第一章现实世界的数学模型
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
数学模型的建立
数学模型的建立引言数学模型是将现实世界中的实际问题转化为数学形式的表示。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析问题，并提供解决方案。
本文将讨论数学模型的基本概念、建立过程以及一些常用的建模方法。
数学模型的基本概念数学模型是一种以数学符号和方程组的形式来描述现实问题的工具。
它由变量、参数、约束条件和目标函数组成。
变量表示问题中的待求量，参数表示问题中的已知量，约束条件表示问题中的限制条件，目标函数表示问题中的目标。
数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下几个步骤：1. 研究问题：首先，我们需要深入研究和了解问题的背景和相关知识，明确问题的目标和要求。
2. 定义变量和参数：根据问题的特点，我们需要定义适当的变量和参数来表示问题中的各个要素。
3. 建立方程或不等式：根据问题的描述和已知条件，我们可以建立方程或不等式来描述问题中的关系。
4. 添加约束条件：将问题中的限制条件加入到模型中，确保模型的可行性和准确性。
5. 确定目标函数：根据问题的目标，确定一个合适的目标函数，以便我们可以通过最大化或最小化目标函数来求解问题。
6. 解模型并验证：使用合适的数学工具和方法求解模型，并验证模型的解是否符合实际情况。
常用的建模方法建立数学模型的方法多种多样，常见的建模方法包括：- 数理统计方法：通过收集和分析数据，利用统计学方法建立数学模型。
- 最优化方法：使用最优化理论和方法，通过最大化或最小化目标函数来建立模型。
- 离散事件模拟方法：将连续事件转化为离散事件，使用模拟技术来解决问题。
- 动态系统建模方法：将问题描述为动态系统，通过建立微分方程和差分方程来建模。
- 概率模型方法：通过概率论的知识，建立和分析随机现象的数学模型。
结论数学模型的建立是解决实际问题的重要工具。
通过合理的建模方法和技巧，我们可以更好地理解问题，并提供有效的解决方案。
不同的问题需要选择适合的建模方法，根据实际情况进行灵活应用。
建立数学模型需要综合运用数学、统计学和实际领域的知识，从多个角度综合分析问题，得出准确的结果。
【最新】一章现实世界中的数学模型
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建模 设椅子的四只脚位于点 A,B,C,D,其连线构
成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 A C ,
B D 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
设 f 为 A , C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
g 为B , D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
B1
y B
年 人口（亿）
年 人口（亿）
1908 3.0 1982 10.3
1933 4.7 1990 11.3
1953 6.0 2000 12.95
1964 7.2
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认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。
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第三节 数学模型的例子
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一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上； 假设2 地面是一张连续变化的曲面； 假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
dx dt
r
x
x,
x 0 x 0
⑸
其中r x 是 x 的减函数。进一步假定，设 r x 是 x 的线
性函数，即
rx r s x(r ,s 0 )
⑹
这里r 称为固有增长率。引入 x ，称为人口容量，即
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当 x x 时，人口不再增长，即rx0,代入⑹式
数学模型第01章第五版ppt课件
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。
他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。
而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。
特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。
可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。
你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。
其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。
也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。
数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。
通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。
数学模型的另一个特征是经济性。
用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。
数学中的数学模型
数学中的数学模型数学是一门精确而抽象的学科，它通过建立数学模型，来描述和解决各种实际问题。
数学模型是数学思维在实际应用中的体现，它可以帮助我们理解和预测客观世界的现象。
本文将探讨数学中的数学模型及其在现实生活中的应用。
一、数学模型的概念及分类数学模型是对实际问题的抽象描述，它由数学符号、方程、不等式等组成。
数学模型可以分为确定性模型和随机性模型两类。
确定性模型是指在一定条件下，能够准确预测事物发展趋势或结果的模型。
比如，线性规划模型可以用来求解一组线性约束条件下的最优解，常微分方程模型可以描述物理系统中的变化规律等。
随机性模型是指含有随机因素的模型，无法准确预测事物发展趋势或结果，只能给出概率性的结果。
概率论和统计学是随机性模型的基础，通过对大量数据的分析与推理，能够得出一定的结论和预测。
二、数学模型在实际中的应用1. 自然科学中的应用数学模型在自然科学中有广泛的应用。
比如，在物理学中，质点运动的数学模型可以用微积分方程来描述；在天文学中，行星运动和天体力学的数学模型可以帮助天文学家预测行星轨道和彗星轨道的运动；在生物学中，生物种群的增长和传染病的传播可以用差分方程和微分方程来模拟。
2. 社会科学中的应用数学模型在社会科学中也有很多应用。
比如，在经济学中，经济增长模型和供需模型可以帮助经济学家研究宏观经济现象和预测市场行情；在社会学中，网络模型和社会网络分析可以研究社会系统的结构和相互关系；在心理学中，数理心理学模型可以研究人类思维和行为的规律等。
3. 工程技术中的应用数学模型在工程技术中有着广泛的应用。
比如，在电力系统中，电力负荷的预测模型可以帮助电力公司合理调配电力资源；在交通规划中，交通流量分析模型可以帮助交通规划师科学规划交通路网；在通信系统中，信道编码和调制解调技术的数学模型可以提高信息传输的稳定性和可靠性等。
三、数学模型的建立和求解建立数学模型的重要步骤包括：问题的分析与理解、模型的假设与建立、模型参数的确定等。
常见的数学模型
常见的数学模型
数学模型是用数学语言描述现实世界的方法。
它在现代科学和工程领域中已经应用广泛，被应用于各种各样的问题，如流体力学，风险评估，经济学和社会科学等领域。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学模型。
1. 线性回归模型
线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的模型。
它被广泛应用于各种领域，如经济学、统计学和工程学等。
该模型的主要目标是确定自变量与因变量之间的关系，并使用回归分析来计算出自变量的相关系数和误差项。
2. 微分方程模型
微分方程模型是计算机模拟自然过程最有用的数学工具之一。
它描述了一个系统的受力和受时间影响产生的运动和变化。
这种模型被广泛应用于风险评估、天气预测和医学等领域。
3. 费马数理模型
费马数理模型是半实数规划问题的一种数学模型。
在这种模型中，我们寻找最小的正数整数，满足行列式等于给定的值。
这种模型可以用于信息安全和密码学等领域。
4. 离散事件模型
离散事件模型是一种用于描述因果关系的数学模型。
该模型与连续时间模型不同，它只考虑在特定时间发生的事件。
这种模型可以用于确定一个大型系统的运作方式，并预测其未来的行为。
5. 优化问题模型
优化问题模型是以精确的方式确定最佳方案的一种数学模型。
该模型主要涉及将所需资源最小化或最大化，并找到实现这些目标的最佳方法。
这种模型可以用于政策决策，供应链管理和金融分析等领域。
总之，各种数学模型都是用于解决实际问题和分析复杂数据的有用工具。
每个模型都具有自己的特点和应用场景，需要根据实际问题的性质来选择合适的模型。
什么是数学模型
什么是数学模型
数学模型是一种基于数学理论和科学计算方法的描述现
实世界问题的工具。
其目的是通过数学模型来对现实问题进行描述、分析和预测，以便于更好地理解和解决问题。
在实际应用中，数学模型可以分为线性模型和非线性模型。
线性模型是指函数关系为线性的模型，包括线性回归模型、线性规划模型、线性差分方程模型等。
这种模型具有简单、易于理解和求解等优点，是一些简单问题的常用解决方法。
非线性模型则是指函数关系为非线性的模型，包括非线性回归模型、非线性规划模型、非线性差分方程模型等。
这种模型具有灵活和精度高的优势，适用于解决较为复杂的问题。
数学模型的主要特点是把现实复杂问题抽象出来，通过
模拟和计算实现对问题的分析和预测。
它能很好地反映不同因素之间的相互作用和影响关系，为实际问题提供科学的解决方案。
在实际生产和社会经济领域，各种数学模型已经被广泛应用，包括大型投资决策、企业经营管理、环境保护、航空航天、交通运输、医学卫生等各个领域。
数学模型的建立需要很强的数学功底和实际应用经验。
为了开发有效的数学模型，需要对问题进行深入的分析和研究，建立数学模型时需要选择合适的数学工具和方法，进行参数的估计和求解，最后对模型进行有效性检验。
在数学领域中，为了更加深入地研究数学模型的原理和
应用，创立了数学模型理论。
数学模型理论在很大程度上促进了数学模型的发展和应用。
总的来说，数学模型是一种对复杂的现实问题进行分析和预测的重要工具。
它可以使人们更好地理解问题本质和解决途径，具有广泛的应用前景。
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20, x 5。即船速为
在上面的例中我们看到数学模型的一般意义： 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。
注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某
种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
形的桌子，则该如何求解？
二、人口增长的预报问题 随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也 得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪 的人口增长情况。 年 人口（亿） 年 人口（亿） 1625 5 1974 40 1830 10 1987 50 1930 20 1999 60 1960 30
使得
h 0 0.
注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落 地，即
f 0 0 g 0 0. h 0 0，即有
所以由
f 0 g 0 0.
此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出 了放稳的具体方法。 注 若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方
建立模型的过程就称为数学建模。
第二节
数学建模的重要意义
一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少
的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓
了许多新的处女地。
四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似 特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的 某些规律。
三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直 觉作出相应的决策。
从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。
下表是我国在20世纪中人口发展的状况： 年 人口（亿） 年 人口（亿） 1908 3.0 1982 10.3 1933 4.7 1990 11.3 1953 6.0 2000 12.95 1964 7.2
第三节 数学模型的例子
一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能
的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一
个四方形的顶点上；
假设2
假设3
地面是一张连续变化的曲面；
在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
A, B, C, D,其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 AC , BD 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
建模 设椅子的四只脚位于点
设f
g 为 B, D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
为 A, C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
B1
B
y
C f g 0 0, . 2
o
A1 A
x
D1
C1
D
注意到： f , g C 0, , f 0, g 0. 并且 2 椅子的四脚落地意味着 f g 0. 故不妨假设
第一章
现实世界中的数学模型
第一节 现实世界的模型
在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词 并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、 “生物
“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 模型”等。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生
产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。
水航行时有关系
x y 30 750,
当船只逆水航行时，有
y x 50 750,
即有方程组
x y 30 750, y x 50 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
y 容易求出该问题的解：
20km/h，水速为5km/h。
思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件
下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、 主观性、偶然性等缺点。
四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构 表等。
五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问 题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的 例子。
令
h f g ,
则 h C 0, , 因 2
h f g 0, 2 2 2
h 0 f 0 g 0 0,
由闭区间连续函数的零点定理知，存在 0 0, , 2
例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且
假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
f 0 0, g 0 0.
则问题归结为是否存在 0 0, , 使得 2
f 0 g 0 0.
解模
由条件对任意 ，有 f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0, g 0. 且
f 0, g 0. 2 2