数学高考真题-2014湖南卷理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A. 12＋12i B. 12－12
i C ．－12＋12i D ．－12－12
i 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2＜p 3
B ．p 2＝p 3＜p 1
C ．p 1＝p 3＜p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4．????12x －2y 5
的展开式中x 2y 3的系数是( )
A ．－20
B ．－5
C ．5
D ．20
5．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(┑q )；④(┒p )∨q 中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
6．执行如图所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，
则输出的S 属于( )
A ．[－6，－2]
B ．[－5，－1]
C ．[－4，5]
D ．[－3，6]
7． 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将
该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p ＋q 2
B.（p ＋1）（q ＋1）－12
C.pq
D.（p ＋1）（q ＋1）－1
9．已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且∫2π3
0f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3 D ．x ＝π6
10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12
(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1e
) B ．(－∞，e) C.????－1e ，e D.????－e ，1e 第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）
(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)
11． 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：?
????x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．
12．如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝
3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．
13．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为????
??x －53＜x ＜13，则a ＝________． (二)必做题(14～16题)
14． 若变量x ，y 满足约束条件?????y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，
且z ＝2x ＋y 的最
小值为－6，则k ＝________.
15．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a
＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，
则b a
＝________．
16．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，
C (3，0)，动点
D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分
别为23和35
.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．
(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.
(1)求cos ∠CAD 的值；
(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216
，求BC 的长． 19．（本小题满分12分）如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．
(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；
(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．
20．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.
(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝12
，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 21．（本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32
，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；
(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
22．（本小题满分13分）已知常数a＞0，函数
f(x)＝ln(1＋ax)－
2x x＋2
.
(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．