1+b2+b3+……+b n﹣1＝a1﹣a n＜a1＝1，则T≥1即可，则数列{a n}为有界变差数列．（2），则b i＝|a i+1﹣a i|＝|q i﹣q i﹣1|＝|q﹣1|•|q|i﹣1，当q＝1时，则b i＝0，显然满足题意．当q＝﹣1时，则b i＝2，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝2（n﹣1），若2（n﹣1）≤T，则n≤，舍去．当q≠1时，则{b n}是首项为|q﹣1|，公比为|q|的等比数列，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝，若0＜|q|＜1时，，则符合题意．若|q|＞1时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．综上可得，q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1]．（3）证明：因为{d n}和{e n}为有界数列，则存在M1＞0，使得对任意的n∈N*，|d n|≤M1恒成立，则存在M2＞0，使得对任意的n∈N*，|e n|≤M2恒成立，b i＝|d i+1e i+1|﹣|d i e i|＝|d i+1e i+1﹣d i e i+1+d i e i+1﹣d i e i|＝|（d i+1﹣d i）e i+1+（e i+1﹣e i）d i|≤|（d i+1﹣d i）e i+1|+|（e i+1﹣e i）d i|，又因为{d n}和{e n}为单调递增的有界数列，b i＝|d i+1e i+1﹣d i e i|≤|d i+1﹣d i|•|e i+1|+|e i+1﹣e i|•|d i|≤M1（d i+1﹣d i）+M2（e i+1﹣e i），则b i≤M2（d i+1﹣d i）+M1（e i+1﹣e i），则b1+b2+b3+…+b n﹣1≤M2（d n﹣d1）+M1（e n﹣e1）≤M2（|d n|+|d1|）+M1（|e n|﹣|e1|）≤M2•2M1+M1•2M2＝4M1M2，所以存在T≥4M1M2即可，则数列{f n}为有界变差数列．。