第五节 线性子空间
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线性子空间
Ar ×r A= 0 0 . Bs× s
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
1.1线性空间及其子空间
( A B ) C A ( B C ) ;
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ,
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) .
2019/2/23 10
1.1.1 集合
定义1.2 x ,) y | x A , y B } .
( 6 ) , Å , x X , 有 ( x ) () x ;
则称 X 是数域 上的线性空间.
2019/2/23
( 5 ) x X ,有 1 x x ;
17
1.1.2 线性空间的定义及例子
上述加法运算和数乘运算统称为线性运算． 当 时, 称X 是为实线性空间; 当 时, 称X 是为复线性空间. 在一个线性空间中, 零元素 0 是惟一的; 任何一个元素 x 的负元素也是惟一的, 记之为x .
集合 A 的基数.
不含任何元素的集合称为空集, 记作 .
规定空集是一切集合的子集 .
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8
1.1.1 集合
集合之间的运算 定义1.1 设 A, B 是两个集合, 则定义它们的
交 A B { x | x A 且 x B } ;
并 A B { x | x A 或 x B } ; 差
是 3 的一个线性子空间, 其中a, b, c 是三个给定实数.
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25
1.1.3 线性空间的子空间
Ax 0 的解的集合
T n { x ( ,,,) | A x 0 } 1 2 n
例1.5 设 A mn, b m, b 0, 则齐次线性方程组
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1.1.2 线性空间的定义及例子
线性代数中的向量空间与子空间
线性代数中的向量空间与子空间线性代数是现代数学的基础学科之一，它研究的是向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是由一组向量和与标量乘法以及向量加法相容的运算所构成的数学结构。
而子空间则是向量空间的一个重要的概念，它指的是一个向量空间中的一个子集，同时也是一个向量空间。
1. 向量空间的定义向量空间是由一组向量和两种运算所构成的数学结构。
具体地说，向量空间必须满足以下几个条件：- 向量空间中的任意两个向量的和仍然属于该向量空间。
- 向量空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该向量空间。
- 向量空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
2. 子空间的定义与性质子空间是一个向量空间中的一个子集，并且也是一个向量空间。
具体地说，子空间必须满足以下几个条件：- 子空间中的任意两个向量的和仍然属于该子空间。
- 子空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该子空间。
- 子空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
子空间的几个重要性质包括：- 子空间的任意非空交集仍然是一个子空间。
- 子空间的维数不超过其所在的向量空间的维数。
- 子空间与原向量空间之间存在一一对应关系。
3. 子空间的示例在线性代数中，有许多常见的子空间存在，包括：- 零空间：由使得线性变换为零向量的所有向量组成。
- 列空间：由所有线性变换的列向量所张成的空间。
- 行空间：由所有线性变换的行向量所张成的空间。
- 切空间：由曲线或曲面上的切向量所张成的空间。
4. 向量空间与子空间的重要性向量空间和子空间在数学和应用中具有重要的地位。
它们不仅可以用来描述线性系统的性质，还可以应用于物理学、计算机科学等领域中。
通过对向量空间和子空间的研究，我们可以更好地理解线性变换和矩阵运算的本质，进而应用于解决实际问题。
5. 总结线性代数中的向量空间和子空间是重要的数学概念。
向量空间是一个由向量和两种运算构成的数学结构，而子空间则是一个向量空间的子集，同时也是一个向量空间。
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
§5 线性子空间
n
由它的一组基生成. 即Pn 由它的一组基生成 类似地， 类似地，还有
事实上， 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,L , x n−1 ) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 a0 , a1 ,L , an−1 ∈ P
一、线性子空间 二、生成子空间
一、线性子间
1、线性子空间的定义
是数域P上的线性空间 设V是数域 上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 是数域 上的线性空间， 对于V中的两种运算也构成数域 若W对于 中的两种运算也构成数域 上的线性空间 对于 中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 的一个线性子空间 子空间． 则称 为 的一个线性子空间，简称为子空间 线性子空间也是数域P上一线性空间 上一线性空间， 注：① 线性子空间也是数域 上一线性空间，它也 有基与维数的概念. 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数. 维数.
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 若为 的子空间，求出其维数与一组基. 的子空间， 不是P 的子空间. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是 n的子空间. 事实上， 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以， 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,L , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,L , n − 1}
由它的一组基生成. 即Pn 由它的一组基生成 类似地， 类似地，还有
事实上， 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,L , x n−1 ) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 a0 , a1 ,L , an−1 ∈ P
一、线性子空间 二、生成子空间
一、线性子间
1、线性子空间的定义
是数域P上的线性空间 设V是数域 上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 是数域 上的线性空间， 对于V中的两种运算也构成数域 若W对于 中的两种运算也构成数域 上的线性空间 对于 中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 的一个线性子空间 子空间． 则称 为 的一个线性子空间，简称为子空间 线性子空间也是数域P上一线性空间 上一线性空间， 注：① 线性子空间也是数域 上一线性空间，它也 有基与维数的概念. 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数. 维数.
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 若为 的子空间，求出其维数与一组基. 的子空间， 不是P 的子空间. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是 n的子空间. 事实上， 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以， 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,L , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,L , n − 1}
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
矩阵论 线性子空间
例4 n元齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1
( ＊)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1 , 2 ,, r 的一切线性 组合所成集合.
定义：V为数域P上的线性空间，
则子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空 间 , ,, V
1 2 r
，
W {k11 k2 2 kr r ki P , i 1,2, , r }
i
有 a1 1 a2 2 an n
故有 P L( 1 , 2 , , n )
n
即 Pn 由它的一组基生成. 类似地，还有
事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.
P[ x ]n L(1, x , x 2 , , x n1 ) a0 a1 x an1 x n1 a0 , a1 , , an1 P
n1 (1,0,,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1 , x2 ,, xn ), ( y1 , y2 ,, yn )
则 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
第五节 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
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§6.5 线性子空间
二、线性子空间的判定
线性空间一个非空子集要满足什么条件才能成 为线性子空间?
设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算， W 中的向量满足线性空间定 义的八条规则中的 1) , 2) , 5) , 6) , 7) , 8) . 为了使W 自身构成一线性空间，主要的条件是要求W 对于V 中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4)成立. 即
线上.
§6.5 线性子空间
z
k P2(kx1,ky1,kz1) P1(x1,y1,z1 )
o
y
x y 4 .5 线性子空间
例 7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一个基，确定它的维
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
证毕
例 8 在 P 4 中，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 生
成的子空间的基与维数.
1 (1,1,0,1) , 2 (0,1,2,4) , 3 (2,1,2,2) , 4 (0,1,1,1) .
§6.5 线性子空间
L(1 , 2 , … , m , m +1 )
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1
§6.5 线性子空间
(x,
y, z) R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
是否为 R3 的子空间，并说明其几何意义.
解 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W , x1 y1 4 z1 1 . 2 1 3
取 k R (k≠1), 因为
则有
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
证明 对维数差 n - m 作归纳法，当 n - m = 0
时，定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V
的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立，下面考虑 n - m = k + 1 的情形.
§6.5 线性子空间
既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线 性无关的，那么在 V 中必定有一个向量m +1不能被 1 , 2 , … , m 线性表出， 把 m +1 添加进去1 ,2 , … , m , m +1 必定是线性无关的. 子空间
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) , 那么每个向量 i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (1 , 2 ,
§6.5 线性子空间
… , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出; 同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 , … , r ) 中的向量也都可以被 1 , 2 , … , r 线性表
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第五节 线性子空间
§6.5 线性子空间
一、线性子空间的概念
定义 1 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集 合W 称为 V 的一个线性子空间 (或简称子空间), 如 果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运算 也构成数域 P 上的线性空间.
出，因而这两个向量组等价.
充分性 如果这两个向量组等价，那么凡是可
以被 1 , 2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出，反过来也一样，因而
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) .
§6.5 线性子空间
§6.5 线性子空间
定理 2 1) 两个向量组生成相同子空间的充 分必要条件是这两个向量组等价.
2) L (1 , 2 , … , r ) 的维数等于向量组 1 , 2 , … , r 的秩.
证明 1) 必要性 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 是两个向量组. 如果
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
§6.5 线性子空间
1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P,
则
k W .
2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
3. 0 W.
4. 若 W, 则 - W.
3, 4 两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形.
§6.5 线性子空间
例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实 系数多项式组成一个子空间.
例 4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间. 例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn
§6.5 线性子空间
的线性子空间.
取
e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) ,
e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) ,
…………..
en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) . 显然 e2 , e3 , …, en W, 且线性无关，又因为 W 中
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
数. 解 任取 1 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) W ,
1 = ( 0 , b2 , b3 , … , bn ) W ,
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W , k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W ,
1 0 2 0
令
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
)
1 0 1
1 2 4
1 2 2
1
1 1
行变换
1 0 2 0
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 01
.
所以子空间 L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基为 1 , 2 , 4 ,
解 向量组1 , 2 , 3 , 4 的任一极大无关组
都是由它生成的子空间
L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基，而向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩即为子空间的 维数. 下面用矩阵的初等行变换，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩和一个极大无关组.
§6.5 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
组向量，这组向量所有可能的线性组合
k11 + k22 + … + krr
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因
而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1 , 2 , … , r 生成的子空间，记为
L (1 , 2 , … , r ) .
§6.5 线性子空间
关于向量组生成的子空间，有
2) 设向量组 1 , 2 , … , r 的秩是 s , 而 1 , 2 , … , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关组. 因 为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价， 所以 L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ). 所以 1 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一个基， 因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
任一向量 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) ，有 = a2 e2 + a3 e3 + … + an en ，
所以 e2 , e3 , …, en 即为 W 的一个基，W 的维数 是n - 1 .
二、线性子空间的判定
线性空间一个非空子集要满足什么条件才能成 为线性子空间?
设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算， W 中的向量满足线性空间定 义的八条规则中的 1) , 2) , 5) , 6) , 7) , 8) . 为了使W 自身构成一线性空间，主要的条件是要求W 对于V 中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4)成立. 即
线上.
§6.5 线性子空间
z
k P2(kx1,ky1,kz1) P1(x1,y1,z1 )
o
y
x y 4 .5 线性子空间
例 7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn R } 是 Rn 的子空间，并求它的一个基，确定它的维
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
证毕
例 8 在 P 4 中，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 生
成的子空间的基与维数.
1 (1,1,0,1) , 2 (0,1,2,4) , 3 (2,1,2,2) , 4 (0,1,1,1) .
§6.5 线性子空间
L(1 , 2 , … , m , m +1 )
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1
§6.5 线性子空间
(x,
y, z) R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
是否为 R3 的子空间，并说明其几何意义.
解 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W , x1 y1 4 z1 1 . 2 1 3
取 k R (k≠1), 因为
则有
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
证明 对维数差 n - m 作归纳法，当 n - m = 0
时，定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V
的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立，下面考虑 n - m = k + 1 的情形.
§6.5 线性子空间
既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线 性无关的，那么在 V 中必定有一个向量m +1不能被 1 , 2 , … , m 线性表出， 把 m +1 添加进去1 ,2 , … , m , m +1 必定是线性无关的. 子空间
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) , 那么每个向量 i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (1 , 2 ,
§6.5 线性子空间
… , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出; 同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 , … , r ) 中的向量也都可以被 1 , 2 , … , r 线性表
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第五节 线性子空间
§6.5 线性子空间
一、线性子空间的概念
定义 1 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集 合W 称为 V 的一个线性子空间 (或简称子空间), 如 果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运算 也构成数域 P 上的线性空间.
出，因而这两个向量组等价.
充分性 如果这两个向量组等价，那么凡是可
以被 1 , 2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出，反过来也一样，因而
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) .
§6.5 线性子空间
§6.5 线性子空间
定理 2 1) 两个向量组生成相同子空间的充 分必要条件是这两个向量组等价.
2) L (1 , 2 , … , r ) 的维数等于向量组 1 , 2 , … , r 的秩.
证明 1) 必要性 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 是两个向量组. 如果
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
§6.5 线性子空间
1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P,
则
k W .
2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
3. 0 W.
4. 若 W, 则 - W.
3, 4 两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形.
§6.5 线性子空间
例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实 系数多项式组成一个子空间.
例 4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间. 例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn
§6.5 线性子空间
的线性子空间.
取
e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) ,
e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) ,
…………..
en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) . 显然 e2 , e3 , …, en W, 且线性无关，又因为 W 中
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
数. 解 任取 1 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) W ,
1 = ( 0 , b2 , b3 , … , bn ) W ,
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W , k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W ,
1 0 2 0
令
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
)
1 0 1
1 2 4
1 2 2
1
1 1
行变换
1 0 2 0
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 01
.
所以子空间 L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基为 1 , 2 , 4 ,
解 向量组1 , 2 , 3 , 4 的任一极大无关组
都是由它生成的子空间
L(1 , 2 , 3 , 4 ) 的基，而向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩即为子空间的 维数. 下面用矩阵的初等行变换，求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩和一个极大无关组.
§6.5 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
组向量，这组向量所有可能的线性组合
k11 + k22 + … + krr
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因
而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1 , 2 , … , r 生成的子空间，记为
L (1 , 2 , … , r ) .
§6.5 线性子空间
关于向量组生成的子空间，有
2) 设向量组 1 , 2 , … , r 的秩是 s , 而 1 , 2 , … , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关组. 因 为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价， 所以 L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ). 所以 1 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一个基， 因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
任一向量 = ( 0 , a2 , a3 , … , an ) ，有 = a2 e2 + a3 e3 + … + an en ，
所以 e2 , e3 , …, en 即为 W 的一个基，W 的维数 是n - 1 .