线性子空间

则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ), 则 W是V的子空间 , W ,k,l P,k l W .
（向量的倍数和 W）
常见空间的线性子空间举例
1.零子空间 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合
W {0}是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．
1,2 , ,r 与 1, 2 , , s 等价．
2）生成子空间 L(1,2 , ,r ) 的维数
＝向量组 1,2 , ,r 的秩．
推论：L(1,2 , ,s ) L(i1 ,i2 , ,ir )
生成元1，
，
2
，
的极大无关组
s
生成子空间的有关结论
故 1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以 L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
1 (1,0， ,0，0,)， 2 (0,1， ,0，0,)，
n-1 (0,0， ,1，0,)，
就是W3的一组基.
二、生成子空间
1.生成子空间的定义 2.生成子空间的性质 3.生成子空间求基，维数举例
生成子空间的定义
V为数域P上的线性空间，1,2 , ,r V，则子空间
我们知道，非齐次解+非齐次解不一定是非齐次解， 比如，取解向量
1
0
1
1


0 0
，2



1 0
，但是1

+2


1 0

不是非齐次的解向量。
故W2不是Pn的子空间.
例3 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
,
n
)
A1

kr


0
1,2 , ,n 是V的一组基，
k1

A1

kr


0
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k2 kr 0, 1, 2, , r 线性无关.
任取 j ( j 1,2, , s),
将A的第 j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
-1
就是W1 的一组基，维数为n-1.
例2 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 Baidu Nhomakorabea xn 1, xi P}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1是n元非齐次方程组
x1 x2 xn =1
的全体解向量的集合，
线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
例6 求L(1,2 ,3 ,4 ,5 ) 的维数与一组基，并把
它扩充为P4的一组基，其中
1 (1, 1,2,4), 2 (0, 3,1, 2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1, 2,0), 5 (2,1,5,6)
lr lr 1


0
l1
从而有
Bj

lr lr1


0
③
而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
l1, l2 , , lr , lr1, 使
l11 l22 lr r lr1 j 0,
1, 2, , r , j 线性相关.
V
"+""数乘k "
线性空间
注：线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 有基与维数的概念.
几种常见矩阵空间
以下矩阵对于矩阵加法和数乘都构成线性空间。 （1）实数域上n阶矩阵作成的空间V。 （2）实数域上n阶对称矩阵作成的空间W。 （3）实数域上n阶上三角矩阵作成的空间U。
V
W
U
注：W，U都是v的线性子空间
k (kx1, kx2 , , kxn1,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
例3 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
续解：
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
证明续：由于W对于V中两种运算封闭，因此只需证 W中的向量满足线性空间定义的八大定律． 由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
分析：
例1 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1是n元齐次方程组
秩(A1)＝秩(A)＝r， (1, 2 , , r ) (1,2 , ,n ) A1
下证 1, 2, , r 线性无关.
设 k11 k22 kr r 0, 即
k1
(1 , 2 ,
,

r
)
kr


0,
k1
从而 (1,2 ,
W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
称为V的由 1,2 , ,r 生成的子空间，
记作 L(1,2 , ,r ) ．
V
L(1,2 , ,r )
1,2, ,r
即组合所1成,集2 , 合.,的r 一切线性
称 1,2 , ,r 为 L(1,2 , ,r )的一组 生成元.
01 0
第j列
0 第i行 , i 1, 2, , m） j 1,2, ,n)
0
生成子空间的有关结论
2、（课本256页定理3）
1）1,2 , ,r；1, 2 , , s 为线性空间V中的
两组向量，则 L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2.线性空间V本身也是V的一个子空间.
这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为 非平凡子空间．
3. 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则 R[x]为V的一个子空间．
4. R[x]n是R[x]的的线性子空间．函数加法：f (x) g(x)
V
函数数乘：kf ( x)
全体实函数
实数域上全体一元多项式R[x]
4、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1 , 2 , 则 L(1, 2 ,
, s ) (1,2 , ,n ) A
线性无关
, s )的维数＝秩(A).
应用方向：
向量组1, 2 , , s 与矩阵A的列向量组具有相同
生成子空间的有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r )
n维线性空间由n个基向量生成
例5 P[ x]n L(1, x, x2, , xn1)
0 Pmn L( Eij 0
基向量
线性子空间的判定定理（课本254页定理2）
设V为数域P上的线性空间，集合 W V (W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．V
"+""数乘k "封闭
证明：证明W是线性子空间，只需证明W对V中 的加法和数乘运算构成线性空间即可。
生成子空间的有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r
是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r ) n维空间V
子空间w
基：1，
，
2
，r
线性子空间由子空间的基向量生成
生成子空间的有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r )
3、（课本256页定理4）
扩基定理
设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1,2 , ,m 为W的一组基，则这组向量必定可扩充
为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
V

，
m+1
，n
补充一个有用结论
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
二、生成子空间
1.生成子空间的定义 2.生成子空间的性质 3.生成子空间求基，维数举例
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．
R[x]n
常见空间的线性子空间举例
n维向量空间pn
5. n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2

a21
x1

a22 x2

as1 x1 as2 x2
a1n xn 0
a2n xn 0 (＊)
asn xn 0
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
x1 x2 xn =0
的全体解向量的集合，是Pn的子空间。
方程组的一个基础解系
注：1，2， ，n-1满足
（1）线性无关
1
1
-1
0
1 0
（2）任一解向量可由它们表示
1 0 ，2 -1， ，n-1 0 ，
0
0
线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2, , s ) 的维数与一组基.
补充结论的证明过程
证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线
性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r列 构成的矩阵记为A2， 则A＝(A1, A2)，且
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：下证W3是Pn的子空间. 首先 0 (0,0, ,0) W3, W3 其次，在W3中任取向量， ，在数域P中任取k ,
( x1, x2 , , xn1,0), ( y1, y2 , , yn1,0)
则有 ( x1 y1, x2 y2 , , xn1 yn1,0) W3
(1, 2 , r , j ) (1,2, ,n )Bj
设 l11 l22 lr r lr1 j 0,
l1
即
(1 , 2 ,
,
r
,

j
)


lr lr1


0,
则有 (1,2 ,
l1
,n
)B
j

例4 在Pn 中， 标准基
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
则有 Pn L(1,2, ,n )。
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
也是Pn的一组基，因此 Pn L(1,2 , ,n )。
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
线性子空间的判定定理（课本254页定理2）
设V为数域P上的线性空间，集合 W V (W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W