专升本(高数—)第五章多元函数微积分学
(完整word版)《高数专升本讲义》第一至第五章
第一章函数、极限、连续首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年,从事《高数》专升本教学五年。
普通高校的专科生,最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次,弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾.由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。
河南省设置考试两门课程:一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。
《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。
但该课程抽象性强,某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。
例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等.因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。
在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。
耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80％，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员,达到140多分.耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因:（一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队伍。
这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆.（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。
可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。
老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。
记得去年我教的一个女孩叫梅婷,架着双拐来上课,后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜.《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点,分值的分布相对固定,近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高数红宝书——第五章 多元函数微分学
如 ②全 导（只有多空间曲线才存在全导）
而 归结为一元函数求导，符合下列叠加原理： ， 称为全导。
陈氏第8技 关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。
● 如果（表达式，表达式，表达式），如 ，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。
● 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变 量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量， 对的偏导。例如：
【例30】 求函数 在条件下的极值 解： 先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则
或 当λ=1时不适题意，故λ≠1 代入方程组可得 及 又
故分别为的极小值点的极小值点为： 【例31】 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小 值。
解：① 在D内只有驻点(2，1)
②求在D的边界上的最值 在边界和上 在边界 上，代入
驻点有三类： 第一类： 第二类： 第三类：边界上的最值 综合上述结果，可得
评 注 由于积分是个区域， 故需要讨论被积函数的无条件极值和有条 件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。 【例34】求证：， 其中：。 证明：等效于求函数的最大值与最小值。 先求开区域 上的极值，再求边界上的极值，一起比较得出最大值与最 小值。 【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。
正定
负定
不定时
形象记忆法： 无根取极值，负负得正。 ④条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极 值。 利用拉格朗日乘数法求解 一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极 小值。 ⑤最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小
值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。
专升本第七课(多元积分学2)
x
故二重积分可写为
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
高等数学 极坐标系下二重积分的计算 2. 在极坐标系下用同心圆来划分区域 ， 在极坐标系下用同心圆来划分区域D， 面积微元: 面积微元 1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2
１.根据积分区域类型选择坐标系 根据积分区域类型选择坐标系
计 ∫∫ xdxdy 其 D为 算 ， 中
x2 + y2 =1, y = x,以及x轴所围成的第一象限部分。
２.根据积分区域类型选择积分次序 根据积分区域类型选择积分次序
D
计 ∫∫ xydxdy, 其 R是 抛 线 2 = x及 算 中 由 物 y
围成的第一象限内的区域。 x 2 + y 2 = 2 y及x = 0 围成的第一象限内的区域。 解
∫∫
D
x 2 + y 2 dxdy
π
2 0 2 sin θ 0
= ∫ dθ ∫
π
2 0
r 2 dr
o
r
8 3 = ∫ sin θdθ 3 π 8 1 3 = ( cos θ − cos θ ) 02 3 3
a
a2 π rdr = ( 3 − ). 2 3
）
２.计算二重积分 计算二重积分
其中D： ∫∫ ydxdy 其中 ：x
D
2
+ y 2 = 2ax 与x轴所围成的上半圆。 轴所围成的上半圆。 轴所围成的上半圆
（答案： 答案：
∫
π
2 0
dθ ∫
2acosθ
0
2 3 r sin θdr =L= a 3
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
高等数学专升本全套教材
高等数学专升本全套教材第一章：导数与微分在这一章中，我们将介绍导数与微分的概念，并学习如何计算导数以及相关的性质和公式。
这些概念和技巧是高等数学的基础，为后续学习打下坚实的基础。
1.1 导数的定义与性质在本节中，我们将介绍导数的定义，并讨论导数的基本性质。
我们将学习如何用极限求导，并探讨导数的几何意义。
1.2 常见函数的导数在本节中，我们将计算常见函数的导数。
包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
为了方便计算，我们将介绍导数的基本运算法则。
1.3 高阶导数与微分本节将介绍高阶导数的概念，并学习如何求解高阶导数。
我们还将学习微分的概念，以及微分与导数之间的关系。
1.4 隐函数与相关变化率在这一节中，我们将学习如何求解隐函数的导数，并探讨相关变化率的概念。
这对于求解实际问题中的最优化和函数方程有着重要的应用。
第二章：积分与不定积分在这一章中，我们将介绍积分与不定积分的概念，并学习如何计算积分和不定积分。
积分是微分的逆运算，在微积分的应用中有着广泛的应用。
2.1 不定积分的定义与性质在这一节中，我们将介绍不定积分的定义，并讨论不定积分的性质和基本公式。
我们还将学习如何通过换元法进行不定积分的计算。
2.2 常见函数的不定积分在这一节中，我们将计算常见函数的不定积分。
包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
我们还将介绍分部积分法和有理函数的部分分式分解。
2.3 定积分的基本概念本节将介绍定积分的定义与性质，并学习如何计算定积分。
我们将介绍定积分的几何意义，并讨论定积分的性质和基本公式。
2.4 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用在这一节中，我们将介绍牛顿—莱布尼兹公式，并学习如何通过定积分计算曲线长度、曲线面积和体积等问题。
第三章：微分方程与应用在这一章中，我们将介绍微分方程的基本概念，并学习如何解常微分方程和应用微分方程进行物理、生物和工程等实际问题的建模和求解。
3.1 一阶常微分方程本节将介绍一阶常微分方程的基本概念，并学习如何求解一阶常微分方程。
高等数学专升本教材目录
高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。
无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。
这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。
山东专升本 高数考试复习大纲
（三）连续
（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。
（2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积。
四、向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的条件。
（二）平面与直线
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（二）定积分
（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法。
（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
（2）理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。
（3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。
（4）掌握复合函数一阶偏导数的求法。
（5）会求二元函数的全微分。
（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。
（7）会求二元函数的无条件极值。
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一、主要内容
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
偏导数在 经济上的应用
全微分 概念
全微分 的应用 高阶偏导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
偏导数 概念
多元函数的极值
隐函数 求导法则
第一节 多元函数、极限和连续
（一）多元函数 1.二元函数、多元函数的定义
z x
和
z y
在点 ( x, y ) 连续，则 z f ( x, y ) 在该点可微分. 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微， 则它在该点处
定理 3 一定连续.
全微分的概念也可以推广到二元以上函数的情形. 如若 三元函数 u f ( x, y , z ) 可微分, 则
例如， s xy ( 长方形的面积 )， V xyz ( 立方体的体积 )
定义 1
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P ( x, y) D ， 变量 z 按照一定的法则总有唯一确定
的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数， 记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
多元函数的性质
（1）多元连续函数的和、差、积、商（若分母 不为０）都是连续函数； （2）多元连续函数的复合函数都是连续函数； （3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限 次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数
（4）最大值和最小值定理
z f ( x, y) 在点 ( x, y ) 处可微分.并称 A x B y 是函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y ) 处的全微分，记作
dz Ax B y .
2. 性质
定理 1（可微的必要条件） 如果 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微分，则它在该点的偏导 数
z x z
z sin( y x )，则
2
2010 年的选择题考了：设
y z 2 2 z x y xy ，则 x
相似度很高，好好练
2.偏导数的几何意义
设二元函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 有 偏导数. 如图, z z f ( x, y)
种各样路径来逼近的（如图 11.1-4 所示） ，
1.二元函数的极限
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.
z A z = f (x, y) M f (X) o x X X0 D 图11.1-4 X y
如图
如果当X在D内 变动并无限接近于
X0 时 (从任何方向,
以任何方式),对应 的函数值 f (X)无限 接近于数 A, 则称A为当X趋近于
把y看作常量，对x求导数，得
z y z
3 2x
x
因此 d z z d x z d y 2 x d x 3d y 答案C x y
设 z x y 2 y , 求 dz
2 2
2009年解答、8分。练练看 2010年填空、4分。练练看
0
x
z f ( x , y ), y y0 .
y
x0
可知:
偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 在几何上表示
z
z f ( x, y)
z f ( x , y0 ) Ty z f ( x0 , y )
M0
Tx
曲线
z f ( x, y) y y0
在点
M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) 处的切线对
lim f ( x, y ) A ，或 f ( x, y) A xx0 y y 0
（ ( x, y ) ( x0 , y0 ) ）．
必 须 注 意 ， 定 义 中 的 当 点 ( x, y) 以 任 何 方 式 趋 近 于 点
( x0 , y0 ) 是指点 ( x, y) 趋近于点 ( x0 , y0 ) 是沿 “四面八方” 的各
z f ( x, y) 在区域 D 上每一点都连续，则称函数 f ( x, y) 在
区域 D 上连续.
如果函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处不连续，则称函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处间断，点 ( x0 , y0 ) 称为间断点. 可以证明， 一元函数关于极限的运算法则仍适用于多 元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分 母不为零处， 连续函数的商也是连续函数， 多元函数的复 合函数也是连续函数.由此还可得出如下结论：一切多元 初等函数在其定义区域内是连续的.
成人高考高数一辅导
• 蔡健
• 农业与生物工程学院
•
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第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分） 第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 第五节 第六节 二重积分的概念和性质 直角坐标系下二重积分的计算 极坐标系下二重积分的计算
z x
,
f x
, z x , f x ( x, y ) .
类似地， 可以定义函数 z f ( x, y ) 对自变量 y 的偏导数， 并记 作
z y
,
f y
, z y , f y ( x, y ) .
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数． 求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
z x
,
存在，且 A z , B z , x y y dz z x z y x y
z
即
一般地，记 dx = x ，dy = y ，并称为自变量 x , y 的微分， 这样函数的全微分可写成 dz z dx z dy . x y
定理 2 （可微的充分条件） 如果函数 z f ( x, y ) 的偏导数
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 可以表示为关于 x ， y 的线
性函数与一个比
x y 高阶的无穷小之和，即
2 2
z f ( x x, y y) f ( x, y) Ax B y o() ,
其中 A , B 与 x ， y 无关，只与 x 与 y 有关， 则称函数
x
y0
O
x0
y
x轴的斜率; 偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) 在几何上表示
曲线
z x
f ( x, y) x0
在点 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
处的切线对y轴的斜率.
（二） 全微分
1 .定义
定义 如 果 二 元 函 数 z f ( x, y) 在 点 ( x, y ) 处 的 全 增 量
du u dx u dy u dz . x y z
例
设z x
2
3 y , 则 dz
2011年选择题、4分
D. x d x 3 yd y
2
A. 2 xd x 3 yd y B. x 2 d x 3 d y C. 2 xdx 3 dy
解 把x看作常量，对y求导数，得
定义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函 数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，如果极限
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
lim x0
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的 偏导数，记作
z x
x x0 , y y0
f x
x x0 , z x y y0
x x0 y y0
, f x ( x0 , y0 ) .
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有增量 y 时，如 果极限
lim y0
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数，并记作 z y x x0 , y y0 f x x0 , f ( x , y ) . y 0 0 x x0 , z y y y y0 y y0
如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 的偏导数 都存在， 这个偏导数仍是 ( x, y ) 的函数， 称它为函数 z f ( x, y ) 对自变量 x 的偏导数，记
X0时f (X)的极限.
2 . 多元函数的连续性 定义 设二元函数 z f ( x, y) 在点 P ( x0 , y0 ) 的某个 0
邻域内有定义，若
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) x x0 y y0
(1)
则称二元函数 z f ( x, y) 在点 P ( x0 , y0 ) 处连续．若函数 0
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ，n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、值 域 、自 变 量 、因 变 量 等 概 念
2．二元函数的几何意义 一元函数 y f ( x) 通常表示平面 上的一条曲线．二元函数
z f ( x, y ) ,( x, y)D ，