概率论16

❖ 二、相关系数
❖ 定义:设(X,Y)是二维随机向量,若方差DX>0,DY>0,则称
XY
COV (X ,.Y ) 为X与Y的相关系数 DX DY
❖ 显然, ρXY与协方差COV(X,.Y)同号,ρXY反映了X与Y的线性相
关程度(关系)
❖ 当ρXY >0时 ,X与Y正相关 . 当ρXY <0时,X与Y负相关.
❖ 记作COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] ❖ 当X,Y是离散型随机向量.
COV (X ,Y )
(xi EX )(y j EY)Pij
ij
❖ 当X,Y是连续型随机向量
COV ( X ,Y )
(x EX )( y EY ) f (x, y)dxdy
❖ 协方差的性质
❖
定当理ρX1Y:=0时
,X与Y不相关.
1 XY 1
❖ 证明: 构造:
E[t(X EX) (Y EY)]2
E[t2 (X EX)2 2t(X EX)(Y EY) (Y EY)2 ]
t 2 DX 2tCOV ( X .,.Y ) DY 0
故 0
[2COV ( X ,.Y )]2 4DX .DY 0
X与Y独立 协方差为O 不相关
❖ (5) D(X±Y)=DX+DY±2COV(X,Y)
❖ (6) COV(ax,bY)=abCOV(X,Y)
❖ (7) COV(ax+b,cY+d)=ac COV(X,Y)
❖ (8) COV(X1+X2,Y)=COV(X1,Y)+COV(X2,Y) ❖ (9) [COV(X,Y)]2≤DX.DY
只说明两个随机变量之间没有线性关系,而“独立”说明两个 随机变量之间既无线性关系,也无非线性关系.所以 “独立”必 导致 “ 不相关”,而 “不相关”不一定导致 “ 独立”
❖ 定理4 随机变量X,Y不相关与下列命题之一等价
❖ (1) COV(X,Y)=0 (2)E(XY)=EX·EY (3)D(X±Y)=DX+DY
❖ 请看下例:
❖ 例如:X~N(O,1) Y=X2 EX=0 DX=1
❖ EY=E(X2)=1 (P147) .例题 E(XY)=E(X·X2)=E(X3)=0
❖ 可见 COV(X,Y)=E(XY)-EX·EY =0-0×1=0
❖ 从而ρxy=0,但是X与Y确有函数关系:Y=X2,不能说X与Y独立. ❖ 注:两个随机变量间独立与不相关是两个不同的概念. “不相关”
(X ,Y )
~
N
(u1
,
u
2
,
2 1
,
2 2
,
)
求X,Y的相关系数ρxy.
❖ 解:
(X ,Y )
~
N
(u1
,
u
2
,
2 1
,
2 2
,
COV (X, aX b) aX D(aX b)
E{(X EX )[aX b E(aX b)} DX a2DX
aE(X EX)2 aDX DX a2DX DX a DX
aDX a DX
1 1
❖ 必要性:若ρxy=±.1考察下面方差
a0 a0
D
X DX
Y DY
D X D Y 2 cov X , Y
DX DY 2EXY 2EX EY
DX DY 2[EXY EXEY EXEY EXEY]
DX DY 2E[( X EX )(Y EY )]
❖ 其中E[(X-EX)(Y-EY)]反映了X,Y不独立的事实
❖ 定义:设(X,Y)为二维随机向量,若方差DX,DY都存在, 则称E[(X-EX)(Y-EY)]为X与Y的协方差或相关矩.
DX
DY
DX DY
DX DX
DY DY
2
cov(X, Y) DX DY
2[1 XY ]
当XY 1时
D X Y 0 DX DY
❖ 而方差为零的变量必几乎处处为常数
❖ 即 P X
Y
C
1
DX DY
或
PY
DY X C
DY DY 为正, DX
❖ 引入：由上一节可知,当(X,Y)是二维随机向量,当X与Y相 互独立时,D(X±Y)=DY+DY
❖ 一般的情况呢?
D(X Y) E(X Y)2 [E(X Y)]2
E(X2 2XY Y2) (EX EY)2 EX2 2EXY EY2 (EX)2 2EXEY (EY)2
不相关 协方差为0 积的期望等于期望之积 代数和的方差等于方差之和.
❖ X与Y独立与COV(X,Y)与相关系数ρxy的关系:
X, Y独立 COV (X, Y) 0 XY 0 E(XY) EX EY D(X Y) DX DY
❖ 例1.设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布
同理 XY 1 有
P X Y C 1 或 DX DY
PY
DY X C
DY 1
DX
❖ X与Y具有线性相关关系,斜率
DY DX
为负
❖ 定理3 若X与Y是相互独立的随机变量,则ρxy=0 或者说:当 ρxy=0,则X与Y无线性关系.但不排除有非线性关系.
❖ 证明:由于X与Y独立,可知COV(X,Y)=0 ρxy=0但从ρxy=0.X与 Y不一定独立
COV 2 ( X ,.Y ) DX .DY
COV 2 ( X .,Y ) 1 DX DY
2 XY
1
1 XY 1
❖ 定理2: 特别地, ρxy=±1的充要条件P{Y=ax+b}=1:X与Y具有 线性相关的概率为1
❖ 证明:充分性:若Y= ax+b,则
XY
COV (X,.Y) DX DY
第十六次课 §4.3 随机向量的数字特征
第四章 习题小结
❖ 复习:随机变量的方差
DX E(X EX )2 ❖ 当X为离散型
DX
(x
i
Ex )2Pi j
❖ 当X为连续型
DX (X EX )2 f (x, y)dxdy
❖ 常用公式
DX EX2 (EX)2
协方差与相关系数
❖ 一、协方差
❖ (1) COV(X,C)=0 (2) COV(X,Y)=COV(Y,X)
❖ (3) COV(X,Y)=EXY-EX.EY ❖ 证明:COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]
❖
=E[XY-XEY-YEX+EX.EY]
❖
=EXY-EX.EY-EYEX+EX.EY =EXY-EX.EY
❖ (4) 当X与Y独立 COV(X,Y)=0