陕西省西安市第二十六中学2020-2021学年第一学期高二数学(理)10月调研测试卷
陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题数学答案
2020-2021学年度第一学期第一次月考高二年级数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBBBCCAADDBC13. 14 14. 15 15. 27 16. [3,5] 17. ⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(51n n a n n 三、解答题18.解：（1）由题设知公差0.d ≠ 由11a =，139,,a a a 成等比数列，得1218112d dd++=+，解得1d =，或0d = (舍去).故{}n a 的通项1(1)1.n a n n =+-⨯=…………5分（2）由（I ）知22n a n =，由等比数列前n 项和公式，得2312(12)22222 2.12n nn n S +-=+++⋅⋅⋅+==--………………10分19.5分（2）)531231(345322321+-+=+⋅+=⋅=+n n n n a a b n n n……10分 20. 解:若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立，当a ＝0时，f (x )＝lg(－4x )的定义域不为R ，不合题意，当a ≠0时． 则(－4)2－4a 2<0且a >0，即⎩⎨⎧a >0，16－4a 2<0，解得a >2. 若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x －2x ＋1对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，则a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x ＋1max .令g (x )＝2x －2x ＋1(x <－1)，可知g (x )在(－∞，－1)上是增函数，当x ＝－1时取得最大值，g (x )max ＝1. 故a ≥1.又p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题． 若p 真q 假，则⎩⎨⎧ a >2，a <1，无解；若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤2，a ≥1，则1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为[1,2]． 12分.,123),12(log )(12解得,1)2(log 2)5(log 由题意得)1(解：.21)12(3log 333+∈-==-=∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+-N n n a x x f b a b a b a n nnn n n n n n n n n n n n n nn n nn n n n n n T n n n T n n n T n n T n b 23232122132122123212)2121...212121(212122222...22222121得)2()1()2(212232252...232121)1(212232 (2523)21212）得1由（)2(21111232111132111321321+-=---=∴---=--++++++=--+++++=--+-+-+++=-+-++++=∴-=-+-+--+-+--所以*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小则数列}{n T 为递增数列 12分。
2025届西安市第二十六中学数学高三第一学期期末预测试题含解析
2025届西安市第二十六中学数学高三第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >2．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形3．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．524．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．386．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -7．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值8．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++10．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．2211．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．2017二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“若220x y +=，则0x =且0y =”的否命题是（ ）A ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠2，…，则 ） A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项3．已知数列{}n a 中，11a =，()11n n n a na ++=，则12a =（ ）A ．11B ．12C ．13D ．144．等差数列{}n a 满足:296a a a +=,则9S = （ ）A ．2-B ．0C ．1D ．25．已知等差数列{}n a ，则“12a a >”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．（山东省威海市2018届二模文）已知命题p ： “,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x x ∃”，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ∨ D ．p q ∨⌝ 7．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546236a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于（ ）．A ．6B ．12C ．18D ．248．已知,a b ∈R ，则“ln ln a b >”是“11()()33a b<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下面四个命题： 1p ：命题“22n n N n ∀∈>，”的否定是“02002n n N n ∃∉≤，”；2p ：向量()()11a m b n ==-，，，，则m n =是a b ⊥的充分且必要条件；3p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”；4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题．其中为真命题的是（ ）A ．12p p ，B ．23p p ，C ．24p p ，D ．13p p ，10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2 B ．73 C ．83 D ．311．下列语句中正确的个数是（ ）①R ϕ∀∈，函数()()sin 2f x x ϕ=+都不是偶函数；②命题“若x y =，则sin sin x y =”的否命题是真命题；③若p 或q 为真，则p ，非q 均为真；④已知向量,a b →→，则“0a b →→⋅>”的充分不必要条件是“a →与b →夹角为锐角”.A ．0B ．1C ．2D ．3 12．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．18二、填空题13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是_______.14．已知等差数列{}n a 中，5a ，13a 是方程2610x x --=的两根，则7891011a a a a a ++++=_______.15．各项均为正数的等比数列{}n a 中，且211a a =-，439a a =-，则45a a +等于_______.16．已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.17．已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+,则n a =________三、解答题18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．19．已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*N n ∈，都有11422n n n n a a a a +++=+. （1）求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）令1n n n b a a +=⋅，123n n T b b b b =++++，求证:415n T <. 20．设:p 函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为::q R 设2(2,1)a x x =+-，(1,2)b ax =+，不等式0a b ⋅>对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，如果命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．21．已知函数()()3log f x ax b =+的图象经过点()2,1A 和()5,2B ，记()3f n n a =，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . （3）在（2）的条件下，判断数列{}n T 的单调性，并给出证明.参考答案1．D【分析】利用四种命题的关系求解.【详解】“若220x y +=，则0x =且0y =”的否命题是：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠故选：D【点睛】本题主要考查四种命题的关系，属于基础题.2．B【详解】，…，，…，所以数列的通项公式为n a=，解得7n =. 故选：B.考点：数列的概念及简单表示法.3．B【分析】 把已知等式变形为11n n a a n n +=+，构造新数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，由此易得n a ，从而得12a ． 【详解】∵()11n n n a na ++=，∴11n n a a n n +=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，111n a a n ==，n a n =， ∴1212a =．故选：B ．【点睛】本题考查求数列的项，解题关键是构造新数列求出通项公式．4．B【解析】本题考查等差数列的通项公式,前n 项和公式及数列的基本运算.设公差为,d 由296a a a +=得：11185a d a d a d +++=+，即14;a d =-则9198936360.2S a d d d ⨯=+=-+=故选B 5．D【分析】 根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】在等差数列{}n a 中，若12a a >，则公差210a d a =-<，所以数列{}n a 为递减数列；即由“12a a >”不能推出“数列{}n a 为递增数列”；若数列{}n a 为递增数列，则12a a <；即由“数列{}n a 为递增数列”不能推出“12a a >”； 因此“12a a >”是“数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.6．C【解析】分析:先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.详解：对于命题p,当a=0,b=-1时，0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p 是假命题.对于命题q,000,20x x ∃,如-101=-1,2=0.2x >所以命题q 是真命题.所以p q ∨为真命题.故答案为C 点睛：（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.(2) 复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.7．A【解析】由等比数列的性质可得：()2222435463355352236a a a a a a a a a a a a ++=++=+=又0n a >，则350a a +>故356a a +=故选A8．A【解析】∵ln ln a b >∴0a b >> ∵1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a b >∵0a b >>是a b >的充分不必要条件 ∴ln ln a b >是1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的充分不必要条件 故选A9．B【分析】分别判断1234,,,p p p p 的真假则可得相应的选项．【详解】对于1:p 命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“02002n n N n ∃∈≤，”，所以是假命题； 对于2:p a b ⊥ 等价于0m n -=即m n =，所以m n =是a b ⊥的充分且必要条件，所以是真命题；对于3:p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”，所以是真命题；对于4:p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以命题是假命题．故选B【点睛】（1）全称命题的一般形式是：“(),x M P x ∀∈成立”，则其否定为“(),M P ∃∈不成立”； （2）若非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥的充要条件是12120x x y y +=； （3）在三角形ABC 中，A B >等价于sin sin A B >．10．B【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案．【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---， ∴32q =， ∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ．【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解. 11．B【详解】分析：对于①， =2πϕ时可得其错误；对于②， 令90,450x y ==，可得其错误；对于③，p 假且q 为真时，可得其错误；对于④，由平面向量数量积的几何意义可得其正确. 详解：对于①，因为=2πϕ时函数()()sin 2f x x ϕ=+是偶函数，故①错误；对于②，“若x y =，则sin sin x y =”的否命题是“若x y ≠，则 sin sin x y ≠”，令90,450x y ==，可得到②错误；对于③，p 假且q 为真时，p 或q 为真，可得到p 非q 均为假，故③错误；对于④，由平面向量数量积的几何意义可知若“a →与b →夹角为锐角”，则“0a b →→⋅>”，若“0a b →→⋅>”，则“a →与b →夹角不一定为锐角”（同向时夹角为0），故④正确，故选B.点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.12．B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知135105a a a ++=,24699a a a ++=,得： 1136105{3999a d a d +=+=，解得：139{2a d ==-， 412n a n =-，由4120n a n =-≥，得：1202n ≤， ∴当120n ≤≤时，0n a >，当21n ≥时，0n a <，故当20n =时，n S 达到最大值.故选B ．考点：等差数列的前n 项和．【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n 项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n 项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n 等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.13．14【分析】次数列是由一个1，二个2，三个3，…组成，欲求第100项，则需求自然数列前n 项和不大于100的n 的值即可.【详解】因为()1123 (2)n n n +++++=， 由()11002n n +≤，得n 的最大值为13，即最后一个13是第91项，而14共有14项，所以第100项是14，故答案为：14【点睛】本题主要考查数列的应用以及等差数列前n 项和公式，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.14．15【分析】由韦达定理得5136a a +=，再根据等差数列的性质得78910119515a a a a a a ++++==.【详解】解：根据题意，由韦达定理得：5136a a +=，根据等差数列角标和的性质得：513711810926a a a a a a a +=+=+==，所以78910119515a a a a a a ++++==.故答案为：15.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力，是基础题.15．27【分析】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据题中条件，求出公比，进而可求出结果.【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为211a a =-，439a a =-，所以121a a +=，349a a +=，234129a a q a a +∴==+，3q ∴=或3q =-（舍）， 334512()327a a a a q ∴+=+==.故答案为：27.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题型.16．[]3,5【分析】由题意得出()()1,12,6m m -+，可得出关于实数m 的不等式组，解出即可得出实数m 的取值范围.【详解】 ()():260q x x --<，即26x <<因为q 是p 的必要不充分条件，()()1,12,6m m ∴-+.则1612m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得35m ≤≤.当3m =时，则有()()2,42,6；当5m =时，则有()()4,62,6.综上所述，实数m 的取值范围是[]3,5．故答案为：[]3,5．【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系求解，同时 也要注意等号能否成立，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.17．15,123,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩ 【分析】分析题意知，由数列{a n }的前n 项和为32n n S =+可得a 1=S 1=5，接下来分析n ≥2时，由公式a n =S n -S n -1不难确定数列{a n }的通项公式.【详解】当n =1时，a 1=S 1=5，当n ≥2时，11132(32)23n n n n n n a S S ---=-=+-+=⨯，显然，a 1不满足上式，综上可得a n =15,123,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩. 故答案为15,123,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩. 【点睛】本题是一道求解数列通项的题目，熟练掌握a n 与S n 的关系求数列的通项是解题的关键，属基础题.18．（1）n a n =；（2）122n n S +=-.【分析】（1）根据1a ，3a ，9a 成等比数列可求出公差，即可写出等差数列通项公式； （2）由（1）知22n a n =，根据等比数列的求和公式计算即可.【详解】（1）由题设知公差0d ≠，由11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列， 得1218112d d d++=+，解得1d =，0d =（舍去）， 故{}n a 的通项()111n a n n =+-⨯=．（2）由（1）知22n a n =，由等比数列前n 项和公式，得:2312(12)22222212n n n n S +-=++++==--． 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，等比数列的求和公式，属于中档题. 19．（1）证明见解析，232n a n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）先根据已知条件去分母化简得11223n n n n a a a a ++-=，进而得11132n n a a +-=，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列，进而得232n a n =+. （2）结合（1）的22411323533235n b n n n n ⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭，再根据裂项求和的方法得4113535n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而得415n T <. 【详解】解：（1）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， 所以11132n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列. 可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+. （2）122411323533235n n n b a a n n n n +⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++⎝⎭∴123411411411358381133235n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4114353515n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 【点睛】本题考查等差数列的证明，裂项求和，考查运算能力，是中档题.20．12a ≤≤【分析】先分别求出,p q 为真命题时a 的取值范围，再由根据题意，用分类讨论的思想，即可求出结果.【详解】命题p 为真命题时，240ax x a -+>恒成立，则201640a a >⎧⎨-<⎩，解得2a >； 命题q 为真命题时，不等式2220a b x x ax ⋅=+-->对(,1)x ∀∈-∞-恒成立， 即221a x x>-+对(,1)x ∀∈-∞-恒成立， 令2()21g x x x =-+，则22()20g x x'=+>恒成立， 所以2()21g x x x =-+在(,1)-∞-上单调递增；且()(1)2211g x g <-=-++=； 因此1a ≥；又命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假；当命题p 为真，命题q 为假时，21a a >⎧⎨<⎩，此时无解； 当命题p 为假，命题q 为真时，12a a ≥⎧⎨≤⎩，12a ⇒≤≤ 综上：12a ≤≤.【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的问题，注意分类讨论的思想的运用即可，属于常考题型.21．（1）21n a n =-，N n +∈；（2）2332n nn T +=-；（3）数列{}n T 为递增数列，证明见解析.【分析】（1）代入已知两点坐标求得,a b ，可得n a ；（2）用错位相减法求得和n T ;;（3）用作差法证明数列{}n T 的单调性．【详解】解：（1）由题意得33log (5)2log (2)1a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩ ∴()()3log 21f x x =-，()213log 321n n a n -==-，N n +∈ （2）由（1）得212n n n b -=∴12311352321...(1)22222n n n n n T ---=+++++ 2311113252321...(2)222222n n n n n n n T -+---=+++++ (1)-(2)得1231111222221...2222222n n n n n T -+-=+++++- 112321*********...2222222n n n n --+-⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=-- ∴21212333222n n n nn n T --+=--=- （3）数列{}n T 为递增数列 ∵2332n n n T +=-，令()232n n f n +=，*N n ∈ ∴()()1125232110222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即(1)()f n f n +<． 所以()232n n f n +=，*N n ∈随n 的增大而减小， 则数列{}n T 为递增数列.【点睛】本题考查错位相减法，考查数列单调性的判断，数列的单调性一般是通过前后项作差（或作商）进行判断．。
陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案
西安市第一中学2022-2021学年高二第一学期其次次月考 数学试题（理科）一、 选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分）1. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意R x ∈，都有02<xB ．不存在R x ∈，使得02<xC ．存在R x ∈0，使得020≥x D ．存在R x ∈0，使得020<x2. 若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种状况均有可能3. AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，已知A ，B 两点的横坐标分别是x 1，x 2且x 1+x 2=6，则|AB |等于（ ）A ．10B ．8C ．7D ．64.,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC •=，0AC AD •=，0AB AD •=，M 为BC 的中点，则AMD ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形 C. 直角三角形 D ．不确定5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） A ． 32 B ．22C ． 12D ．336.在同一坐标系中，方程222221与0(0)a x b y ax by a b +=+=>>的曲线大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．7.与双曲线3322=-y x 的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为（ ）A.1322=+y x B.1322=+y x C.1161222=+y x D.1121622=+y x 8.动点P 到直线05=+x 的距离减去它到M （2，0）的距离的差等于3，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）A ．3 2B ．2 3C ．303D ．32 610.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，若直线x y 2=与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c ，则椭圆的离心率为（ ）A ．221-B ．212-C ．12-D ．13-11．抛物线y=x 2到直线2x ﹣y=4距离最近的点的坐标是（ ）A ．35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．（1，1）C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．（2，4）12. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: 12,,,n P P P ，椭圆的右焦点为F .数列{||}n P F 是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（ ） A ．198 B. 199 C. 200 D. 201二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．命题“若|x |=1，则x=1”的否命题为 ．。
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如采用一年期自动转账业务，五年期末本息合计为（）A.8×1025300元b.8×10254元c.8×10255元d.8×10256元△ ABC内角a、B 和C的对边分别为a、B和C。
如果a=5，C=2，cosa=23，那么B=（）a.2b 3c。
2d。
三4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝安-33a(n∈n＋)，则a30＝()n＋1a、 0b.－3c。
三d.3二5．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，则船实际航程为()a、 215kmb.6kmc.221kmd.8km6。
在算术序列{an}中，如果已知A4+A8=16，则前11项和S11=（）a.58b 88c。
143d。
一百七十六7.已知?an?为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（）a.7b.5c.-5d.-78.已知{an}是一个公差为1的等差序列，Sn是{an}的前n项之和。
如果S8=4s4，那么A10=（）ab.c.10d.129.设等差序列{an}的容差为d。
如果序列{2a1an}是递减序列，则（）a．d<0b．d>0c．a1d<0d．a1d>010.在△ ABC，B=π，BC侧的高度等于143bc，那么Sina=（）a310531010b.10c.5d.1011.每一项都是正实数的等比序列{an}。
陕西省西安中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
不等式 ，化为 ，
当 时，解集 ；
当 时，解集 ，
综上，不等式 的解集 .
（2）因为 是 的必要条件，
所以B A，
，
实数a的取值范围是 .
19.已知 ，命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：“方程 表示圆心在第一象限的圆”.
（1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 均为假命题，求实数 的取值范围.
————
分析：
根据命题“ ，满足不等式 ”是假命题，转化为 ，不等式 ，恒成立，利用判别式法求解.
解答：因为命题“ ，满足不等式 ”是假命题，
所以 ，不等式 ，恒成立，
则 ，
解得 ，
所以m的取值范围为 ，
故答案为：
15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是 米，拱高是 米，在建桥时，每隔 米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.
————（1） （2）
分析：
（1）根据方程表示焦点在 轴上的椭圆，列出不等式组即可得到m的范围；（2）先求出命题p和q为真命题时m的范围，然后分别取补集再取交集即可得到答案.
解答：（1）若命题 是真命题，则 ，
解得 ；
（2） 化为
∵“方程 表示圆心在第一象限的圆.”为真命题
∴ ，
解得 ，即 .
为假命题则 或
所以 ，
故选：C
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分)
13.设z＝ ＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
————
分析：
根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.
解答： ,
.
故答案为：
点拨：本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.
陕西省西安中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题
西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试高二文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 命题“对任意的3,210x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A. 不存在3,210x R x x ∈-+≤ B. 存在3,210x R x x ∈-+≤ C. 存在3,210x R x x ∈-+> D. 对任意的3,210x R x x ∈-+> C根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 命题“对任意的3,210x R x x ∈-+≤”的否定 是“存在3,210x R x x ∈-+>”.故选：C. 2. “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据两者之间的推出关系可得正确的选项.若p ⌝为假，则p 为真，所以p q ∨为真，故“p ⌝为假”能推出“p q ∨为真” 若q 为真，p 为假，此时p q ∨为真，但p ⌝为真． 故“p q ∨为真”推不出“p ⌝为假”，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的的必要不充分条件．故选：B.本题考查复合命题真假的判断，一般地，p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”． 3. 若2(,)1a bi a b i=+∈+R ，则20192020a b +=（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2D整理21a bi i=++可得：1i a bi -=+，问题得解因为21a bi i=++，所以1i a bi -=+，所以1,1a b ==-， 所以201920202a b +=，故选：D.本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.4. 与双曲线22154x y -=的焦点相同，且长轴长为 ）A. 22154x y +=B. 221123x y += C. 221167x y += D. 2214836x y +=B求出双曲线的焦点坐标，结合长轴长即可得到椭圆的标准方程.双曲线22154x y -=的焦点为()()3,0,3,0-，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>,23a c a b ====所以椭圆的标准方程为221123x y +=.故选：B 求得双曲线的焦点坐标是解题关键5. 已知函数()322f x x x =-，[]13,x ∈-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A. 最大值为9B. 最小值为3-C. 函数()f x 在区间[]1,3上单调递增D. 0x =是它的极大值点C利用导数分析函数()y f x =在区间[]1,3-上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误.()322f x x x =-，则()()23434f x x x x x '=-=-. 令()0f x '>，可得0x <或43x >；令()0f x '<，可得403x <<.当[]13,x ∈-时，函数()y f x =在区间[)1,0-,4,33⎛⎤⎥⎝⎦上均为增函数， 在区间40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，C 选项错误；所以0x =是函数()y f x =的极大值点，D 选项正确；因为()00f =，()327299f =-⨯=，()11213f -=--⨯=-，46416322327927f ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值为9， 最小值为3-，A 、B 选项正确.故选：C.本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6. 已知双曲线22213x y a -=，(0)a >的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（ ）A. 12y x =±B. y =C. y x =±D. y x = B先求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线方程，再由双曲线的方程求解渐近线方程即可． 因为28y x =的焦点（2，0）， 所以a 2+3＝4, ∴a 2＝1，∴双曲线方程为：2213y x -= ．∴渐近线方程为：y =．故选：B7. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是减函数（ ）A. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. (),2ππC. 35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,3ππD 分析】求导sin y x x '=-，由0y '<求解. 因为函数cos sin y x x x =-，cos sin cos sin y x x x x x x '=--=-，当23x ππ<<时，0y '<，所以函数在()2,3ππ上是减函数，故选：D8. 已知函数()ln f x x =，则下列选项正确的是（ ） A. ()()()2.7f e f f π<< B. ()()()2.7f f e f π<< C. ()()()2.7f e f f π<< D. ()()()2.7f f e f π<<D求导，判断()f x 在()0,∞+上递增求解.因为函数()()ln 0f x x x =>， 所以()1f x x'=>， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又因为2.7e π<<，所以()()()2.7f f e f π<<，故选：D9. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. B. 3(0,]4C. D. 3[,1)4A 分析】由题意求出a 的值与b 的取值范围，计算离心率e 的取值范围即可．解：设椭圆的左焦点为1F ，半焦距为c ，连结1AF ，1BF ，则四边形1AF BF 为平行四边形，所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=，根据椭圆定义，有11||||||||4AF AF BF BF a +++=，所以84a =，解得2a =．因为点M 到直线l ：340x y +=的距离不小于45，即44,155b b ≥≥，所以21b ≥， 所以2221,41ac c --≥≥，解得03c <≤所以30c a <≤，所以椭圆的离心率的取值范围为30,2⎛ ⎝⎦．故选：A 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. (),2-∞- D. (),1-∞-C试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 有两个零点33和33-不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a ∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．11. 如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [8,12]B根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-， 根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈，故选：B.本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()1,(0)2021f x f x f '-<=，则不等式()20201x f x e >⋅+(e 为自然对数的底数)解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()2020,+∞C. ()0,∞+D. ()(),02020,-∞⋃+∞C令()()1xf xg x e -=，根据()()1f x f x '-<，利用导数法得到()g x 在R 上递增，再将()20201x f x e >⋅+变形为()12020xf x e ->，即()()0g x g >，利用单调性的定义求解. 令()()1xf xg x e -=，因为()()1f x f x '-<， 所以()()()10xf x f xg x e '-+'=>，所以()g x 在R 上递增， 又(0)2021f =，所以()()0012020g f =-=， 不等式()20201x f x e >⋅+，转化为()12020xf x e ->， 即()()0g x g >， 所以0x >，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分) 13. 设z ＝11i+＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.2根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.1111111(1)(1)2222i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-,z ∴==.本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.14. 命题“0x R ∃∈，满足不等式20040x mx ++<”是假命题，则m 的取值范围为__________.[]4,4-根据命题“0x R ∃∈，满足不等式20040x mx ++<”是假命题，转化为x R ∀∈，不等式240x mx ++≥，恒成立，利用判别式法求解.因为命题“0x R ∃∈，满足不等式20040x mx ++<”是假命题，所以x R ∀∈，不等式240x mx ++≥，恒成立， 则2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤， 所以m 的取值范围为[]4,4-， 故答案为：[]4,4-15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.9625（或3.84） 以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设所求抛物线的方程为22x py =-，由题意可得出点()10,4A --在该抛物线上，可求得p 的值，然后将2x =代入抛物线的方程，进而可求得结果.以抛物线的顶点O 为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为22x py =-，由题意可知点()10,4A --在该抛物线上，所以，()10024p =-⨯-，解得252p =，所以，抛物线的方程为225x y =-， 当2x =时，2242525y =-=-，因此，最长的支柱的长度为49642525-=（米）. 故答案为：9625（或3.84）. 利用解析法解决平面几何问题的步骤如下： （1）建立合适的坐标系；（2）将几何元素用代数形式加以表示； （3）将几何关系转化为数学运算； （4）将数学结果转化为实际结论.16. 已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x －a)，若f(x)在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________． (－1,0)根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f′(x)的一个零点，且在x ＝a 的左边有f′(x)＞0，右边有f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)． 三、解答题(共6小题，共70分）17. （1）已知椭圆()222210x y C a b a b ：+=>>点(在C 上.求椭圆C 的方程；（2）求与椭圆224520x y +=有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程.（1）22184x y +=；（2）24y x =±.（1）由离心率、点坐标代入椭圆方程和222a b c 、、间的关系列出方程组可得答案； （2）求出椭圆的焦点坐标，设出抛物线方程，根据焦点坐标可得答案.（1）由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为22184x y +=.（2）由224520x y +=得22154x y +=，所以225,4a b ==， 椭圆的焦点坐标为()()1,0,1,0-，所以抛物线的焦点坐标为()()1,0,1,0-，当抛物线的开口向右时设抛物线的方程为22(0)y px p =>，所以12p=，得2p =； 当抛物线的开口向左时设抛物线的方程为22(0)y px p =->，所以12p-=-，得2p =，综上所述，抛物线的方程为24y x =±.本题考查了椭圆的方程的求法、抛物线方程的求法，关键点是熟练掌握椭圆的标准方程、抛物线的标准方程和它们的简单的几何意义，考查了学生的运算能力.18. 设关于x 的不等式254x x ≤-的解集为A ，不等式()()22202x a x a a -++≤≥的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. （1）[]1,4A =，{|2}B x x a =≤≤；（2）[]2,4. （1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B 即可. （2）根据x A ∈是x B ∈的必要条件，由B A 求解. （1）不等式254x x ≤-，化为2540x x -+≤， 因式分解为()()140x x --≤，解得14x ≤≤，∴解集[]14A =，；不等式()2220x a x a -++≤，化为()()20x x a --≤，当2a >时，解集[]2M a =，； 当2a =时，解集{}2M =，综上，不等式()()22202x a x a a -++≤≥的解集{|2}B x x a =≤≤.（2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，所以B ⊆A ，24a ∴≤≤，∴实数a 的取值范围是[]24，.19. 已知m R ∈，命题p ：方程22117x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：“方程2222(26)14260x y x m y m m +-+-+-+=表示圆心在第一象限的圆”.（1）若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和q 均为假命题，求实数m 的取值范围.（1）14m <<（2）(,1][4,)-∞⋃+∞（1）根据方程表示焦点在y 轴上的椭圆，列出不等式组即可得到m 的范围；（2）先求出命题p 和q 为真命题时m 的范围，然后分别取补集再取交集即可得到答案.（1）若命题p 是真命题，则107071m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得14m <<；（2）()22222614260x y x m y m m +-+-+-+=化为()()2213816x y m m ⎡⎤-++-=-⎣⎦ ∵“方程()22222614260x y x m y m m +-+-+-+=表示圆心在第一象限的圆.”为真命题∴308160m m ->⎧⎨->⎩， 解得23m <<，即:23q m <<.p 为假命题则1m ≤或4m ≥q 为假命题则2m ≤或3m ≥由p 和q 均为假命题，∴1m ≤或4m ≥由p 和q 均为假命题，∴1m ≤或4m ≥∴实数m 的取值范围为][(),14,-∞⋃+∞本题考查命题真假判断的应用，考查椭圆的标准方程和圆的一般方程的应用，考查推理和计算能力.20. 函数1()ln 1f x x x=+-. （1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. （1）44ln 240x y -+-=；（2）2e -.【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在点(2,(2))f 处的切线斜率，进而可得切线方程； （2）对函数求导，判断其在给定区间的单调性，计算端点值比较大小，即可得出结果. （1）因为1()ln 1f x x x=+-的定义域为()0,x ∈+∞， 所以()22111x f x x x x-'=-+=， 因此()2212124f -'==，即曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14. 又()12ln 22f =-， 所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为11ln 2(2)24y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即44ln 240x y -+-=；(2)因为()22111x f x x x x -'=-+=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x f x x -'=<，即()f x 单调递减； 当()1,x e ∈时，()210x f x x-'=>，即()f x 单调递增； 所以()()min 10f x f ==； 又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f e e =，而12e e ->， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为max 1()2f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.思路点睛：利用导数的方法求函数的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出给定区间内的极值以及端点值，比较大小，即可求解.21. 已知中心在原点的椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的一个焦点为1(3,0)F ，点(4,)(0)M y y >为椭圆上一点，1MOF △的面积为32. （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于AB 、两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由.（1）221189x y +=；（2）存在，14y x =. （1）根据三角形面积公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）根据题意设出直线l 的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.解：（1）132MOF S = 3322y ∴= 得1y = M 在椭圆上，221611a b ∴+= ① 1F 是椭圆的焦点229a b ∴=+ ②由①②解得：2218,9a b == 方程：221.189x y += （2）OM 的斜率14k =，设l 的方程为14y x m =+， 联立方程组22141189y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得22916890.y my m -+-= △()()221649890m m =-⨯⨯->，解得44m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭ 设A B 、两点的坐标为1122(,)(,)x y x y ，则212121689,.99m m y y y y -+== 以AB 为直径的圆经过原点，所以有0OA OB ⋅=，即12120.x x y y +=212121212(44)(44)1616()16x x y m y m y y m y y m =--=-++212121212121616()16x x y y y y m y y m y y ∴+=-+++22222121217(89)161716()1616099m m y y m y y m m -=-++=-+=解得m =,44⎛∈- ⎝⎭经检验满足，所求l 的方程为144y x =± 22. 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln x x，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； （2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋12； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. （1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =.(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x '-=-=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值. (2)要证 f (x )>g (x )＋12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >12，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导11()ax f x a x x '-=-=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解.(1)因为f (x )＝x －ln x ， 所以11()1x f x x x'-=-=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)∵f (x )的极小值为1，∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝21ln x x -， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增．∴[g (x )]max ＝g (e)＝112e <， ∴[f (x )]min －[g (x )]max >12， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12. (3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3， 则11()ax f x a x x'-=-=. ①当0<1a<e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e ]上单调递增，[f (x )]min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当1a ≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)， 所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时f (x )有最小值3.方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．。
2020-2021学年陕西省西安市七十中高二上学期10月月考数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年陕西省西安市七十中高二上学期10月月考数学（理）试题分值150分 考试时间120分钟一 选择题(共十二个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥22．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 3＝－6，a 7＝6，则( )A ．S 4＝S 5B ．S 5＝S 6C ．S 4>S 6D ．S 5>S 64．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项5．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 5＋a 6＝( )[A ．80B ．90C ．95D ．1006．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数)，则数列{a n }( )[A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 015等于( )A ．2 015×2 014B ．2 014×2 013C ．2 013×2 012D ．2 015×2 016 8．数列9,99,999，…的前n 项和为( )A.109(10n －1)＋n B ．10n －1 C.109(10n －1) D.109(10n －1)－n 9．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－98 D.9810．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜011.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．312．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.72二 填空题（四个小题，每小题5分）13．如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖_______块．(用含n 的代数式表示)14.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4aC3sin 2sin A B ,则c=______. 15． 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．16．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2017＝___三 解答题（共5个小题，每题14分） 17.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值．19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .20.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．2020-2021学年陕西省西安市七十中高二上学期10月月考数学（理）试题参考答案一．选择题 （ 每小题5分,共60分）二．填空题 （每小题5分,共20分）13．__4n+8__ 14. __4__15．.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 _____ 16．______12/7三．解答题 （共70分）17.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值． 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩， 解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值． 解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12，∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.20.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .（Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n nn n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n n n S S S S S S S S b b b T 12111--=+n .21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项， 公差为4的等差数列，所以()2144212n na n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭。