专升本高等数学测试题(答案)

专升本高等数学测试题1.函数x y sin 1+=是（ D ）．（A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数．解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数．2.若)(u f 可导，且)e (x f y =，则有（ B ）； （A ）x f y x d )e('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x x d e )]'e ([d =．解析 )e (xf y =可以看作由)(u f y =和x u e =复合而成的复合函数 由复合函数求导法 ()x xu f u f y e )(e )(⋅'=''='， 所以 x f x y y x x d e )e ('d d =⋅'=．3.⎰∞+-0d e x x =( B );(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.解析 ⎰∞+-0d e x x ∞+--=0e x110=+=． 4.2(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e x ax b +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e x p y x ax b =+． 5.=+⎰⎰y x y x D d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；(A)2π4201d d r r θ⎰⎰； (B) 2π401d d r r θ⎰⎰； (C) 2π2201d d r r θ⎰⎰； (D) 2π201d d r r θ⎰⎰． 解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．当⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 时，d d d d x y r r θ=，由于1≤22y x +≤4，D 表示为 21≤≤r ，02πθ≤≤，故=+⎰⎰y x y x D d d 22d d D r r r θ⋅=⎰⎰2π2201d d r r θ⎰⎰．6.函数y =)12arcsin(312-+-x x 的定义域 解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032x x x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[. 7. 求极限xx x -+-→222lim 2 = 解：原式=)22)(2()22)(22(lim 2++-+++-→x x x x x =221lim2++→x x =41. （恒等变换之后“能代就代”） 8.求极限xt t x x πcos 1d πsin lim 11+⎰→= 解：此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得 xt t x x πcos 1d πsin lim 11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim 11'+'⎰→x t t x x =π1)π1(lim πsin ππsin lim 11-=-=-→→x x x x 9.曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴ 33)()(d d 12131==''====t t t t t t x y ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为310. 方程0'2''=+-y y y , 的通解为解： 特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r ,通解为x x C C y e )(21+=.11. 交错级数)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n 的敛散性为 （4） ∑∞=-+-11)1(1)1(n n n n =∑∞=+1)1(1n n n , 而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛. 12.x x x )11(lim 2-∞→. （第二个重要极限） 解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-， 解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x --∞→-=1e 0=． 13.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ 解 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→x x x x x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x . 14.设x x x f e )(=，求)('x f .解：令x x y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =,两边关于x 求导数得： xx y y xx e ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('x x y y xx+= 即 )e ln e ('e x x x y xxx +=. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求不定积分⎰++x x d 111.解： 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t t t =C t t ++-1ln 22 =C x x +++-+11ln 212.17.求定积分⎰+-40d 11x x x .解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t = ，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x =⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t [].3ln 44021ln 442-=+--=t t t18. 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解；解 整理得 e (e 1)d e (e 1)d x y y x x y -=-+，用分离变量法，得 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+， 两边求不定积分，得 ln(e 1)ln(e 1)ln y x C -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1y x C -=+， 即 e 1e 1y x C =++．19.xy u x sin e =, 求)0,1()1,0(,y u x u∂∂∂∂.解：因)cos (sin e cos e sin e xy y xy y xy xy xu x x x +=⋅+=∂∂, x xy yu x ⋅=∂∂cos e , ∴1)0cos 0(sin e 0)1,0(=+=∂∂xu , e )10(cos e )0,1(=⨯=∂∂y u.20.画出二次积分()x y x f y y y d ,d 22424220⎰⎰-+--的积分区域D 并交换积分次序.解：D ：⎪⎩⎪⎨⎧-+≤≤--≤≤242242,20yx y y 的图形如右图，由图可知，D 也可表为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤,40,402x x y x 所以交换积分次序后，得()y y x f x x x d ,d 24040⎰⎰-.21.求平行于y 轴，且过点)1,5,1(-A 与)3,2,3(-B 的平面方程.解一 利用向量运算的方法。

关键是求出平面的法向量n .因为平面平行于y 轴，所以j n ⊥.又因为平面过点A 与B ，所以必有n AB ⊥.于是，取n =⨯j AB ,而AB ={2，7，-4} ，所以 n =472010-k j i=k i 24--，因此，由平面的点法式方程，得0)1(2)5(0)1(4=--++--z y x ，即 032=-+z x .解二 利用平面的一般式方程。

设所求的平面方程为 0=+++D Cz By Ax ,由于平面平行于y 轴，所以 0=B ，原方程变为0=++D Cz Ax ，又所求平面过点A (1, -5, 1)与B (3 , 2, -3)，将B A ,的坐标代入上述方程，得⎩⎨⎧=+-=++,033,0D C A D C A 解之得 C A 2=, C D 3-=,代入所设方程，故所求平面方程为 032=-+z x .。