鲁棒优化的方法与应用

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数学中的robust optimization

数学中的robust optimization

数学中的Robust Optimization在数学中,Robust Optimization(鲁棒优化)是指在处理不确定性和变动性问题时,寻求一种能够保证系统稳定性和最佳性能的优化方法。

在实际应用中,很多问题都存在不确定性和变动性,例如经济模型中的市场波动、工程设计中的材料变化、交通规划中的天气变化等等。

传统的优化方法往往无法有效处理这些问题,而鲁棒优化则能够更好地应对这些挑战。

1. 概念理解鲁棒优化的概念源于20世纪90年代,最初主要应用于控制理论和运筹学领域。

随着对不确定性建模和处理技术的不断完善,鲁棒优化逐渐成为了数学优化领域的热门研究方向。

其核心思想是在优化问题中引入不确定因素的范围,使得所得到的解对于一定范围内的不确定性都具有稳定的性能。

这一点对于实际问题的解决非常重要,因为现实世界中很多问题的输入数据都难以完全确定,甚至是随机变动的。

2. 鲁棒优化的应用领域鲁棒优化在实际应用中有着广泛的应用。

在工程领域,例如建筑结构设计中考虑到材料强度的波动、电力系统中考虑到负荷变动等都涉及到鲁棒优化;在金融领域,投资组合优化中考虑到市场波动、风险控制中考虑到利率变化等也需要运用鲁棒优化方法;在交通运输领域,交通流量预测中考虑到交通事故、天气影响等都需要鲁棒优化的技术支持。

鲁棒优化在各个领域都有着非常重要的应用和意义。

3. 个人观点个人认为,鲁棒优化的重要性在当今社会中日益凸显。

随着社会经济的发展和科技的进步,不确定性和变动性问题必然会越来越复杂和严重。

在这种背景下,如何合理地处理这些问题,有效地利用有限的资源,实现系统的稳定性和性能最优是当前亟待解决的问题。

鲁棒优化恰恰提供了一种有效的方法来解决这些问题,为实际问题的解决提供了新的途径和思路。

4. 总结回顾通过对鲁棒优化的学习和研究,我们不仅对于优化问题的理解更加深入,而且也为实际问题的解决提供了更多的选择和方法。

在未来的研究和实践中,我相信鲁棒优化一定会有着更广泛的应用和更深远的影响。

鲁棒优化在电力系统调度决策中的应用研究综述

鲁棒优化在电力系统调度决策中的应用研究综述

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机械结构设计的鲁棒优化研究

机械结构设计的鲁棒优化研究

机械结构设计的鲁棒优化研究一、引言随着技术的进步和创新的需求,机械结构设计的重要性日益凸显。

在设计过程中,我们常常面临的一个挑战是如何使机械结构在不同的环境和工况下具有鲁棒的性能。

本文旨在探讨机械结构设计的鲁棒优化方法和技术,并为相关领域的研究提供参考。

二、机械结构设计的鲁棒性分析1. 鲁棒性的定义在机械结构设计中,鲁棒性是指设计在不确定因素和变化因素的影响下,仍然能够保持稳定和正确性的特性。

鲁棒性分析是通过评估设计和制造过程中的不确定性来确定工程系统在各种情况下的性能。

2. 鲁棒性分析的重要性鲁棒性分析在机械结构设计中尤为重要,原因如下:首先,机械结构的使用环境和工况常常复杂多变,例如温度、湿度、振动等因素的变化都可能对结构的性能产生影响。

鲁棒性分析可以帮助设计师预测结构在不同工况下的性能表现,从而指导设计决策。

其次,鲁棒性分析可以有效地降低设计过程中的风险和不确定性。

通过对不同参数的敏感性分析,设计师可以找到结构的关键参数,并对这些参数进行优化,从而提高结构的鲁棒性,减少设计的失误和成本。

最后,鲁棒性分析有助于提高机械结构的可靠性和寿命。

通过对不同环境和工况下结构的性能进行评估和优化,设计师可以有效地提高结构的可靠性和寿命,从而减少维护和保养的成本。

三、机械结构设计的鲁棒优化方法1. 参数设计的鲁棒优化参数设计是机械结构设计的关键环节之一。

在进行参数设计时,我们需要考虑不确定因素对结构性能的影响,并寻找一种能够在不同情况下保持稳定性能的最优参数。

一种常用的参数设计方法是基于仿真模型的优化。

通过建立数学模型,并利用数值仿真方法对不同参数进行模拟和分析,可以评估参数对结构性能的影响,并找到最优参数组合。

另一种参数设计方法是基于试验的优化。

通过设计不同参数组合的实验,测量和分析实验数据,可以找到最优参数组合,并进一步对参数进行优化。

这种方法不仅可以考虑不确定因素的影响,还可以考虑制造误差和装配误差等因素对结构性能的影响。

两阶段鲁棒优化方法

两阶段鲁棒优化方法

两阶段鲁棒优化方法引言:在机器学习和优化问题中,鲁棒性是指模型对输入数据的扰动具有一定的容忍度。

鲁棒优化方法旨在通过考虑输入数据的扰动,使得优化算法能够在面对噪声或异常数据时仍能得到稳定和可靠的结果。

而两阶段鲁棒优化方法则是一种常用的解决方案,本文将对其进行详细介绍。

第一阶段:预处理在进行鲁棒优化之前,我们需要对输入数据进行预处理。

预处理的目的是通过消除或减小数据中的噪声和异常值,提高优化算法的鲁棒性。

常用的预处理方法包括数据平滑、异常值检测和处理、特征选择和降维等。

数据平滑是一种常见的预处理方法,它通过对数据进行滤波或平均化处理,降低数据中的噪声干扰。

常用的数据平滑方法包括移动平均、指数加权平均和中值滤波等。

这些方法能够减小数据中的噪声,提高优化算法的稳定性。

异常值检测和处理也是一种常见的预处理方法。

异常值是指与大多数数据明显偏离的数值,它们可能是由于测量误差、数据录入错误或数据采集问题等原因引起的。

对于异常值的检测,可以使用统计方法、聚类方法或机器学习方法。

一旦异常值被检测出来,可以选择删除、替换或修复这些异常值,以提高数据的准确性和一致性。

特征选择和降维也是预处理阶段的重要步骤。

特征选择的目的是从原始数据中选择出对问题解决有用的特征,减少冗余和噪声特征的影响。

常用的特征选择方法包括过滤式、包裹式和嵌入式等。

降维的目的是通过将高维数据投影到低维空间,减少数据维度和复杂度,提高计算效率和模型鲁棒性。

常用的降维方法包括主成分分析、线性判别分析和非负矩阵分解等。

第二阶段:优化算法在预处理阶段完成后,我们可以使用优化算法对预处理后的数据进行建模和优化。

优化算法的选择与具体问题有关,常用的优化算法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法和差分进化算法等。

在应用优化算法之前,我们需要确定合适的目标函数和约束条件。

目标函数是我们希望优化的目标,约束条件是问题的限制条件。

通过定义合适的目标函数和约束条件,我们可以将优化问题转化为数学模型,并使用优化算法进行求解。

鲁棒优化导论与应用

鲁棒优化导论与应用

精彩摘录
精彩摘录
《鲁棒优化导论与应用》是一本系统介绍鲁棒优化的基本理论和应用方法的 书籍。这本书的精彩摘录包括以下几个方面:
精彩摘录
鲁棒优化是一种基于不确定性的优化方法,旨在解决各种实际问题和挑战。 其中一个重要的观点是,在处理实际问题时,我们无法总是准确地描述所有的约 束和目标函数。因此,鲁棒优化提供了一种在不确定环境下进行决策的方法,使 得决策具有一定的鲁棒性,即能够在不同情况下保持相对较好的性能。
鲁棒优化导论与应用
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
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《鲁棒优化导论与应用》是一本深入浅出地介绍鲁棒优化的基础理论及其在各种实际应用中的重 要性的书籍。这本书的内容涵盖了鲁棒优化的基本概念、数学原理、算法设计以及在现实问题中 的应用案例。 书中详细介绍了鲁棒优化的基本概念和数学原理,包括鲁棒性的定义、鲁棒优化问题的构建方法、 以及如何使用鲁棒优化解决不确定性问题。这些理论部分不仅深入浅出,而且结合了丰富的实例, 使得读者能够更好地理解和掌握鲁棒优化的核心思想。 书中探讨了鲁棒优化算法的设计和实现,包括经典的和现代的算法。这些算法被设计用来解决各 种复杂的问题,如线性规划、整数规划、多目标优化等。书中还讨论了如何使用现代的优化软件 包来解决实际问题,以及如何根据问题的特性选择合适的算法。

分布鲁棒优化求解算法

分布鲁棒优化求解算法

分布鲁棒优化求解算法(原创实用版)目录1.引言2.分布鲁棒优化求解算法的概念和背景3.分布鲁棒优化求解算法的具体方法4.分布鲁棒优化求解算法的应用实例5.结论正文一、引言分布鲁棒优化求解算法(Distributed Robust Optimization,DRO)是一种解决分布式优化问题的先进算法。

在现代社会,许多实际问题都具有分布式的特点,如供应链管理、网络路由优化等。

因此,研究分布式优化问题具有很高的实际意义。

本文将从概念和背景、具体方法、应用实例和结论四个方面对分布鲁棒优化求解算法进行详细介绍。

二、分布鲁棒优化求解算法的概念和背景分布鲁棒优化求解算法是针对分布式优化问题而设计的一种求解方法。

分布式优化问题通常具有以下特点:(1)决策变量分布在不同的节点上;(2)各节点之间存在相互依赖的关系;(3)优化目标函数具有不确定性。

针对这类问题,传统的集中式优化方法难以胜任,因为集中式方法需要将所有决策变量和数据都集中在一个节点上进行处理,这在实际应用中往往不可行。

因此,分布鲁棒优化求解算法应运而生,它通过将优化问题分解为多个子问题,并在各个节点上独立求解,最后将各节点的解进行融合,从而实现对全局优化目标的求解。

三、分布鲁棒优化求解算法的具体方法分布鲁棒优化求解算法的具体方法主要包括以下几个步骤:1.问题分解:将全局优化问题分解为多个子问题,每个子问题对应一个决策变量或一组决策变量。

2.节点求解:在每个节点上独立求解子问题,通常采用基于梯度的优化算法,如牛顿法、梯度下降法等。

3.信息融合:将各节点求解得到的子问题解进行融合,从而得到全局问题的解。

融合方法有多种,如最大最小法、平均值法等。

4.重复迭代:根据融合后的解,再次将问题分解为子问题,并在各节点上进行求解。

重复这一过程,直到满足停止条件。

四、分布鲁棒优化求解算法的应用实例分布鲁棒优化求解算法在许多实际应用中都取得了良好的效果,如供应链管理、网络路由优化、多机器人协同作业等。

基于鲁棒优化的控制系统设计及应用研究

基于鲁棒优化的控制系统设计及应用研究

基于鲁棒优化的控制系统设计及应用研究一、引言控制系统是指用来控制连续、离散或者混合型物理过程的设备或者算法,广泛应用于生产、制造、通信等领域。

随着科技的不断进步和应用的广泛推广,控制系统的优化和鲁棒性得到了越来越多的关注。

本文将介绍基于鲁棒优化的控制系统设计及应用研究,包括控制系统的基本概念和鲁棒优化的概念,控制系统的设计和应用实例等。

二、基本概念1.控制系统控制系统是由一组组件构成的系统,通过控制信息的传递和调节,使得系统能够按照预定的目标或者参考信号运转。

通常由输入信号、传感器、执行器、控制器和反馈信号等部分组成,其工作流程如下:输入信号→传感器→控制器→执行器→反馈信号其中输入信号指的是设定值或者参考信号,传感器是对物理量进行感知并将其转换成电信号,控制器则是对接收到的信号进行处理并形成控制算法,执行器最终利用处理后的控制算法控制被控对象,反馈信号指的是被控对象状态的反馈。

控制系统根据反馈信号进行调节和校正,使得实际输出信号与输入信号保持一致。

2.鲁棒优化控制系统的设计中,往往需要考虑不同的干扰因素和误差造成的影响。

此时,控制系统需要具备良好的鲁棒性,即在不确定性因素的情况下,系统依然能够正常工作并保持稳定性能。

鲁棒优化就是基于鲁棒性的实现目标的优化过程,它的核心思想是针对系统的不确定性建立恰当的模型,并运用此模型构建优化模型,从而使得控制系统能够迎合不同的需求和环境。

三、控制系统的设计1.控制系统建模控制系统建模是控制系统设计的重要步骤,它的目的是建立实际被控制对象的数学模型和控制器的性能模型。

通常采用线性模型或者非线性模型进行建模,其中线性模型的建模方法包括传递函数法、状态空间法等;非线性模型的建模方法则包括仿射模型法等。

建模方法的选择需要考虑实际应用中的实际情况和被控对象的特点。

2.控制器设计根据建立的模型,进行控制器设计是下一步重要的工作。

控制器的设计过程中,首先需要选择控制器类型,一般包括PID控制器、模型预测控制器、模糊控制器等;然后对控制器参数进行调节和优化。

机械结构优化设计中的鲁棒性分析与优化

机械结构优化设计中的鲁棒性分析与优化

机械结构优化设计中的鲁棒性分析与优化机械结构在现代工程领域中扮演着至关重要的角色,其设计的性能直接关系到产品的质量和使用寿命。

然而,在真实的工作环境下,机械结构往往要面对多种复杂的扰动和不确定性因素,如振动、温度变化、材料参数波动等,这些都可能导致结构性能的突变。

为了保证机械结构在不确定性环境下的可靠性和稳定性,鲁棒性分析和优化在机械结构设计中起着重要的作用。

鲁棒性分析是一种用于评估和研究机械结构在不确定性因素影响下的响应变化程度的方法。

它的目的是通过找到结构设计中的薄弱环节,并对其进行优化改进,提高机械结构的稳定性和可靠性。

鲁棒性分析的核心是对不确定因素的建模和计算,以确定结构设计对不确定因素的敏感性。

常用的鲁棒性分析方法包括蒙特卡洛模拟、灵敏度分析和信赖域方法等。

蒙特卡洛模拟是一种基于概率统计的方法,通过随机抽样和重复试验来评估机械结构在不确定因素下的响应变化。

在鲁棒性分析中,将不确定因素按照给定的变异范围进行随机采样,并通过数值计算来获得结构的不确定响应。

通过大量的采样实验,可以得到不同不确定因素组合下的结构响应分布,进而评估结构设计的鲁棒性。

灵敏度分析是一种通过评估不确定因素对结构响应的影响程度来确定结构设计鲁棒性的方法。

通过对不确定因素的变化范围进行敏感性分析,可以找到对结构响应影响最大的因素。

这些敏感因素可以帮助工程师优化结构设计,使其对不确定因素具有更好的适应能力。

信赖域方法是一种将结构鲁棒优化问题转化为带约束条件的无导数最优化问题的方法。

通过引入额外的罚函数来约束设计变量的可行域,使得优化问题能够在给定设计变量范围内求解。

这种方法可以解决鲁棒优化中的非线性约束和不确定性因素的问题,提高机械结构的鲁棒性。

在机械结构的鲁棒性优化中,常用的目标函数包括最小重复准则、最大平均准则和最小方差准则等。

最小重复准则是通过减小结构在不确定因素下的响应变化幅度来优化设计,以提高结构的稳定性和可靠性。

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鲁棒优化的方法及应用威在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。

鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。

早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。

几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。

在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。

直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。

一个一般的数学规划的形式为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}ni x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。

ξ表示属于特定问题的数据。

U 是数据空间中的某个不确定的集合。

对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}ni x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=∀∈这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。

这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。

1 鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}Tnm nm xc x Ax b c A b U R RR ⨯≥∈⊂⨯⨯所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}Txt t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。

并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}NZ R ξ=⊂的仿射像给出,如果Z 是1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。

2由锥二次不等式系统给出2,1,...,Ti i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。

3 由线性矩阵不等式系统给出dim 010i i i P P ξξ=+≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。

1.2鲁棒二次规划考虑一个不确定的凸二次约束问题1{min{:2,1,...,}(,,)}T T T m i i i i i i i xc x x A x b x c i m A b c U =≤+=∈对于这样的一个问题,即使不确定集合的结够很简单,也会导致NP 难的问题,所以对于这种问题的处理通常是采用它的近似的鲁棒规划问题。

考虑一个不确定的优化问题{min{:(,)0}}TxP c x F x U ξξ=≤∈,假设不确定集合为n U V ξ=+,而n ξ表示名义的数据,而V 表示一个扰动的集合,假设V 是一个包含原点的凸紧集。

不确定问题P 可以看成是一个不确定问题的参数族{min{:(,)0}}T n xP c x F x U V ρρξξξρ=≤∈=+,0ρ≥表示不确定的水平。

具有椭圆不确定性的不确定的凸二次规划问题的近似鲁棒问题11{{(,,)(,,)(,,)}1,1,...,}Lnn n l l l m Ti i i iiil i i i i j l U c A b c A b c A b Q j k ξξξ====+≤=∑ 其中10,0kj jj Q Q=≥∑f则问题可一转化为一个半定规划问题11111111min 2...[]22[]2..0,1,...,[]2T L kT n n T T L n T i i i i iji i i j T i T i i kij ij L L TT Li i in L i i i c xc c x b c x b x b A x c x b A x s t Qi m c A x x b A x A x A xI λλ==⎛⎫+-++ ⎪⎪ ⎪+⎪⎪⎪≥=⎪ ⎪+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭∑∑M ML具有椭圆不确定集合的不确定锥二次问题的近似鲁棒规划 考虑不确定锥二次规划12{min{:,1,...,}{(,,,)}}T T m i ii i i i i i i xc x A x b x i m A b U αβαβ=+≤+=∈它的约束为逐侧的不确定111{,}(,,,)}{,}m leftm i i i i i i i i m right i i i A b U U A b U αβαβ===⎧⎫∈⎪⎪=⎨⎬∈⎪⎪⎩⎭它的左侧的不确定的集合是一个椭圆11{{(,)(,)(,)}1,1,...,}Lleftnn l l m T i i iil i i i j l UA b A b A b Q j k ξξξ====+≤=∑其中10,0kj jj Q Q=≥∑f右侧的不确定集合是有界的,它的半定表示为11{{(,)(,)(,)}}Rrightnn r r m i i iir i i i r UV αβαβηαβη====+∈∑{:()()0}V u P Q u R ηη=∃+-≥,(),()P Q u η为线性映射。

则半定规划为11111min [][]..0,1,...,[]T kn n T iji i j T i i kijij L L T i i n n L i i i i i c xA x b A x b s t Qi mA x b A x b A x A xIτλλτ==⎛⎫-+ ⎪⎪⎪+ ⎪≥= ⎪ ⎪+⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑M L其中11**0,1,...,,1,...,(),1,...,(),1,...,()0,1,...,0,1,...,ij T n n i i i i T i i i T R R i i i i i m j k x Tr RV i mx P V i mx Q V i mV i mλταβαβαβ≥===++=⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭==≥=M1.3鲁棒半定规划一个不确定的半定规划的鲁棒规划为0011{min{:0}{(,...,)}}nTm i i n i xi c x A x A A A U ==+≥∈∑由一个箱式不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题0001{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l l n nl n l U A A A A A A ξξ∞===+≤∑。

则半定规划的近似的鲁棒优化为01,011[],1,...,min :[],1,...,,1,...,lnl l ll j j j T l l x X L nl l lj j l j X A x A x A l L c x X A x l L X A x A l L ===⎧⎫≥≡+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥-=⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤+=⎪⎪⎩⎭∑∑∑由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题00021{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l ln nl n l U A A A A A A ξξ===+≤∑。

则半定规划问题为12120,,1[][][][]min :[]0,2()[]L nT n n j j x F G j L G A x A x A x A x c x A x F F G A x A A x F =⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪≥+≤+⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭∑L M M具有易处理的鲁棒counterparts 的不确定线性规划。

如果多胞形是由有限集合的凸包给出的,则鲁棒规划为1min{:0,1,...,}nTl l j j xj c x A x A l L =+≥=∑2 鲁棒优化的几种新的方法鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。

2.1不确定的线性规划的可调节的鲁棒解不确定线性规划为[,,],{min :}TZ U V b Z u vLP c u Uu Vv b ζ=∈+≤,其中不确定集合n m n m Z R R R ⨯⊂⨯⨯是一个非空的紧的凸集,V 称为recourse 矩阵。

当V 是确定的情况下,则称相应的不确定线性规划为固定recourse 的。

定义:线性规划Z LP 的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]):}TuRC c u v U V b Z Uu Vv b ζ∃∀=∈+≤,则它的可调节的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]),:}T uARC c u U V b Z v Uu Vv b ζ∀=∈∃+≤。

可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活,但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。

对于一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题,然而它相应的可调节的鲁棒规划却是不易处理的问题。

但是如果不确定集合是有限集合的凸包,则固定recourse 的ARC 是通常的线性规划。

从实际的应用来看,只有当原不确定问题的鲁棒counterpart 在计算上容易处理的时候,鲁棒优化方法才有意义。

当可调节的变量是数据的仿射函数时,可以得到一个计算上易处理的鲁棒counterpart.对于Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)可以表示为,,():min{:(),([,,])}T u w WAARC c u Uu V w W b U V b Z ζζ++≤∀=∈。

如果Z 是一个计算上易处理的集合,则在固定recourse 的情况下,Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个计算上易处理的问题。

如果Z 是这样的一个集合,1{[,,][,,][,,]:}Ll l l l l Z U V b U V b U V b ξξ===+∈ℵ∑,ℵ是一个非空的凸紧集。

在固定的recourse 的情况下,AARC 具有这样的形式01000,,,...,min {:[][][],}LT l l ll l l u v v vc u U U u V v v b b ξξξξ+++≤+∀∈ℵ∑∑∑ 如果不确定的集合是一个锥表示的,则Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个锥二次或半定规划。

如果recourse 也是可变的,则AARC 是不易处理的问题,这时采用它的近似形式。

在简单椭圆不确定集合的情况下,AARC 等价于一个半定规划。

当扰动的集合是一个中心在原点的箱式集合或者是一个关于原点对称的多胞形集合,则AARC 可以有一个半定规划来近似。

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