鲁棒优化的方法及应用
鲁棒性优化的原理、评估方法及应用-放射医学论文-基础医学论文-医学

鲁棒性优化的原理、评估方法及应用-放射医学论文-基础医学论文-医学鲁棒性优化的原理、评估方法及应用放射医学论文基础医学论文医学放射医学作为一门重要的医学分支,应用广泛且发展迅猛。
在放射医学的实践中,为了保证诊断结果的准确性和稳定性,提高影像质量和疾病诊断的可信度,鲁棒性优化成为一种重要的手段。
本论文将着重探讨鲁棒性优化的原理、评估方法以及其在放射医学中的应用。
一、鲁棒性优化原理鲁棒性优化是指在实际应用中,通过在系统中引入一定程度的冗余,使得系统对各种干扰因素和不确定性具有强健性。
在放射医学领域中,鲁棒性优化的原理主要包括以下几个方面。
1. 信号处理技术鲁棒性优化中的信号处理技术主要针对图像数据的处理。
比如在辐射剂量计算中,为了减小各种因素对剂量计算结果的影响,可以基于模型订正或者增加剂量分配的冗余,提高系统的鲁棒性。
2. 特征提取与选择特征提取与选择是鲁棒性优化的关键环节。
通过合理选择影像中的关键特征,可以减少噪声和其他干扰因素对诊断结果的影响。
比如在肿瘤检测中,可以通过计算形状特征、纹理特征等来提高肿瘤检测的准确性和鲁棒性。
3. 算法优化算法优化是鲁棒性优化的重要手段。
通过改进或设计新的算法,可以提高系统对各种噪声和变化的适应能力。
例如,对于放射源和探测器位置的微小变化,可以采用基于机器学习的方法来优化图像重建算法,从而提高图像质量和诊断准确性。
二、鲁棒性优化的评估方法为了评估鲁棒性优化的效果,我们需要选择合适的评估方法和指标。
以下是几种常用的评估方法。
1. 灵敏度分析灵敏度分析是评估系统对输入参数变化的鲁棒性的一种方法。
通过改变系统参数或输入数据的扰动幅度,观察输出结果的变化情况,可以评估系统在不同干扰因素下的鲁棒性。
2. 参数估计参数估计是通过对输入参数进行统计分析,估计系统对参数变化的鲁棒性。
通过观察参数估计结果的方差、置信区间等指标,可以评估系统在不同干扰条件下对参数的稳定性和可信度。
鲁棒优化的方法及应用概述

鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。
鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。
早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。
几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。
在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。
直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。
一个一般的数学规划的形式为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}ni x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。
ξ表示属于特定问题的数据。
U 是数据空间中的某个不确定的集合。
对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}ni x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=∀∈这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。
这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。
1 鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}Tnm nm xc x Ax b c A b U R RR ⨯≥∈⊂⨯⨯所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}Txt t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。
控制系统的鲁棒优化控制方法

控制系统的鲁棒优化控制方法在现代工业领域中,控制系统起着至关重要的作用,用于实现对工艺过程的自动化控制和优化。
然而,由于工艺过程本身的复杂性和不确定性,传统的控制方法常常无法满足系统的要求。
因此,鲁棒优化控制方法应运而生,旨在提高系统的控制性能和稳定性。
本文将介绍控制系统的鲁棒优化控制方法及其应用。
一、鲁棒优化控制的基本概念鲁棒优化控制是一种针对不确定系统的自适应控制方法,其目标是在面对参数变化、环境扰动和不确定模型时,仍能实现系统的稳定性和优化性能。
鲁棒优化控制方法通过在控制器中引入鲁棒性设计和优化算法,以提高系统对不确定性的适应能力,并优化系统的控制性能。
二、鲁棒优化控制方法的原理及应用1. 鲁棒性设计鲁棒性设计是控制器设计中的关键环节,通过引入鲁棒性方法来抵抗系统模型不确定性。
鲁棒性设计常采用H∞控制理论、μ合成等方法,以提高系统的稳定性和鲁棒性能。
通过这些方法,控制器能够对参数扰动和未建模动态进行补偿,从而使系统具有良好的鲁棒性。
2. 优化算法优化算法在鲁棒优化控制中起到了重要的作用。
常用的优化算法包括PID控制器参数整定、遗传算法、模糊控制等。
通过这些算法的应用,可以使系统的控制性能得到改善,并且能够灵活应对不同的工况变化。
3. 应用领域鲁棒优化控制方法在许多领域都有广泛的应用,例如电力系统、化工过程、机械控制等。
以电力系统为例,由于电力系统的复杂性和不确定性,传统的控制方法往往无法满足实际需求。
而鲁棒优化控制方法通过引入鲁棒性设计和优化算法,能够实现对电力系统的稳定控制和优化运行。
三、鲁棒优化控制方法的优势与挑战1. 优势鲁棒优化控制方法能够有效应对系统的不确定性和复杂性,具有良好的鲁棒性和适应性。
通过引入鲁棒性设计和优化算法,能够提高系统的控制性能和稳定性。
2. 挑战鲁棒优化控制方法的应用还面临着一些挑战。
首先,鲁棒优化控制方法需要对系统进行建模和参数估计,这对于复杂系统来说是一项困难的任务。
鲁棒优化的方法及应用概述

鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。
鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。
早在19世纪70年代,Soyster就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。
几年以后Falk沿着这条思路做了非精确的线性规划。
在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。
直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。
一个一般的数学规划的形式为min n{x0 : f°(x, ) — X。
乞0, £(x, ) E0,i-R ,x =R其中x为设计向量,f o为目标函数,f!, f2,..., f m是问题的结构元素。
•表示属于特定问题的数据。
U是数据空间中的某个不确定的集合。
对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为min n{x° : f°(x, ) -X。
一0, £(x, ) 一0,i =1,...,m^ U}x -R,x :R这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。
这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。
1鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{ c T x: Ax 3b} (c, A,b)乏U u R n x R mxh x R m}所对应的鲁x棒优化问题为min {t:t _c T x, Ax _b,(c, A,b)・U},如果不确定的集合是一个计算上易处x理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。
数学中的robust optimization

数学中的Robust Optimization在数学中,Robust Optimization(鲁棒优化)是指在处理不确定性和变动性问题时,寻求一种能够保证系统稳定性和最佳性能的优化方法。
在实际应用中,很多问题都存在不确定性和变动性,例如经济模型中的市场波动、工程设计中的材料变化、交通规划中的天气变化等等。
传统的优化方法往往无法有效处理这些问题,而鲁棒优化则能够更好地应对这些挑战。
1. 概念理解鲁棒优化的概念源于20世纪90年代,最初主要应用于控制理论和运筹学领域。
随着对不确定性建模和处理技术的不断完善,鲁棒优化逐渐成为了数学优化领域的热门研究方向。
其核心思想是在优化问题中引入不确定因素的范围,使得所得到的解对于一定范围内的不确定性都具有稳定的性能。
这一点对于实际问题的解决非常重要,因为现实世界中很多问题的输入数据都难以完全确定,甚至是随机变动的。
2. 鲁棒优化的应用领域鲁棒优化在实际应用中有着广泛的应用。
在工程领域,例如建筑结构设计中考虑到材料强度的波动、电力系统中考虑到负荷变动等都涉及到鲁棒优化;在金融领域,投资组合优化中考虑到市场波动、风险控制中考虑到利率变化等也需要运用鲁棒优化方法;在交通运输领域,交通流量预测中考虑到交通事故、天气影响等都需要鲁棒优化的技术支持。
鲁棒优化在各个领域都有着非常重要的应用和意义。
3. 个人观点个人认为,鲁棒优化的重要性在当今社会中日益凸显。
随着社会经济的发展和科技的进步,不确定性和变动性问题必然会越来越复杂和严重。
在这种背景下,如何合理地处理这些问题,有效地利用有限的资源,实现系统的稳定性和性能最优是当前亟待解决的问题。
鲁棒优化恰恰提供了一种有效的方法来解决这些问题,为实际问题的解决提供了新的途径和思路。
4. 总结回顾通过对鲁棒优化的学习和研究,我们不仅对于优化问题的理解更加深入,而且也为实际问题的解决提供了更多的选择和方法。
在未来的研究和实践中,我相信鲁棒优化一定会有着更广泛的应用和更深远的影响。
鲁棒性优化的原理、评估方法及应用-放射医学论文-基础医学论文-医学论文

鲁棒性优化的原理、评估方法及应用-放射医学论文-基础医学论文-医学论文——文章均为WORD文档,下载后可直接编辑使用亦可打印——摘要:质子治疗过程容易受射程偏差、摆位偏差、患者解剖结构改变等不确定因素的影响,质子调强放疗的鲁棒性优化是将这些不确定因素考虑进计划的制定过程中,增加治疗计划鲁棒性的一种方法,在临床中有广泛的应用。
鲁棒性优化的方法主要有4种:(1)概率法;(2)最差剂量法;(3)添加约束项;(4)多CT优化。
本文综述了这4种方法的原理、优缺点和临床应用情况。
同时,还介绍了治疗计划鲁棒性的评估方法。
虽然目前剂量体积直方图束是最常用的评估治疗计划鲁棒性的方法,但是,剂量体积直方图束不能反映质子调强放疗计划对解剖结构改变的鲁棒性,因此,还急需建立一个简单易用并能被广泛接受的鲁棒性评估方法,方便质子调强放疗计划的对比和评估。
关键词:质子调强放射治疗; 鲁棒性优化; 鲁棒性评估; 综述;Abstract:The intensity modulated proton therapy(IMPT)process is susceptible to factors such as range uncertainties, setup uncertainties and anatomical changes. The robust optimization of IMPT is a method to increase the robustness of treatment plan by taking these uncertainties into consideration in the process of optimization, which is widely used in clinical practice.There are four methods for robust optimization:(1)probability method;(2)worst dose method;(3)adding constraints;(4)multiple CT optimization. This paper reviews the principles, advantages and disadvantages of these four methods and their clinical application, and it also introduces the evaluation methods for robustness. Although the dose volume histogram(DVH)bands is the most commonly used method to evaluate the plan robustness, DVH bands cannot reflect the robustness of IMPT plan with anatomical changes. Therefore, it is urgent to establish a simple and widely accepted robustness evaluation method to facilitate the comparison and evaluation of IMPT plans.Keyword:intensity modulated proton therapy; robust optimization; robustness evaluation; review;前言质子调强放疗(Intensity Modulated Proton Therapy,IMPT)相比于传统的光子调强放疗(Intensity Modulated Radiation Therapy,IMRT)有剂量上的优势[1,2,3,4],但是,IMPT的剂量线梯度大,容易受不确定因素的影响[5]。
机械系统的鲁棒控制与鲁棒优化设计

机械系统的鲁棒控制与鲁棒优化设计鲁棒控制与鲁棒优化设计是机械系统中关键的技术手段,能够在不确定性和变动性环境下实现稳定可靠的控制。
本文将探讨机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计的原理、方法和应用。
一、机械系统的鲁棒控制机械系统的鲁棒控制是指在存在参数不确定性、外部扰动和模型误差的情况下,仍能确保系统稳定性和性能的控制方法。
鲁棒控制能够应对系统的不确定性和变动性,提高系统的稳定性和鲁棒性。
鲁棒控制的关键是设计具有鲁棒性的控制器。
鲁棒控制常用的方法包括H∞控制、μ合成控制和自适应控制等。
其中,H∞控制是一种基于最优控制理论的方法,能够优化系统的鲁棒性能。
μ合成控制通过寻找闭环系统的最小鲁棒性能函数,设计出鲁棒控制器。
自适应控制则通过根据系统的环境变化和参数变动调整控制器的参数,以提高系统的鲁棒性。
二、机械系统的鲁棒优化设计除了鲁棒控制外,鲁棒优化设计也是提高机械系统性能的重要手段。
鲁棒优化设计是指在系统参数不确定和模型偏差的情况下,优化系统的性能指标。
通过鲁棒优化设计,可以使系统具备更好的控制性能,减小外部扰动的影响。
常用的鲁棒优化设计方法包括基于最优化理论的方法和基于神经网络的方法。
基于最优化理论的方法可以采用数学优化模型,将优化问题转化为求解最值的问题。
基于神经网络的方法则通过训练神经网络,得到系统的非线性映射关系,从而实现优化设计。
在鲁棒优化设计中,还需要考虑不确定性和变动性因素的影响。
例如,对于机械系统中存在的参数不确定性,可以采用模糊控制方法进行建模和设计。
模糊控制能够处理参数模糊和模糊逻辑关系,提高系统的鲁棒性。
三、机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计的应用机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计在工程实践中得到了广泛应用。
例如,在工业自动化领域,机械系统的鲁棒控制和鲁棒优化设计可以提高生产过程的稳定性和效率。
在航空航天领域,鲁棒控制技术可以提高航空器的操纵性和安全性。
此外,机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计还在智能机器人、医疗设备和交通系统等领域中有重要应用。
鲁棒优化 例题

鲁棒优化例题
摘要:
一、鲁棒优化的概念
二、鲁棒优化的应用领域
三、鲁棒优化的发展历程
四、鲁棒优化的方法与技术
五、鲁棒优化的例题解析
正文:
鲁棒优化是一种重要的优化方法,其主要研究在不确定性因素影响下,如何进行优化决策。
鲁棒优化不仅广泛应用于工程、经济、管理等领域,还在军事、环境、医疗等领域发挥着重要作用。
鲁棒优化的发展历程可以追溯到20世纪60年代,随着现代科技的发展,人们对不确定性的认识逐渐深入,鲁棒优化理论也不断完善和发展。
目前,鲁棒优化已经成为运筹学、管理科学、控制理论等领域的重要研究方向。
鲁棒优化的方法与技术主要包括:不确定性的量化与传递、鲁棒优化模型的构建与求解、灵敏度分析与稳健性分析等。
这些方法与技术在解决实际问题中发挥着重要作用。
在实际应用中,鲁棒优化常常通过例题来进行解析。
以下是一个典型的鲁棒优化例题:
假设某企业拟投资开发一种新产品,预计该产品的市场需求量为Q,单位售价为P。
企业生产该产品的成本为C。
已知市场需求量Q服从参数为μ和
σ^2的正态分布,单位售价P服从参数为ρ和σ^2的正态分布。
企业需要在满足市场需求的前提下,最小化生产成本。
请问企业的最优生产策略是什么?
通过这个例题,我们可以看到鲁棒优化在实际问题中的应用。
在解决这类问题时,需要对不确定性进行量化,并建立相应的鲁棒优化模型。
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鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。
鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。
早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。
几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。
在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。
直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。
一个一般的数学规划的形式为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}ni x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。
ξ表示属于特定问题的数据。
U 是数据空间中的某个不确定的集合。
对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}ni x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=∀∈这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。
这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。
1 鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}Tnm nm xc x Ax b c A b U R RR ⨯≥∈⊂⨯⨯所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}Txt t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。
并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}NZ R ξ=⊂的仿射像给出,如果Z 是1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。
2由锥二次不等式系统给出2,1,...,Ti i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。
3 由线性矩阵不等式系统给出dim 010i i i P P ξξ=+≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。
1.2鲁棒二次规划考虑一个不确定的凸二次约束问题1{min{:2,1,...,}(,,)}T T T m i i i i i i i xc x x A x b x c i m A b c U =≤+=∈对于这样的一个问题,即使不确定集合的结够很简单,也会导致NP 难的问题,所以对于这种问题的处理通常是采用它的近似的鲁棒规划问题。
考虑一个不确定的优化问题{min{:(,)0}}TxP c x F x U ξξ=≤∈,假设不确定集合为n U V ξ=+,而n ξ表示名义的数据,而V 表示一个扰动的集合,假设V 是一个包含原点的凸紧集。
不确定问题P 可以看成是一个不确定问题的参数族{min{:(,)0}}T n xP c x F x U V ρρξξξρ=≤∈=+,0ρ≥表示不确定的水平。
具有椭圆不确定性的不确定的凸二次规划问题的近似鲁棒问题11{{(,,)(,,)(,,)}1,1,...,}Lnn n l l l m Ti i i iiil i i i i j l U c A b c A b c A b Q j k ξξξ====+≤=∑ 其中10,0kj jj Q Q=≥∑f则问题可一转化为一个半定规划问题11111111min 2...[]22[]2..0,1,...,[]2T L kT n n T T L n T i i i i iji i i j T i T i i kij ij L L TT Li i in L i i i c xc c x b c x b x b A x c x b A x s t Qi m c A x x b A x A x A xI λλ==⎛⎫+-++ ⎪⎪ ⎪+⎪⎪⎪≥=⎪ ⎪+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭∑∑M ML具有椭圆不确定集合的不确定锥二次问题的近似鲁棒规划 考虑不确定锥二次规划12{min{:,1,...,}{(,,,)}}T T m i ii i i i i i i xc x A x b x i m A b U αβαβ=+≤+=∈它的约束为逐侧的不确定111{,}(,,,)}{,}m leftm i i i i i i i i m right i i i A b U U A b U αβαβ===⎧⎫∈⎪⎪=⎨⎬∈⎪⎪⎩⎭它的左侧的不确定的集合是一个椭圆11{{(,)(,)(,)}1,1,...,}Lleftnn l l m T i i iil i i i j l UA b A b A b Q j k ξξξ====+≤=∑其中10,0kj jj Q Q=≥∑f右侧的不确定集合是有界的,它的半定表示为11{{(,)(,)(,)}}Rrightnn r r m i i iir i i i r UV αβαβηαβη====+∈∑{:()()0}V u P Q u R ηη=∃+-≥,(),()P Q u η为线性映射。
则半定规划为11111min [][]..0,1,...,[]T kn n T iji i j T i i kijij L L T i i n n L i i i i i c xA x b A x b s t Qi mA x b A x b A x A xIτλλτ==⎛⎫-+ ⎪⎪⎪+ ⎪≥= ⎪ ⎪+⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑M L其中11**0,1,...,,1,...,(),1,...,(),1,...,()0,1,...,0,1,...,ij T n n i i i i T i i i T R R i i i i i m j k x Tr RV i mx P V i mx Q V i mV i mλταβαβαβ≥===++=⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭==≥=M1.3鲁棒半定规划一个不确定的半定规划的鲁棒规划为0011{min{:0}{(,...,)}}nTm i i n i xi c x A x A A A U ==+≥∈∑由一个箱式不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题0001{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l l n nl n l U A A A A A A ξξ∞===+≤∑。
则半定规划的近似的鲁棒优化为01,011[],1,...,min :[],1,...,,1,...,lnl l ll j j j T l l x X L nl l lj j l j X A x A x A l L c x X A x l L X A x A l L ===⎧⎫≥≡+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥-=⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤+=⎪⎪⎩⎭∑∑∑由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题00021{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l ln nl n l U A A A A A A ξξ===+≤∑。
则半定规划问题为12120,,1[][][][]min :[]0,2()[]L nT n n j j x F G j L G A x A x A x A x c x A x F F G A x A A x F =⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪≥+≤+⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭∑L M M具有易处理的鲁棒counterparts 的不确定线性规划。
如果多胞形是由有限集合的凸包给出的,则鲁棒规划为1min{:0,1,...,}nTl l j j xj c x A x A l L =+≥=∑2 鲁棒优化的几种新的方法鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。
2.1不确定的线性规划的可调节的鲁棒解不确定线性规划为[,,],{min :}TZ U V b Z u vLP c u Uu Vv b ζ=∈+≤,其中不确定集合n m n m Z R R R ⨯⊂⨯⨯是一个非空的紧的凸集,V 称为recourse 矩阵。
当V 是确定的情况下,则称相应的不确定线性规划为固定recourse 的。
定义:线性规划Z LP 的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]):}TuRC c u v U V b Z Uu Vv b ζ∃∀=∈+≤,则它的可调节的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]),:}T uARC c u U V b Z v Uu Vv b ζ∀=∈∃+≤。
可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活,但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。
对于一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题,然而它相应的可调节的鲁棒规划却是不易处理的问题。
但是如果不确定集合是有限集合的凸包,则固定recourse 的ARC 是通常的线性规划。
从实际的应用来看,只有当原不确定问题的鲁棒counterpart 在计算上容易处理的时候,鲁棒优化方法才有意义。
当可调节的变量是数据的仿射函数时,可以得到一个计算上易处理的鲁棒counterpart.对于Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)可以表示为,,():min{:(),([,,])}T u w WAARC c u Uu V w W b U V b Z ζζ++≤∀=∈。
如果Z 是一个计算上易处理的集合,则在固定recourse 的情况下,Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个计算上易处理的问题。
如果Z 是这样的一个集合,1{[,,][,,][,,]:}Ll l l l l Z U V b U V b U V b ξξ===+∈ℵ∑,ℵ是一个非空的凸紧集。
在固定的recourse 的情况下,AARC 具有这样的形式01000,,,...,min {:[][][],}LT l l ll l l u v v vc u U U u V v v b b ξξξξ+++≤+∀∈ℵ∑∑∑ 如果不确定的集合是一个锥表示的,则Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个锥二次或半定规划。
如果recourse 也是可变的,则AARC 是不易处理的问题,这时采用它的近似形式。
在简单椭圆不确定集合的情况下,AARC 等价于一个半定规划。
当扰动的集合是一个中心在原点的箱式集合或者是一个关于原点对称的多胞形集合,则AARC 可以有一个半定规划来近似。