第5节 线性子空间的基与维数

r
s x1 1 x2 2 xs s x j aij i i 1 j 1
r
如果能找到不全为0的 x1 , x2 ,, xs ,， 使
x j a1 j x j a2 j x j arj 0 j 1 j 1 j 1
命题5.8 设W和Z都是线性空间V的子空间，如果
W Z 且 dim(W )=dim( Z ), 则 W Z .
例5.2（Ex 3）下面的证明方法类似引理5.2。
i ai 11 ai 2 2 air r aij j ,
i 1,2,, s.
考虑下面的线性表示
r
( ai 1 xi )1 ( ai 2 xi ) 2 ( air xi ) r 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
ai 1 xi ai 2 xi air xi 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1
x1 b1 几个例子表明：线性空 x x b 2 2 1 x1 x2 x3 b3 间的基不是唯一的，基 中的向量是有序的。 x x x x b 2 3 n n 1
解得坐标为
x1 b1 , x2 b2 b1 , x3 b3 b2 ,, xn bn bn1
即任意向量都可由 1 , 2 ,, n 线性表示 。 由命题5.1知1 , 2 ,, n 是一个基且向量 坐标为
(b1 , b2 b1 , b3 b2 ,, bn bn1 )
注释2 例子表明线性空间 K n 一定有基。 （1）一般线性子空间一定有基吗？ （2）基中向量个数都相等吗？
j 1
r

x11 x2 2 x r r xi i
i 1
r
r xi aij j xi aij j xi aij j i 1 j 1 i 1 j 1 j 1 i 1
r r r r
r
r x11 x2 2 xr r xi aij j j 1 i 1 于是 1 , 2 ,, r 线性无关 x11 x2 2 xr r 0
上面命题5.1的条件（2）（线性无关）代
替了定义5.1的条件（2）（表示唯一）， 因此由命题3.3即可证明该结论
n 证明下面向量组是线性空间 的一个基， K 例5.1
1 (1,1,,,1,1), 2 (0,1,,1,1), 3 (0,0,,1,1), , n (0,0,,0,1),
证明 由条件i)，令
常数
j a1 j1 a2 j 2 arj r , j 1,2, , s .
要证 1 , 2 ,, s 线性相关，即证有不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使得 k11 k2 2 k s s 0.
事实上最大线性无关向量个数恰好是n
定理5.4 数域K上n维向量空间V的每个非0子空间
W都存在基。 证明 因为W是非0子空间， 所以W存在线性无关 的向量组。 令 1 , 2 ,, r 是W的一个线性无关向 量组，满足对W的任意向量 , 向量组
1 , 2 ,, r ,
都线性相关。 于是 可由 1 , 2 ,, r 线性表示， 因此，1 , 2 ,, r 是W 的一个基。 注释3 教材求 1 , 2 ,, r 的过程类似一个“算法”。
引理5.2可等价的表述为 引理5.2 设 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, r 是线性空 如果两个向量组满足 间V 的两个向量组， i) 向量组 1 , 2 ,, s可经 1 , 2 ,, r 线性表出；
ii)向量组 1 , 2 ,, s 线性无关,
因此，得到
作业：P168 Ex 1, 2(2)
1 , 2 ,, r 线性无关
x11 x2 2 xr r 0 只有零解
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 只有零解 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1 a11 a21 a a 12 22 a1r a2 r a11 ar 1 a21 ar 2 0 ar 1 arr a12 a22 ar 2 a1r a2 r 0 arr
的个数 s ，所以它有非零解。
已经知道
1 (1,1,,,1,1), 2 (0,1,,1,1), 3 (0,0,,1,1), , n (0,0,,0,1),
线性空间 K n的一个基。对 K n的任意向量组
1 , 2 ,, s ( s n),
由于 1 , 2 ,, s 中每个向量都可由 1 , 2 ,, n 线性表示， 于是由命题5.2知 1 , , s 线性相关。 推论5.3 K n中线性无关的向量个数不超过n.
作线性组合
x11 x2 2 x s s x j j
j 1
s
s x j aij i x j aij i x j aij i j 1 i 1 j 1 i 1 i 1 j 1
s r s r
因此，s r .
定义5.2 设W数域K上n维向量空间V的非0子空间, 则W 的一个基包含的向量个数成为W 的维数。 特别规定零子空间的维数为0. 利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下 定义5.3 设 1 , 2 ,, s 是向量空间V上的向量，称
L(1 , 2 ,, s )
的维数为向量组 1 , 2 ,, s 的秩。 注释4 零子空间是维数等于0的唯一子空间。
线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。
从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。
命题5.6 设W为数域K上n维向量空间V的r 维子空间, 则W 的任意r个线性无关向量都构成W 的一个基。
命题5.7 设W和Z都是线性空间V的子空间， 并且
W Z , 则 dim(W ) dim( Z ).
显然这组不全为0的数 x1 , x2 ,, xs 也使
s
s
s
把它看成一 个方程组， 看它有无非 零解
x11 x2 2 x s s 0.
从而 1 , 2 ,, s 线性相关。
x j a1 j x j a2 j x j arj 0 j 1 j 1 j 1
a11 x1 a12 x2 a1 s x s 0 a21 x1 a22 x2 a2 s x s 0 a x a x a x 0 r2 2 rs s r1 1
由条件ii)， 该方程组中方程的个数r ＜未知量
s
s
s
它能 （3）线性空间的基是线性空间的一个框架， 表示空间的每个向量， 也就确定了空间的结构。 （4）直观上将，基就是“最大”线性无关向量组。
如何判定一个向量组是否是线性子空间的基呢？ 命题5.1 设W是线性空间V的一个线性子空间， W的 当且仅当它满足 向量组1 , 2 ,, r 是W的一个基， （1） W的每个向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示； （2） 1 , 2 ,, r 线性无关。
并且求向量 (b1 , b 2,, bn ) 在该基下坐标。
证明 显然
1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 3 0 0 1 1 1 0 n
0 0 0 1
因此，由例3.7知向量组 1 , 2 ,, n 线性无关。
令
x11 x2 2 xn n
则 s r.
推论5.5 设W数域K上n维向量空间V的子空间, 则 W 的所有基都包含相同个数的向量。
证明 假设下面是W 的两个任意基
A : 1 , 2 ,, r , B : 1 , 2 ,, s
于是 由于A可由B线性表示并且A线性无关，
r s. 于是 由于B可由A线性表示并且B线性无关， s r.
设 1 , 2 ,, r 是线性子空间W的一个基， 对任意的
向量 W , 令
k11 k2 2 kr r ,
称有序数组 ( k1 , k2 ,, kr ) 是 在基 1 , 2 ,, r 下坐标.
注释1 （1）由上面定义知零子空间没有基。
（2）线性子空间中一个基的向量是有序的。
§5 线性子空间的基与维数
重点 1、线性空间基、维数、坐标的概念 2、基的判定方法 3、线性空间基的性质
一、线性子空间基的定义与判定
定义5.1 设W是线性空间V的一个线性子空间， W的 向量组1 , 2 ,, r 称为W的一个基，如果它满足 （1） W的每个向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示； （2） W的每个向量由 1 , 2 ,, r 线性表示唯一。
（3）线性子空间中的基个数有限还是无限？
二、线性子空间基的性质 引理5.2 设 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, r 是线性空 如果两个向量组满足 间V 的两个向量组， i) 向量组 1 , 2 ,, s可经 1 , 2 ,, r 线性表出； ii) s r， 则向量组 1 , 2 ,, s必线性相关。