周期现象 与周期函数
函数的周期及应用教案
函数的周期及应用教案函数的周期是指函数图像在x轴上的最小重复单位的长度。
周期函数是指函数图像在一定条件下能够重复出现的函数。
一、周期函数的定义周期函数可以用下面的数学定义来描述：设f(x)是定义在某个区间[a, a+T]上的函数，其中T>0，若对区间[a, a+T]上的任意x值都有f(x) = f(x+T)，则称f(x)在[a, a+T]上是周期函数，T是它的周期。
周期函数通常用f(x+T) = f(x)来表示。
二、周期函数的性质1.如果一个函数f(x)在[a, a+T]区间上为周期函数，那么它在区间(a+T, a+2T] 上就必然也是周期函数，并且周期也是T，即区间的起始点右移T，函数仍然是周期函数。
2.如果一个函数f(x)在[a, a+T]区间上为周期函数，那么它在[a-nT, a+(n+1)T]（n为任意正整数）上就必然也是周期函数，并且周期也是T，即区间进行平移变换，函数仍然是周期函数。
3.如果一个函数f(x)在[a, a+T1]和[a, a+T2]两个区间上均为周期函数，其中T1和T2互为整数倍，那么它在[a, a+T]（T为T1和T2的最小公倍数）上就必然也是周期函数。
三、周期函数的应用周期函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
1.音乐音乐中的乐音和乐句往往具有周期性，例如乐音的高低、乐句的重复等都是周期函数的运用。
2.物理在物理学中，周期函数应用广泛。
例如，物体沿直线轨道振动、回转等都是周期运动，可以使用周期函数进行描述。
3.电信号电信号往往具有周期性，例如电脑中的时钟信号，手机中的振铃信号等。
4.电磁波电磁波是周期性的波动现象，可以用正弦函数来描述。
5.经济经济领域中也常常用到周期函数，例如经济发展的周期、商品价格的循环波动等。
6.天文学天体运动具有周期性，例如地球的公转周期、月球的月相等。
四、周期函数的教学教案1.教学目标(1)了解周期函数的定义和性质；(2)了解周期函数在实际应用中的意义和作用；(3)培养学生建立模型、解决实际问题的能力。
高中函数周期知识点总结
高中函数周期知识点总结一、函数的周期性1. 周期函数的概念在数学中，周期函数是指以某个值T为周期的函数。
如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们就称函数f(x)是周期函数，并且周期T称为f(x)的周期。
通常情况下，周期函数的图像在一定区间内重复出现相同的形状。
2. 周期函数的性质（1）周期函数的性质周期函数的基本性质包括：a. 周期函数在每一个周期内有相同的函数值。
b. 周期函数的图像可以在一个周期内被重复出现。
c. 若T为周期，则kT也是周期，其中k为非零的常数。
d. 若T1和T2都是周期，则它们的最小公倍数也是周期。
e. 三角函数sin(x)和cos(x)都是周期为2π的周期函数。
（2）求周期函数的周期当给定一个函数f(x)时，我们需要计算出它的周期。
求周期的方法主要有两种：a. 观察法：观察函数的图像，找出重复的模式，从而确定周期。
b. 利用公式法：若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，我们可以通过解方程来求出T。
3. 常见周期函数常见的周期函数主要有三种：a. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)：它们的周期都是2π。
b. 正切函数tan(x)和余切函数cot(x)：它们的周期都是π。
c. 任意形式的三角函数：假设f(x)是一个周期函数，那么af(bx+c)+d也是一个周期函数，其中a、b、c、d为常数。
4. 函数的不同周期有些函数可能有多个周期，称为多周期函数。
常见的多周期函数有正弦函数和余弦函数。
此外，有些函数可能存在最小正周期和最小整数周期不相等的现象，称为非自由振荡。
（见以下部分）5. 周期函数的应用周期函数在很多领域都有广泛应用，例如在物理学、工程学、生物学和经济学中。
在物理学中，振动系统的运动可以用周期函数来描述。
在经济学中，周期函数可以描述商品价格和经济增长等现象。
二、函数周期性的相关概念1. 最小正周期对于周期函数f(x)，如果存在一个最小正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们称T为函数f(x)的最小正周期。
函数周期性总结
函数周期性总结1. 什么是函数周期性？函数周期性指的是函数在一定区间内具有重复的特点或性质。
在一个周期内，函数的值和特征会重复出现。
周期性可以用来描述很多现象，比如天气变化、心脏跳动等。
2. 函数周期性的判断条件要判断一个函数是否具有周期性，需要满足以下条件：- 函数必须在某个区间内有定义。
- 函数在该区间内必须是有界的。
- 函数必须满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 是周期。
3. 常见的函数周期性类型3.1 周期函数周期函数是指具有周期性的函数。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
它们在一个周期内的值会不断重复。
3.2 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是特殊的周期函数。
- 奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。
- 偶函数满足 f(-x) = f(x)，即关于 y 轴对称。
3.3 周期为2π 的函数周期为2π 的函数在每个周期内的值是相同的。
它们是一类特殊的周期函数，包括正弦函数和余弦函数。
4. 为什么函数周期性重要？函数周期性在数学和工程等领域中具有广泛的应用。
- 在数学中，周期性是研究函数特征和行为的重要工具。
通过研究函数的周期性，可以得到函数的性质和规律。
- 在工程中，周期性可以用来描述循环和重复的现象。
例如，电流的周期性可以用来描述交流电信号。
5. 总结函数周期性是函数在一定区间内重复出现的特点。
判断函数周期性需要满足一定条件。
常见的函数周期性类型包括周期函数、奇函数和偶函数，以及周期为2π 的函数。
函数周期性在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
高中数学第一章三角函数1_1周期现象与周期函数课件1北师大版
象对实际工作的意义;(重点)
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期.（难点）
探究点1 对周期现象的理解
当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化，
为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函
数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t
的关系，那么H就是t的函数.下表1-1是某港口在
( B )年
A.2018 举办一次. 【解析】选B.2014+8=2022. B.2022 C.2026 D.2030
【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年
3.某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22 个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动 A.10周 B.5周 C.15周 ( D ) D.20周
某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据， 我们来研究H(t)这个函数.
表1-1 时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深 /m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 水深 /m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 水深 /m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
【即时训练】
下列现象不是周期现象的是( A.四季交替现象 C.每年春节联欢晚会 B )
B.暴风雪的发生 D.物理中的简谐振动
【解析】A，C，D中的现象都符合周期现象的特征，
而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
函数的周期性原理及应用
函数的周期性原理及应用1. 什么是函数的周期性原理？函数的周期性原理是数学中一个十分重要的概念。
周期是指函数在一定区间内重复的特性。
周期性原理描述了函数以固定的重复模式出现的现象。
2. 周期函数的定义周期函数是指满足f(x+T)=f(x)，其中T是正数，被称为函数的周期。
例如，$f(x) = \\sin(x)$是一个周期为$2\\pi$的周期函数。
3. 周期函数的特点周期函数具有以下特点：•函数值在一个周期内具有相同的模式，即函数图像在重复的周期内呈现相似的形状。
•周期函数的平均值为周期内各个函数值的平均数。
4. 周期函数的图像周期函数的图像可以通过绘制一个周期内的部分来表示。
例如，对于周期为$2\\pi$的正弦函数，我们可以绘制一个周期内的函数曲线。
通过绘制多个周期，我们可以更全面地观察周期函数的特征。
5. 周期函数的应用周期函数在许多领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1 电子信号处理周期函数在电子信号处理领域扮演着重要的角色。
例如，音频信号、视频信号等都是周期函数。
通过对周期函数进行采样和处理，可以实现音频和视频的数字化和传输。
5.2 信号分析与滤波周期函数的频谱分析是信号处理中的一个重要步骤。
通过对周期函数进行傅里叶变换，可以将其表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
这些频谱分析结果可以用于信号的滤波和频率分析。
5.3 电力系统电力系统中的交流电信号可以看作是周期函数，其周期通常为50Hz或60Hz。
电力系统中的稳定性和谐波分析等问题都与周期函数的性质密切相关。
5.4 振动系统振动系统中的运动可以用周期函数描述。
例如，弹簧振子、摆钟等都具有周期性的运动特性。
通过对周期函数进行分析，可以研究振动系统的行为和性能。
6. 总结函数的周期性原理是数学中重要的概念。
周期函数具有在一个周期内重复的性质，并且在各个周期内具有相似的形状。
周期函数在电子信号处理、信号分析与滤波、电力系统和振动系统等领域有着广泛的应用。
《简单的周期》(说课教案)
4.培养学生在小组合作探究周期问题时，发展团队合作与问题解决的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解周期现象的本质特征，掌握周期函数的定义及其性质，这是本节课的核心内容。
-学会通过观察、分析具体实例，发现周期现象的规律，并能够运用周期知识解决实际问题。
举例：在解决一个摆动的秋千问题时，学生需要将秋千的运动抽象成一个周期函数模型，并利用周期函数的性质来分析秋千的运动状态。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《简单的周期》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过重复出现的事物或现象？”比如，春夏秋冬的四季更替，钟表的秒针走动等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索周期的奥秘。
在总结回顾环节，虽然大部分学生能够跟随课堂节奏，对周期现象有了基本的掌握，但我也意识到，对于一些学习困难的学生来说，他们可能还需要更多的个别辅导和答疑时间。因此，我计划在课后安排一些针对性的辅导，帮助他们巩固课堂所学。
-难点二：周期函数图像的绘制，特别是对于非基本周期函数，学生难以准确把握图像的周期性特征。教学中应借助图形计算器或计算机软件，让学生观察并实践绘制过程，加深对周期图像的理解。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能难以将问题抽象为周期函数模型。教师应提供丰富的实际问题，引导学生运用周期函数的知识进行分析和建模。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现整体较好，但我也注意到有些小组在讨论时可能过于依赖实验结果，而忽略了理论分析。在今后的教学中，我要引导学生充分运用理论知识，对实验结果进行深入解读。
周期函数的八个基本公式
周期函数的八个基本公式
周期函数是数学中用来表示周期性变化的函数，它可以模拟许多自然现象。
其中有8个基本公式，分别是正弦函数、余弦函数、正切函数、双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、反正弦函数和反余弦函数。
正弦函数是最常用的周期函数之一，它的图形有像类似潮汐一样的变化，其公式可以表示为：y = sinx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。
正弦函数是与它相关的余弦函数的补函数，其公式可以表示为：y = cosx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。
正切函数是另一个常用的周期函数，它的图形也有像潮汐一样的变化，其公式是：y = tanx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。
双曲正弦函数和双曲余弦函数是正弦函数和余弦函数的变种，它们的公式分别是：y = sinhx，y = coshx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。
双曲正切函数是另一个变种，其公式是：y = tanhx，其中x是周期的弧度参数，y是函数的值。
反正弦函数和反余弦函数是正弦函数和余弦函数的反函数，它们的公式分别是：y = arcsinx，y = arccosx，其中x是函数的值，y是周期的弧度参数。
这8个基本的周期函数的公式都能很好地描述各种周期性函数的变化，它们是描述许多自然现象的理想工具，因此被广泛应用在几何、物理学和工程领域。
周期函数公式范文
周期函数公式范文周期函数是指函数值在一些固定的区间内重复出现的函数。
换句话说，函数的图像具有一定的规律性，可以在一些特定区间内重复出现。
数学中常见的周期函数有三角函数，指数函数等。
一、三角函数三角函数是周期函数中的一种重要类型，它的周期是固定的。
最常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数：y = A * sin(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为频率，C为相位角，D为垂直位移。
正弦函数的周期是2π/B。
余弦函数：y = A * cos(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为频率，C为相位角，D为垂直位移。
余弦函数的周期也是2π/B。
这两个函数的周期可以通过改变参数B的值来调节。
当B取较小的值时，函数图像会在较短的距离内重复出现，而当B取较大的值时，函数图像会在较长的距离内重复出现。
二、指数函数指数函数是以底数为常数的指数函数。
最常见的指数函数为指数增长函数，其公式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数在基准点之上的值以快速的速度增长，并在基准点之下的值以同样的速度递减。
指数函数没有固定的周期，但可以根据函数图像的特点来确定变化规律。
当底数a在区间(0,1)之间时，指数函数的图像会逐渐趋近于0；当底数a大于1时，指数函数的图像会呈现指数级别的增长趋势。
三、其他周期函数除了三角函数和指数函数，还有一些其他类型的周期函数。
周期矩形函数：周期为T的矩形函数可以用以下公式表示：y=A，0≤x<T/2y=-A，T/2≤x<T其中A为振幅。
这种函数的图像为一个周期为T的矩形，在T/2和-T/2两个峰值之间循环。
周期正方形波函数：周期为T的正方形波函数可以用以下公式表示：y=A，0≤x<T/2y=-A，T/2≤x<T其中A为振幅。
这种函数的图像为一个周期为T的正方形波，在两个平坦的峰值之间循环。
周期锯齿函数：周期为T的锯齿函数可以用以下公式表示：y=A*(x/T-[x/T])其中A为振幅。
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自主测评
1.下列现象不是周期现象的是( ) D A．地球围绕太阳转 B．地球自转 C．星期 D．人的一生
2．下列现象是周期现象的有( ) D ①候鸟迁徙；②24小时为一天；③某一路口的红
绿灯每30秒转换一次；④每年六月7、8号高考
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知奇函数f(x)是以5为周期的周期函数，f(－
变式4：已知奇函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1且 f(x)是以3为周期的周期函数，
求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)．
点拨：先求出一个周期内各项之和，再利用周 期性求解
解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)是以3为周期的周期函数且 f(1)＝1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－1，பைடு நூலகம்又f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1， f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0 ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝1－1＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015) ＝671×0＋f(2014)＋f(2015) ＝f(3×671＋1)＋f(3×671＋2) ＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1－1＝0.
y
f(-1)= 0 ；
1
f(0)= 0 ； ……
……
f(1)= 0 ； -2 -1 0 1 2 3 4 x
……
f( n )= 0 ；
(2)f(-1.5)=0.5 ；f(0.5)=0.5 ；…… f(0.5+n )= 0.5
问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征
吗？
f(x+1)=f(x)
f(x+n)=f(x)
第一章 三角函数 §1 周期现象
教师点拨
每隔相同的时间就会出现相同的现象，这种现象 称为周期现象．我们生活在周期变化的世界 中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周 期地运动；时间在年复一年，日复一日地逝 去，所有的生物都会生老病死等．总而言之， 周期现象在现实生活中有着广泛的应用.
自主学习
每隔一段时间会重复出现的这种现象称为 ________．潮汐是________现象，地球上一年 周春期夏现秋象 冬四季的变化周期、钟表的分针每小时转一 圈等，这些都是________现象．
解：由题意知，这些数在排列时每行6个数，且奇数行的 数字，从左向右依次增大，偶数行从右向左依次增 大，呈周期性．
而2014＝335×6＋4，
∴2014为第336行从左向右第3个数．
规律技巧：抓住每行中数的规律是解决此类问题的关
键．
例3 已知函数y=f(x),x∈R图像如图所示：
(1)f(-2)= 0 ；
点拨：欲看这些现象是不是周期现象，关键是看它是否 满足周期现象的概念．
解 ： (1) 因 为 每 隔 一 年 ， 春 天 就 重 复 一 次 ， 因 此 “春去春又回”是周期现象，一年是它的周 期；(2)奥运会每隔四年就重复一次，因此开奥 运会为周期现象，4年是它的周期；(3)设第一个 小朋友第一次说出的数为a1，第二个小朋友说 出的数为a2，第一个小朋友第二次说出的数为 a3，第二个小朋友第二次说出的数为a4，…，则 a1＝1，a2＝2，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝1－ 2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2，a6＝a5－a4 ＝1们规 看，律该说－a技现出28＝－巧象的a：是(－7数－否判1字断每a)＝6呈某隔＝－一种现2…1段现周，象时，期a是间7每性＝就否隔，a为重66－6周复次是a期出重5它＝现现复的象一－一一，次1－回关个键(，周－要故期2)；他＝ (4)买单价为10元的商品x件，共消费10x元，不
变 式 训 练 1 ： 今 天 是 星 期 日 ， 则 500 天 后 是 星 期 几？
解：由于星期具有周期性，7是一个周期， 而500＝7×71＋3， ∴500天后是星期三．
题型二 周期现象的应用 例2： 1,2,3,4,5,6 12,11,10,9,8,7 13,14,15,16,17,18 24,23,22,21,20,19 25,26，… 问2014是第几行第几列的数？ 点拨：利用周期性解题．
例4.已知定义在R上的奇函数f(x)是以2为周期 的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：∵f(x)为奇函数，且以2为周 期， ∴f(0)＝f(2)＝0， f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， 又f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
题型一 周期现象的判定
例1：判断下列现象是不是周期现象，若是，说明其周期．
(1)春去春又回；(2)奥运会每四年举办一次；(3)两个小朋友玩数字 游戏，第一个小朋友第一次说了一个1，第二个小朋友说了一个 2，然后每个人说出前一轮中对方说出的数与自己说出的数的 差，依次类推，它们说出的数字；(4)某人买单价为10元的商品x 件．
1)＝1，则f(－4)等于( )
A．1
B．－1 B
C．6
D．－5
解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝1，∴f(1)＝－ 1， 又f(x)是以5为周期的周期函数． ∴f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝－1，故选B.
4．今天星期六，再过21天是( ) A
A．星期六
B．星期日
C．星期五
D．星期一
典例剖析
规律技巧：已知函数的周期性求某些连续项的 和，应先求一个周期内各项的和，再看这些项 有多少个周期，余下几项，再利用周期性求 和．
周期概念
• 对于函数y=f（x），如果存在一个不为 零的常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么 就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为 零的常数T叫做这个函数的周期。事实上 ，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它 的周期。如果在所有正周期中有一个最 小的，则称它是函数f（x）的最小正周 期。