三角函数的周期性
三角函数的周期性
2
2
（4） y cos2 x
(5) y sin2 x
说明，一般都是指的最小正周期；
（2）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
例1．求下列函数周期：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1） y 3cos x x R
（2） y sin 2x x R
（3） y 2sin(1 x )
26
xR
说明： 一般结论：函数 y Asin(x ) 及 函数 y Acos(x ) x R
（ 其中 A,, 为常数，且 A 0， 0 ） 的周期 T 2 ；
0 呢？？？
例2．求下列函数的周期：
（1） y sin( x)
32
（2）y cos 3x cos x sin 3x sin x
22
22
（3） y cos2 x sin2 x
；
不去自鸣自喧的人，才是雅士；不为名利争吵的人，才是有道德的人；没有时间多嘴多舌、忙于空谈者，才是智人。所以，静是大雅大德大智。 有人貌似闲散无事，但内心却整日里被各种私欲所占有；有人虽很忙碌，但心思单纯，内心幽静。我们推崇和欣赏的是内心宁静淡泊的人，这才 是“静”的高品位。 ? 作文题七 有位高僧欲选一徒，便对二小童进行测试。 他指着两间同样大小的空屋子说：“看谁能在最短的时间内以最节省的办法用东西把它装满。”一小童想到的是柴火，他挑来一担又一担的柴火，累得气喘吁吁，终于把空屋填满了。而轮到另一小童，他却 一点力气都不费，只是在屋内点了一小堆火，用火的光亮装满了整个屋子。 老僧对他笑了，叹道：“世间万物，有实有虚，虚实相生，怎能只知实而不见虚呢？” 请以“实与虚”为话题写一篇不少于 800 字的作文，自定立意，自选文体，自拟文题。 [提示] 在传统文化
三角函数的周期性
.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
三角函数周期性知识点总结
三角函数周期性知识点总结一、三角函数的概念三角函数是一个关于角度或弧度的函数，它是一个周期性函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
1.正弦函数正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π。
2.余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域也是[-1,1]。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期也是2π。
3.正切函数正切函数的定义域是整个实数集，它的图像是一条呈周期性的曲线。
以上是三角函数的基本概念，下面将详细介绍三角函数的周期性特点。
二、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期性函数，它的周期是2π。
这意味着，如果一个角度的正弦值是sinθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的正弦值都是sinθ。
也就是说，正弦函数在每隔2π的角度上都有相同的函数值。
正弦函数的周期性在周期函数中是非常典型的，它在描述周期性现象时有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数可以描述周期性振动的规律，在工程学中，它也常被用来描述交流电流的波形。
三、余弦函数的周期性与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，它的周期也是2π。
这意味着，如果一个角度的余弦值是cosθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的余弦值都是cosθ。
正弦函数与余弦函数有着相似的周期性特点，它们都在每隔2π的角度上都有相同的函数值。
这说明，正弦函数和余弦函数的周期性是非常紧密相关的，它们在周期性描述上有着相似的特点。
四、三角函数的周期性函数三角函数的周期性特点是它们在描述周期性现象时非常有用的特性。
它们可以帮助我们精确地描述周期性变化，是物理学、工程学等领域中不可或缺的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要描述周期性变化的情况，比如声音的波形、电流的波形、机械振动等。
而三角函数的周期性特点正好可以帮助我们准确地描述这些周期性变化。
总结：三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们具有明显的周期性特点。
三角函数的周期性
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f (x) 如果在它所
有的周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小的正数就叫做 f (x)的
最小正周期。
说明： （1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别
说明，一般都是指的最小正周期；
（2）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
例1．求下列函数周期：
（1） y 3cos x x R
（2） y sin 2x x R
（3） y 2sin(1 x )
26
xR
说明： 一般结论：函数 y Asin(x ) 及 函数 y Acos(x ) x R
（ 其中 A,, 为常数，且 A 0， 0 ） 的周期 T 2 ；
那么函数 f (x)就叫做周期函数，
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
说明： (1)T必须是常数，且不为零；
(2)对周期函数来说 f (x T ) f (x) 必须对定义域内的任意 x都成立。
思考：
（1）对于函数y sin x, x R,有sin( 2 ) sin ,
– –
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
1、周期的定义
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常
数 T，使得当 x 取定义域内的每一
个值时，都有 f (x T ) f (x)，
63
6
能否说 2 是y sin x的周期。
3
人教高一数学三角函数的周期性
及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R
(其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T=2π/ω.
练习：
１．求下列函数的周期：
(1) y sin 3 x, x R ; (2 ) y co s x ; 3
(3) y 3sin x , x R;(4) y sin(x );
2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用 的是相同的对应法则f.
3、 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且 A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.
作业：
１．教材Ｐ５８３． ２．利用定义证明 y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R (其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0) 的周期T=2π/ω.
2
6
26
2sin1(x11)2sin(1x) 2.
23
26
(1)对x,x+4π作用的法则是
2sin
1 2
6
(2)对x,x+11π/3作用的法则分别是
6,2sin12 .
(1)式两端对x及x+4π作用相同的对应法则， 而(2)式两端对x及x+11π／３作用不相同 的对应法则．而等式f(x+T)=f(x)的两两端 是同一个法则，所以两种解法中，第二种 是错误的． 结论：由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x) 的两端作用的是相同的对应法则f.
４．函数y=cosx,x∈R+是不是周期函数？ -2π是不是它的一个周期？为什么？
三角函数的周期性和对称性
三角函数的周期性和对称性三角函数是数学中的重要概念，涉及到周期性和对称性等性质。
本文将介绍三角函数的周期性和对称性，并探讨它们在数学和物理中的应用。
一、周期性周期性是指函数在一定间隔内以相同的形态重复出现的性质。
对于三角函数而言，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是周期函数，其周期为2π。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的图像呈现周期性的波动，可以用来描述周期性的现象。
例如，我们可以用正弦函数来描述地球上的日照时间变化，昼夜交替的现象。
2. 余弦函数的周期性余弦函数也是周期函数，其图像与正弦函数呈现相似的周期性波动。
余弦函数常用来描述振动、波动等周期性现象，比如振动的电路和机械系统。
二、对称性对称性是指函数图像在某一特定条件下表现出镜像对称、中心对称等性质。
1. 奇函数的对称性奇函数具有关于原点的对称性，即满足f(-x)=-f(x)。
例如，正弦函数和正切函数都是奇函数，它们在原点处对称。
2. 偶函数的对称性偶函数具有关于y轴的对称性，即满足f(-x)=f(x)。
例如，余弦函数是偶函数，它在y轴上对称。
三、应用场景1. 数学应用三角函数的周期性和对称性在数学分析、几何图形等领域有广泛应用。
例如，对于周期性函数的积分计算、傅里叶级数展开等问题，周期性和对称性的性质能够简化计算，提高效率。
2. 物理应用三角函数的周期性和对称性在物理学中具有重要作用。
例如，在振动和波动的研究中，正弦函数和余弦函数可以描述物体的周期性运动和波动现象。
此外，在电路分析、信号处理等领域，三角函数的周期性和对称性也有广泛的应用。
结语三角函数的周期性和对称性是数学中的重要概念，在数学和物理学中有广泛应用。
正弦函数和余弦函数作为最基本的三角函数，具有明显的周期性和对称性，能够描述周期性现象和对称性图形。
在解决一系列数学和物理问题时，充分利用三角函数的周期性和对称性的性质，能够简化计算过程，提高问题求解的效率和准确性。
精解三角函数的周期性
精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x无周期，一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数y=sin x的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.2、y=sin（ωx）的最小正周期设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x因为sin x最小正周期是2π，所以有例如sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）. 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sin x的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是.而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数f（sin x）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sin x；（2）（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x，sin x，，sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.2、y= sin3x的周期性对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y= sin2x的周期性对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.4、sin2n x和sin2n-1x的周期性y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，sin m x的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】求y =|sin x|的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2π.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是2π. 那么它们的和函数，即si nx + cos x的最小正周期如何和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何1、函数sin x + sin2 x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者列表如下.表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.2、函数sin x + sin2x的周期性依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x+sin x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗即“和函数”的周期为3π吗不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3π=因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.。
三角函数的周期性
0 ） 为常数，且 A 0，
2的Leabharlann 期 T 0 呢？？？
；
例2．求下列函数的周期： （ 1）
y sin( x) 3 2
3x x 3x x cos sin sin （2）y cos 2 2 2 2
x 2 x sin （3） y cos 2 2
2
（ 4） y
； 必富LG游戏 LG大宝游戏 LG游戏平台 PT游戏平台台
；
家の教导,他们似乎不该有心情这些东西,但他还是有些不快. 自幼成为孤儿,流浪在长街小巷中,穿行在酒馆后面の臭水沟和垃圾堆里寻找食物.夜宿于破烂の弃房和肮脏の猪圈里の他,对于解救他,培养他の白家当然是无比の忠诚和狂热.七岁被收养,世家培养了他二十年,他也为世家奉献了 二十年. 这次他接到の命令是参加精英府战,对于这个任务,他无比开心.终于又可以杀人了,他已经很久没有尝过鲜血の味道了.但是,似乎命令上最重要の事情却不是杀人?而是保护马车里那位瘦弱の小家伙? 对于世家の命令,他不敢违背,也不会无违背.但世家没有命令他心情必须好吧?所 以他理所当然の不好起来. 保护世家の公子,他不是没有接过这样の命令,也对世家の那些傲慢无理公子们,暗自表示过他の嘲弄和不爽.但明面上,他还是不敢表露出来.但是这次他真の对于世家の命令有过很深の怀疑,这明显只有十五六岁の小家伙真の去参加府战の?统领境二重?他暗自摇 了摇头,带这样一个公子去参加府战去历练,世家难道不知道会因为他死多少人? "十七！" 看到夜十七阴沉の脸,夜十三瞄了一眼后面の马车,低声提醒了句. "哼！" 夜十三瞄了一眼身后の门帘,低声发出了一个只有两人可以听到の哼音,表露着他の不爽.似乎……马车内の这为公子,比以往 の公子更加傲慢一些?在马车上坐了一个多月了,居然
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1.4.1三角函数的周期性
一、导学目标
1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化
2.函数周期性定义
3．能求三角函数的周期
二、知识回归
1.任意角的三角函数
sin y α=
cos x α=
2.终边与α角相同 2απ+
2απ-
2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同
三、新知导学
由观察可知
1.三角函数值出现周期性变化的特点
sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x
ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期
2,4,6,2,4,6,ππππππ---
2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期
2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的
正周期
周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期
sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π
四、例题分析与巩固训练
(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23
g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可
（1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x +=
∴sin3()sin3x T x +=
sin(33)sin 3x T x +=
32T π∴=
23
T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x +=
2cos()2cos()2323
x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ⎡⎤-
+=-⎢⎥⎣⎦ 22
T π∴= 巩固训练
A 1. 求下列函数的周期
（1）2sin 2y x =-
（2）cos 3
x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由
（1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23
π一定是函数sin y x =的周期
B 思考
sin()cos()
y A x y A x ωϕωϕ=+=+ （其中,,A ωϕ为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π
ω=
例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示
（1） 求该函数的周期
（2） 求10t s =时钟摆高度
分析：观察图像可知
解：（1） 1.5T s =
（2）(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==
∴ 10t s =时钟摆高度20h mm =
巩固训练
1.若弹簧振子对平衡位置的位移()x cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示
（1）求该函数的周期
（2）求10.5t s =时弹簧振子对平衡位置的位移
五、名师点评
六、学业达标
A 1.求下列三角函数的周期
（1）sin()3y x π
=+
（2）cos 2y x =
（3）3sin()25x y π
=+
（4）3sin 4x
y =
B 若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π
，求正数k 的值
C 函数3sin()3y kx π
=+的最小正周期T ，(1,3)T ∈，求正整数k
的值。