概率论复习题

第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ，41)(=B P ，61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、若3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，∅=AB ，则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ，41)(=B P ，21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、若5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。

考虑从甲至乙的顺时针方向，甲、乙之间恰有r(r<n-2)个人的概率为_________________.二、计算题1、设有3个罐子，1号罐有2红1黑共3个球，2号罐有3红1黑共4个球，3号罐有2红2黑共4个球。

（1）、现任取一球，问取到红球的概率为多少？ （2）、若任取一球，结果是红球，问该红球取自1号罐的概率？2、设有8支枪，其中5支经过试射校正，3支没有校正. 一射手用校正过的枪射击时命中率为0.8；用未校正的枪射击时命中率为0.3.(1）、现任取一支进行射击，问命中目标的概率为多少？（2）、任取一支进行射击，结果命中目标，问这支枪是校正过的概率是多少？3、两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中有一件废品。

现任意从第一批中抽出一件混入第二批中，然后再从第二批中抽出一件。

求：（1）、从第二批中抽出的是废品的概率；（2）、已知从第二批中抽出的是废品，则从第一批中抽出的也是废品的概率。

4、有两个盒子，第一个装有2个红球1个黑球，第二个装有2个红球2个黑球。

现在从两个盒子中各取一球，再在这两球中任取一个。

（1）求最后取出的是红球的概率；（2）上述过程重复10次，记X 表示最后取到的红球个数，求)(2X E .5、设有三个盒子，第一个装有4个红球1个黑球，第二个装有3个红球2个黑球，第三个装有2个红球3个黑球。

现任选一个盒子，从中任取3球。

（1）、求取出的3个球中有2个红球的概率； （2）、记X 表示取到的红球个数，求)(2X E 。

6、在一个盒子中有10个乒乓球，其中8个新球。

在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任取三个球。

求： （1）第二次取出的三个球均为新球的概率；（2）已知第二次取出的均为新球，则第一次取到两个新球的概率。

第2章 随机变量及其分布一、填空题1、某人向一目标独立重复射击，每次射击命中的概率为)10(<<p p , 他第4次射击恰好第2次命中的概率为____________.2、某人向同一目标独立射击4次，至少命中一次的概率为8180，那么这人的命中率为_____________.3、设),2(~p b X ，),3(~p b Y , 若95}1{=≥X P , 则=≥}1{Y P _______________. 4、设),2(~p b X ，),3(~p b Y , 若169}1{=<X P , 则=≥}1{Y P _______________.5、设X 是[0,1]上的连续型随机变量，且75.0}29.0{=≤X P ，若Y=1+X 且75.0}{=≤y Y P ，则y=_____________.6、设X 是[0,1]上的连续型随机变量，且75.0}29.0{=≤X P ， 若Y=1-X 且25.0}{=≤y Y P ，则y=_____________.7、设离散型随机变量X 所有可能取值为0，1，2, 3, 相应的概率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1，则=≠≥}2|1{X X P ______________.8、设离散型随机变量X 所有可能取值为0，1，2, 3, 相应的概率为0.4, 0.3, 0.2, 0.1，则=≠≤}1|2{X X P ______________.9、设)2,0(~U X ，则}51{≤<X P =____________________. 10、设)2,3(~2N X ，则}3{≤X P =_________________.二、计算题1、已知随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它，,011,11)(2x x C x f 求：（1）、常数C;（2）、X 的分布函数； （3）、X 的数学期望和方差。

2、已知随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ce x f x ,)(||， 求：（1）、常数C; （2）、X 的分布函数； （3）、X 的数学期望和方差。

3、已知X 的概率密度为）（其它0,0,)(>⎩⎨⎧>=-λαλλx e c x f x ，其中λ和α均为已知。

求：（1）常数c ；（2）数学期望)(X E ； （3）}11{+≤<-ααX P ； （4）1+=X Y 的概率密度.4、已知X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,)(2x e x f xα.求：（1）常数α； （2）数学期望)(X E ； （3）}32{≤<X P ； （4）X Y -=1的概率密度.5、设随机变量)3,0(~U X , 求2X Y =的概率密度)(y f Y 。

6、设随机变量)2,0(~U X , 求X Y ln =的概率密度)(y f Y 。

7、设⎩⎨⎧>=-其它,00,)(~x e x f X x ，求Xe =Y 的密度函数。

8、设),(~b a U X ，求Xe =Y 的密度函数。

第3章 多维随机变量及其分布一、填空题1、在区间（0,1）中任取两数，两数之和大于54的概率为___________. 2、在区间（0,1）中任取两数，两数之和大于43的概率为___________.3、若),,,,(~),(2121ρσσμμY X , 那么X 服从_______________.4、若),,,,(~),(2121ρσσμμY X , 那么Y 服从_______________.5、设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()(y x xe y x f y x ，则X 的边缘概率密度)(x f X =_________________.6、设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()(y x xe y x f y x ，则Y 的边缘概率密度)(y f Y =_________________.7、设),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,020,10,3),(2y x xyx y x f ，则X 的边缘概率密度)(x f X =_________________.8、、设),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,020,10,3),(2y x xyx y x f ，则Y 的边缘概率密度)(y f Y =_________________.9、设),(Y X 只取下列值（-1,1），(0,0)，（1,0），（1,2），且相应的概率为c 1，c 1，c21，c25，则c=_______________. 10、设),(Y X 只取下列值（-1,1），(0,0)，（1,0），（1,2），且相应的概率为c 21，c 1，c41，c45，则c=_______________. 二、计算题求： （1）、在表中空白处填上X 和Y 的边缘概率分布; （2）、|}||{|Y X P >;（3）、讨论X 和Y 的相关性，独立性。

2、下表列出了二维随机变量（X,Y ）的概率分布：求： （1）、在表中空白处填上X 和Y 的边缘概率分布; （2）、}1|{|=+Y X P ;（3）、讨论X 和Y 的相关性，独立性。

3、设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为(1) 求X ，Y 的边缘分布律； (2) 讨论X 与Y 的独立性；(3) 求)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X .(4) 求X ，Y 的边缘分布率； (5) 讨论X 与Y 的独立性；(6) 求)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X .并计算)(X D ，)(Y D .(1) 求X ，Y 的边缘分布律； (2) 讨论X 与Y 的独立性； (3) 求)(X D ，)(Y D ，XY .7、已知二维随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,),(y x cxy y x f ，求：（1）、常数c ；（2）}{Y X P ≥：（3）X 和Y 的协方差.8、已知二维随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,010,),(y x Axy y x f ，求：（1）、常数A ；（2）}1{≥+Y X P ：（3）X 和Y 的协方差.第4章 随机变量的数字特征一、填空题1、,1)(=X E ,4)(=X D 由切比雪夫不等式知≥<<-}53{X P _________________.2、由切比雪夫不等式知≥<-})(2|)({|X D X E X P _________________.3、已知)(X E ，0)(>X D 都存在，令)()(X D X E X Y -=，则=)(Y D ________________.4、已知μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则⎪⎭⎫⎝⎛-μσ2X D =__________________. 5、设)2,1(~N X ，)4,2(~N Y ，且Y X ,相互独立，则Y X -服从的分布是________________.6、设)2,1(~N X ，)4,2(~N Y ，且Y X ,相互独立，则Y X -2服从的分布是________________.7、设1)(=X E ，1)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，25.0-=XY ρ，试根据切比雪夫不等式估计≤≥-}6|{|Y X P _________________.8、设2)(=X E ，2)(-=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，5.0-=XY ρ，试根据切比雪夫不等式估计≤≥+}6|{|Y X P _________________.二、计算题1、某厂生产的一批产品分为一级品、二级品和不合格品，其中不合格品率为20%，一级品和二级品各占一半。