高等数学第七章测试题答案.doc

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高等数学第7章微分方程解答

习题7-2 可分离变量的微分方程1求下列微分方程的通解：（1）2211y y x -='-；解==两端积分得 arcsin arcsin y x C =+，（C 为任意常数）即为原方程的通解。

（2）0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ；解将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y xdy dx y x=-两端积分得ln tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C = 故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。

2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）e yy y x y x =='=2,ln sin π；解将原方程分离变量，得ln sin dy dxy y x= 两端积分得()tan ln 2ln tan 2x d d y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰，即ln ln ln tan ln 2x y C =+故原方程的通解为ln tan2x y C =,代入初始条件,2x y e π==,得1C =.于是,所求之特解为tan2xy e=.（2）.1,022==+=x y ydx xdy解将原方程分离变量，得2dy dx y x=-两端积分得2dy dx y x =-⎰⎰，即ln 2ln ln y x C =-+故原方程的通解为2x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C =.于是,所求之特解为24x y =.3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率2002y yy x x-'==--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =. 代入初始条件23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =.习题 7-3 齐次方程1、求下列齐次方程的通解（1）022=---'x y y y x解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+分离变量,dxx=.两边积分得ln ln ln u x C =+,即u Cx =.将y u x=代入上式整理,得通解为2y Cx +=;(b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0yy x'-+=,即0y y y y xx ''--=--=(因为0x <时,x x -==),也就是y y x '=+与x >0的情况一样)所以,对任意的0x ≠,方程的通解为2y Cx =(C 为任意常数).（注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或y A =,若0x =,则原方程变为0y +=,只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A =,当A <0时方程有解.）（2）0cos 3)cos 3sin2(=-+dy x yx dx x y y x y x 解原方程可改写成2tan 03y y dy x x dx +-=.令yu x =,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为2tan 3du u x u u dx +=+.分离变量,得32tan du dxu x =.两边积分得3ln sin ln ln 2u x C =+,即32sin u Cx =.将y u x =代入上式,得通解为32sin y Cx x=(C 为任意常数). 2. 求齐次方程1|,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 满足所给初始条件的特解解原方程可写成21320x x dxy y dy ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令x u y =,即x yu =,有dx du u y dy dy =+,所以原方程成为21320du u u u ydy ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭. 分离变量,得221u dy du u y=-,积分得2ln 1ln ln u y C -=+,即21u Cy -= 代入x u y=并整理,得通解为223x y Cy -=. 由初始条件0,1x y ==,得1C =-.于是所求特解为322y y x =-.习题 7-4 一阶线性微分方程1、求下列微分方程的通解（1）x e y dxdy-=+ （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y . 解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为()().dx dx x xxx x y e e e dx C e ee dx C e x C -----⎡⎤⎰⎰=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2) 将原方程改写成222cos 11x xy y x x '+=--.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为()22222112222cos 1cos sin 11111x xdx dx x x x x x Cy e e dx C x dx C x x x x ---⎡⎤+⎰⎰⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰.(C 为任意常数)(3) 将原方程改写成11ln dx x dy y y y+=,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为 ln ln ln ln ln ln 1111dy dyy yy y y y x e e dy C e e dy C y y --⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰2111ln 11ln ln ln 2y dy C y C y y y ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 即 ()212ln ln 2x y y C C C =+=.(C 为任意常数)(注: ln ln 1ln yey-=,当ln 0y >时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当ln 0y <时,则 ln ln ln ln 1111ln 1ln 1ln ln ln ln yy yy y ee dy C dy C dy C dy C y y y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰与上述结果一样) 2、求微分方程0|,sec tan 0==-=x y x x y dxdy满足所给初始条件的特解。

《高等数学》同济第六版第7章答案

1 3
1 （5）此级数为等比级数且公比 q = − ，所以该级数收敛，且收敛于 3
（6）此级数为等比级数且公比 q =
1 1 1 − (− ) 3
=
3 ； 4
7 > 1, ，所以该级数发散。. 6
6.将循环小数 0.25252525 " 写成无穷级数形式并用分数表示. 解： 0.25252525 " = 0.25 + 0.0025 + 0.000025 + "
∞ 1 1 1 (−1) n −1 = 1− + − +" = ∑ 3 5 7 n =1 2n − 1
级数
∞ ∞ 1 1 nπ (−1) 2 n −1 发散而级数收敛，所以级数条件收敛. sin ∑ ∑ ∑ 2 n =1 2n − 1 n =1 n n =1 2n − 1 ∞
（4） lim
n →∞
∑ (−1)
n+2 6n + 1
解：（1） lim
n →∞
∞ ∞ un 1 1 (2n − 1) 2 1 = lim = ，而级数 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 收敛； 2 1 1 n →∞ 4 n =1 n n =1 (2n − 1) n2 n2
从而级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 绝对收敛； (2n − 1) 2
2n + 2 (1) ∑ 2n n =1
∞
n! (2) ∑ n n =1 3
∞
(3)
∑n
n =1
∞
3
sin
π
2n
2n ⋅ n ! (4) ∑ nn n =1
∞
2n + 4 ∞ n +1 2n + 2 a n +1 1 解：（1） lim = lim 2 = < 1 ，所以级数收敛； n →∞ 2n + 2 n→∞ a 2 2n n n =1 2n

高等数学习题详解-第7、8章_

⾼等数学习题详解-第7、8章_⾼等数学第七、⼋章练习题1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标⾯或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平⾯上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标⾯的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy ⾯的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz ⾯的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx ⾯的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点.解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==5、已知向量→a =（0，3，1），→b =（1，2，-1），则→→?b a =_____5___；6、过点A （1，-2，1）且以a →=（1，2，3）为法向量的平⾯⽅程是230x y z ++= 7、过点（1，-2，3）且与平⾯7360x y z -+-=平⾏的平⾯⽅程是＿7(1)3(2)(3)0x y z --++-=＿；8．已知两点)1,2,4(1M 与)2,0,3(2M ，求21M M ，⽅向余弦，⽅向⾓．解 }1,2,1{21--=M M ，21)2()1(22221=++-=M M ，⽅向余弦为21,22,21--，⽅向⾓为3,43,32πππ． 9．试确定m 于n 的值，使向量},3,2{n a -=与向量}2,6,{-=m b 平⾏．解 2632nm =-=-，得1,4-==n m ． 10、已知平⾯1π：11110A x B y C z D +++=与平⾯2π：22220A x B y C z D +++=，则1π||2π的充要条件是＿＿，⽽1π⊥2π的充要条件是＿＿；11、平⾯3210x y z -++=的法向量为)2,1,3(-＿＿；12、过点（1，-2，2）且以向量a →=（1，-2，3）为⽅程向量的直线⽅程是＿＿； 13、指出下列⽅程在平⾯解析⼏何与空间解析⼏何中分别表⽰什么⼏何图形？(1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1；(3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.解：(1)表⽰直线、平⾯。

高等数学第七章课后习题解答

习题1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-；()2,3,1--M 到x 轴的距离为()132322=-+；()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-.3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3；()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()25534222=+-+；()5,3,4-A 到x 轴的距离为()345322=+-；()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()53422=-+.6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即()()()()=-+-+--22270230y ()()()()22270130--+-+-y解得 23=y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()103321017222=-+-+-==AB c ；AC 边长()()()()3312311222=-+-+--=b ； BC 边长()()()()1173110371222=-+-+--=a .由余弦定理知cos ∠BAC ()010321171032222222<⨯⨯-+=-+=bc a c b ，所以，∠BAC 为钝角.8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等.【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即()()()()=-+--+-2225011y x ()()()222443-+-+-z y x()()()222164-+-+-=z y x解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D习题1.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示DA CD BC AB ,,,.【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .()b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=-==2121212121；同理可求出，()b a a b OC BO BC +=+=+=212121；()a b AB CD -=-=21；()b a BC DA +-=-=21.2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()n m n m n m 733232-=+--=.3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示EF DE CD BC ,,,.【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；a BA BA AO DE -=-===；().b a BC EF +-=-=5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有什么有何特征？【解】（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；（2）因为a 垂直于xoy 面，故a 平行于z 轴，从而a ∥{}1,0,0=k ，所以，0==y x a a .（3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a . 6.已知向量{}7,4,4-=AB ，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标. 【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x AB ----=7,1,2，根据已知条件，有77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为 ()0,3,2-A .7.已知向量{}1,1,6-=a ，{}0,2,1=b .求（1）向量b a c 2-=；（2）向量c 的方向余弦；（3）向量c 的单位向量. 【解】（1）c {}{}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.（2()()26134222=-+-+=.故，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==261,263,2640c c ，所以，向量c 的方向余弦为.261cos ,263cos ,264cos -=-==γβα（3）.向量c 的单位向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--±261,263,264.8.试确定m 和n 的值，使向量k n j i a ++-=32和k j i m b 26+-=平行. 【解】因为a ∥b ，所以2632nm =-=-，解得 .1,4-==n m9.已知向量{}12,9,8-=b 及点()7,1,2-=A ，由点A 作向量AM 34=，且AM 与b 的方向相同.求向量AM 的坐标表达式及点M 的坐标.【解】设()z y x M ,,，则{}7,1,2-+-=z y x AM .据题意知AM ∥b 且与b 同向，因此有λ=--=+=-1279182z y x ，① 且 0>λ. ② 由①式得 λλλ127,91,82=-++=-z y x .又已知34=，故有 ()()()341298222=++λλλ. ③③式化简得4115628922=⇒=λλ，解得 2=λ或2-=λ（舍）.所以，.17,17,18-===z y x因此AM {}24,18,16-=，()17,17,18-=M .10.已知点()4,2,1--A 和点()z B ,2,6-9=，求z 的值.【解】()(){}{}4,4,74,22,16+-=------=z z AB .9=，得()()9447222=++-+z ，化简得082=+z z ，解之，得 0=z 或.8-=z11.已知点()1,2,41M 和点()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 【解】{}{}1,2,112,20,4321--=---=M M ；()()2121222=+-+-=.因为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=--==21,22,211,2,12121021M M M M .所以21M M 的方向余弦是.21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα 方向角为.3cos ,43,32πγπβπα===12.求与下列向量a 同方向的单位向量0a . （1）{}1,4,2-=a ；（2）k j i a ++-=32. 【解】（1()21142222=+-+=，所以{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-==211,214,2121,4,22110a a .（2()14132222=++-=，所以.141,143,1421410⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a a 习题1.设向量k j i a 23--=，k j i b -+=2.求：（1）b a .；（2）b a ⨯；（3）()()b a 32⨯-；（4）()b a 2⨯；（5）向量b a ,的夹角. 【解】（1）()()()3122113.=-⨯-+⨯-+⨯=b a ；（2）k j i j b a 7521++=-=⨯；（3）()()()1836.63.2-=⨯-=-=-b a b a ；（4）()()k j i b a b a 1421022++=⨯=⨯；（5）()()14213222=-+-+=()6121222=-++=，故21236143.,cos =⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a b a ，所以向量b a ,的夹角为.2123arccos ,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a2.设向量a ，b ，c 为单位向量，且满足0=++c b a ①.求：a c c b b a ...++. 【解】由①式得()0.=++c b a a ；()0.=++c b a b ； ()0.=++c b a c .即0..=++c a b a ； ②0..=+c b a b ； ③0..=++b c a c ； ④ 将②、③、④相加得()03...2=+++a c c b b a所以，.23...-=++a c c b b a3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求：（1）同时与AB 及AC 垂直的单位向量；（2）ABC ∆的面积. 【解】（1）AB AC⨯{}16,12,151612153405=++=--=k j i kj .25161215222=++=. 所以，同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=⨯±2516,2512,25116,12,15251AC AB .（2）ABC ∆的面积225==. 4.设{}2,5,3-=a ，{}4,1,2=b ，则当实数λ与μ有什么关系时，能使b a μλ+与z 轴垂直？【解】{}μλμλμλμλ42,5,23+-++=+b a .要使b a μλ+与z 轴垂直，只须b a μλ+与{}1,0,0=k 垂直，于是有()042.=+-=+μλμλk b a ，即 .2μλ=5.设质量为100kg 的物体从点()8,1,31M 沿直线移动到点()2,4,1M ，计算重力所做的功.【解】{}6,3,21--==M M s ，{}{}980,0,01008.9,0,0=⨯-=F .所以，{}{}58806,3,2.980,0,0.=---==s F W （焦耳）.6.已知{}3,2,1-=a ，{}1,4,2-=b ，{}0,2,4=c ，b a ⨯是否与c 平行？【解】{}0,5,1005104221--=+--=--=⨯k j i j i b a ；因为c b a 52-=⨯，所以，b a ⨯与c 平行.7.求一个单位向量使其同时垂直向量{}0,1,1=a 和{}1,1,0=b .【解】{}1,1,111-=+-==⨯k j i j b a .()3111222=+-+=. 所以同时垂直向量a 和b 向量的单位向量为 {}1,1,131-±=⨯±b .习题1.求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.【解】已经平面的法向量为{}5,7,3-=n .据题意知，所求平面的法向量可也取作n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0150733=--+---z y x . 化简得 04573=-+-z y x .2.求过点()6,9,20-M 且与连接坐标原点O 及0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作{}6,9,20-==OM n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0669922=----+-z y x . 化简得 0121692=--+z y x .3.求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-三点的平面方程. 【解】据平面的三点式方程，所求平面为()()()0121111121212111=---------------z y x . 即 ()()()0161913=++-+--z y x . 化简得 023=--z y x .4.求平面0522:=++-z y x π与坐标面xoy 、yoz 及zox 的夹角的余弦. 【解】平面π的法向量为{}1,2,2-=n ；xoy 面的法向量为{}1,0,0=k . 由公式，平面π与xoy31=；同理，平面π与yoz32=；平面π与zox32-=.5.求点()1,2,1平面01022:=-++z y x π的距离. 【解】12211012221222=++-⨯+⨯+=d .6.求两平行平面0:11=+++D Cz By Ax π与0:22=+++D Cz By Ax π之间的距离.【解】在1π上任取一点()1111,,z y x M ，则1M 到2π的距离d 就是所求1π与2π之间的距离.由点到平面的距离公式得 2222111CB A D Cz By Ax d +++++=. ①又11π∈M ，故有 0:11111=+++D Cz By Ax π，即1D Cz By Ax -=++. ②将②代入①，立得 22212CB A D D d ++-=.7.一平面通过()1,1,11M 和()11,02-M 两点，且垂直于平面0=++z y x .求该平面方程.【解】已知平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,1=n ，{}2,0,121--=M M .据题意，可取所求平面的法向量为{}1,1,2211120121--=--=--=⨯k j i kj in M M . 所以，所求平面方程为()()()011.11.2=-----z y x ，即 02=--z y x .8.求满足下列条件的平面方程：（1）过点()2,1,3--和z 轴；（2）过点()2,0,4-及()7,1,5且平行于x 轴；（3）过点()3,5,2-，且平行于zox 面；（4）过点()1,0,1-且同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=.【解】（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+By Ax π. ①又将点()2,1,3--的坐标代入①，得03=+-B A ，即 A B 3=.因此，所求平面π为.03=+Ay Ax ②注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以A ，得到 03:=+y x π.（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=++D Cz By π. ①又将点()2,0,4-及()7,1,5的坐标分别代入①，得⎩⎨⎧=++=+-.07,02D C B D C ，故 ⎩⎨⎧-==.9,2C B C D .因此，所求平面π为.029=++-C Cz Cy ②注意到0≠C （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以C ，得到 029:=++-z y π.（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+D By π. ①又将点()3,5,2-的坐标代入①，得05=+-D B ，即 B D 5=.因此，所求平面π为.05=+B By ②注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以B ，得到 05:=+y π.（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.将点()1,0,1-的坐标代入①，得0=+-D C A . ② 又因为π同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=，故n 同时垂直于向量k j i a ++=2，j i b -=，于是有.02=++C B A ③ .0=-B A ④ ②、③、④联立得到A D A C AB 4,3,-=-==因此①成为043:=--+A Az Ay Ax π . ⑤ 注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以A ，得到 043:=--+z y x π.9.平面在y 、z 轴上的截距分别为30，10，且与{}3,1,2=r 平行，求该平面方程.【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.因为π在y 、z 轴上的截距分别为30，10，故π过点()0,30,0及(),10,0,0.将此两点坐标代入①得030=+D B . ②及 010=+D C . ③又已知π与{}3,1,2=r 平行，故n 垂直于向量r ，于是有032=++C B A . ④②、③、④联立得到B A BC BD 5,3,30-==-=.因此①成为03035:=-++-B Bz By Bx π. ⑤注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以B ，得到 03035:=-++-z y x π.10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面.（1）013=-x ；（2）012=-+z y ；（3）02=+z x ；（4）135=-+z y x .【解】（1）因方程中z y ,前面的系数为零，故平面013=-x 平行于yoz 面；（2）因方程中x 前面的系数为零，故平面012=-+z y 平行于x 轴；（3）因方程中没有常数项，且y 前面的系数为零，故平面02=+z x 通过y 轴；012=-+z y 02=+z x ；（4）135=-+z y x 可化为113151=-++z y x ，故135=-+z y x 是在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为51、31和1-的平面. 习题1.用点向式方程及参数式方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-.42,1:z y x z y x L 【解】任取方程组的一组解⎪⎩⎪⎨⎧===.1,1,1z y x 则有，L 过点()1,,1,10M .可取直线的方向为{}3,1,232121121-=++-=-=⨯k j i j in n . 所以，所求直线L 的点向式方程为 311121-=-=--z y x . 进一步，L 的参数式方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=.31,1,21t z t y t x2.求过()1,2,31-P 、()2,0,12-P 两点的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,2,421-==P P s . 故所求直线为.112243-=+=--z y x 3.求过点()3,1,4-且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}5,1,2=s .故所求直线为 .531124-=+=-z y x 4.求过()1,32-且垂直于平面0132=+++z y x 的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,3,2=s .故所求直线为.113322-=+=-z y x 5.求过点()2,1,00M 且与直线21111z y x =--=-垂直相交的直线方程. 【解】过点()2,1,0且与直线21111z y x =--=-垂直的平面π为 ()()()02210.1:=-+---z y x π.即 032:=-+-z y x π . ① 化直线21111z y x =--=-为参数式得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.2,1,1t z t y t x ②将②代入①，有()()()032211=-+--+t t t . ③ 解得 21=t . 故直线21111z y x =--=-与平面π的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,231M . 因此所求直线的方向为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==1,21,2310M M s ∥{}2,1,3-. 故所求直线为.221130-=-=--z y x6. 过点()0,2,10-M 向平面012=+-+z y x 作垂线，求垂足坐标.【解】过点()0,2,10-M 且与平面012=+-+z y x 垂直的直线L 为 .102211:--=-=+z y x L ① 化直线L 为参数式得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=.,22,1t z t y t x ②将②代入平面012=+-+z y x 方程中，得()()()012221=+--+++-t t t . ③解得 32-=t . 故垂足坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,32,351M . 7.求直线⎩⎨⎧=-+-=-+-,0123,09335:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=-++=+-+.01383,02322:2z y x z y x L 的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}1,4,34323351-=-+=--=k j i j is ； 2L 的方向为{}10,5,101051083222-=+-==k j i j is ∥{}2,1,2-. 因为()()0211423.21=⨯-+-⨯+⨯=s s ，所以1L 与2L 垂直，从而2πθ=.8.求直线21121:+=-=-z y x L 与平面02:=+-z y x π的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}2,1,2-=s ，平面π的法向量为{}2,1,1-=n . ()()7221112.=⨯+-⨯-+⨯=n s .()3212222=+-+=. ()6211222=+-+=.故637sin ⨯==θ，所以，637arcsin ⨯=θ.9.求过点()2,0,10-M 且垂直于平面032:=+-z y x π的直线方程.【解】根据题意知，所求直线L 的方向向量即为平面π之法向量，即 {}3,12-=s . 所以，由点向式方程知，所求直线为321021:+=--=-z y x L . 10.设平面π过直线130211:1--=-=-z y x L ，且平行于直线11122:2z y x L =-=+，求平面π的方程.【解】显然面π过点()3,,2,10M . 可取面π的法向量为{}1,3,13120121-=+-==⨯=k j i j is s n . 所以，平面π的方程为 ()()()03.12.31.1=-+---z y x .化简得023:=++-z y x π.11.求过点()1,2,10P 和直线⎩⎨⎧=--=-.032,6:z y x z x L 的平面π的方程. 【解】直线L 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==.6,9,:x z x y x x L显然L 过点()6,9,01-P ，且L 的方向为{}1,11-=s .根据题意，可取平面π的法向量为{}6,6,0660117110--=--=--=⨯=k j i j is P P n ∥{}1,1,0. 所以，平面π的方程为 ()()()01.12.11.0=-+-+-z y x .化简得03:=-+z y π.习题1.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.（1）1=-y x ；（2）x y 22=；（3）122=-y x ；（4）1222=+y x . 【解】（1）1=-y x 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于z 轴的平面；（2）x y 22=在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；（4）1222=+y x 在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几何中表示一张椭圆柱面.2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程.（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周；（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周；（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周.【解】（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周得到的曲面是 ()x z y 5222=+±，即 x z y 522=+.（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周得到的曲面是 ()36942222=-+±y z x ，即36494222=+-z y x .（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周而得到的曲面是 ()013222=+-+±z y x ，即()()222134-=+z y x . 3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ；【解】（1）1994222=++z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422y z x 绕x 轴旋转一周而形成. （2）14222=+-z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422z y x 绕y 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422x y z 绕y 轴旋转一周而形成. （3）1222=--z y x 由曲线⎩⎨⎧==-,0,122z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎩⎨⎧==-,0,122y z x 绕x 轴旋转一周而形成. 4.指出下列各方程所表示的曲面.（1）14416916222=++z y x ；（2）144944222=+-z y x ；（3）z y x 729422=-；（4）16922=+z y ；（5）22z y x --=；（6）224y z x =+；（7）36249222=++z y x ；（8）444222=-+x y z .【解】（1）原方程可化为()1169222=++y z x . 所以，原方程表示的是旋转椭球面.（2）原方程可化为 1163838222=+-z y x . 所以，原方程表示的是双叶双曲面.（3）原方程可化为81822y x z -= 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（4）原方程可化为 11691622=+z y . 所以，原方程表示的是椭圆柱面.（5）原方程可化为()22z y x +-=.所以，原方程表示的是旋转抛物面.（6）原方程可化为4122z y x -=.所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （7）原方程可化为11894222=++z y x . 所以，原方程表示的是椭球面. （8）原方程可化为1141222=-+x z y . 所以，原方程表示的是单叶双曲面.习题1.求球心在()3,2,1，半径为3的球面与平面5=z 的交线方程（写出一般式方程和参数式方程），并求出该曲线绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程. 【解】（一）球心在()23,1，半径为3的球面方程为 ()()()9321222=-+-+-z y x .故球面与平面5=z 的交线的一般式方程为()()()⎩⎨⎧==-+-+-Γ.5,9321:222z z y x即()()⎩⎨⎧==-+-Γ.5,521:22z y x化为参数式方程为[]π2,0.5,sin 52,cos 51:∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=Γt z t y t x .（二）利用公式()()()()()[][]()πθβαθθ2,0,,.,sin ,cos 2222∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=t t z z t y t x y t y t x x .Γ绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 [][]()πθπθθ2,0,2,0.5,sin sin 54cos 5210,cos sin 54cos 5210∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=t z t t y t t x .2.分别求出母线平行于x 轴、y 轴且通过曲线()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++Γ2,01,162:222222z y x z y x 的柱面方程. 【解】（一）（1）、（2）联立消去x ，得 16322=-z y .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为16322=-z y . （二）（1）、（2）联立消去y ，得 162322=+z x .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为162322=+z x . 3.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+. 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 21=. 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为.23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21=. 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== 5.画出下列各曲面所围立体的图形. （1）0,22==z x y 及1224=++zy x ；（2）0,,222==+=z y x y x z 及1=x . 【解】略.6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 7.写出圆锥面22:y x z S +=的参数方程.【解】().20,0.,sin ,cos πθθθ≤≤+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===r r z r y r x习题1.设向量值函数()k t j t i t t r ++=sin cos ，求()t r t 4lim π→. 【解】()t r t 4lim π→k j i k t j t i t t t t 42222lim sin lim cos lim 444ππππ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→. 2.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-='t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±='r 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|1,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x s '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t t t ===.由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,sin cos 2,cos |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .6.已知(){}t t t t r 2,1,12-+=表示空间一质点在时刻t 的位置，求质点在时刻t 的速度和加速度向量，并求质点在指定时刻1=t 的速率和运动方向. 【解】（一）时刻t 的速度向量为()()()()(){}2,2,12,1,12t t t t t r t v =⎭⎬⎫⎩⎨⎧''-'+='=；时刻t 的加速度向量为()()()()(){}{}0,2,02,2,1='''=''=t t r t a .（二）1=t 的速度为(){}2,2,11=v )32211222=++=. 1=t 的速度为(){}2,2,11=v()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=32,32,311.复习题71.填空题（1）设b a ,为非零向量，若0.=b a ，则必有a ⊥b .（2）设b a ,为非零向量，若0=⨯b a ，则必有a ∥b .（3）若直线l 的方向向量s 与平面π的法向量n 互相平行，则直线l 与平面π必垂直.（4）点()1,5,3P 到平面07623=+++z y x 的距离732. （5）若动()z y x M ,,到定点()5,0,0的距离等于它到x 轴的距离，则该动点的轨迹方程为25102-=-z x .（6）直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=.31,1,2t z t y t x 与平面0765=-+-z y x 的位置关系是相交但不垂直.【解】直线l 的方向向量为{}3,1,1-=s .平面的法向量为{}6,5,1-=n .因为024.≠=n s ，且s 与n s .的坐标分量不成比例，所以直线l 与平面π相交. 2.判断题.（1）若c a b a ..=，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （2）若c a b a ⨯=⨯，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （3）若c a b a ..= ① 且c a b a ⨯=⨯ ② ，则必有c b =.（⨯）【解】取0=a ，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 .【书后答案有误】. 【注意：如果假定c b a ,,均为非零向量，则上述命题是正确的，其理由如下：由①式得 ()0.=-c b a ，说明a 与c b -垂直；由②式得 ()0=-⨯c b a ，说明a 与c b -平行. 因为a 为非零向量，故c b -必为零向量，从而c b =. （4）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ..=.（√）（5）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ⨯=⨯..（⨯）3.已知直线⎩⎨⎧=+--=+++.03102,0123:z y x z y x l 平面024:=+-z y x π，则直线l 与平面π的位置关系为（B ）A. 平行于平面π C. 在平面π上B. 垂直于平面π D. 与平面π斜交.【解】在直线l 上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-0,71,7100M .直线l 的方向向量为k j i j i n n s 71428123121-+-=-=⨯=∥{}1,2,4-. 平面的法向量为{}1,2,4-=n .因为s ∥n ，所以直线l 与平面π垂直.4.设c b a u 2+-=，c b a v ---=3，试用c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()c b a 22+-=()c b a ----33c b a 775++=.5.设点C 为线段AB 上一点，且AC CB 2=，O 为AB 外一点，记OA a =，OB b =，OC c =，试用b a ,来表示c .【解】由题意知，a b OA OB AB -=-=，a b AB AC 313131-==. 所以，a b a a b OA AC AO AC c 32313131+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=.6.已知k j i a +-=32，k j i b 3+-=，j i c 2-=.计算：（1）()()b c a c b a ..-；（2）()()c b b a +⨯+. 【解】（1）()()8311312.=⨯+-⨯-+⨯=b a ； ()()8302312.=⨯+-⨯-+⨯=c a .所以，()()()()k j k j b c b c b c a c b a 24838888..--=--=-=-=-.（2）k j i j ib a +--=--=⨯581132；k j i j ic a -+=--=⨯22132；k j i j ic b -+=--=⨯362111. 所以，()()c b b b c a b a c b b a ⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+()k j i +--=58 ()k j i -++2 ()k j i -++36 k j --=. 【或者这样做：k j i b a 443+-=+，k j i c b 332+-=+. 所以()()c b b a +⨯+.3243k j j i--=--=】 7.已知{}2,1,2=a ，{}10,1,4-=b ，a b c λ-=，且a ⊥c ，求实数λ. 【解】{}λλλλ210,1,24----=-=a b c .因为a ⊥c ，所以 ()()()λλλ210211242.0-⨯+--⨯+-⨯==c a ，即0927=-λ .解之得 .3=λ8.设{}1,2,3-=a ，{}2,1,1-=b ，求：（1）()()b a 72⨯；（2）i a ⨯. 【解】（1）k j i j i b a 5731123--=-=⨯{}5,7,3--=. 所以，()()b a 72⨯()b a ⨯=14{}{}70,98,425,7,314--=--=.（2）{}2,1,020001123--=--=-=⨯k j i kji i a . 9.3=，1=6π=，计算：（1）b a +与b a -之间的夹角；（2）以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积.【解】232313,.cos .=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧b a b a . ① （1+()71232322=+⨯+===；-()11232322=+⨯-===； ()()().213 (2)2=-=-=-+b b a a b a b a设b a +与b a -之间的夹角为θ，则有()(72172cos =⨯==b a b a θ，所以72arccos =θ.（2+()1314234322=⨯+⨯+===；-()319236322=⨯+⨯-===； ()()().2916233.6..3.222-=⨯--=--=-+b b b a a a b a b a设b a 2+与b a 3-之间的夹角为θ，则有()(392931329cos -=⨯-==θ，故 2613539291cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=θθ. 所以由三角形的面积公式知，以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积为.32526135313sin 2=⨯⨯=⎥⎦⎤⨯-+=θS10.已知点()0,0,1A 及()1,2,0B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. 【解】过点()0,0,1A 及()1,2,0B 直线l 的方向即为{}1,2,1-==AB s .l 的方程为 1211:zy x l ==--. 设点()z C,0,0，则{}2,1,22101---=--=⨯z z ji s AC . 点C 距l 的距离为()()()6212222-+-+-==z z d 65245152+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z明显地，当51=z 时，d 取到最小值55254=.所以，ABC ∆的面积最小值为 53055262155221=⨯⨯==∆S ABC . 所求点.51,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C11.求过点()2,1,3--且与平面01235=-+-z y x 平行的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量与已知平面相同，即为{}3,5,1-=n . 所以，所求平面方程为()()()0231.53.1=+++--z y x ，即 .0235=-+-z y x12.求过点()1,2,1且垂直于平面0=+y x 和05=+z y 的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量为k j i j in n n 5501121+-==⨯=. 所以，所求平面方程为()()()0152.11.1=-+---z y x ，即 .045=-+-z y x 13.求满足下列条件的平面方程.（1）过点()2,1,1--M 和()1,1,3N 且垂直于平面0532:=-+-z y x π；（2）过点()3,3,2-M 且平行于xoy 面. 【解】（1）可取所求平面的法向量为k j i j is MN n 63122122--=-=⨯=∥{}2,1,4--. 所以，所求平面方程为()()()02.21.11.4=+-+--z y x ，即 .0924=---z y x（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 .0=+D Cz将点()3,3,2-M 的坐标代入平面方程得.03=+D C 即 ()03≠-=C C D . 所以，所求平面为 .03=-C Cz 化简得.03=-z14.求过点()3,0,2-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.01253,0742:z y x z y x l 垂直的平面方程.【解】直线l 的方向为k j i j in n s 111416532121++-=-=⨯=. 所以，所求平面方程为()()()03.110142.16=++-+--z y x ，即 .065111416=+++-z y x15.求过点()1,3,20-M 和直线⎩⎨⎧=+-=--.062,0165:z y y x l 的平面方程.【解】化直线l 的为参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=.62,,165:y z y y y x l .因此直线l 过点()6,0,161M .可取所求平面的法向量为{}1,3,131531410--=--==⨯=k j i j is M M n . 所以，所求平面方程为()()()01.13.32.1=--+--z y x ，即 .0103=---z y x 【书后答案有误】. 16.求过点()1,1,1M 且与直线42135:-=+=-zy x l 平行的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}4,2,3-=s .所以，所求直线为412131--=-=-z y x . 17.求过点()4,2,00M 且与两平面12:1=+z x π和23:2=-z y π都平行的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}1,3,232100121-=++-==⨯=k j i j in n s . 所以，所求直线为143220-=-=--z y x . 18.求下列旋转曲面方程.（1）⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周；（2）⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周. 【解】（1）由公式，知⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周生成曲面 ()y zx 2222=+±，即 222z xy += ，为椭圆抛物面.（2）由公式，知⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周生成曲面 ()142222=++±z yx ，即 14222=++z y x ，为椭球面. 19.指出下列各方程所表示的是何种曲面.（1）11694222=++z y x ；（2）94322y x z +=；（3）64416222=-+z y x ；（4）3694222-=+-z y x . 【解】（1）表示椭球面；（2）表示椭圆抛物面；（3）可化为164164222=-+z y x ，故（3）表示单叶双曲面；（4）可化为14369222-=-+z y x ，故（4）表示双叶双曲面. 20.求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=Γ.,1,1:2t z t t y t t x ① 对应于1=t 处的切线方程.【解】将1=t 代入① ，得切点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,2,21.又切向量为()|12,1,1=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t tt t t t s ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==2,1,412,1,11|122t t t t ∥{}8,4,1-. 所以，曲线Γ对应于1=t 处的切线方程为8142121-=--=-z y x .。

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解（1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解（1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解（1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解（1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

高数第七章习题课解答

第七章习题课1.求函数z =.（总习题七A ，2）解答要使函数式有意义，只要⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥---+020)2)((222222y x x y x x x y x 成立即可，从而只要⎪⎩⎪⎨⎧+≠≤-+-+22222220)2)((yx x x y x x y x 成立当0≥x 时，由0)2)((2222≤-+-+x y x x y x 解得x y x x 222≤+≤，从而定义域为22{(,)|2}D x y x x y x =≤+<当0<x 时，由0)2)((2222≤-+-+x y x x y x 解得x y x x ≤+≤222，此时x y x ≤+≤220，矛盾.因此函数定义域就是22{(,)|2}D x y x x y x =≤+< 2. 求极限(,)(0,0)limx y xy e→+A ，4（1））解答1 令cos ,sin x y ρθρθ==，则22cos sin 01cos 1lim2x y x y e e ρθθρρρ→→→-==+；解答2 当0,0→→y x 时，022→y x ，从而122→y x e又因为022→+y x 为无穷小，由无穷小替换定理，)(21~cos12222y x y x ++- 从而2121lim )()(21lim )(cos 1lim 2222220022*******200==++=++-→→→→→→y x y x y x y x y x y x e e y x y x e y x y x 3.讨论函数()22222(,)x y f x y x y x y =+-当(,)(0,0)x y →时的极限存在性.（总习题七A ，5）解答取y x =和y x =-两条路径，有10lim )(lim 4402222200=+=-+→=→→x x y x y x y x x xy y x 04lim 4lim )(lim 22024********0=+=+=-+→→-=→→x x x x x y x y x y x x x xy y x 因此()22222(,)(0,0)limx y x y x y x y →+-不存在.4.讨论函数的连续性：（总习题七A ，6）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)tan(),(22y x y yy x y x f解答当0≠y 时，yy x y x f )tan(),(2=为初等函数，因此连续；当0=y 时，考虑)0,(0x 处的连续性.由于)0,(1)t an (lim )tan(lim ),(lim 020202220200000x f x x x y x y x y y x y x f y x x y x x y x x ==⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==→→→→→→，因此函数在)0,(0x 处也连续，故函数处处连续.5.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.（总习题七A ，11）解答21u y y yf g xg f g g x y x x ∂-⎛⎫''''=⋅++⋅=+- ⎪∂⎝⎭， 2222223311u y y y y f g g g f g x y x xx y x ∂⎛⎫''''''''''=+⋅-++=+ ⎪∂⎝⎭， 2222211u x y x y f g g g f g x y y x x x y x ⎛⎫∂⎛⎫''''''''''''=-+⋅--=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，故2220.u ux y x x y∂∂+=∂∂∂6.设函数()y y x =由(cos )(sin )1y xx y +=确定，求d d yx.（总习题七A ，12）解答由ln(cos )ln(sin )1y x x y ee +=，两边关于x 求导，得ln(cos )ln(sin )(sin )cos ln cos lnsin 0cos sin y x x y x y e y x y e y x y x y ⎛⎫-⎛⎫''+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即 ()()(cos )lncos tan (sin )lnsin cot 0y x x y x y x y y x y y ''-++⋅=.故 (cos )tan (sin )ln sin (cos )ln cos (sin )cot y x y x x y x y yy x x y x y-'=+.7．在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大.（总习题七A ，15）解答设圆锥的底半径为R ，高为h ，以底面圆心为坐标原点，底面圆心到顶点射线方向为z 轴正方向，建立坐标系，则圆锥的表面方程为z h -=，在圆锥面上取点),,(z y x ，以之为顶点的长方体的体积则为 224.V x y z xyz =⨯⨯=设(,,,)[()F x y z xyz R z h λλ=+-+，令0,0,0,()0.x y z F yz F xz F xy R R z h λ⎧'=+=⎪⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+=⎪⎪-+=⎩解得3x y R ==，13z h =，此时当长宽高分别为3,322,322hR R 时，长方体体积最大，最大体积为2max 827V R h =. 8.求极限222(,)(,)limx x y xy x y →+∞+∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭.（总习题七B ，1）解答由于2212xy x y ≤+，有2221022x x y x xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+≤，而021lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x由夹逼准则知222(,)(,)lim0x x y xy x y →+∞+∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 9.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则有 .（总习题七B ，4） A.(0,0)d 3d d z x y =-.B.曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-.C.曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3).D ．曲线(,),z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1).解答选C函数(,)f x y 在点(0,0)处的两个偏导数存在，但不一定可微分，故（A ）不对；曲面(,)z f x y =可化为0),(=-z y x f ，其法向量为)1,,(-y x f f ，故在点(0,0,(0,0))f 处的一个法向量是(3,1,1)--，而不是(3,1,1)-，故（B ）不对；以x 为参数，则曲线x x =，0y =，(,0)z f x =的切向量为),,1(x f y '，故在点(0,0,(0,0))f 处的一个切向量为(1,0,3)，故（C ）对，（D ）不对.10．设(,)f xy 具有连续偏导数，且当0x ≠时有2(,)1f x x =，2(,)x f x x x '=，求2(,)y f xx '.（总习题七B ，5）解答方程2(,)1f x x =左右两边对x 求导，得02),(),(22=⋅'+'x x x f x x f y x即 22(,)0y x xf x x '+=，求得21(,)2y f x x '=-. 11.设,sin ,sin u v x y u x v y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩确定函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，求d u ，d v .（总习题七B ，7）解答将方程组改写成,sin sin ,u v x y y u x v +=+⎧⎨=⎩两式两边微分得,sin cos sin cos .du dv dx dy udy y udu vdx x vdv +=+⎧⎨+=+⎩消去dv ，得 ()sin cos (sin cos )cos cos v x v dx u x v dy du x v y u+--=+，消去du ，得 ()cos sin (sin cos )cos cos y u v dx u y u dy dv x v y u-++=+.12.=（0a >，为常数）上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和为a .（总习题七B ，8）证设(,,)F x y z =(,,)x y z 的法向量为⎛⎫=n ，该点的切平面方程为)))0X x Y y Z z ---=，即X Z =这样，切平面在三个坐标轴上截距之和为a ==.13.在椭球面2222221x y z ++=上求一点，使得函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数具有最大值.（总习题七B ，9）解答由)0,1,1(-=知0cos ,21cos ,21cos =-==γβα，而(2,2,2)f x y z =grad因此2220)f z x y l ∂=-+⋅=-∂ 作222(,,))(2221)L x y z x y x y z λ=-+++-，令22240,40,40,222 1.x y z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪⎨==⎪⎪++=⎩解得11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭.比较得知方向导数在点11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭14.证明：函数(1)cos yyz e x ye =+-有无穷多个极大值，但无极小值.（总习题七B ，10）证明由(1)sin 0,(cos 1)0,yy z e x xz e x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩解得⎩⎨⎧==02y k x π或⎩⎨⎧-=+=2)12(y k x π.22(1)cos y z e x x ∂=-+∂，2sin y z e x x y ∂=-∂∂，22(cos 2)y z e x y y∂=--∂. 当0,2==y k x π时，1,0,2-==-=C B A ，由于0,022<>=-A B AC ，所以此时z 取得无穷多个极大值；当2,)12(-=+=y k x π时22,0,1---==+=e C B e A ，由0)1(222<+-=---e e B AC 知，此时z 没有极值.从而结论成立。

第七章高等数学试题及答案

第七章高等数学试题及答案第七章空间解析几何与向量代数1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。

解因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a ,) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a .2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。

解点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。

解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c .4．若4=r，它与轴u 的夹角为3π，求r 在轴u 上的投影。

解22143c o s ||j Pr =?=?=πr r u .5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

解设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以及和21M M 方向一致的单位向量。

高等数学下第七章

一、单项选择题1.数z =的定义域是（）（A ）x y +>0 （B ） x y +≠1（C ） 1x y +> （D ）ln()0x y +≠2. 计算()00lim sin x y xy xy →→=（） (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在3. 下列函数的定义域是有界闭区域的是（）(A) (,))=-f x y x y (B) sin()(,)+=+x y f x y x y(C) 1(,)=f x y x(D) (,)=f x y 4. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分以非必要条件.5. 函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的极值点为（）(A) (0,1) (B) (1,0) (C) 11(,)22 (D) 12(,)336. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分以非必要条件.7. 函数)4ln(1),(2222y x y x y x f --+-+=的定义域是（）(A){}22 (,)1 2 x y x y <+<； (B){}22 (,)1 4 x y x y ≤+<； (C){}22 (,)1 2 x y xy <+≤； (D){}22 (,)1 4 x y x y ≤+≤. 8. 若二元函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则(,)f x y 在点),(y x 下列结论不一定成立的是 ( )（A ）连续；（B ）偏导数存在；（C ）偏导数连续；（D ）d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂.9. 设二元函数),(y x f z =有二阶连续偏导数，且d (,)d (,)d z P x y x Q x y y =+，则Q P x y∂∂-∂∂=（） (A)1-； (B) 0； (C) 1； (D) 2.10. 设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论成立的是 ( )（A ）0(,)f x y 在0y y =处导数为0 ；（B ）0(,)f x y 在0y y =处导数大于0；（C ）0(,)f x y 在0y y =处导数小于0；（D ）0(,)f x y 在0y y =处导数不存在.11. (),f x y 在点()00,x y 处具有偏导数是该函数(,)f x y 在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分也非必要条件.12. 设22,yu u x y ∂==∂（） (A)()21ln y y x -； (B)ln y x x ； (C)2ln y x x ； (D)()21y y y x --. 13. 设22(,)f x y xy x y +=+, 则=),(y x f （）(A) 22x y +； (B) 22x y -； (C) 22x xy y -+； (D) 22x xy y ++.14. 0x y →→=（） (A) 1； (B) 2； (C) 不存在； (D) ∞. 15. 02lim sin()x y x xy →→=（） (A) 不存在； (B) 1； (C) 0； (D)12. 16. 设2(,)(2)arctan f x y x y y x=+-，则(1,2)x f =( ) (A)1； (B)2x ； (C)2； (D)0.17. 设函数),(y x f z =可微，则00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =是函数在点),(00y x 处有极值的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分以非必要条件.18. 二元函数332233z x y x y =+--的极小值点为（）(A) (0,0); (B) (2,2); (C) (0,2); (D) (2,0)19. 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 则p V T V T p ∂∂∂⋅⋅=∂∂∂（） (A) 1； (B) -1； (C) 0； (D) 不存在.20. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分以非必要条件.21. 函数),(y x f z =在点),(00y x 连续是偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在的( )（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分也非必要条件.22. 某公司生产甲,乙两种型号的产品，总成本为22(,)2034,C x y x xy y =+++其中x ,y ,是日产量，分别当3,5x y ==时，这两种型号产品的边际成本为（）(A) 23,43； (B) 43,23； (C) 43,63； (D) 63,43.23. 过)0,0,1(1M , 2(0,2,0)M ，3(0,0,3)M 的平面方程是（）(A) 230x y z ++=(B) 320x y z ++= (C) 023y z x ++= (D) 032x y z ++=. 24. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）即非充分以非必要条件.25. 设22),(y x y x y x f +=-+ 则=),(y x f （） (A) xy ； (B)22y x +； (C) 222y x +； (D) 222y x -.26. 设)(xy yf z = 则=∂∂-∂∂yz y x z x （） (A))(xy f ； (B) 0； (C))(xy yf -； (D))(xy xf .27. 设22(,)3f x y x y x y +-=+, 则=),(y x f （） (A)222y x +； (B)22x y +； (C)22x xy y -+； (D)22x xy y ++. 28. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的（）（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分亦非必要条件.29. 偏导数),(y x f x ，),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的（）（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分亦非必要条件.二、填空题1、设sin 2y z e x =，则201x y z x y ==∂=∂∂___________.2、设()ln u x yz =-，则d u =____________.3、若=z 则d z = .4、在空间坐标系中，过点P (2, 0, 0)，Q (0, 3, 0)，R (0, 0, 1)的平面方程为_____________.5、若sin()x u e yz =, 则在点1(1,,)22π处d u = . 6、在空间坐标系中，过点(2,0,0)，(0,2,0)和(0,0,2)的平面方程为_____________.7、若22(,,)x yz f x y z e ++=, 则(2,0,1)y f =____________. 8、设2sin 2,x z e y -=则2z x y∂∂∂=_____________. 9、若3(,,)cos(2)z f x y z x y e =++, 则(0,1,2)x f =____________.10、设235432z x xy x y =+-+则2z x y ∂∂∂=_____________.11、极限()()(),3,0sin lim x y xy y→=___________. 12、设cos 2,x z e y -=则d z =____________.13、若2lnxy u z =, 则du =____________. 14、22ln(1)zx y =++，则在点(1,1)处的全微分d z = 15、sin()xy z e =, 则d z = .16、设cos3,x z e y -=则2z x y∂∂∂=_____________. 17、设yx z e =，则22z y∂=∂ 18、sin()z x x y =+，则2z x y∂=∂∂ . 19、若(,,)ln()f x y z x yz =+, 则(1,0,2)z f =____________.20、设sin 2,xz e y =则2z x y ∂∂∂=_____________. 21、过点P (3, 0, 0)，Q (0, 2, 0)，R (0, 0, 1)的平面方程为____________22、若sin z x y =, 则d z =____________.23、若(,,)sin(2)f x y z xy z =+, 则(1,0,0)y f =__________________24、若cos z y x =, 则d z =____________.25、若xyz e =, 则在点(1,3)处全微分d z =____________. 26、设ln(),z x x y =-则2z x y∂∂∂=_____________. 27、二元函数843),(23+--+=y x y x y x f 的极小值为____________. 28、设ln()sin z xy x =⋅, 则2z x y∂∂∂=_____________.29、设v u z 2=,而y x u sin =,y x v cos ln =,则x z ∂∂=____________. 30、设x ez y x sin 2+=, 则2z x y ∂∂∂=_____________.三、计算题1、设22(3)y z x y =+，求,z z x y∂∂∂∂．四、综合应用题 1、生产某产品要用A 、B 两种材料，设该产品的产量Q 与原料A 、B 的数量,x y （单位：t ）之间有关系式20.005Q x y =.要用15000元购买原料，已知A 、B 原料的单价分别为100元/t 、200元/t ，试问购进两种原料各多少吨可以使产品的产量最大？2、某工厂生产甲、乙两种小汽车，已知甲的售价为9万元/台，乙的售价为10万/台，当甲生产x 台、乙生产y 台时的总成本函数为 22+33(,)30032100xy x y C x y x y +=+++，问甲、乙两种产品的产量是多少时，利润最大？最大值为多少？3、设12,Q Q 依次是商品甲、乙的需求量，其需求函数依次为11282Q p p =-+，2121025Q p p =+-又设总成本函数为1232C Q Q =+，其中12,p p 分别是甲、乙的价格，问甲、乙两种商品的价格12,p p 定为多少时，可使总利润最大？4、设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x 和y （单位：千件），利润函数为22(,)81642L x y x y x y =+---（单位：万元）已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大?最大利润是多少？5、某企业为销售产品作两种形式的广告宣传，当广告宣传费用分别为x 、y (单位:万元)时，销售量是10(5)5(10)Q x x y y =+++，若销售产品所得的利润是销量的15减去广告费，现要使用15万元的广告费，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？6、某牧场出售牛排和牛皮两种产品，已知牛排需求量是牛皮需求量的两倍，牛排和牛皮的需求函数分别为11221102,140P Q P Q =-=-其中，1P 与2P 分别为牛排和牛皮的价格，1Q 与2Q 分别为牛排和牛皮的需求量.总成本为()22121122,2200C Q Q Q QQ Q =+++，试问牛排和牛皮的价格各定为多少时，总利润最大？7、某公司通过报纸和网络两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与报纸广告费x (单位:万元)和网络广告费y (单位:万元)之间的关系为22(,)1514328210R x y x y xy x y =++---若广告费用总预算是3万元,求使利润最大的广告策略?8、某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。

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第七章测试题答案
一、填空（ 20 分）

1、
xy
x 2 y 2 x 3 y
x 5 是
3
阶微分方程；

2、与积分方程
y
x
y f ( x, y)
f ( x, y)dx
等价的微分方程初值问题是
；

x
0

x
x
0

、已知微分方程
y 2y y
0
，则函数

y
2 x

不是（填“是”或“不
3

x e

是”）该微分方程的解；

4 、设 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程
y p( x) y q( x) y 0
的两个特解，

C1 , C2 为任意常数，则 y C1 y1 C2 y2
一定是该方程的

解（填“通解”或“解” ）；
、已知 y 1、 y x 、
y
2

5
x
是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该

方程的通解为：
y
C
1 ( x2 1) C2
( x
1)
1

；

、方程 y 4 y 5y 0的通解为
y 2 x ( C1 cos x
C
2

sin )
. 6
e x

7、微分方程 y 4 y cosx 的特解可设为
y
*
A cosx

B sin x

；

8、以 x1 x2 2为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：

y 4 y 4 y
0
；

9、微分方程 y y ex 1 的特解 y* 形式为： y axex b ；
10、微分方程
y
y 4 y 4 y

0 的通解： C1ex C 2 cos2x C2 sin 2x

。

二、（ 10 分）求
y
y
x 的通解
.

解：由一阶线性微分方程的求解公式
1 1

y e
dx

e x xdx
C)

，

(

1
( x 2dx C ) 1 x 2 C

x
3 x

三、（ 10 分）求解初值问题
y
xy 0, y(0) 2

.
解：
y
xy 0

分离变量
1
dy
xdx
，

x
2
x
2
两边同时积分
ln y
ln C ， y
Ce 2
，

x
2
又由 y(0) 2，得 C 2 ，故
y
2e
2

四、（15 分）曲线的方程为 y f ( x ) ，已知在曲线上任意点 ( x, y) 处满足 y 6 x ，
且在曲线上的 (0, 2) 点处的曲线的切线方程为 2 x 3 y 6，求此曲线方程。
解：
y

6 x 得 y 3x 2 C 1 ， y x 3 C 1 x C 2

，

又由
y(0)
2, y (0)

2
知，
C

1
2
, C

2
2

，

3 3

故曲线方程为
y
x

3
2

x x
x
) dy
五、（ 15 分）求齐次方程
(1
2e
y ) dx 2e y

(1
0

的通解.

y
x
x
)

dx
2e y (1

解：原方程可化为
dy
x
，

1 2e
y

x ，则 x yu ， dx u y du
.
令
u

dy dy y

原方程变为：
u
y
du

dy
2e
u
1

分离变量，得
2eu
u
du

2eu ( u 1)
1
2e

dy
y

du 2eu u
即
y

1 u . dy 2e

e
u
u ) ln y ln C

两边积分得：
ln( 2

即
2e
u
u C
.

y
x
以代入上式中的 u ，化简得方程的通解为：
y

x
2ye
y
x C
.

六、（ 15 分）求解初值问题：
y3 y
1 0

0
.
y
x 1
1, y
x 1

解：设 y p ，则
y
p dp
，代入方程得：

y3 p
dp
1 0
，分离变量并积分，得：

1 p2 1 y
2

1
C ，即 p
y
2

C
.

2 2
2

当 x 1 时， y 1, p 0 ，得
C
1

则
p
dy

2
1
.

分离变量并积分，得：
x C1 1 y
2

由
y
x 1

1，得 C
1
1
.

则 ( x 1) 1 y2 即
y
2x x 2
.

七、（ 15 分）求方程 y 4 y 4 y 3 2x 的通解 .
解：该方程对应的齐次方程的特征方程为
r
2
5r 4
0，解得
r
4, r

2
1

1
则
Y
C e
4 x C e x
.

1 2

由于
0
不是特征根，所以设
y

为
y
*

ax
b
，

代入原方程，得：
a
1
,
b 11
.

2 8
所以
y
*
1 11
x

8
.

2
该二阶常系数非齐次线性方程的通解为

y Y y* C e 4 x C e
x
1

1 2
2
8
.